Considérons un corps glissant d’un mouvement uniforme

DES RESISTANCES PASSIVES

Fig. 42.

sur un plan incliné. Il y a alors équilibre en chaque instant entre les forces qui agissent sur le corps et les résistances, la réaction du plan. Les points d’application des forces décrivant des chemins égaux, l’égalité du travail exige dans ce cas l’égalité des forces. En outre, ces forces ont une K résultante unique R, condition essentielle de l’équilibre.

l'T i 1 Soit y (fig. 42) l’angle que fait cette

* | JL résultante avec la normale nu plan. Elle

peut se décomposer en deux autres forces : R cos. y, R sin. y, la première normale, la seconde parallèle au plan.

La première force R cos. y, exerce une pression sur le plan et produit le frottement, lequel est proportionnel à cette pression, et a pour valeur / R cos. y,/ étant le coefficient du frottement. Cette force du frottement agit comme une force résistante parallèlement au plan dans une direction opposée à celle du mouvement du corps.

La deuxième composante de la force R, qui a pour valeur R sin. y, est la force qui produit le mouvement. C’est donc cette force qui fait équilibre au frottement, on a donc :

R sin. y — f R cos. y ou tang. y — f.

Or, nous avons trouvé tang. a =» /, a étant V angle du frottement. Donc la résultante R qui agit sur le corps de manière à lui imprimer un mouvement uniforme , fait avec la normale au plan un angle égal à l’angle du frottement. Cette résultante peut être considérée comme égale et opposée à la réaction du plan, qui la détruit en chaque instant, et l’on peut dire que la réaction du plan fait toujours avec la normale un angle égal à l’angle du frottement ; cette réaction étant la résultante de forces égales et opposées ù la pression et au frottement.

Si la résultante R faisait avec la normale un angle plus petit que l’angle du frottement, le corps ne pourrait plus éprouver de déplacement, car on aurait tang. y < tang. « ou R sin. y < / R cos. y, c’est-à-dire que la force qui tendrait à faire glisser le corps serait plus petite que la force du frottement qui tendrait à l’empêcher de glisser.

PRINCIPES FONDAMENTAUX

Si, au contraire, la résultante R faisait avec la normale au plan un angle plus grand que l’angle du frottement, on aurait :

Tang. 7 > tang. a ou R sin. 7 > / R cos. 7.

Alors, la force qui tend à ifaire glisser le corps étant toujours plus grande que la force de frottement qui tend à le retenir, le mouvement serait accéléré.

49. Quant au travail du frottement sur le plan, il est dans tous les cas pour un chemin parcouru /, / R cos. 7 /, en faisant entrer dans la détermination de R la pesanteur et toutes les forces qui agissent sur le corps, et en avant soin de prendre comme positives toutes celles qui tendent à presser le corps sur le plan, et comme négatives celles qui tendent à l’en éloigner. Si 7 est égal à 1 00°, si la résultante est normale au plan, cos. 7 = 1 et le frottement devient /R/.

La comparaison de cette expression du travail du frottement avec celles que nous allons trouver pour les autres machines simples, fera bien sentir combien les guides plans sont désavantageux* dans la pratique.

Mais auparavant considérons encore le cas où la force motrice P est horizontale ou perpendiculaire à la résistance, que nous suppo-

Fig. 43.

serons ici le poids du corps Q (fig. 43), c’est-à-dire verticale; nous aurons, en égalant la valeur du frottement et la force qui lui fait équilibre, c’est-à-dire la somme des composantes parallèles à AB : / (P sin. a -|- Q cos. «) = P cos. a — Q sin. a ;

d’où P = Q f *»'* + * in “^ Q

cos. a — / sin. « 1 — / tang. a

Nous verrons plus loin l’usage de cette formule pour évaluer le

frottement de la vis.

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DES RÉSISTANCES PASSIVES

50. Pièce prismatique maintenue par des guides. On peut obtenir la valeur du travail du frottement dans ce cas du système plan par une construction géométrique simple. Considérons, par exemple, une pièce AB (fig. 44) qui s'élève verticalement et d’un mouvement uniforme entre des guides plans placés en m et m! sous l’action :

1° D’une force mouvante F dont In direction rencontre en o l’axe AB de la pièce ; 2° d’une résistance verticale P. ; 3° des réactions r, r', exercées par les guides.

Chacune de ces réactions fait , avec la normale à la face de contact correspondante, un angle égal à l’angle du frottement. Les deux guides étant de même substance, ces deux forces r/ seront parallèles et auront une résultante unique R. Les trois forces F, P, R, qui agissent sur la pièce AB se faisant équilibre, si l’on trace un triangle dont les côtés soient parallèles aux directions de ces forces, ces côtés seront proportionnels à leurs grandeurs.

Prenons sur A B, à partir du point o, une longueur op pour représenter la force P, et menons par le point p une parallèle aux forces r et r 1 , elle rencontrera la ligne menée par le point o, parallèle à la force F en un point q, et pq représentera la résultante de la réaction des guides.

Pour obtenir le rapport qui existe entre le travail de F et le

travail de P, remarquons que le travail de F se réduit au travail

de sa projection sur la direction AB du chemin décrit. Abaissons

qn perpendiculaire à A B, et remarquons que les travaux des forces

représentées par on et op, sont entre eux comme ces forces,

puisque le chemin est le même pour chacune, nous aurons donc :

Travail de F on op -f- pn pn ■

Travail de P op op op

T. R pn

De même — — = —