COURBES PRIMITIVES NON CIRCULAIRES

courbe TO, avec celui de C,T. Or, un moyen simple de satisfaire à cette condition, c'est que, en tout point M, la première courbe OMT, décrite dans le sens allant de O vers T, fasse avec le prolongement du rayon vecteur un angle SMR qui ait une valeur constante /3 ; ce qui exigera que la seconde courbe, décrite dans le sens TM,0,, ait la même propriété, c'est-à-dire que l'angle S,M,R, soit aussi égal à l'angle constant |3.

Cela posé, soient le rayon vecteur CM = r et Tangle OCM =a, coordonnées polaires de la courbe OM. L'angle SMR a pour

rda

tangente trigonométrique —— . La condition dont il s'agit

est donc

^=tang/3,

ou, pour préparer rintégration,

d<x=tang/3— ,

et, par suite,

«=î^logîl = iîî5«ilogl.

loge ®r^ 0,43429 ^r/

r^ étant le rayon vecteur CO, à partir duquel est compté rangle a, exprimé par le rapport de Tare circulaire ON, qui le mesure au rayon CO.

La courbe exprimée par cette équation, et dont une propriété est que l'angle a est proportionnel au logarithme du rapport du rayon vecteur r à sa valeur initiale r^, est connue sous le nom de spirale logarithmique.

Il résulte de là que Ton obtient deux courbes primitives, pouvant se conduire Tune l'autre par contact sans glissement, en

GINÉVATIQUB. SBCT. I, CHAP. lO.

prenant deux spirales logarithmiques ayant pour pôles les centres de rotation G et G^ et caractérisées d'ailleurs par le même angle |3.

Si Ton fait, par exemple , — 5-i- = 3 , ce qui correspond

approximativement à tang |3 = 1^30^ Téquation des courbes devient

et r

3=log-.

de sorte qu'aux valeurs ci-après de a en progression arithmétique, répondent les valeurs suivantes de — en progression géométrique :

tt = -0,5

ce qui permet de construire par pointç la courbe OMT^ à laquelle doit être égale la courbe TM ,0, décrite en tournant dans le même sens (dans la figure ce sens est de gauche à droite par-dessous). Quelle que soit la distance des deux pôles ou «entres de rotation G et G,, deux courbes ainsi tracées pour un même angle |3 se conviennent comme courbes primitives. Seulement il sera inutile de prolonger aucune des deux courbes au delà du point dont le rayon vecteur est égal à la distance GG\. U. Ellip$e$. — Deux ellipses égales AMB...^ AM,B,... (6g. 74), tournant autour de deux Toyers F et F, disposés de manière que leur distance FF, soit égale au grand diamètre AB, rouleat Tune sur l'autre sans glisser ] car si l'on considère deux

COURBES PRIMITIVES NON CIRCtJLAlRES. 167

arcs égaux AM et AM, , il est clair que F' étant le second foyer de la première ellipse, on a M, F, = MF',, et par conséquent FM + M,F, = AB. Ainsi pour deux points M et M, quelconques satisfaisant à Tégalité

on a r-^r^^nzc) on a donc aussi rda = r,da,.

Du reste, il est facile de voir, surabondamment, que leg angles des deux ellipses en M et en M, avec les rayons vecteurs MF et M,F,, ont Tégalité nécessaire pour le contact des deux courbes, à l'instant où les deux points M et M, coïncident.

Dans la situation indiquée par la figure, le rapport des vi-

lesses angulaires autour des axes F et F, est — ^ ; et après

une demi-révolution, ce rapport parvient graduellement à la valeur inverse

puis il recroît et repasse dans la demi-révoli|tipn suivante par les valeurs précédentes en ordre inverse.

