MOUVEMENT RECTILIGNE EN MOUVEMENT D’APRÈS UNE COURBE

424. Le mouvement suivant uue droite ne peut engendrer un mouvement suivant une courbe qu’autant que la pièce poussée en ligne droite passe dans une rainure courbe, ce qui revient au mou-

vement suivant deux droites, puisqu’en chaque instant la pièce parcourt la face d’un petit plan incliné, c’est-à-dire se meut comme si elle s’avançait suivant deux droites qui seraient les côtés de ce plan incliné, avec des frottements bien moins' considérables que dans le premier système; ce dernier, équivalant au premier, lui est donc bien préférable; d’ailleurs l’action du premier devient impossible dans certaines positions, la question étant évidemment la même que celle étudiée précédemment- comme réciproque de la poussée d’une barre par un excentrique.

Combinaison de deux mouvements rectilignes.

425. Pour produire un mouvement suivant un élément de courbe à l’aide de mouvements rectilignes, il convient donc d’employer les mouvements de deux droites qui se coupent (nous les supposerons à angle droit dans tout ce qui va suivre pour plus de simplicité, mais tout ce que nous dirons s’applique au cas où l’inclinaison serait quelconque) pour tracer toute espèce de courbes. Les points de rencontre de ces deux droites détermineront des successions de points disposés en raison des vitesses de ces droites, et pourront servir à tracer tout genre de courbes.

Ces droites, en effet, ne seront autre chose que les coordonnées rectilignes d’une courbe rapportée à deux axes parallèles aux mouvements rectilignes, et puisque toute courbe peut être représentée par une équation qui représente les relations de ses deux coordonnées, toute courbe sera aussi tracée par deux lignes dont les longueurs varieront en raison des relations exprimées par l’équation de la courbe.

Mais, ainsi que nous l’avons vu, pour donner un mouvement varié à une droite en raison de la variation des coordonnées, il faut employer une courbe , et cette courbe sera évidemment la môme que celle qu’il s’agit de tracer.

En effet, soit AB (fig. 348) une bnrre douée d’un mouvement rectiligne, plaçons sur cette barre une courbe saillante a 6, et assujettissons une barre cD à Fig. 348. se mouvoir en ligne droite en pressant

sur cette courbe par l’effet d’un ressort, il est évident que le point D

extrémité de cette droite aura un mouvement rectiligne correspondant à toutes les distances des divers points de la courbe à l’axe AB, et que si au point D on place un outil, celui-ci tracera sur un plan qui aurait le même mouvement que AB une courbe «' 6', identique à la courbe a 6.

426. C’est en traçant ainsi les courbes qui correspondent à toutes les sections d’une surface par des plans parallèles équi-distants, que M. Collas trace dans sa machine à graver les médailles, sur un plan parallèle à ces sections, une succession de courbes qui représentent admirablement la surface modèle. 11 faut, pour réaliser cette machine, placer à angle droit le modèle et la planche, les faire marcher de quantités égales pour chaque courbe, et faire suivre le modèle par la touche dans le plan parallèle au plan à graver sur lequel la courbe est tracée par le burin qui fait corps avec la touche.

427. Supposons maintenant le système précédent répété à angle droit du premier, qu’une barre A' B' douée d’un mouvement rectiligne porte une courbe a." 6", sur laquelle s’appuie une tringle C D

Fig. 350.

Fig. 349. Fig. 354 .

(lig. 349) comme la barre AB porte la courbe a' 6', sur laquelle s’appuie la tringle cd, ces deux droites étant terminées par des rainures IJ, l' J' perpendiculaires à leur direction (flg. 350 et 35 1), un point de chacune de ces rainures tracera une droite perpendiculaire à la direction du mouvement, et sa vitesse sera en raison de la forme de la courbe directrice.

l!n outil placé a la rencontre des deux rainures 1 J, l'J', tracera

une courbe qui sera déterminée par le mouvement rectiligne des deux premières.

