Calcul de ce travail. Le travail développé par la puis

sance F dans une demi-révolution, pendant laquelle le chemin parcouru, estimé suivant la direction de la force est 2r, est égal à celui que la résistance constante Q, agissant sur une circonférence de rayon H consomme pendant une demi-révolution ; on aura donc pour un tour entier et une oscillation complète -1 Fr = 2 u QR. Si donc on construit un rectangle dont la base soit toujours 2 7t et 4Fr

la hauteur QR = — — , la surface de ce rectangle représentera

le travail total développé par la résistance et sera égale à celle que circonscrit la courbe. Les points de rencontre du côté supérieur de ce rectangle avec la courbe correspondront aux points pour lesquels le travail élémentaire de la puissance et celui de la résistance sont égaux (1).

La partie de la courbe que cette droite laisse au-dessous d’elle et les parties du rectangle non comprises dans la courbe, représentent les excédants successifs du travail moteur et du travail résistant qui engendrent les irrégularités du mouvement de rotation. Nous verrons comment, à l’aide du volant, on rend peu sensibles ces irrégularités ; nous dirons seulement ici que cet organe consiste en une masse pesante montée sur l’axe de la manivelle, dont le mouvement ne pouvant être arrêté brusquement aux points morts, empêche l’arrêt qui devrait se produire en ces points, puisqu’alors l’effort de la bielle passe par l’axe, ne tend plus à produire de rotation. Son action régulatrice est en raison de son poids et de son diamètre, et par suite ces éléments doivent être déterminés en raison des excédants de travail que le tracé ci-dessus permet de mesurer.

298. Bielle courte. Nous avons supposé dans ce qui précède que la bielle reste toujours parallèle à elle-même, que la direction de l’effort moteur reste constante. 11 n’en est pas ainsi en réa-

(1) Nous supposons ici qu’il s'agit d'une manivelle h double effet, c'està-dire que l'effort oonstant de la bielle change de sens à chaque demi-révolution. Si l'effort était toujours de mime sens, comme cela a lieu pour la pesanteur, le travail serait évidemment nul pour une révolution complète ; enfin, si la manivelle n’agissait que pendant une demi-révolution, la résistance qui, agissant constamment sur une circonférence du rayon R produirait le même travail, serait donnée par l’équation 2 Fr = 2irQr.

lité, et on ne peut admettre dans la pratique les résultats fournis par cette hypothèse quand la longueur de la bielle est au-dessous de cinq à six fois celle de la manivelle. On peut encore, dans ce cas, construire graphiquement les courbes dont l’aire donne le travail produit.

Nous avons vu en effet (art. 180), que si on prolonge les normales aux éléments décrits par les extrémités des leviers assemblés avec la bielle jusqu’à leur point de rencontre, et que de ce point on abaisse une perpendiculaire sur la position primitive de la bielle, le pied de celle-ci se confond avec le point d’intersection de deux positions successives de la bielle. La deuxième position, qui fait uu angle infiniment petit avec la première, est donc la tangente voisine du cercle ayant sur la fig. 262 I D pour rayon, et le mouvement

de la bielle a lieu un instant comme si elle était seulement obligée, indépendamment de toute autre liaison, à se mouvoir tangentiellement à ce cercle. Si donc on appelle a l’angle décrit autour du centre I dans un déplacement infiniment petit du système, on aura dans ce déplacement élémentaire, pour lequel la figure du système reste invariable, puisqu’il ne se produit qu’une rotation autour du point 1, égalité entre les quantités de travail produit par la force F

agissant à l’extrémité du balancier, et la force Q agissant dans la direction de la bielle, ou

FxCIxa = QxDIxo.

Si donc on prend à l’échelle donnée cl (perpendiculaire à CI) pour représenter l'effort constant agissant à l’extrémité du balancier, et qu’on mène lin parallèle à CI , on aura :

jr = = -£y caries triangles CDI, C Im sont semblables,

et C m représentera la force qui agit dans la direction de la bielle. Le tracé qui fournit cette force donne aussi sa distance Ao au centre A. Il sera donc faeile de calculer le produit Qx Ao correspondant à chacune des positions, et de construire la courbe dont les ordonnées seront les valeurs de ce produit correspondantes à des abcisses égales aux arcs décrits par la rotation du bouton de la manivelle, et dont les aires donneront le travail de la bielle.

Les ordonnées de ces courbes (fig. 263) représentent, comme

dans le cas précédent, à une certaine échelle, le rapport de vitesse de l’extrémité de la bielle à celle de la manivelle. En effet, cette vitesse est proportionnelle en chaque instant à la distance Ao comme dans le cas précédent ; la bielle pouvant, pour chaque position, être considérée comme infinie; elle est d’ailleurs également proportionnelle en chaque instant à l'intensité Cm de la force.

