Passons au deuxième cas, le rapport - des vitenes étant
donné par 1 -j-i, on voit, en raisonnant comme d-déssns, que le nombre ai» points de rebroussement des courbes produites est plus grand d'une unité que le dénominateur de la firactioii; Tentralnement du levier s'ajontant à la rotation de la roue. Il est
d'ailleurs facile de reconnaître que ces courbes tournent leur convexité vers le centre du mouvement.
Les figures 496 à 601 indiquent les courbes dont nous parlons.
Le rapport -ouA=Betn = 3a, donne une ligne droite, le
mouvement étant celui d'un point de la circonférence d'un cercle roulant dans Tintérieiir d'un autre cercle de rayon double. Un autre point de la i^urface du cercle mobile décrit des ellipses d'après \t» propriétés de ce oiouvemeDt (art* 16S).
î îi
^ Fig. 496. Fig: 197. Fig. 498.
Le rapport 1 : 2 donne n = 3 n et trois points de rebroussement, et ainsi de suite; le genre de ces courbes est encore parfeitement défini.
Fig. 499. rig. 60J. Fig. 601.
634. Examinons maintenant ce qui arrive quand la valeur de t n*cst plus donnée par des fractions ayant le numérateur égal à 1 , mais toujours formées de nombres entiers. Dans le premier cas, les courbes toujours concaves vers le centre du mouvement, ayant leurs points de rcbroussemcnt symétriquement disposés autour de ce centre et à Tintérieur de la courbe, posséderont un nombre de points de rebroussement égal à la diflërence des deux termes de la fraction et un nombre d^involutions égal au numérateur (une droite rencontrera la courl)e de chaque côté du centre en un nombre de .points égal au numérateur). Cela résulte bien
éridemment de ce que l'on doit retraneher la rotation
la roue de celle du levier; de la forme de VtxprtBBMÊ v >^:cû^,
Soit: • = -,!! = (.-.; fl=p.*^j«, comme - = -, B devrait frire sept toi»; peno^ que A ea II»
JB 7
rait deux s*il s'agissait d*un mouvement ordinaire de muts deo* tées; mais par Tentrainement du levier qui produit en oaM deux tours de B en sens Inverse par deux rëvolntlons, la iMNition absolue de la roue entraînée B sera ^ — s = s toofi.' ï
existera par suite cinq positions symétriques', dnq poinfs der^ broussement (fig. 505) et une droite partant du centre (répdbdantà une position périodique du 1evier)V'ne ponrra'pttMaeontrer la courbe tracée en ptu^ de "deàx points, ÎpiiisqAe éM toujours après deux tours de la roue mobile (l'entratoàmcnt ne modifiant pas, sous e« rapport^ les période!^ de la eottrbe]^ que la epurbe tracée sera fermée. ^^^
Oii voit que les courbes les plus eotaplexe*, qui poiintilh mle^ix convenir aa giiilloeljiige, à romemeoUitioa cics mtùnxi par gravure mécanique, seront surtout celtes ]^ar lea»]ticl{a U dâl^minateiir sera asse? grande et par suite aussi le nombre d{i points de rebrousscmeut svui^trk|ucmcnt disposés airtour du cercle.
Nous donnons (fig. 502 à 507) les dessins de quelques-unes de ces courbes.
Fig. 602.
Fig. 003,
Fif. MM.
Fig. 006. Fig. 606. Flg. 507.
626. Dans le second cas, Texpression de la valeur de.n donne DU nombre de points de rebroussement égal à la somme des deux termes de la fraction, réduite en nombres premiers, et ces points gii^tr^aem6At dlsposite w^ situés extérieurement. On peut m^vrele. fieçQ^ipiflIr^ en distinguant ]cs yit^s
Eibsolues, des mouvements des roues entraînées par le levier qui tnicept les courbes que nous considérons, vitesses obtenues en
Flg. MS. Fig. 609. Fig. 610.
ijontant le mouvement du levier au mouvement relatif. Ces proirlétés se déduisent immédiatement de la forme de l'expression t = (1 4- c) A V dont nous partons toujours. Le nombre des in voulions des points de rencontre d'une droite passant par le entre i^>t ionpiub donné par le numérateur de la fraction qui iréitcnta e, bm ilminons, flg. 508 à 513, quelques-unes de ces courbes. 620* EJfei dei pignons intermédiaires. — Considérons
E Alenant le cas général où le rapport y de la formule géné-
"ale n*est pas égal à l, où Ton fait intervenir des pignons. Les
58i LIVRE DEUXIÈME,
principaux caractères des courbes aiors engendrées se déduiront eomioe dam le ,ças( piréçié^ept d^fjoripulq^ g<ii^fn|lm;Mi?Rmarquant que le rayon plustJ9u.|na^)jB, gÔlA^l ^JSWftà.fnçant chfuige la nature des points de rebromseiiieDt, les rasplace par une bonde ou par.uye peUtç i'^]in^\ QE nuii&Lniod^cii quelque sorte Tathire de la eourbe, 1^ conrtiçs que Tou y v
Fig. 61 1. Fig. Oiz. 11g. ut. ,
sont toujours des courbes épicydoïdalcs, mais des é^iejdoldes
doublement transformées, non-seulement en raison du n^
qui porte r axe dfii cêrctê moUlë| mÀfs èni^rè îtu iàyon Hè<ÎM
pour tin même rapport de iritessfc. Cest ce qolvftillm'Mlda
clair pal^ quelques exemples. ■ • "-■' ^' •
• R ■■■■.A -'•■ '^ -r^'iî- >.'-;i»i 627. Citons d*abord le cas où r = »> I<^ rapport t des os
précédents sera remplacé par e' pour les exemples cornspondasls. Les figures similaires sont assez luirieuses à éxudlcr^ it If^ caractères généraux î^es secondes déi ivcut de celles du ou correspondant au rapport simple, eu âplati&sunt en qucti]ue mU
Tig. 614.