La courbe ainsi déterminée par l’intersection de deux coordonnées sera telle , que si le mouvement des deux barres est le même, la vitesse la même , les deux courbes directrices a' 6', a" 6" devront être identiques avec la courbe à obtenir a 6.

Ainsi si la courbe à tracer est donnée par une équation entre ses coordonnées x et y, la courbe « 6 aura évidemment par construction toutes les mêmes valeurs de y ( l’axe des y étant l’axe de A' B' ) que la courbe *' 6', augmentée d’une constante l, égale à la longueur de C D.

Par la même raison, les valeurs de x de la courbe a" 6" donneront les valeurs de x de la courbe « 6, en les augmentant d’une même quantité l' égale à la longueur de C' D'.

Puisque, par hypothèse, les mouvements rectilignes sont tels, que pendant que la tige C D parcourt tous les points de *' €', ceux de la tige C' D' parcourent tous les points de «" 6", les abcisses x seront déterminées par la courbe a" 6" et les ordonnées y par la courbe «' 6' (comme il résulte de la disposition des rainures).

Si par exemple la courbe cherchée était une ellipse dont l’équation rapportée aux axes de AB, A' B' fût o ! x’-|-6* y*- f-c* x y— {-</*=0, la courbe a" 6", pour laquelle toujours x'=x — l (/ étant la longueur de la tige CD), devra avoir une équation de forme telle qu’en remplaçant x — / par x, on retombât sur l’équation précédente, autrement les valeurs de x — / pour les valeurs de y ne sauraient être toutes celles voulues. Les deux courbes a"ë", a' 6' seront donc :

a* (x — l )* -J- by* + e s (x — l) y -f- (P = 0 et a 1 x* -f-6’ (y — l' )* -j- c* x (y — /')+é? , = 0,

c’est-à-dire deux ellipses identiques à la première transportées à des distances l et parallèlement à l’axe des x et à l’axe des y. La solution se réduit en réalité à un transport de courbe.

428. Au point de vue pratique, l’emploi de deux barres qui représentent les deux coordonnées qui se coupent et qui portent deux rainures pour emboîter l’outil qui trace la courbe, est évidemment défectueux. On pourrait, pour le cas de simples tracés de courbes,

employer uoe disposition bien préférable et suffisamment pratique, qui est équivalente. Elle consiste à faire communiquer un mouvement convenable au plan sur lequel la courbe doit être tracée par l’action d’une des barres, pendant qu’une seule pièce portant l’outil tracerait la courbe sur ce plan par l'effet du mouvement relatif des deux coordonnées.

429. II est peu intéressant de considérer le cas où les vitesses du mouvement rectiligne ne seraient pas égales. Si m est le rapport des vitesses, l’une des barres portant la courbe à tracer, l’autre portera une courbe représentée par la même équation que celle de la courbe, en multipliant par m la coordonnée qui ne doit pas être fournie par son mouvement. Ce sera une courbe différente de la première, mais de même degré et de même nature ; ainsi, dans l’exemple qui précède, ce sera une ellipse allongée qui fournira les mêmes coordonnées que les courbes du cas précédent, sauf qu’elle doit les déterminer par un mouvement plus rapide.

2° MOUVEMENT CIBCULAIRS EN MOUVEMENT D’aPBÈS UNE COUBBE.

430. Le seul mouvement circulaire d’un point, l’assemblage à l’aide duquel il est maintenu à une distance constante du centre ne peut servir qu’à tracer un cercle. Pour qu’un mouvement circulaire puisse faire naître un mouvement d’après une courbe, il faudrait qu’un rayon du cercle poussât la pièce dont l’extrémité fût engagée dans un guide courbe ; mais on voit qu’alors, en réalité, il y a double mouvement, c’est-à-dire mouvement circulaire et mouvement rectiligne simultanés. Nous allons étudier cette solution en détail, mais auparavant voyons comment la combinaison de deux mouvements de même nature, de deux mouvements circulaires, peut servir à déterminer les deux coordonnées rectilignes d’une courbe, et par suite cette courbe.

