K CC

pour une double oscillation sera 2nrPf — = nrPf — .. r J 180 J 90°

On voit que ces frottements sont très peu considérables, les valeurs de r étant elles-mêmes petites, ce qui fait encore comprendre l’emploi si fréquent de ce système dans les machines.

Si la bielle produit le mouvement rectiligne, le frottement qui se produit à son articulation avec la barre guidée en ligne droite ne parcourt que l’arc du même nombre de degrés que celui dont le double rayon de la manivelle est la corde et la bielle le rayon, mesuré sur la circonférence qui a pour rayon celui de l’articulation. 11 est donc encore très peu considérable, surtout auprès de celui de la barre maintenue dans des guides-plans.

303. Excentrique circulaire. Dans tout ce que nous avons dit au sujet de la manivelle et de la bielle, nous D’avons rien sup-

posé quant à la grandeur du bouton de la manivelle ; il peut donc être quelconque , et la vitesse du mouvement transmis ne changera pas , pourvu que la distance des centres de la manivelle et du bouton reste la même.

Si le rayon du bouton grandit jusqu’à être plus grand que cette distance des centres, le mouvement ne changera encore aucunement, seulement la disposition de l'assemblage ne peut plus être celle exposée précédemment. La bielle est alors remplacée par une double tringle terminée par un collier qui entoure la circonférence d’un cercle tournant autour d’un point autre que son centre {flg. 265). C’est le système appelé excentrique circulaire, qui,

comme nous venons de le voir, n’est qu’un cas particulier de la bielle, et donne absolument les mêmes vitesses pour une même distance des centres.

304. Frottement des excentriques circulaires. L’expression du frottement est toujours la même que dans le cas de la manivelle, seulement le rayon de l’excentrique remplaçant le rayon du bouton, le frottement devient très grand et peut devenir supérieur au travail entier de la force motrice.

En effet, pour un tour, le travail du frottement sera nrf F; celui de la force motrice agissant dans la direction de la bielle sera 4 FR (R distance des deux centres). Le rapport de ces deux

2îrr/F nrf

quantités sera

Or, comme n = 3,14, on voit qu’il ne faut pas que r, toujours supérieur à R, soit avec lui dans un rapport bien grand pour que cette expression soit plus grande que l’unité, bien que / soit fractionnaire. *

Les excentriques circulaires ne doivent donc jamais être employés pour transmettre d’importantes quantités de travail.

TRANSFORMATION DU MOUVEMENT CIRCULAIRE OU RECTILIGNE ALTERNATIF EN CIRCULAIRE CONTINU.

305. Nous avons supposé, en général, dans les systèmes qui précèdent, que c’est le mouvement circulaire continu qui produit le mouvement alternatif. Revenons sur le problème inverse, et voyons comment il peut être résolu, soit à l’aide des organes étudiés, soit à l’aide de nouveaux organes.

Bielle. La bielle sert avantageusement à transformer le mouvement circulaire alternatif du balancier en un mouvement circulaire continu , c’est même ainsi qu’elle sert le plus souvent. Mais alors il faut remarquer que, d’après ce qui précède, elle ne peut, en agissant avec une vitesse uniforme, engendrer un mouvement circulaire continu uniforme, qui généralement doit être obtenu. En effet, la manivelle décrivant des arcs variables pour des chemins égaux parcourus par la bielle en divers instants, la vitesse du

mouvement continu varie et le rapport des deux vitesses est — î —

sin. 0

comme nous l’avons vu, pour un angle 6. On rend le mouvement de rotation uniforme à l'aide d’un appareil régulateur, dit volant, dont nous parlerons au livre III.

Quand le volant ne peut être employé, la manivelle ne peut fonctionner qu’autant qu’on fait varier la direction de l’effort vers les points morts ; on emploie, dans ce cas, au moins deux manivelles disposées à angle droit l’une sur l’autre, une manivelle double. L’emploi de manivelles multiples a pour objet de resserrer les limites de variations de vitesses du mouvement circulaire; nous traiterons cette question plus loin aux Combinaisons de mouvement.

306. Au lieu d’un tour par oscillation du levier, comme le fournissent la bielle et la manivelle, quelques organes beaucoup moins employés fournissent le moyen d’obtenir directement, sans transformation ultérieure, un mouvement dans lequel chaque oscillation ne répond qu’à une fraction de tour. Dans ces systèmes, une

bielle articulée ne réunit plus la roue et le levier par des articulations invariables, l’assemblage n'est que momentané; c'est par le mode d’assemblage que ces systèmes diffèrent des précédents.

Encliquetages. On donne généralement le nom d’encliquetages aux organes composés essentiellement de pièces mobiles venant agir successivement sur la roue qui doit recevoir le mouvement; ils agissent par suite avec intermittences. On peut les diviser en deux classes : encliquetages à dents, encliquetages par pression.

307. Encliquetages à mouvetnent circulaire alternatif (à dents). A un levier est adaptée une dent pouvant prendre un petit mouvement autour de son articulation ; cette dent mobile vient s’accrocher aux dents d’une roue dentée assemblée sur un axe (fig. 266). Le mouvement circulaire de va-et-vient imprimé à l’extrémité du levier produit l’assemblage de la dent à articulation avec les dents successives de la roue. Cette action est rendue continue ou au

Fig. 266. Fig. 267.

moins n’éprouve que de très courtes intermittences dans le levier de Lagarousse (fig. 267); dans cette disposition, l’un des crochets agit quand l’autre va se placer sur de nouvelles dents.

C’est évidemment toujours dans cet organe le mouvement circulaire alternatif qui est transformé en mouvement circulaire continu ; l’inverse ne saurait avoir lieu.

