DES RAPPORTS DE VITESSES OBTE>X-S PAR QUELQUES COMBINAISONS D»ORGANES

r MOUVEMENTS CIBCIILAIRES CONTINUS. — SYSTÈMES DE ROI ES DENTÉES.

517. Les plus petites dimensions des pignons résultent des considérations relatives aux saillies des dents (art. 282); mais bien avant ce point un pignon trop petit entraîne un frottement

considérable (comme le montre la valeur croissante de -r,à me-

sure que n' diminue) par suite de sa convexité trop grande.

En pratique on évite, dans une transmission entre roue et pignon, de donner à celui-ci un diamètre moindre que le quart ou le cinquième de la roue conductrice. On arrive ainsi à la nécessité de roues intermédiaires.

En effet supposons qu'il faille transmettre le mouvement entre un axe moteur faisant trois tours par minute et un axe parallèle qui fait 50 révolutions pendant le même temps.

Puisqu'un axe en rapport avec le premier ne doit faire que 15 tours au plus, si Ton veut satisfaire à la prescription qui vient d'être indiquée; admettons qu'il effectue 13 révolutions par minute , il faudra employer un semblable axe supplémentaire pour faire mouvoir le troisième axe, qui doit faire 50 tours; celui-ci pourra être commandé directement par le second, car 4X 1 8=52. Ainsi la transmission comprendrait trois arbres dont l'écartement est considérable, ce qui est coûteux et rarement admissible. Si leur position est fixe, le problème est insoluble en raisonnant comme ci-dessus.

518. La solution devient au contraire simple et excellente (aussi est-elle d'un emploi fréquent dans la pratique) en employant plusieurs engrenages situés dans des plans parallèles au lieu d'un seul engrenage.

i80 LIVRE DEUXIÈME.

Une première roue A (fig. 422) engrène, par exemple, avec une autre roue a d'un rayon bien moindre, avec un pignon; sur le même axe / -^ /:•./•, \ que le pignon a est montée une roué B \ "^ i \/ *' >:L ,/ solidaire avec lui. La roue B engrène "C ^ ^

avec un second pignon b sur Taxe duquel est montée une roue G. Fig. 422.

(0, (I)', 0/, étant les vitesses angulaires autour des axes des trois roues A, B, G, soient R, R', R", les rayons des roues, r, r", ceux des pignons a, /», on aura: wXR=co'Xr, w''Xr = w'xR', et en divisant ces deux expressions Tune par l'autre : w r X r'

i?'^RxR" c'est-à-dirc que la vitesse angulaire de la première roue est à celle de la dernière comme le produit des rayons des pignons est au produit des rayons des roues ^ celle montée sur Taxe du dernier pignon exceptée.

Et en général No N..... étant les nombres des dents des roues, n, 71, 713... le nombre des dents des pignons montés sur les mêmes axes (les nombres des dents étant entre eux comme les rayons) , T, le nombre de tours de la première roue , Tm le nombre de tours de celle mue par le dernier pignon , on aura :

Tm NoN Nm-1

T. 7i. 71, Hm

Telle est la formule dont on se sert dans les cas où Ton doit obtenir une grande vitesse à l'aide d'une petite vitesse de Tarbre moteur, et notamment dans l'horlogerie, où ce problème doit toujours être résolu (t).

519. Lorsque, dans un mécanisme, la disposition des roues et pignons occupe encore trop de place, on peut la diminuer et obtenir les mêmes résultats des rapports de vitesses par l'emploi

(1) Nous donnerons ici un curieux théorème, dû au docteur Young. Si dans un système de roues dentées il y a A + I a\es dont toutes les

mMu , moyen de monter des roues mues avec des vitesses rentes sur un même arbre, de fournir un même axe malatiqae de rotation à ces diverses roues. Nous rencontrerons loin l*empioi fréquent de cette disposition ; nous nous consrons de donner ici son application , qui la fera parfaitement prendre, à une nUmUerie, aux rouages qui font que les L aiguilles montées sur un même axe d*un appareil d'iiorrie, qui représentent en réalité des rayons de roues, nent dans le même sens et dans le rapport de 12 à l , c'està-dire que Taiguilie des minutes parcourt un intervalle de 12 lieures pendant que celle des lieures parcourt l'intervalle d'une lieure.