Combinaison de deux mouvements circulaires pour obtenir les coordonnées rectilignes d'une courbe.

431. Le mouvement circulaire pouvant se transformer en mouvement rectiligne suivant une loi voulue ou une courbe voulue, ce

qui est la même ehose, à l’aide d’excentriques ayant la forme de ces courbes, il est possible (flg. 352) de tracer une courbe quelconque à l’aide d’un système analogue à celui déjà décrit pour le cas du mouvement rectiligne, c’est-à-dire à l’aide de règles guidées qu’un ressort applique contre les excentriques, ces excentriques étant montés sur les axes qui sont mus d’un mouvement circulaire.

Fig. 352. L es règles forment deux coordonnées

dont l’intersection décrit la courbe voulue ; si , par exemple, elles portent toutes deux des rainures, un crayon placé à leur rencontre tracera une courbe. Ce système ne peut guère être de bon usage dans la pratique; on le rendra moins imparfait en assemblant une des règles avec le plan sur lequel doit être tracée la courbe , l’autre règle portant assemblé à son extrémité l’outil qui doit la tracer.

432. Le tracé des excentriques convenables pour chaque cas se déduira facilement de la forme de la courbe à obtenir.

En effet, rapportant la courbe à tracer à des axes de coordonnées parallèles aux règles et passant par les centres de rotation, appelant p et p les valeurs variables des rayons vecteurs des excentriques pour les points où les règles les touchent, on aura pour chaque point ainsi déterminé de la courbe à tracer x =p-\-l t yt=p'-J— ( t l et l ' étant les longueurs des règles.

La courbe à tracer étant connue, on déterminera un certain nombre m de valeurs de x pour des positions équi-distantes réparties sur toute la longueur de la courbe, puis divisant la circonférence de cercles en m parties égales, on portera sur chaque rayon vecteur la longueur correspondante de x , diminuée de la longueur l de la règle. On opérera de même pour obtenir l’autre excentrique.

Si, au lieu d’être la même que celle .du premier, la vitesse angulaire de cet excentrique était p fois plus grande, il faudrait porter la longueur déterminée, comme précédemment, sur des rayons faisant des angles p fois la partie ni de la circonférence.

Si la courbe est connue pour son équation, celle-ci donnera toutes les valeurs de/> et p', en remplaçant a: et y par p-\-l et p' -\-l\ ce qui revient dans l’équation à la construction précédente , et montre que les relations entre les rayons vecteurs des deux excentriques sont précisément celles qui lient les coordonnées de la courbe à tracer.

Combinaison d'un mouvement circulaire et d’un mouvement rectiligne.

433. Revenons à la solution pratique qui est généralement la meilleure, à celle qui résulte de la combinaison d’un mouvement rectiligne avec un seul mouvement circulaire, un point d’une courbe étant déterminé par la position d’un point sur une droite faisant un angle voulu avec une droite donnée, ayant tourné d’une certaine quantité comme rayon d’un cercle. Ce système est précisément celui qui est employé pour exprimer une courbe à l’aide des coordonnées polaires, pour en obtenir l’équation dans laquelle on fait entrer comme variables la longueur du rayon vecteur et l’angle qu’il fait en chaque instant avec sa position initiale.

On ne doit pas s’étonner de rencontrer Ici, comme solutions du problème consistant à décrire une courbe, les deux systèmes de coordonnées qu’emploie la géométrie analytique, car c’est réellement sur la notion du mouvement que repose la notion de cellesci, et surtout bien clairement celle des coordonnées polaires.

434. Voyons comment on peut résoudre le problème pratiquement. Soit d’abord une courbe fermée dans l’intérieur de laquelle on peut trouver un point tel que toutes les droites qui passent par ce point ne puissent rencontrer que deux points de la courbe.