La facilité avec laquelle l’action de l'homme peut se produire à l’extrémité d'un levier pour y développer un effort considérable, et agir par un mouvement de va-et-vient, rend cet organe précieux pour appliquer la force de l’homme.* On le rencontre aujourd'hui dans plusieurs machines servant à soulever des fardeaux. On emploie

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en général la disposition de la flg. 266, et on rend l’action continue en faisant agir à la fois plusieurs leviers.

Il faut remarquer toutefois que les intermittences produisant une succession de petits chocs, ce système est sous ce rapport désavantageux et ne doit être employé que pour des forces peu considérables.

308. Si , au lieu de dents, on emploie un autre système qui puisse rendre momentanément solidaires la roue et l'extrémité du levier, on pourra obtenir des variétés de systèmes d’encliquetages. Tel est le suivant :

Encliquetages par pression. Le système d’encliquetage par pression est dû à M. Saladin de Mulhouse.

Si l’on fait passer sur la jante d’une roue un anneau (coupé seulement pour laisser passer le bras de la roue) (flg. 268) en le faisant monter normalement à la circonférence, on n’éprouvera pas de résistance; mais si on exerce une traction oblique, l’anneau prend une position différente de la normale et serre la jante avec une force Fig. 268. suffisante pour entraîner la roue. L’an-

neau ne peut plus glisser, il ne pourrait que s’ouvrir si l’effort était trop considérable.

En faisant porter les deux anneaux sur deux bielles situées des deux côtés du point de rotation d’un levier, comme le représente la figure, l’action de ceux-ci sera successive et le mouvement circulaire alternatif de l’extrémité du levier engendrera le mouvement circulaire continu de la roue.

Les organes qui précèdent ne permettent d’obtenir qu’une fraction de tour de la roue par oscillation du levier , avec ceux que nous allons bientôt étudier , le nombre de tours de la roue est peut-être plus grand que celui des oscillations de balancier, mais dans les deux cas on peut toujours , par des transformations ultérieures, obtenir toutes les vitesses dont on peut avoir besoin.

309. Encliquetages muets. Dans leseneliquetageslechocdesdents occasionne un bruit désagréable et les dents s’usent rapidement.

On évite cet inconvénient avec les encliquetages muets, tous fondés sur le même, principe; la ligure 269 en montre une des dispositions les plus simples.

Fig. 269.

D est la roue dont les dents doivent être entaillées suivant des rayons, B est un levier à rochet concentrique avec la roue, et portant le rochet g h assemblé avec lui en g ; Ac est un levier également concentrique avec la roue et se mouvant aussi exactement autour du centre A. Ce levier est joint par la barre ef avec le rochet g h, et se meut entre deux chevilles adaptées à la face du levier B.

L’action se produit comme il suit. Lorsque le levier AC remonte vers Ac, il enlève g h de sa dent par le moyen de la barre ef, puis rencontre la cheville supérieure du levier B et l’entraînant, se meut avec lui de / vers g, mais sans entraîner la roue, puisque le rochet n' est plus engagé dans les dents et se trouve dans la position indiquée par les lignes ponctuées.

Dans l’oscillation inverse, lorsque le levier Ac se meut dans la direction opposée, en descendant de c vers C, il parcourt l’espace cC sans que le levier B se mette en mouvement ; abaisse la bielle ef pendant ce temps et engage le rochet entre les dents ; enfin, lorsque Ac rencontre la cheville inférieure, les deux leviers, le rochet et la roue marchent ensemble.

L’action de cette combinaison se produit en silence; le levier Ac soulevant et engageant successivement les dents du rochet avant que les forces ne soient en jeu, on évite le bruit désagréable et les chocs des dispositions ordinaires.

310. Encliquetages à mouvement rectiligne alternatif. Les encliquetages peuvent aussi être disposés de manière à produire un mouvement circulaire à l’aide d’un mouvement rectiligne alternatif. Telle est la disposition représentée dans la figure qui se compose d’un système double dont chaque partie agit pour chaque direction du mouvement alternatif, et pourrait agir isolément en laissant la roue en repos pendant un de ces mouvements.

Il se compose (fig. 270) d’une roue sur les dents de laquelle vient agir une dent terminant la pièce qui a un mouvement rectiligne alternatif déterminé par un galet

è qui se meut dans une rainure. Cette dent est articulée à son extrémité de manière à pouvoir se plier pour surmonter les dents en revenant, après les avoir poussé en allant; action que reproduit inversement la seconde dent en forme de crochet. Suivant la longueur du mou- Fig. 270. vement rectiligne, il est clair qu’on fera

tourner la roue d’une ou plusieurs dents par chaque période de mouvement.

311. Nous avons supposé dans ce qui précède que les deux axes de rotation étaient parallèles , et que la roue et le levier se mouvaient dans un plan perpendiculaire à leurs axes. Il en est toujours ainsi dans la pratique , sauf à employer, s’il y a lieu , une transformation supplémentaire de circulaire continu en circulaire continu. Voyons toutefois quelle extension on peut donner aux solutions décrites.

Bielles. Le plan décrit par le balancier n’étant pas perpendiculaire à l’axe du mouvement de rotation , on pourrait encore à la rigueur assembler la manivelle avec cet axe au point de rencontre de l’axe du mouvement de rotation et du plan décrit par le balancier. En laissant du jeu à l’articulation de la bielle et du balancier, dont l’axe est dans la position moyenne de ce dernier

parallèle à l’axe de rotation, le mouvement pourrait encore se communiquer, mais en produisant une torsion de. l'axe de rotation qui doit faire rejeter cette disposition pour de fortes machines. On rencontre cependant quelquefois la disposition de l’axe de rotation parallèle à la position moyenne du balancier et dans le plan décrit par celui-ci.

Si, dans les systèmes précédents, on plaçait la manivelle en un point quelconque de l’axe du mouvement continu autre que celui de sa rencontre avec le plan du balancier, on aurait une disposition évidemment inacceptable, il se produirait dans le système des torsions, des frottements et des résistances énormes.