III. Courbes déduites de l'ellipse, — Traçons (fig. 74) autour de F divers rayons FO, FI , F2. . . , F6 dont les angles sont égaux et équivalent ensemble à deux angles droits. Formons un angle quelconque afb (fig. 75), et divisons-le en autant d'angles égaux que nous m avons fait de f\ à FB (fig. 74). Portons les longueurs fO, f I , f2. . . , f6 respectivement égales à FO, Fi , F2. . . , F6. Prolongeons fa en faisant af, = AF, ; faisons af,b, = afb , et répétons la construction précédente qui donne la courbe a54...ib, égale à la courbe ai2...5b. Ces deux courbes forment, d'après la remarque IV du numéro i25, deux courbes primitives, propres, dans leur rotation autour des points

J68 CINÉMATIQUE. 6ECT. I, CHÀP. m.

fixes f et f, à faire passer graduellement le rapport des vitesses de la valeur -^ à la valeur inverse -^-^ ou — .

af fb af^

Maintenant, pour obtenir deux courbes primitives susceptibles de faire, chacune en même temps, une révolution entière, aux courbes al2345b et a54321b, faisons succéder deux arcs circulaires bb' autour de f, et b,b', autour de f, , puis deux courbes b'54!321a' et b\12345a', , respectivement symétriques aux courbes b54321a et b,i2345a, enfin deux arcs circulaires a'a et a\a ; disposons d'ailleurs ces courbes de manière que les arcs de cercles bb' et aa' de rayons différents soient d'égales longueurs, chose facile, car en appelant r le rayon fa , r^ le rayon fb = f,a, jc Tangle afa' , et y Tangle bfb', on exprime la condition dont il s'agît par rx = r,y ou (r + r,) x = r, (x +y), d'où Ton tirera x , attendu que la somme x + y, égale à quatre angles droits, moins le double de Tangle afb, est connue.

D'après cela, il est visible, premièrement, que les deux contours curvilignes égaux, a'bbVa et ab^b'^a^a, pourront tourner autour de f et de f , , en roulant sans glisser Tune sur Fautre, et se touchant continuellement sur la droite des centres ff^ ;

secondement, que le rapport des vitesses, d'abord égal à — ,

Wkitl

décroîtra graduellement jusqu'à -—• , puis restera constant

pendant le parcours de Tangle y pour la première courbe et de l'angle x pour la seconde, après quoi il repassera graduellement

à la valeur — - , quMl gardera jusqu^à la fin de la révolution

complète.

Ceci n'est qu'un exemple des divers emplois, faciles à imaginer, qu'on peut faire des courbes déduites de Tellipse.

IV. Exemple du procédé graphique. — L'une des lignes primitives est le contour d'un quarré dont les angles sont ar-

COURBES PRIMITITES IMON CIRGULÀIRES, 169

rondis (fig. 76). Ceci est un exemple du procédé graphîcpie et général, indiqué à l'article III du numéro 125. Soit ABDEF... la ligne qui doit tourner autour de G, et qui se compose de huit parties égales à AB, et symétriques deux à deux. Proposonsnous de déterminer la seconde courbe, ayant la même propriété et la même longueur de périmètre, de manière que ces deux lignes primitives fassent en même temps une révolution entière partagée en huit parties d'égale durée.

Sur le prolongement de l'apothème CA cherchons le second centre de rotation C,. Evidemment, ce point ne peut pas être pris arbitrairement pour satisfaire à la condition que les deux périmètres soient d'égale longueur. Pour une première approximation on le prendra en C\ en faisant AC' = CB. On construira en conséquence (125) la courbe AM^B, correspondante à la ligne mixte AMB, et Ton vérifiera si le point B, se trouve sur G'b faisant avec C'A un angle ACB, c'est-à-dire un angle de 45 degrés. S'il ne s'y trouve pas, ce qui dépendra de l'arrondissement plus ou moins prononcé qu'on aura adopté en B, on mènera par B, une parallèle à C'b qui rencontrera CA prolongé en un point C'^ pour lequel on recommencera la construction précédente ; et si le résultat donne encore une erreur, qui ne sera que très-petite, cette erreur même indiquera la correction à faire pour obtenir plus exactement le centre C, cherché. On achèvera ensuite la courbe AB,D,E,Ff...^ et à chaque quart de tour des deux roues en contact sans glissement^ le rapport des vitesses angulaires variera de