Soit ABO cette courbe (iig. 353), menons par le point C, centre du mouvement circulaire, un diamètre PQ, et sur ce diamètre assemblons une droite O T, qui ne puisse que glisser suivant sa longueur. L’ex-

trémité T tracera évidemment la courbe A BD, si l’extrémité O se meut par l’effet d’une cheville passant dans une rainure, suivant une courbe telle que l'équation de la courbe à tracer étant en coordonnées polaires p=? («), celle de la courbe directrice soit, l étant la longueur O T, p’ -j- 1 — ? (u).

Le tracé de la courbe directrice s’obtiendra donc en diminuant d’une quantité l tous les rayons vecteurs de la courbe à obtenir mécaniquement.

Cette courbe est une conchoïde, nom donné plus spécialement au cas où la ligne à laquelle sont menés tous les rayons vecteurs est une ligne droite ; elle constitue la courbe directrice qui, comme nous l’avons vu pour les excentriques, fournit le moyen d'obtenir, à l’aide d'un mouvement circulaire, le mouvement rectiligne suivant une loi donnée d’une barre guidée en ligne droite.

435. Examinons maintenant le cas des courbes fermées, pour lesquelles on ne peut trouver un point tel que toutes les lignes passant par ce point ne rencontrent la courbe qu’en deux points, telle par exemple que la courbe jS faisant un nœud en B (<ig. 354). Le problème n’est pas soluble comme ci-dessus, car alors le rayon vecteur ne peut avoir qu’une seule valeur pour chaque position , ne peut fouruir le tracé de plus de deux points d’une même courbe pour chaque tour de rotation.

Mais, si on fait mouvoir la ligne O T non plus suivant PQ, mais suivant une direction faisant un angle constant avec le rayon vecteur , le point T peut alors décrire le nœud de la courbe.

En effet (flg. 354), quand PQ sera passé à la position P'Q', si le point O s’approchant du centre C, vient en O', le point T passera en T' et aura éprouvé un mouvement rétrograde relativement à celui de PQ, le tracé pourra d«nc avoir lieu en général.

On ne peut donner une méthode générale pour déterminer l’angle CO T que doit faire la ligne O T avec le rayon vecteur, ni la longueur O T la plus convenable pour tracer une courbe donnée. Ce

Fig. 354.

sera à l’aide des données spéciales à chaque cas, ou par quelques tâtonnements, qu’on parviendra à les déterminer. On pourrait

Fig. 355.

dans tous les cas calculer cette courbe pour chaque valeur adoptée ; mais cette possibilité théorique n’a pas de valeur d’application.

436. En effet, la courbe cherchée qui doit être tracée par le point T (fig. 355) étant donnée par son équation en coordonnées polaires p — f («), CT étant le rayon vecteur, M CT étant l’angle w , pour déterminer la courbe directrice que doit suivre le point O, le triangle TOC donne :

sin. TCO=

OT sin.TOC

OTsin.TOC' 1

Cet angle ajouté à l’angle TC M = w, correspondant au point T de la courbe, fera donc connaître l’angle OCM et la longueur OC, puisque tout est déterminé dans le triangle O CT. On aura donc l’équation en coordonnées polaires de la courbe décrite par le point O, courbe qui devra être de la nature de celles étudiées en premier. C’est d’après cette condition qu’on déterminera l’angle TOC et la longueur O T, dans tous les cas où le problème est soluble, en leur donnant des valeurs pouvant fournir une équation de la

courbe décrite par le point O , telle qu’elle soit une courbe sans nœuds (I).

437 . Nous avons supposé dans ce qui précède que l'on faisait mouvoir le rayon vecteur d’un mouvement circulaire, et qu’en même temps on déterminait un mouvement rectiligne suivant la longueur de ce rayon, nécessairement alternatif pour obtenir toute courbe fermée.

La barre suivant laquelle se produit le mouvement rectiligne étant entraînée circulairement, on voit qu’il sc produit ici un phénomène d’une nature différente de ceux étudiés jusqu’ici ; les guides du mouvement rectiligne ne sont plus fixes, comme nous l’avons supposé jusqu’à présent. Chaque point de la barre qui décrit une ligne droite pendant que celle-ci est mue d’un mouvement circulaire, par l’effet de deux mouvements simultanés parvient identiquement à la même position que si les deux mouvements s’étaient succédé.