Encliquetages. Le levier d’un encliquetage peut tourner autour d’un axe quelque peu incliné sur celui de la roue; l’angle décrit à chaque oscillation étant peu considérable, la forme de la dent peut encore permettre l’engrènement avec la roue, toutefois en augmentant encore les résistances passives considérables de ce genre d’appareils, peu usités tant par ce motif qu’à cause de l’intermittence des mouvements qu’ils produisent.

La disposition de la fig. 271, analogue à celle du petit instrument connu sous le nom de clef de B réguet, est celle d’un encliquetage pour deux axes placés à angle droit.

2° Organes agissant par contact Immédiat.

n APPORT DB VITESSE CONSTANT OU VARIABLE.

312. Excentriques. Les organes qui agissent par contact immédiat et qui, à l’aide d’un mouvement circulaire continu, produisent un mouvement circulaire ou rectiligne alternatif satisfaisant à la condition du maximum de transmission de travail utile, c’est-à-dire dont la vitesse par variations continues , passe par zéro lors du changement de sens du mouvement, sont appelés excentriques. Ils consistent en des courbes montées sur un axe qui

passe par un point qui n’est pas à égale distance de tous les points de leur circonférence.

Un levier ou une barre guidée en ligne droite s’appuyant sur le contour d’une semblable courbe, prendra évidemment lors du mouvement de celle-ci, puisque tous les points de ce contour ne sont pas à égale distance du centre, un mouvement circulaire ou rectiligne. Ce mouvement sera alternatif si la pesanteur ou un ressort applique toujours le système conduit sur la courbe, puisque après avoir été écarté ou rapproché du centre, il doit revenir à la position initiale.

313. Ainsi soit A le centre du mouvement d’un excentrique (fig. 272) mnpq , BD le levier ou la barre menée, garnie d’un galet à son extrémité qui repose sur l’excentrique.

Soit Am le plus petit rayon de l’excentrique, A p le plus grand, le rayon allant toujours en croissant dans la direction rn np , en décroissant suivant pqm.

Si l’excentrique tourne d’une manière continue dans la direction de la flèche, le rouleau D sera poussé, s’éloignera du centre pendant le passage de m np , et s’en rapprochera pendant le passage d e pqm pour revenir à la position initiale, en supposant qu’un ressort ou un poids applique constamment le galet sur le contour de l’excentrique.

314. Si on ne peut employer sans inconvénient un poids ou un ressort, on peut faire porter au plateau mu d’un mouvement circulaire une rainure ( figure 273), dans laquelle passe une cheville adaptée à la pièce qui se meut d’un mouvement alternatif; celle-ci pourra être menée dans les deux sens par le plateau seul, par l’action successive des deux faces de la rainure.

315. Tracé des excentriques. Si l’on trace un certain nombre de positions successives de l’extrémité de la pièce à mouvement alternatif, et que d’après la loi du rapport des vitesses on déter-

mine la position d’une ligne sur laquelle doit se trouver situé le contact avec l’extrémité de la pièce à mouvement alternatif pour chacune de ces positions, on aura successivement les positions et les distances au centre de points du contour de l’excentrique en nombre suffisant pour tracer celui-ci. C’est ce que vont rendre plus clair les applications successives de cette méthode.

Auparavant nous remarquerons que toutes les fois que les courbes seront continues, sans saut brusque, que le rayon vecteur variera d’une manière continue pour une variation angulaire infiniment petite, l’excentrique jouira de l’avantage de Satisfaire à la condition du maximum.

Ce qui fait en outre et surtout employer les excentriques, c’est que la loi du mouvement alternatif variant avec la forme de la courbe (loi qui s’obtient toujours facilement par les principes exposés en général en traitant du roulement d’une courbe sur une autre courbe, dont les excentriques sont un cas particulier); on peut obtenir en variant ces formes toute variation de vitesse (et par suite de pression pour une même quantité de travail en 1 "). On parvient ainsi , notamment dans les machines opératrices, à opérer une action déterminée, quelque compliquée qu’en soit la loi, et à imiter par exemple, dans nombre de cas, le travail intelligent de la main de l’ouvrier.

1» MOUVEMENT RECTILIGNE ALTERNATIF

Vitesse uniforme. — Direction du mouvement rectiligne rencontrant l’axe de rotation.

3 1 6. Courbes en cœur. Un des modes d’emploi les plus fréquents des excentriques est celui des courbes, dites courbes en cœur ou excentriques à mouvement uniforme.

Voyons comment doit s’en faire le tracé.

/ Puisque le mouvement de va-et-vient

/ / / /fvH'X \ doit être uniforme, le point B (flg. 274)

ki-HW f de la droite B A devra successivement

\. i / occuper les positions équi - distantes B, 1 , 2, 3, A, les longueurs B 1 , 1 2 . . .

Fig. 274. étant supposées des parties égales de la

course A B. Si, du point O comme centre, on décrit les cercles 0 1 , 02, 0 3, OA, et que l’on divise la circonférence OB en un même nombre de parties égales que le mouvement rectiligne de la barre B A, la rencontre des rayons passant par les points de division avec les circonférences décrites , indiquera les points par lesquels devra passer la courbe qui satisfera à la condition de communiquer un mouvement uniforme à la ligne B A par une rotation uniforme de l’axe 0. On a soin d'arrondir les angles tels que celui existant en B, pour qu’il n’y ait pas d’arc-boutement.

Pour produire le mouvement de va-et-vient, une oscillation descendante identique avec l’osciHation descendante, la partie inférieure de la courbe, au-dessous de B C, direction du mouvement rectiligne, est en tout semblable et symétrique avec la partie supérieure.

317. Cette courbe est évidemment une partie de spirale d’Archimède allongée , dont l’équation est p — au -{- C ; le rayon vecteur, moins une quantité constante, est constamment proportionnel à

l’angle décrit.

