Cylindres roolants non oirculaires. — • Lorsque deux

corps solides tournent respectivement autour de deux axes fixes parallèles, on voit, en considérant leur mouvement relatif et en s^appuyant sur les théorèmes établis aux numéros Âtl et 70, qu'ils se meuvent comme s'ils étaient respectivement liés à deux surfaces cylindriques qui, roulant sans glisser l'une sur l'autre^ auraient à chaque instant leur génératrice de contact dans le plan des deux axes de rotation.

L'élude du mouvement des deux corps se réduit à celle du mouvement des sections droites des deux cylindres roulants^ dans un même plan perpendiculaire aux axes de rotation. Nous les nommons courbes primitives, par analogie avec les circonférences primitives des engrenages ordinaires.

(*) Ce paragraphe est desliné à compléter les trois précédeDts dans lesquels ont été étudiés plus spécialement les cas où le rapport des vitesses angalaires des deux corps en contact est constant.

CintMlTIQUR. BICT. I , CBiP. lU.

Soient G et C, (Bg. 71), les centres de rotation de ces deai courbes; O et O, les deux points qui se trouvaient en conlaet sur la droite CC, , à l'instant indiqué par ( = • i T^ le poÎDl de contact sur cette môme droite à la fin du temps ï ; « et «,, les angles OCT et 0,C,T, déplacements angulafres des deux corps pendant ce temps t ; soient enfin r et r,, les deux distances ou rayons vecteurs variables, ayant actuellement les valeurs GT et C,T, dont nous désignons la somme constante CG, par e.

De ce que les deux courbes se touchent continuellement sar la droite CG,, il s'ensuit (80) : 1° Que les deux vitesses angulaires sont réciproques aux rayons ret r,,ce qui s'exprime par l'équation

àa *a, »■— =::r,— i, ou simplement ràx=r^éa,;

2° Que les deux courbes roulent sans glissement l'une sur l'autre, de sorte que les deux arcs OT et 0,T sont égaui: j et cette dernière propriété entralue réciproquement lei deui autres [contact sur CC, et rapport des vitesses).

tS3. DétepmlnaUon des conpbes prlinltlTM. — I. Celle détermination peut être obtenue comme une conséquence de la t^fju mouvement des deux corps que les git. En effet, les angles «et a, élanl , posons les deux équations suivantes Ltations ^ et ^, deux fonctions quel-

^nation du mouvement de rotation ât ïne des deux courbes. Les vitesses anjorps, à la fin du temps t, sont :

COURBES PRIHITITES NON CIRCUI.AIRBS. 16^

et puisqu'elles sont réciproques alix dislanôes r et r^ on d d'où, à cause de r + r^ =: c^, on conclut :

équations qui, combinées avec les deux ci-dessus, «= ^(t) et OL^ = ^,(0; conduisent, par Télimination de 1^ aux équations en coordonnées polaires des courbes OT et OjT. Si l'élinûnation est trop difficile^ on peut assigner à i une suite de valeurs suflisaniment rapprochées entre elles, et, par les formules précédentes, calculer les valeurs simultanées correspondantes de r et a pour l'une des courbes, et de r, et a, pour l'autre.

II. Une des courbes primitives et la distance des centres étant données^ Vautre courbe s'ensuit. — En etfet, supposons que pour réquation de la courbe donnée on ait «e en une fonction $ der:

En substituant aa=$'(r)dr et ensuite f=c— r, dânis l'équation rdoLz=:t^àa^ , on obtient

d'où l'on conclurait par une quadrature a^ en fonction de f,, oti tout au moins autant de valeurs approximatives qu'on voudrait de Tangle a^ correspondantes à certaines valeurs du tayon vecteur r^.

IIL Pivcédé graphique, — On peut déterminer deux courbes primitives se convenant mutuellehient par tout autre moyen qui

164 CINÉlfÀTIQUE. SECT. I^ CHÀP. lU.

assure que ces courbes, en tournant autour de deux points fixes^ se toucheront constamment sur la droite menée par les deux centres de rotation, ou qu'elles rouleront sans glisser Fune sur l'autre. De cette observation résulte un procédé graphique pour construire l'une des courbes primitives lorsque l'autre est donnée.

Soit TMM^M,... (fig. 72), cette courbe donnée, qui doit tourner autour du point C, et soit C'^ sur le prolongement de CT, le centre'de rotation de la courbe à construire. On prend sur la première les points T, M, M,, M,... assez rapprochés pour que les arcs qui les joignent se confondent sensiblement avec leurs cordes. On détermine le point M' par la double condition T]II'=TM et CM' = ce —CM; puis le point M\ par les conditions M'M',=MM, et C'M',= ce — CM, ; puis le point M', par M\M', = M.M, et C'U\ = CC' — CM, ; ainsi de suite. Il est clair que les deux courbes rouleront sans glisser Tune sur l'autre.

IV. Courbes déduites ks unes des autres. -^ Remarquons enfin que, lorsqu'on a construit deux portions de courbes qui satisfont aux conditions de deux courbes primitives correspondant l'une à Tautre, on en peut trouver deux autres, en donnant à celles-ci les mêmes rayons vecteurs, mais en diminuant ou en augmentant, dans un rapport constant, les angles qu'ils forment ; de sorte que si a = ^(r) et a, = ^,(rj sont les équations des premières courbes, nj3 = #(r) et n/3, = #,(r,) sont celles des secondes, qui, en effet, satisfont aux équations rdj3 = r,d^, et r + r^=zcy si n est un nombre constant et si ^ et jS, sont les angles des rayons vecteurs avec deux axes d'origine correspondants.

126. Exemples. — I. Spirales logarithmiques, — Pour que les deux courbes se touchent en T (fig. 73), il faut que le prolongement de la courbe OT, à partir de T, fasse avec le rayon vecteur CT prolongé le même angle que le prolongement de la