438 . La solution se simplifie beaucoup, pour ce qui est de l’exécution pratique, à l’aide de la méthode déjà indiquée dans les cas précédents, c’est-à-dire en divisant les mouvements de telle manière que la surface sur laquelle doit être tracée la courbe ait un mouvement circulaire , tandis que la ligne T O qui porte l’outil possédera un mouvement rectiligne; toute cette ligne, ou seulement le point O de celle-ci, se mouvant toujours dans la direction d’un rayon passant par le centre du cercle, ou plus généralement dans l'espace, par l’axe de la surface de révolution douée du mouvement circulaire.

Reprenons les deux cas qui correspondent aux deux positions de la ligne O T relativement au rayon vecteur, c’est-à-dire aux deux genres de courbes précédemment indiques, et voyons ce que deviennent dans la pratique les procédés auxquels nous sommes conduits.

I. Dans les arts, l’organe qui communique le mouvement reeti-

{\) L’équation en coordonnées rectilignes d’une courbe, qui peut être rencontrée par une droite en m points étant du degré m, les calculs ci-dessus indiqués seront toujours d’une extrême complication et le plus souvent échapperont pas aux ressources de l’analyse.

ligne an porte-outil est presque toujours la vis, l’écrou étant en général le porte-outil. La vis et la surface sur laquelle le tracé doit être fait, étant mues par les deux roues d’un même engrenage, fourniront les deux cas suivants :

I» L’axe de la vis qui met l’outil en mouvement passant par le centre de rotation, cet outil s’avancera des longueurs p,p', pendant qu’un rayon de la surface décrit les angles », »', et si les

deux mouvements sont uniformes, on a L = o = Const.; c’est-à-

dire qu’on trace ainsi une courbe plane, une spirale d’Archimède (/> = «») par deux mouvements uniformes.

Il est facile de déterminer d d’après le rapport des rayons des roues de l’engrenage et le pas de la vis. En effet, on a r» = r' »', r, r' étant les rayons des roues qui font tourner la surface et la

vis, p étant pas de la vis, - sera la progression de l’écrou pour

une partie n d’un tour égale à / »' = Donc en chaque in-

s. tant p = — , w —

2 n- r p rp

et - = ; , quantité constante.

rn » 2 jrr' ' ^

2° L’axe du mouvement circulaire est parallèle à la direction du mouvement rectiligne, ou peu incliné sur celle-ci, et la direction de l’outil passe par l’axe du mouvement circulaire.

Le tracé de la courbe sera fait sur la surface du cylindre. Si les deux mouvements sont uniformes, si le cylindre et la vis sont menés par deux roues dentées engrenant ensemble, on aura un système à l’aide duquel on Fl S- 3üG -

pourra tracer une hélice sur la surface du cylindre, à l’aide duquel on pourra tailler sur un cylindre une vis d’un pas quelconque en disposant de roues d’engrenage dont les rayons soient dans un rapport convenable.

En effet, R étant le rayon de la roue montée sur l’axe du cylindre, pour un tour de la roue de rayon r' montée sur l’axe de lu

vis, l’écrou avance du pas p de cette vis et trace une fraction d’hélice sur le cylindre (puisque le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire sont uniformes). Le pas P de cette hélice sera pr'

égal à , car les pas de l'hélice qui met l’outil en mouvement

et de celle tracée sur le cylindre, sont en raison inverse des nombres des tours des deux axes pendant le même temps ou des rayons

des deux roues, c’est-à-dire qu’on a : P : p :: / : R, d’où P = —.

On obtiendra donc telle valeur qu'on désirera de P en faisant

varier convenablement le rapport - .

Remarquons qu’au lieu de faire marcher l’outil et tourner le cylindre, on pourrait faire avancer le cylindre et tourner l’outil. Nous verrons l’application de ces dispositions aux machines-outils, livre IV.