299. Conséquences de l’obliquité de la bielle. Quand le bouton de la manivelle passe par le point le plus bas de sa course, la direction de la bielle ne passe pas par l'axe de rotation et le moment de l’effort (le produit qu’il faut multiplier par l’angle au centre «, pour avoir le travail élémentaire) n’est pas nul. Jusqu’à cette position , l’effort agit dans le sens du chemin décrit par le bouton ; mais , au delà de cette position jusqu’à celle où le bras de levier

est nul, cet effort tend à faire rétrograder le bouton de la manivelle qui ne persévère dans son mouvement qu’en vertu de l’inertie du volant. Le moment est par conséquent négatif et ne devient positif que quand le bras de levier étant devenu nul change luiméme de direction. Par conséquent, dans cette courte période, ce moment doit être porté en dessous de la ligne des abcisses. Un effet semblable se produit à la fin de l’autre période.

Il résulte de là, contrariété dans le mouvement, refoulement du bouton sur la bielle, et réciproquement; et c’est ce qui contribue, en partie, à produire la vibration toujours nuisible de la bielle. Ce défaut est d’autant plus sensible que la bielle est plus courte.

11 résulte aussi de l’obliquité de la bielle que, dans la première moitié de la demi-révolution descendante du bouton de la manivelle, les bras de levier de la puissance sont plus grands que ceux que donne la supposition d’une bielle infinie , tandis que c’est le contraire dans la seconde moitié; l’inverse se produit dans la demi-révolution ascendante. Les excès du travail moteur sur le travail résistant, et vice ver sâ, cessent d’être égaux, et les courbes ne sont plus symétriques. C’est ce qui se voit bien sur la 11g. 263 (sur laquelle les lignes ponctuées représentent les courbes pour une bielle infinie), que nous empruntons à M. Morin, ainsi que la plus grande partie de ce qui précède, relativement au travail des bielles.

300. Le système qui consiste dans une manivelle, une bielle et un balancier, satisfait parfaitement aux conditions dynamiques ; il est en général sans inconvénient que le rapport de vitesse y soit variable comme il résulte de la nature même de ce système. Cependant, dans quelques cas particuliers, on a besoin de satisfaire à des conditions de rapport de vitesse particulières. On résout quelquesuns de ces problèmes à l’aide de combinaisons de bielles qui jouissent encore des avantages propres à ce genre d’organes. Nous y reviendrons plus loin en traitant des combinaisons de mouvements; nous ne traiterons ici que d’un cas particulier obtenu avec une seule bielle, celui où le mouvement doit cesser par intermittence.

301. On emploie alors une bielle dans l’extrémité de laquelle on pratique une rainure.

Soit B le centre de mouvement de la roue (fig. 264) qui communique, par l’intermédiaire d’une bielle, un mouvement d'oscillation au levier A w. L’extrémité de la bielle porte une rainure m n , dans laquelle passe une cheville m fixée à l’extrémité du levier A m. Ce levier se meut autour du centre A et est disposé, soit pour rester

au point extrême où il parvient jusqu’à une action nouvelle, soit pour appuyer constamment sur le fond de la rainure par ('effet d’une force quelconque, d’un poids ou d’un ressort, sa course vers l’axe de rotation étant dans les deux cas limitée en A k par un arrêt.

Dans le premier cas, lorsque le mouvement arrive à son extrémité, la cheville m arrive au point extrême de la course p, et quand le mouvement de la bielle change de direction, le levier ne reçoit pas de mouvement jusqu’à ce que l’autre extrémité n de la rainure ait rencontré la cheville et la ramène à la position initiale; arrivée en ce point, il y aura repos jusqu’à ce que l’autre extrémité m ait rencontré la cheville.

Le mouvement du levier est ainsi interrompu à la fin de chaque course pendant un temps qui dépend de la longueur de la rainure. Si l et 3 sont les points qui correspondent au changement de direction de la bielle, 2 et 4 les points qui correspondent aux positions de la bielle dans lesquelles les extrémités de la rainure commencent u agir, on aura le mouvement suivant pour chaque tour :

La roue tourne

de \ h 2, lo levier reste en Ap, de 2 il 3, il se meut do p en m, de 3 à i, il reste en Am, de 4 à 1 , il se meut de m en p.

Dans le second cas, le levier étant toujours poussé vers le centre de la roue, la cheville m est toujours en contact avec l’extrémité de la rainure la plus rapprochée du centre, si ce n’est lorsque le levier est arrêté en AA par l’arrêt k.

Quand km s’appuie contre cet arrêt, dans la position correspondant par exemple au point 5, il n’y a plus d’action pendant la fin de la course, en arrière, de la rainure. Prenons 3,4 égal à 3,5 sur la circonférence de la roue, le mouvement sera le suivant :

La roue tourne

île 1 A 5, le levier v» de A p en A m,

de 5 à 4, il reste fixe.

de 4 A 1, il se meut de Am en Ap.

Ces systèmes, dans lesquels la cheville en repos est rencontrée par la bielle en mouvement, d’où résulte un choc, ne sont convenables que pour des forces minimes.

302. Frottement de la bielle. Le travail du frottement de la bielle se compose de deux parties : celui qui se produit sur le bouton de la manivelle , et celui qui se produit à l’articulation de la bielle avec le balancier ou avec la tige guidée en ligne droite.

Nous avons déjà donné (art. 1 85) le frottement sur le bouton de la manivelle. Celui qui se produit à l’extrémité du balancier se calculera de même, ce système ne différant pas du préecdent pour une fraction de tour; ainsi le balancier décrivant un angle a, le frottement