Lorsque le mouvement transmis dans chaque sens doit correspondre à plus d’un tour, on peut encore, pour chaque période de mouvement, employer une spirale d’Archimède. La 11g. 275 représente une disposition de cette nature, dite vis plate. La rainure eu forme de spirale tracée dans le plateau reçoit une cheville implantée à 1 ex- Fig. 275. trémité de la barre. Une seconde spirale,

se raccordant à la première à ses deux extrémités, peut ensuite produire le mouvement inverse du premier.

318. Il résulte du tracé de la courbe en cœur (art. 316) que toutes les droites passant par le centre 0 , terminées de part et d’autre aux deux courbes, sont égales à 0 A -f - OB. Ainsi 0 3, par exemple, sera de 0 à 3 égal à OB -J- B 3 sur la ligne AB, et le prolongement jusqu’à la courbe inférieure sera, à cause de la symétrie, égal à 0 1 ou OB-f Bl = A3 + 0B; donc cette ligne sera égale à B C, ou OA + 0 B.

La propriété ci-dessus offre l’avantage de permettre de communiquer le mouvement rectiligne par deux points écartes situés de chaque côté de la courbe, ce qui assure la régularité du mouvement et rend l’emploi de cet organe possible dans quelques cas où la résistance change de direction pendant le mouvement.

On peut en effet munir la pièce à mouvoir de deux chevilles, ou mieux, pour diminuer les résistances de frottement, de deux galets placés aux points sur lesquels agit la courbe. Les axes de ces galets parallèles à l’axe de rotation projeté en O doivent être reliés par un châssis de forme invariable, guidé de manière à ne pouvoir se mouvoir que suivant A B.

L’emploi de galets doit faire modifier le tracé de la courbe, qui doit leur être tangente dans toutes leurs positions. Pour obtenir la courbe convenable, il faut, d’un nombre suffisant de points de la courbe tracée comme ci-dessus, décrire de petites circonférences avec un rayon égal à celui des galets, et leur mener une courbe tangente, qui sera la véritable forme de l’excentrique.

319. En résumé , que le rapport des vitesses soit constant ou variable , le tracé des excentriques , d’après le mouvement qu’on veut faire prendre à la tige qui doit avoir un mouvement alternatif, est le suivant :

Ayant déterminé n positions de l’extrémité de la tige pendant une oscillation, correspondant à des intervalles égaux à une fraction n du temps que l’axe met à parcourir un tour ou partie d’un tour d'un mouvement supposé uniforme, on divise les quatre angles droits autour de l’axe ou la partie des quatre angles droits correspondant à une oscillation, en n parties, les rencontres des arcs de cercles décrits du centre de rotation qui passent par les positions de l’extrémité de la tige, avec les lignes de division correspondantes, déterminent n points de la courbe.

320. Supposons, pour dernière application, qu’il faille obtenir diverses intermittences dans le mouvement; la courbe en cœur serait encore facilement tracée, par exemple qu’il fallût (fig. 276) que dans le premier quart de tour le point B marchât uniformément jusqu’en A, que, dans le second quart, il y eût intermittence, que, dans le

troisième quart, le point B revint uniformément de A en B, puis qu’enfln dans le quatrième quart, il y eût de nouveau intermittence. Les parties BD, CE, se traceraient, comme nous l’avons vu pour le mouvement uniforme, et les parties D C, B E, seraient des arcs de cercle ayant leur centre en O et ne pouvant, par suite, imprimer aucun mouvement résuitant d’excentricité.

Fig. 276. Fig. 277.

La flg. 277 montre la combinaison de plusieurs excentriques, lorsqu’il faut que le mouvement rectiligne alternatif ait plusieurs allées et venues (trois dans le cas de la figure) pour un seul tour de la roue. C’est donc un tiers de quatre droits qu’il faut pour le tracé, diviser en un nombre de parties égal au nombre de points déterminés sur la tige menée en ligne droite.

Mouvement rectiligne situé dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation , mais ne rencontrant pas celui-ci.

321. Dans les tracés qui précèdent nous avons supposé que l’extrémité de la barre se mouvait suivant un rayon passant par le centre de rotation ; la méthode précédente n’est plus applicable sans modification au cas actuel. Les longueurs qui correspondent aux diverses positions que prend l’extrémité de la barre, doivent dans ce cas être portées sur des droites faisant des angles constants avec les divers rayons du cercle décrit du centre de rotation comme centre , et tel que le rayon qui passe à son point de rencontre avec la barre fasse cet angle constant. Deux droites semblables viendront évidemment coïncider comme les rayons qu’elles rencontrent par une rotation qui amènera un des rayons sur le pre-

mier. Décrivons le tracé d’une de ces courbes par points, en employant la tangente au cercle, la ligne qui fait un angle droit avec le rayon.

Supposons que les vitesses doivent être telles que pour les rotations correspondant aux points l , 2, 3, 4, 5 de la circonférence (flg. 278), labarre doive se trouver aux points 1, 11,111, IV, V. Menons en chacun de ces points de la circonférence des tangentes, puis du centre A traçons des cercles passant par les points I, II, ni, qui viennent rencontrer les tangentes correspondantes, aux points a, b, c, d. On déterminera ainsi une série de points par lesquels on fera passer la courbe demandée.

Si le mouvement rectiligne doit être uniforme, les espaces I-IT, II-III, III-1V, IV-V sont tous égaux entre eux, comme les intervalles pris sur la circonférence, et la courbe est une développante de cercle si les espaces rectilignes et les intervalles de deux points de division sur le cercle sont égaux en développement ; des développantes allongées ou raccourcies si les espaces sont dans un rapport constant.

Il est facile d’établir l’équation d’une semblable courbe.

Fig. 278. Fig. 279.