Presque tout l’art du tour repose sur les considérations précédentes. Il est évident qu’en resserrant suffisamment le pas des spirales et des hélices ou en employant des outils suffisamment larges, ces systèmes fournissent le moyen d’obtenir à l’aide du tour des surfaces plates, des cylindres, des cônes, etc.

439. II. C’est encore dans l’art du tour que la seconde solution, qui permet le tracé de courbes de formes accidentées, trouve son application, dans un genre de tour dit tour à guiliocher, qui sert à tracer des ornements sur des surfaces à l’aide d’une courbe directrice. En se reportant à la fig. 355, la courbe directrice sur laquelle s’appuie le point O est appelée rosette , la règle O T qui porte l’outil en T se nomme la touche.

En traitant des outils, nous entrerons dans quelques détails sur la manière d’établir la relation entre la courbe directrice du mouvement rectiligne alternatif et l’outil. La seule chose dont nous ayons à nous occuper ici est la question géométrique, qu’on peut énoncer ainsi : trouver une rosette pour une courbe donnée.

440. Ce problème est facilement résolu par un tracé. En effet, soit A B la courbe à reproduire (fig. 357), et C T, CT'... des rayons vecteurs. On connaît l’inclinaison CTO de la touche sur chaque

rayon vecteur et la longueur O T. Prenant un point quelconque T sur un de ces rayons, nous pourrons tracer T' O', menant par O' une parallèle à CT', le point O" de la courbe sera le point qui devra être tracé par la touche, le point T' étant en T", point de rencontre avec C T' de la ligne O'' T" parallèle à O' T'. La suite des points ainsi déterminés donnera le tracé de la rosette.

441 . MM. Lantz et Bétancourt ont décrit un petit instrument fort simple inventé par La Condamine pour tracer avec facilité une rosette correspondant à une courbe donnée, et permettre par une opération simple de .déterminer les rosettes qui correspondent à divers points pris pour centres des rayons vecteurs, afln d’adopter le tracé qui fournit la rosette la moins anguleuse, celle qui convient le mieux, par suite, pour le travail du tour.

A B C D (lig. 358) est une règle percée d’une rainure dans toute sa

longueur; sur la partie A B s’assemble une pointe, si l’on vent obtenir seulement la conchoïde de la courbe cherchée, une barre O B dans le cas que nous traitons ici. La réglé A B C D est embrassée par les tenons E et G d’une seconde règle, percée aussi d’une rainure, et pouvant glisser sur la première ; un barillet L monté sur la

règle EG et portant une corde attachée à l’extrémité de la première règle tend à produire cet effet. Une pointe N, faisant corps avec AB CD, tendra donc à se.rapprocher du centre P formé par une troisième pointe assemblée avec la deuxième règle.

Soit T le contour d’une tête, par exemple ( et il est curieux de voir que La Condamine semblait se poser, en 1730 , le problème résolu de nos jours par l’invention du tour à portrait), pour lequel on cherche la rosette la plus convenable. Après avoir découpé ce profil sur une carte, on le colle sur une autre RS. Ensuite on prend à volonté un point P pour centre ; on perce les deux cartes en ce point, et on les attache sur un plan en y enfonçant la pointe P ; après quoi, on applique la pointe N sur le contour du relief de la tête découpée ; on tourne ensuite à la main tout le système, en faisant toujours porter la pointe N sur le bord de la découpure ; ou mieux encore , on ne fait que tourner d’une main la carte sur son centre en tenant de l’autre la machine fixe, et en faisant attention à ce que la pointe N ne quitte pas le bord de la carte découpée, action que facilite l’effet du ressort renfermé dans le barillet.

442 . Observations sur le tracé des courbes. Ce qui précède répond aux divers cas de la pratique, en permettant d’obtenir dans tous les cas un mouvement d’après une courbe voulue, ou, ce qui revient au même, de tracer une courbe voulue. Ce tracé n’est possible généralement, qu’à l’aide d’une autre courbe déterminée d’après la nature de la première.