Quatre roues dentées sont alors nécessaires. La roue E étant fixée à Taxe S, et la roue /au canon G qui tourne librement autour de l'axe S , Taiguillc des minutes M est fixée à Taxe S, et celle des heures au canon G. nouvement est communiqué par les roues e et F montées

I portent chacune w dents , tous les pignons montés sur ces axes p

, on a la relation entre les vitesses

— = (-) =0:'' en posant — = x, T, \p/ p

=tp est le nombre des dents d^une roue et k(p-{- xp) le nombre total

lents des roues du système.

— j =i3i^=zC constante pour un même rapport de vitesse,

=r-^^ — ; si donc on se propose de déterminer le système qui enilog. X

n le moindre nombre de dents possible , il faudra rendre un minimum

^-^ '^' log. X

1 +j; nérentiant , il vient pour le minimum log. a? = , d'où a? = 3,59.

me étant donné un rapport de vitesse angulaire de deux axes , pour

enir avec le moindre nombre de dents, il faudra faire - = 3,59.

sur m Même axe, el tm e&freaaBt ia premkre aree E, la ie> casde a^ee/.

Si E a 12 doits, 6^6, F l«,/40, osa pour le

▼îte^aes angulaires des deux aîguilks

12 XK» 1

630. BerenoBs en détail sur l'appiicatîMi importable des séries de roues et pig;MMBS à rhoriogede, en prenant pour type principal Tadmirable appareil qa'on appelle horloge astnmo- ■liqne.

Disons, poor rendre compfélieiisil>le ce qui xm soirre, que les [^èces principales d^one horloiee, dont noos expliquerons en détail le BMide d^opérer et le tracé dans le livre III, sont : le régulateur \\e pendule), possédant un mouvement d'osdUation parfaitement régulier, et la roue d'échappement, mise en mouvement par on poids et qui est arrêtée par chaque osdllation du pendule, et rendue lilire par roseillation suivante; de telle sorte que / étant le temps d'une oscillation en secondes, et e le nombre de dents la roue d'échappement, 2 X « est la durée de la rotation d'un tour de cette roue. /

Au moyen de deux roues engrenant avec des pignons, on produit, à Taide du mouvement de rotation très-lent de la roue qui fait tourner le poids moteur, un mouvement rapide de la roue d'échappement.

Dans une horloge, on connaît donc le nombre des oscillations par heure du régulateur formé par le pendule, d'après sa longueur donnée, et, par suite, le nombre de tours de la roue d'échappement dont on connaît le nombre de dents. Le calcul se réduit donc à obtenir, d'après la formule générale, le nombre des dents des roues et pignons (trois en général) qui peuvent résoudre le problème, sachant que Taiguille des minutes (qui correspond au rayon d'une roue) doit marcher douze fois moins vite que celle des heures ^ cdle des secondes (si elle existe)

COMBINAISONS DE MOUVEMENTS. iSZ

s fois moias vite que celle des minutes. Nous emprunterons 'e la forme excellente de Texposition suivante à Texcelient ige de M. R. Willis, et à l'exemple des meilleurs auteurs, représenterons les roues par leurs nombres de dents, en écriées nombres sur diverses lignes horizontales, en plaçant Jie même horizontale les roues montées sur le même arbre, lies qui engrènent Fane avec Tautre sur la même verticale. 1. Ainsi, pour une horloge dont le p^dule bat la seconde, incontre le rouage ainsi composé :

wide looe

Saon. . . .

- 45 2»^ roiie »

Pignon.

6 — 30 roue d'échappement 25

aiguiilo <!•• miaotM.

•igaiUi dwliesm.

