I. Manivelles multiples

S43. Noos avons vu que le travail de la force P agissant à l'extrémité d'one bielle, pour un angle élémentaire infiniment petit (0, varie de 0 à P r co, et ces variations sont représentées par e» aires âémentaires de deux courbes lorsqu'il est transmis à la manivelle.

Manivelles doubles. — Si au lieu d'appliquer la force P à une seule manivelle agissant au point E ,

on fait agir deux forces égales à - P

sur deux manivelles assemblées aux points E et F, l'angle EOF étant de 90° (flg. 429), de manière que Tune transmette le maximum de travail Fig. 429. lorsque l'autre transmet zéro , le tra-

^*^I de la première variera de 0 à - Pr w, tandis que celui de

'^ seconde variera de - Prw à 0. Les angles a et a' étant évi-

ï^emment complémentaires , quand les manivelles se déplacent l^ travail élémentaire sera pour une position quelconque :

T=-Pr(sin, a-j-cos. a), (a

On peut poser sin. a-|- cos. a = sin. (46® -f- a) ^/T, formule tadle à vérifier en développant le second terme, et remarquant

que sin. 46* = cos. 45" = - \/T.

La pins petite valeur du sinus ou «= 0, donnera le minioimn et la plus grande on 45*-|~> = ^0" ou a = 45*^ le maximum.

On aura donc :

Minimum. « = o, sîn. 45. = - V/T, d*où T = -P r j/T «. Maximum, a = 45% sin. (45° + a)= l, d'oùT=- Prw.

Le rapport du maximum au minimum est de -— , ou 0,707.

On voit que les limites de variation sont bien moindres qu'avec une manivelle simple, et surtout, ce qui peut être important, que le travail élémentaire de la force n'est jamais nul.

. La construction graphique donnée précédemment«(fig. 889) pour représenter le travail de la manivelle, s'applique à ce cas et fait bien sentir comment les choses se passent (1).

» 10 tl 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31

Fig. 430.

En effet, puisque nous avons déterminé pour une manivelle simple, dans vingt positions différentes, les efforts utilement transmis à la manivelle qui sont les ordonnées des courbes dont Taire représente le travail , pour passer de ce cas à celui des manivelles multiples, il n'y a qu'à ajouter sur chaque ordonnée les efforts correspondants aux positions correspondantes de la seconde manivelle , ce qui donnera la surface représentant le travail des efforts simultanés transmis aux manivelles courbes

(1) Nous empruntons à M. Morin cette figure tracée pour le cas d^ime bielle courte, comme le montre la non-symétrie des courbes.

Qi feront apprécier les variations da travail. (L'échelle de la gare est alors double, car chacun des deux efiforts devient

P.] La figure montre bien la régularité plus grande obtenue par

emploi des manivelles doubles.

544. Manivelles triples. — En disposant une troisième maniille au point G (fig. 429) (la bielle agit alors en remontant) et

^sant agir chacune des trois bielles avec un effort égal à - P,

i^gularité ne croîtrait pas. En effet, le travail élémentaire ^ient :

T = (-Prsin.a+-Pr8in.a' + -Pr sin. a)« \3 3 3 /

= - Pr (2 sin.à+cos. a), w o

*otir a=:0, sin. a = 0, cos. a = 1 , on aT=-Pr co.

*our a = 45°, on a : sin. a=cos. «= - v/2, d'où le travail

= -PrX-V/2w=-Pr\/âw; la variation est donc plus 8 2 3

c^de que dans le cas précédent.

^ne quatrième manivelle placée en H, les trois autres en ^,G , n'aurait aucun effet à cause de la symétrie de la figure, la force divisée en quatre parties agirait absolument de la même manière que divisée en deux parties et agissant sur jes deux premières manivelles. Il est nécessaire , pour obtenir une plus grande régularité, de mettre les bras de manivelle multiples en nombre im-^ pair, autrement Teffet est le même pour les manivelles dont le nombre des bras est moitié liidre.

»45. Si au lieu de disposer la manivelle triple ainsi que nous Lons de le supposer, on en place les trois boutons à égale

Fig. 431.

distanoe sur la circonférence, c'est-à-dire sur les trois sommets dn triangle éqnilatéral inscrit dans le cercle décrit par la manivelle (fig. 431), alors les variations sont moindres que pour les manivelles doubles. En effet, dans ce cas, si la rotation d'un angle a se produit, il est facile d'évaluer la somme du travail

élémentaire des trois forces - P agissant sur les manivelles. Cette

quantité sera égale, d'après la propriété du côté du triangle

équilatéral d'être la corde d'un angle de — = 120*», moindre

de 60^ d'une demi-circonférence , à

T= (- Pr(sin.a)-}-sîn. (60* — a) + sin. (60»-4-a)ja),

Or, le sinus du sommet placé seul d'un côté du diamètre est égal à la somme des deux autres.

En effet , on a :

sin. {60'+a) = sin. 60<» cos, « + sin. « cos. 60*. •

Or, COS. 60° = -, d'où sin. 60° = V 1 = - t^

Donc, sin. (60° -}-«) = - \/3 cos. a -f- - sin. a.

De même, sin. (60° — a)= sin. 60° cos. a — sin. a cos. 60°

= - 1/3 COS. a sin. a.

En ajoutant sin. a, on retombe précisément sur la valeur de

sin. (60° 4- a); donc la somme des quantités de travail sera:

T= f-PrX 2 sin. (60°+a)j<

Le minimum correspond à a = 0, à la position indiquée sur la figure 431 , qui est celle de la plus petite valeur que puisse prendre sin. (60°-|-«)ï quand a = 0 et que le point A vient à passer du côté droit du diamètre ; dans ce cas, la formule donne :

T = -PrV/3 co.

COMBINAISONS DE ^MOUVEMENTS. bOS

r^ maximum a lieu pour eo"" -^ a = 90"" ou a = 30°, et alors

ui^ éds sommets (C par exemple) est sur le diamètre horizontal.

Dahs cette portion, Taction étant au maximum pour ce sommet,

a lieu utilement pour les deux autres. Alors sin. (60« + *) = ^

1/3" et le rapport du minimum au maximum est-^ ~ 0,866.

On peut donc établir le tableau suivant pour le rapport du niinimum au maximum dans chaque cas :

Rapport.

Manivelle simple 0,000

Manivelle double 0,707

Manivelle triple 0,866

^^est-à-dire qu'à mesure qu'on fait croître le nombre des ma- '^velles, les variations diminuent.

La ûgure 480 (considérée comme à échelle triple quant

^'^^ ordonnées, puisque les trois efforts sont - P) montre la

^^^ï"l)e des quantités de travail ; elle fait apprécier toute la régu- *^**^t:^ du travail produit à l'aide de manivelles triples.