En effet, r étant le rayon vecteur, 0 l’angle du rayon passant par le point initial avec le rayon vecteur (flg. 279), CP le chemin qui sera parcouru en ligne droite suivant la tangente pour un mouvement circulaire de C en a, y l’angle polaire in étant le rapport de vitesse constant, on aura arc Ca — m X C P, ou 0 + y = m tang. y. Or, a

, I / yl Xâ a

étant le rayon du cercle, tang. y et y = arc. cos. -,

donc on a : 0 -f- arc. cos. ^ ^ l /r* — a’ , équation qui per-

met de déterminer la valeur de r pour toute valeur de 0.

Pour m = 1 , l’équation devient 0 -(- arc. cos. - =

Fig. 280.

équation de la développante du cercle du rayon a.

322. Ce qui précède suffit évidemment par tracer pour un rapport de vitesse quelconque, la forme des excentriques. Nous n’avons pas à insister sur les formes variées à l’infini qui peuvent prendre les excentriques dans les divers cas de la pratique, le tracé se déduira toujours facilement de ce qui précède.

Dans le cas où l'excentrique est un cercle dont le centre est en b, et qui tourne autour du point a (figure 280); ac étant la direction rectiligne assurée par des guides au galet c, il est clair que nous retombons complètement dans le cas de l’excentrique circulaire décrit art. 303, et que la vitesse du mouvement rectiligne est celle de l’extrémité de la bielle dans le système composé de la bielle et de la manivelle.

323. Rainures appartenant au système conduit. Dans les divers systèmes qui précèdent une cheville ou galet est adapté au système conduit; une rainure ou une courbe au système qui conduit.

On peut employer la disposition inverse, adapter les courbes au système conduit, la cheville ou galet au plateau mu d’un mouvement circulaire continu.

Telle est la disposition représentée dans la fig. 281 , dans laquelle la rainure est adaptée transversalement à la barre qui ne peut se mouvoir que dans le sens de sa longueur. Il est facile de voir que le rapport des vitesses dans ce système est encore iden-

tiquement celui qui peut être obtenu avec une bielle infinie et une manivelle. Pour un angle de rotation le mouvement rectiligne est de même égal à la longueur interceptée sur la direction du mouvement rectiligne, par la projection du centre de la cheville aux deux extrémités de cet angle. Il est bien clair que les deux systèmes ne sont cependant pas équivalents, à cause des frottements considérables de celui que nous étudions ici.

Si l’on voulait que le mouvement de la tige VV' fût proportionnel à la rotation de la roue, la rainure dans laquelle glisse le galet ne devrait plus être une droite mais une courbe facile à construire.

Divisons la demi -circonférence ae (fig. 282) en un certain

Fig. 282.

nombre de parties égales, et la longueur de la course en un même nombre de parties l égales aussi.

Soient m,tn' deux points de division correspondants. Il faut que quand le galet fixé à la circonférence et qui parcourt la courbe a a’ sera arrivé en m, le point a de la tige VV' soit arrivé en ni . Si donc on prend m a! = a»i', le point a' appartient à la courbe que If

galet doit parcourir pour obliger cette rainure de descendre de la quantité am'.

La suite des points ainsi déterminés formera la courbe suivant laquelle il faudra tracer la rainure.

Si l’on veut que pendant que le galet parcourra uue demi-circonférence, la tige descende seulement de la quantité 2 r — moindre que le diamètre 2 r, c’est cette longueur qu'on divisera en autant de parties que la demi-circonférence pour construire la rainure. L’intervalle qui séparera les deux branches de la courbe sera égal à «, de sorte que quand le galet se trouvera à l’extrémité inférieure du diamètre vertical, le point a de la rainure en sera distant de cette longueur «.

324. Si l’on fait croître le diamètre de la cheville d’assemblage dans le système de la flg. 281, l’excentrique prend la figure représentée fig. 283, dans laquelle a est le centre de mouvement et b le centre du cercle. La rainure est alors formée de deux barres parallèles, assemblées à angle droit avec la barre glissante ; cette combinaison est strictement équivalente à celle de la fig 281 , ab étant

Fig. 283. I a dMjmce d u centre de la cheville

au centre du mouvement.

325. Toute courbe peut fournir le même mouvement que l’excentrique circulaire, si elle possède cette propriété que toute paire de tangentes opposées et parallèles soient à une distance constante et

égale à la distance des deux barres, que par suite, ces barres touchent la came dans toutes les positions. Telle est, par exemple, la courbe de la fig. 284 employée pour produire un mouvement intermittent.

A est le centre de rotation de la came, formée par un triangle équilatéral Amn, dont les côtés sont formés

d’arcs de cercle dont le centre est le

sommet opposé du triangle, le centre de rotation A étant l’un de ceux-ci. La barre mue par l’excentrique est coupée et terminée par deux barres à angle droit sur sa direction pq, rs, dont la distance est égaie au rayon des arcs, des contours de la came. Conséquemment, les barres seront en contact avec la came dans toute position, et il sera facile de déterminer les rapports de vitesse.

Divisons en six parties égales le cercle décrit de A avec le rayon A m. Lorsque ce point m tourne autour du centre A dans la direction des nombres, en partant du point l placé comme sur la ligure, le point A est en contact avec la barre supérieure et il est clair que la courbe passant de 1 à 2, il ne se produit pas de mouvement; de 2 à 3, le point n est en contact avec rs, et le mouvement de la barre est absolument le même que celui produit par une cheville dans une rainure transversale près du diamètre parallèle à celle-ci, n remplaçant la cheville, le mouvement de la barre va donc en s’accélérant; quand m arrive en 3, l’action de n est terminée brusquement, et m exerce alors une action semblable sur pq, le mouvement de la barre est alors retardé et elle arrive graduellement au repos quand m atteint 4. De 4 à 5 la barre reste entièrement en repos, de 5 à 6 le mouvement est graduellement accéléré, et de 6 à l graduellement retardé.