) rapport du mouvement de Taiguille des heures a celle des ites (qui n'est autre chose que celui des rayons des roues les conduisent) est bien celui de 1 à 12, puisque la vitesse I piemière, rapportée à celle de Tarbi-e moteur de la grande

t, est — = 1 et celle de la seconde — = 12. La roue d'é- ' 25 4

)pement fait par hypothèse un tour en une minute; l'arbre

eor doit donc tourner soixante fois moins vite que celui de

^. 48X45 oiie d'échappement; en effet, on a bien -- — -— = 60.

K. J'ai supposé Ici déterminés à priori les nombres des dents diverses roues ; il s'agit au contraire de montrer comment on y parvenir dans les diverses constructions de Thorlogerie. )*axe de Ja roue d'échappement fait un tour en une minute 'lui de la grande roue en une heure, on a pour le rapport

Itesses^r- =60; si D est le produit des roues et F celui lit

>ignons, 1)=: 60 F est une équation indéterminée, et tous

cambres qui y satisfont peuvent être pris pour nombres de

^ des roues. Dans une horloge commune, six est le plus

petit nombre d'ailes qai soit employé, et soixante dents le plus grand qui soit attribué à une roue.

Le plus petit nombre d*axes étant 3, pouvant porter deux pignons de six dents, D = 60 X 6^ = 2160 sera dans ce cas le nombre des dents de la grande roue.

Il faut diviser ce nombre en deux facteurs convenables. La meilleure manière de les obtenir consiste à décomposer le nombre en ses facteurs premiers, en récrivant sous la forme

2160 = 2* X 3* X 5, et il est alors facile de diviser ces facteurs en deux groupes, • comme, par exemple :

2*. 3 X 8^ 5 = 48 X 45 , ou 2*. 5 X 2. 3» = 40 X 54, OU 2^ 3' X 2* 3. 5 = 36 X 60.

Le premier 48 X 45 est préférable à cause de la presque égalité des deux nombres; c'est celui indiqué ci-dessus : D 45X48 Y~ 6X6 '

devant être écrit, pour indiquer la disposition des roues, ainsi qu*il suit :

523. Pour une bonne construction, le nombre six pour les ailes du pignon est trop petit pour assurer une action parfaite, pour une conduite convenable. Un pignon de buit dents est meilleur, mieux encore des pignons de dix à douze dents donnent une action parfaite.

Si on adopte le pignon de 8, F = 8* = 64 et D = 60 X 64, qui forme un assez bon système de roues.

Dans les horloges de précision, on peut employer des roues de plus de soixante dents ; cent ou cent vingt sont des nombres trèsadmissibles. En employant trois arbres on pourra poser :

— = —^ = 60, ou/) = 13 à peu près,

■eiiantF= 12X14, D = 60X 12 X 14 = 96X106, ce qui ^lÈXke le système : 105

524. Quand une horloge n'a pas d'aiguille des secondes, il *Y a aucune utilité à ce que Tarbre de la roue d'échappement ni porte habituellement cette aiguille fasse une révolution en ne minute; quand le pendule est court, cela est même imposible, à cause du grand nombre de dents qu'il faudrait faire orter à la roue.

Cl) rCous avons donné préoédeimnent un curieux théorème dû au docteur roang, d'après lequel le nombre minimum de [dents correspond au cas ^b le rapport du nombre des dents des roues à celui des pignons est 3,59. 11 & peu de valeur comme règle pour la pratique , parce qu'il suppose implicitement que la simplicité la plus avantageuse résulte de la seule réductîoii du nombre des dents; mais, en fait, il est nécessaire, en suivant les îoAications qu'il fournit , d'éviter également d'augmenter le nombre des

tt©»- Par exemple, dans les horloges, le rapport -^=60, étant plus grand

Le

<iw le cube de 8,59, il faut pour le plus petit nombre de dents employer m moins trois axes; et si l'on compte le nombre de dents nécessaire dans le cas d'une, deux, trois ou quatre roues, en prenant les nombres d'ailes ^ PîgQons égaux à six, on peut, en décomposant D en facteurs convenables, ' le tableau suivant :

Nombre total des dents.