Dans quelques cas la construction générale se simplifie, en ce sens qu’on peut se dispenser du tracé d’une rosette en profitant d’une propriété particulière de la courbe à obtenir. Pour que ce tracé résulte d’une construction simple, il faut évidemment que cette propriété résulte de relations simples entre certaines lignes qui se rattachent à la courbe, et par suite, qu’en général les relations entre les coordonnées de la courbe soient simples elles-mêmes. C’est ainsi qu’il ne peut y avoir de constructions à l’aide de mouvements rectilignes ou circulaires que pour les courbes du second degré, que celles-ci sont les seules qui puissent se tracer à l'aide de la règle et du compas.

Pour faire sentir comment les courbes dont l’équation est d’un degré plus élevé que le second ne peuvent, quand on déduit de leurs propriétés un moyen relativement «impie de les tracer, être obtenues par une combinaison simple de mouvements rectilignes et circulaires (avec la règle et le compas) , nous citerons une courbe du quatrième degré, la lemniscatc qui, à cause de curieuses propriétés, a été étudiée avec soin par les géomètres. Cette courbe, dont l'équation est de la forme (x'-j-y" ) ’= 2 (x* — y'), jouit de cette propriété que le produit des deux rayons vecteurs menés de ses deux foyers à un même point de la courbe est constant; relation simple, mais d’un ordre élevé en raison du degré de l’équation.

443. Il existe notamment pour les courbes de second degré des constructions spéciales que nous nous contenterons d’énoncer, sans en donner une démonstration qui appartient à tous les traités de géométrie analytique.

Ellipse. A et B foyers de l’ellipse (fig. 359), sont deux points tels que si on mène deux droites AC, BC de ces points à un point quelconque de la courbe, la somme A C + B C = constante. Si donc on prend un fll de longueur égale à cette somme, qu’on en attache les extrémités à deux pointes fixées aux foyers et qu’on tende le fil, à l’aide d’un style, tout point marqué par le style ainsi guidé appartiendra à l’ellipse, qui sera ainsi tracée d’un mouvement continu.

Hyperbole. F étant un foyer de l’hyperbole (fig. 36 i) auquel est fixée, l’extrémité d’un fil ; si on appuie ce fil contre un rayon d’un cercle dont le centre soit sur l’axe des y, un style tendant

toujours le fll tandis que le rayon s’éloigne de l’axe trace l’hyperbole.

Parabole. Un fil étant de même attaché au foyer F (üg. 300), si on le tend contre le côté d’une équerre se mouvant le long d’une ligne parallèle à l’axe des », le style placé à la rencontre du fil et de la branche de l’équerre tracera une parabole.

On voit que grâce à la flexibilité des fils, les propriétés des sections coniques fournissent un moyen de les tracer par des combinaisons assez simples.

444. Parmi les mouvements qui peuvent servir à tracer les courbes, nous citerons encore la construction suivante de l’ellipse, reposant sur le mouvement d’une droite sur deux autres droites, par le genre de mouvement complexe de la ligne AB dans la disposition de la figure 333. Si cette droite AB porte deux saillies (fig.362) glissant dans deux rainures pratiquées dans deux droites ox,oy, un point quelconque de cette droite, tracera une ellipse.

Le théorème est encore vrai quand le point C est extérieur à la droite, et forme avec les points A et B un triangle ABC de forme invariable.

Dans ces constructions le mouvement est dirigé en chaque instant par deux guides rectilignes ; ces systèmes appartiennent donc à une nature de mouvement complexe.

Tig. 362.

445. Développantes. La flexibilité des fils fournit le moyen de tracer par le simple mouvement circulaire d’un fil toujours tendu et préalablement enroulé autour d’une courbe, la développante de cette courbe. Ayant donc la développée on pourra toujours obtenir la développante, la première courbe servira en quelque sorte de rosette pour obtenir la seconde dans ce mode particulier de génération.