Le mouvement de la barre est donc le même que celui du système de l’art. 318 dans certaines parties, avec des intervalles de repos.

326. Frottement des excentriques. Le contour des excentriques étant toujours fort grand relativement à la course des tiges conduites, le travail consommé par le frottement le long d’un chemin étendu est toujours considérable par rapport à l’effet utile. Aussi n’emploie-t-on guère ce genre d’organes que dans le cas des machines opératrices, jamais pour simple communication de mouvement, et seulement pour des pressions peu considérables et de petites vitesses. En effet, outre le frottement que nous allons évaluer, la pression de la courbe sur le galet, dout on a soin de munir la tige mise en mouvement, ne s’exerce pas dans le sens du mouvement rectiligne de ce galet, conséquemment il en résulte une pression considérable de la barre contre la rainure dans laquelle elle est guidée.

Le frottement d’un excentrique surmontant une résistance Q de direction constante, qui est celle de la tige mue en ligne droite, est égal en chaque instant à/Qcos. a. « étant l’angle de cette direction avec la normale à la courbe au point de contact (fig. 285). Pour un arc de la courbe infiniment petit e/s, pour lequel celle-ci se confond avec sa tangente, le travail absorbé par le frottement sera / Q cos. ad s.

On aura le travail total du frottement Fîg. 285. en faisant la somme des quantités de

travail élémentaire / Q cos. ad s pour tous les points de la courbe; ce qui s’obtiendra, par exemple, par la quadrature d'une aire plane limitée par une courbe tracée par points, dont les ordonnées seront les valeurs successives de/Qcos.a, et les abcisses des parties de la courbe développée.

MOUVEMENT CIRCULAIRE ALTERNATIF

Donnons le tracé des excentriques pour le cas du mouvement uniforme, pour un rapport de vitesse constant , il sera bien facile d’en déduire les modifications qui devront y être apportées dans le cas d’un mouvement varié suivant une loi quelconque.

327. Considérons d’abord le cas où le levier repose sur l’excentrique par son extrémité saillante formée par une cheville ou un galet.

Soit AB un levier mobile autour du point A (fig. 286), le point B doit être amené de B en K par l’action d’une surface courbe dans le même temps que la puissance fera décrire au point B une partie de la circonférence B Y, la moitié par exemple, qu’elle tourne dans un sens ou dans l’autre.

Supposons la ligne AB horizontale, et la résistance un poids agissant au point B. Divisons l'arc B K en n parties égales (si l’on voulait que ce fût le travail de la résistance qui fût constant, ce serait la corde B K qu’on diviserait en parties égales ; on mènerait par les divisions de celle-ci des parallèles à AB). En joignant les points de division de l’arc B K au centre A, on aura les angles que

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devra parcourir le levier AB pour que le mouvement soit uniforme, ou dans le second cas pour que la résistance parcoure des chemins égaux en des temps égaux. La courbe de l’excentrique devra passer par les divisions successives de B K, lorsque des divisions de même rang l, 2, ... n de la demi-circonférence viendront coïncider avec B C. Joignons le centre C avec les divisions de B K, et divisons la circonférence en n parties égales. Soit un de ces rayons C p, correspondant à la quatrième division C «.

Comme le levier tourne dans le même sens que la circonférence pour le mouvement de gauche à droite, la rotation totale sera la somme des deux rotations, donc ce ne sera pas le point p qui arrivera en « pour la rotation voulue, mais un point y tel que BCy=BC(3-f BCa. On a donc la direction Cy, et prenant Cy=C«, y sera un point de la courbe cherchée.

On aura de même n points de la courbe cherchée, et on pourra ainsi la tracer.

328. Pour la courbe de gauche, la rotation totale est la différence des deux rotations; une ligne Cy' correspondant aux points p' et « sera déterminée par la différence BC p' — BCa=BC-/.

La différence angulaire des deux courbes sera BCK, et la première sera plus longue que la seconde.

Si le mouvement angulaire du levier devenait nul, ce qui aurait lieu si le centre était à l'infini , s’il s'agissait d’un mouvement rectiligne, les courbes deviendraient symétriques comme nous l’avons vu art. 313.

Si le point B, auquel la résistance est appliquée, est à une distance un peu grande de l’axe C, il peut être incommode de se servir d’une courbe agissant sur le point B. On peut alors placer le mentonnet en un point quelconque B' du levier, et raisonner sur l’arc B' K' que décrit ce point comme nous avons raisonné sur B K, toutefois en se servant, si l’on veut que le travail soit uniforme, des points de rencontre des lignes AI, Ai..., déterminés comme ci- i dessus, avec B' K', pour construire la courbe.

329. Si au lieu de faire agir l’excentrique par un mentonnet, une cheville pénétrant dans une rainure, on voulait que l’excentrique agit sur le plat du levier, on raisonnerait encore comme précédemment, en remplaçant les n lignes qui joignent les points de division au centre par les n perpendiculaires abaissées de ce centre sur les positions successives du levier, qui donneront les longueurs des rayons correspondants à n divisions (fig. 237). La courbe

ainsi tracée conduit le levier sans chocs , mais ne peut servir que par sa partie droite , car pour la partie gauche les rayons vecteurs de l’excentrique plus longs que la perpendiculaire, peuvent rencontrer le levier avant celle-ci. On néglige dans cette construction la condition de la vitesse uniforme d’élévation.

Si dans le premier système la vitesse du mouvement circulaire alternatif ne devait pas être uniforme, il faudrait diviser l’arc dé-

LIVBE DEUXIÈME.

crit par l’extrémité do levier, en parties correspondantes aux diverses positions qu’il doit occuper après des temps égaux , et déterminer de même les rayons correspondants de l’excentrique; sauf cette modification , la construction serait absolument la même que dans le cas du mouvement uniforme.