^■•WHie D=r6 X 60=360 8G0-f-r»=366

^«^ roue» D=6*X«)=45X48 46+484-2X6 = 105

P[^«X>act D=6>X60=20X2'7X2^ 20 + 27+24-1-3X6=89

^**^rouetD=6*X60=15X 16X18X18 15 + lG-f-l8 +18 + 4X6=91 ***î«t>Be« D=r6*X 60= 12^X15X18 3X12+15+184-5X6=99

^^**^, comme l'indique le théorème en question, le moindre nombre de Y^^« 89, correspond à l'emploi de trois roues. Mais la pratique universelle ^y^ours Mt employer deux roues et deux pignons entre la roue d'échappé.

. et l'axe des heures: et, en fait, la diminution du nombre de dents ^*^ pas une simplification qui compense Taddition d'un arbre portant une ^*^ ^t un pignon. Cette voie n'a pas été suivie , et avec raison , pas plus ^^lle tentée par des constructeurs qui ont voulu réduire le rouage à une ^ ^ t^me et à un pignon, en augmentant démesurément le nombre des dents ' ^ ïouc.

Les vibrations de petits pendules sont liabituellement expri* méespar leur nombre en une minute. Soitp ce nombre, e étant

le nombre de dents, — sera la durée de la rotation de la roue

P d*échappemeBt en minutes, et comme l'arbre des heures iMt sa révolution en 60 minutes, le rapport des deux vitesses,

ou-- = 60X^=-^.

Exemple : Le pendule d'une horloge fait 170 vibrations cfl

une minute, la roue d'échappement porte 25 dents et les pignons

ont 8 ailes; on a pour les dents des roues :

— a= — , d'oilD=180é6±= 128X102.

526. Dans une montre, les vibrations du balancier sont ïà&û plus rapides que celles du pendule des horloges; elles varient, suivant les constructeurs, de 270 à 360 par minute. De plus, à cause des petites dimensions des pièces, les roues ne sauraient porter un grand nombre de dents. La roue dVchappement porte de 18 à 16 dents, au lieu de 30 ou 40 dans les hoiloges, et le nombre de dents des roues varie de 40 à 80. Dans les chronomètres, on arrive jusqu'à 96, nombre bien inférieur à celui usité pour les grandes horloges, ilans lesquelles on emploie, dans les mêmes conditions, le nombre 130.

Le nombre des ailes des pignons n'admettant pas de réduction, il faut nécessairement un arbre de plus dans les montres que dans les horloges, et le système de roues entre Tarbre de la roue des heures et Tarbre du balancier consiste en trois roues et trois pignons.

Exemple : Le balancier d'une montre fait 360 vibrations par minute, la roue d'échappement a 15 dents et les pignons ont 8 ailes. On aura pour les roues , F étant 8X8X8,

Dt=8»X — fî: =368640^80X72X^4.

526. Les exemples de rouages d'horloges donnés Jusqii*lcl se rapportent seulement aux mouvements relati£s de la grande roue

kt de la roue d'échappement; c'est comme si l'on supposait le >oids moteur adapté à la roue qui fait sa révolution en une heure, ^lais dans ce cas Thorioge ne pourrait marcher que quelques leores, cinq ou six, sans être remontée. Il est nécessaire de >lacer le poids moteur sur un axe séparé , réuni par an rouage ivec l'arbre des heures, de manière que le premier tourne trèsentement, et que par conséquent la descente du poids moteur le se fasse qu'en un long espace de temps; la corde, enroulée en liélice, faisant un nombre convenable de tours autour d'un cylindre de longueur suffisante.

Bans la pratique, on ne peut faire faire à la corde plus de seize tours sans que sa longueur devienne un inconvénient. Si donc on veut construire une horloge qui puisse marcher huit jours sans être remontée, il faut que chaque tour suffise pour douze heures. Toute paire de roues produisant un mouvement dans le rapport de l à 12 conviendra pour ce rouage; 96 et 8 «ont les nombres habituellement employés, ce qui donne le ft)uage total ci-après :