330. Rainures au système conduit. La cheville ou galet dans la fig. 286 est adaptée au système conduit, et la courbe au système qui conduit. On peut employer encore l’arrangement inverse, adapter les courbes au système conduit, et la cheville au système qui conduit.

La fig. 288 représente un semblable arrangement dans lequel le mouvement de révolution d’une cheville excentrique c , parcourant la rainure rectiligne 'pratiquée dans un levier tournant autour du pointé, produit le mouvement alternatif.

C’est la même combinaison que celle de l’art. 243, mais dans ce cas la cheville c toujours située du même côté du centre b produit le mouvement alternatif, tandis que dans le cas rappelé le centre b étant placé a l’intérieur du che-

min parcouru par la cheville, la rota- Fig. 288. Fig. 289.

tion est continue.

La même formule trouvée art. 243 s'applique très bien aux deux cas, en faisant R rayon de la manivelle, moindre que E distance des deux centres, pour le mouvement alternatif, et plus grand que E pour la rotation continue.

En donnant ù la rainure une forme courbe, comme fig. 289, on peut obtenir un rapport quelconque de vitesse.

331. Proposons-nous de construire une semblable courbe pour le cas d’un mouvement uniforme, c’est-à-dire d’obtenir une courbe qui, adaptée au levier, soit telle que le plateau mû d’un mouvement uniforme portant une cheville qui vient s’appuyer sur cette courbe, le mouvement du levier soit également uniforme.

Soit AB la position horizontale du levier (fig. 290), la résistance étant un poids appliqué en B. Divisons l’arc B K que ce point doit parcourir en n parties égales, joignons les points de division au een-

tre A, les lignes AB, AQ... représenteront les positions successives que devra occuper le levier à des intervalles égaux.

Si on voulait que ce fût le travail de la résistance qui fût uniforme, c’est la perpendiculaire abaissée du point K sur AB ou la corde B K qu’il faudrait diviser en n parties égales; les parallèles à A B, menées par les points de division, rencontreraient B K en des points P, Q, R, qui détermineraient les positions successives du levier A P, A Q, A K, après des temps égaux.

Soient OL,DL, deux arcs de cercle que la cheville devra par-

Fig. 290.

courir dans le même temps, en marchant de gauche à droite otl de droite à gauche en tournant autour du centre r. Divisons chacun de ces arcs en n parties égales et faisons passer par chaque point de division des arcs de cercle décrits du centre A, qui représenteront les chemins que décriront les divers points du levier. Chacun de ces points de division représentera une position de la cheville qui correspondra à une position du levier. Cela posé, il est facile d’obtenir les points des courbes correspondants aux n divisions et par suite ces conrbes mêmes.

Soit par exemple L la dernière division correspondant à la position A K du levier, lorsque la cheville sera en L, le levier devra être en A K, si donc nous prenons sur l’arc passant par le point L, Lo = F N, o sera le point cherché, le levier sera relevé d’une

quantité F L égale à la saillie de la courbe de plus que si la cheville parvenue au point L agissait seulement sur le levier. Pour tout autre point on raisonnera de même, ainsi pour la deuxième division a, correspondant à la seconde position AQ du levier dans la rotation de droite à gauche, prenant = le point m sera un point de la courbe. On construira ainsi tous les points de la courbe, tels que la cheville y étant placée relève le levier à la position indiquée.

332. Frottement. Le frottement pourra s’obtenir pour le cas actuel, par une méthode semblable à celle indiquée art. 326. Il est bien évident que le chemin parcouru par le frottement sur tout le contour des courbes est considérable, et que par suite ces organes sont impropres à transmettre de grands efforts.

MOUVEMENT CIRCULAIRE ALTERNATIF

333. Les excentriques appliqués à produire le mouvement circulaire alternatif jouissent de la propriété importante de communiquer le mouvement, quel que soit l'angle que fasse l’axe autour duquel ils tournent avec le levier oscillant. En effet, l’excentrique agissant sur le plat du levier ( si l’action était communiquée à l’aide d’une cheville se réduisant à un point, ceci ne serait plus vrai et il faudrait alors recourir à des systèmes semblables à ceux que nous allons décrire pour le cas suivant), cette face du levier devient un flanc d’une grande longueur que l’excentrique rencontre toujours. La poussée peut donc toujours avoir lieu, et toujours par une ligne, si le contour de l’excentrique est formé par une surface dont la face du levier représentera le plan tangent dans toutes les positions du contact. Dans la pratique toutefois , le plan de l’excentrique ne doit pas faire un angle très différent de zéro ou d’un droit, autrement le chemin parcouru par le frottement serait trop considérable.

MOUVEMENT RECTILIGNE ALTERNATIF

334. L’importante propriété dont nous venons de parler n’existe plus pour un excentrique semblable à ceux décrits ci-dessus, dont

le plan ne comprend pas la direction du mouvement rectiligne. En effet, la poussée ne pouvant avoir lieu que par un point unique, tel que l’extrémité de la barre, si celle-ci fait un angle très petit avec le plan, le mouvement pourra se communiquer dans la pratique si l’excentrique a une épaisseur suffisante; mais s’il est un peu grand, le point de contact échappera évidemment bientôt du contour de l’excentrique.

335. Toutefois, si au lieu de se limiter à des excentriques plans on considère des rainures courbes, le problème peut être résolu.

Si la direction du mouvement de la barre n’est pas parallèle à l’axe de rotation, la surface dans laquelle doivent être pratiquées les rainures devient un cône ou un hyperboloïde engendré par la rotation autour de l’axe, par la ligne qui est la direction du mouvement.

Ainsi dans laiig. 391 A B est l’axe,

C D la barre glissante, e la cheville, cd la direction du mouvement, qui dans cet exemple est supposé rencontrer l’axe en c. La ligne cd en tournant autour de la surface engendre un cône D en tournant autour de A B, et la cheville doit être engagée dans une rainure tracée

Fig. 291. sur i a surface conique. Si la surface est

développée, la rainure ef (pour un mouvement régulier) devient

une spirale d’Archimède.

Il est inutile d’entrer dans le détail de toutes les formes et com-

binaisons qui peuvent être ainsi obtenues; nous nous bornerons au cas le plus remarquable, celui où la direction du mouvement est parallèle à l’axe.

336. Il est facile de voir que la disposition convenable dans ce cas revient à celle de la vis qui, servant à produire le mouvement rectiligne continu pour une direction rectiligne parallèle à l’axe, fournira une solution par l’emploi d’une double vis comme le représente la fig. 292. ,

Sur la circonférence d’un cylindre on trace deux hélices complètes, l’une à droite partant de a et passant par mbcdf arrive en g , l’autre à gauche, qui commence en g et passe par ohkl

pour rejoindre la première en a. Ces deux hélices forment un tracé fermé, se continuent l’une l’autre, et permettent au cylindre d’agir d’une manière continue. Lorsqu’il tourne, la pièce E, qui passe dans une rainure et qui est attachée à la pièce glissante, prend un mouvement alternatif d’avant en arrière et vice versd ; chaque os-

Fig. 292.

cillation correspond à une ou plusieurs révolutions du cylindre, eu raison des révolutions de l’hélice.

Comme les rainures hélicoïdales se coupent nécessairement deux fois par chaque révolution , la pièce E doit être plus longue que la rainure comme nous l'avons représenté à part; il devient alors impossible qu’elle quitte une rainure pour l’autre aux croisements. En outre , comme les inclinaisons des fdets sur la barre sont de directions opposées , il faut que la pièce E soit attachée à la barre par un point comme le montre la ligure, pour qu’elle tourne d’un petit angle aux changements d’inclinaison.

Si la barre doit se mouvoir plus rapidement dans une direction que dans l’autre, l’inclinaison d’une rainure doit être plus rapide que celle de l’autre ; de même, en variant son inclinaison dans différents points, on variera le rapport des vitesses.

Ce système convient très bien pour le cas où une oscillation du mouvement rectiligne correspond à un certain nombre de rotations, et ne pourrait être employé s’il fallait produire moins d’une oscillation double pour une révolution de l’axe.

Dans le cas où il faudrait plusieurs oscillations pour un tour, on pourrait l’obtenir par la disposition des excentriques que nous allons décrire.

337. La direction du mouvement rectiligne étant parallèle à l’axe de rotation, et par suite restant toujours à une distance constante de celui-ci, si l'on fixe une roue sur l’axe de rotation, et que

sur le plat de cette roue (fig. 293) on adapte des saillies de forme convenable, limitées par la circonférence, on aura un système très convenable d’excentriques.

Si en chaque point de ces saillies la hauteur est proportionnelle à la base mesurée sur la circonférence, si le profil de leur contour est hélicoïdal, la vitesse du mouvement rectiligne sera évidemment proportionnelle à celle du mouvement circulaire, et uniforme si celle-ci est de cette nature.

338. Cette disposition se réduit à la suivante dans le cas d’une seule oscillation de va-et-vient pour chaque tour.

E e est un axe tournant (fig. 294), G g une barre pouvant glisser dans le sens de sa longueur et portant en g un galet. Un plan circulaire F est fixé à l’extrémité de l’axe E ; ce plan ne lui est pas perpendiculaire, et la barre G g reste toujours en contact avec le plan par l’effet d’un poids ou d’un ressort. Si le plan était perpendiculaire à l'axe il n’y aurait pas de mouvement communiqué à la tige, mais par suite de l’inclinaison un mouvement alternatif lui est imprimé dans le sens de sa longueur, et la grandeur de celui-ci varie avec l’inclinaison du plan sur l’axe. S'il est ajusté de manière à ce que l’inclinaison puisse varier à volonté, on obtiendra exactement la longueur du mouvement rectiligne voulu.

Il est facile de calculer le rapport des vitesses des deux mouvements. En effet, soit A a l’axe vertical du système (fig. 295), B le point le plus bas de l’extrémité de la barre, B a A l’angle d’inclinaison du plan sur l’axe. Soit CD la barre glissante, Bcà le plan de rotation du point B.

Dans le mouvement du rayon B M vers M C, en décrivant l’angle B MC, l’extrémité C de la barre parcourt verticalement l'espace c C.

Menant C N perpendiculairement à BM, N n est égal et parallèle à C c, et on a :

BN .. BM

et oM = ;

tang. BaA tang. BaA

D’ailleurs B N = B M sin. vers. B MC, d’où :

„ B M sin. vers. B M C ,, .

C c — — = « M sm. vers. B M C,

tang. BaA

c’est-à-dire que le mouvement de la barre est précisément le même que celui que produirait, à l’aide d’une bielle infinie ( engendrant un mouvement rectiligne), une roue dont le rayon serait «M (art. 294).

339. Réciproque des solutions précédentes. Nous montrerons ci-après (art. 300) que les excentriques ne peuvent jamais être employés que comme nous l’avons supposé jusqu'ici, c’est-à-dire à produire un mouvement circulaire ou rectiligne alternatif à l’aide d’un mouvement circulaire continu, que le mouvement ne saurait être produit inversement. ,

ümrièMie section. — Condition de maximum non satisfaite.

Parmi les organes que nous allons étudier nous ne rencontrerons que des organes agissant par contact immédiat, le système d’intermédiaires rigides (le seul possible pour engendrer seul le mouvement alternatif), composé de la bielle et de la manivelle, satisfaisant à la condition du maximum. Ce ne serait qu 'autant que les articulations permettraient certain mouvement que le système rentrerait dans le cas actuel, et nous l’avons déjà étudié art. 30 1 .

Organea agiaaant par contact Immédiat.