Fig 515
Tlg. 516.
tous les angles. On en Juge aisément par lesflg. 514 à 619 : les Iroh pHïftiièM ^' hipportant au 'ihouvenient inverse, les trois édirikiëitiès Ùi MMveifteiit direct; • ! = • "
Op pourrait cncor© f^tuilrcr h^ puissances siiperk^urcs, mais Il %aut mieux passer h un outre niodi^ do classement général de tôùies €«s courbes dont nous allons parler. - 629; Revenons aux résultats'qne Ton obtient ^^ donnant au ." K ....... ■ .. . ■■.. ■■ ■
rapport r de^. rotations du système intermédiaire diverses valeurs
numériques: Comme dans l'étude précédente, iiou^ avons compris tous les rapports possibles de vitesses,; les relations indiquées subsistent toujours, les caractères généraux des courbes sont donc les mêmes i)our une même valeur de e.
Bapa» 1:3 8:3 It 1
kkg^ frïO» Fig, &21. 1-lg. B22.
Cela conduit h classer les courbes épicycloldnles comme le ftjffOÊtM, PeripI, auteur anglais, qui a tracé un grand nombre da ees courbes à Taide de moyens mécaniques, non plus d'après le rapport des rayons, mais d*après la valeur totale de e, ce qui
range sous la même division toutes les courbes qui ont le i nombre de points de rebroassement, de boàelèâ(. •'" -•*"*^î*Wt*
Soit à moovement inversé i >» -^^ ^ï^zxsi ^ nous retroBvau
^= E le cas déjà traité (flg. 520), un seul point de rebroosscmcnt
Si ^^ = - -7 = 2) on revient aucas -^. La. point de rebmiiM-
ment disparaît presque.
~ =r - ^ s= - , c'est une courbe à une boucle comme toutos les
courbes de cette série. La boucle s'agrandit à mesure que le premier fhcteur augmente et le second diminue. Les figures 523 à 525 représentent , de même que quelques
courbes, pour la valeur de e = - et divers rapports des rayons
des roues  et B. .
Rajona 1 : 1
Fig. 526. Fig. 627. mg. &£S.
Ijcs courbes correspondant aux épicyelokks inténoures, pih duisant un mouvement direct, offrent des combînaîsous tinnk^gués faciles à analyser en partant de la formule n = (i -f^ t}è.^
..JiaiOM.l :«>... 1:2 3:4
'Sait ■ ss - en donnant à - les valeurs ~, *, i, on a pour^r les
8 1 YakniB '1, -, ;-, c* on obtient les courbes à s. boucles numéros 4 2 '■-
De même t = «-'donnera les courbes à 4 saillies ou 4 boucles - S '• .
nnméros 520, 680 et 531. . .
Soit encore («s—. -.':=:~E=s^. courbe à 6 points de re-
hroQSMnient.
- = -•-=—, courbe à B nœuds (ïîg; 532) èèmtné touttt
celles de la série.
Enfin soit « = -— = -, 7- = - courbe à 5 boucles (fie. 533). 7 B l' ft 7 V o /
'•i-.a -,- = —. les 5 boucles se recoupent au delà du cen- B 2'* 21' *^
tip(4g.«84).
Bajooa 1 : 1
Fif. 683.
Fig. 534.
Fig. 633.
Le classement ainpi, effectué, entre les courbes de. (ormes variées à l'infini poavant être ainsi engendrées par l'em ploi de dmpta pièces à' ft^iiéltf'cIrtitMto ^t' tfuto'^iid Utiibfef litt'poiitifè Tttedcs'l*bftttîàABBp<««Ji«^^^^^ '""' '"-^i"'' •'•' *'''"-^^'^ ■ ■
629 ; ir (^t liieb fvidénf qtaW ron pô^rMit ôbtéiA^ dâi thMitt eonrbès 'cyèTcfldaîés' en ïdlsàiit' glisser' un s\it(ihà 'Â6*TbdÂ'nr une crémaillère fixe, et obtenlV^lAit des Ijdâîébi^' en ISbdàii'ft reproâulsàtit Itô unes à'iA^siiited^'^lutrês, ces cburbéè^ ^atrt'kiBblables, et les mêmes points de chaque courbe étant situés nr une droite parallèle à Taxe de la értmaillère^.' ' ' '
630. Cette étude des courbes variée^ tbmpIèTe'ce que Doos avons dit sur le tracé inécaniquejdes courbes, et limite bien l'étendue de celles que Ton peut obteqir sans rosette spéciale.
Sans doute, suivant Tingénieuse remarque de Bemooill}', d*une manière générale, lès épfcy'cloîdes produites par' le i ment d*une cooriie plane continue et qtiélôoiiquè sur n courbe, peuvent être des couri)es continués et planes qndconques, et par suite on peut toujours reproduire lé niëuveinent quelconque dun point dans un plan par le roulement rUr proque de deux courbes déterminables graphiquement, dont Tune est liée à ce plan qu'elle entraîne nulour de Taotn censé fixe. Mais cette théorie, dans sa généralité méme,qai fait de toute courbe une épicyeloide, prouve qu*il faut d&DS chaque cas une courbe directrice spéciale; ce n*ost que dans le cas particulier des épieycloides circulaires que le guide tour des coussinets suffit. On ne peut obtenir ainsi, et c*est ce qu'il importait de démontrer, que des épieycloides circulidies et des courbes qui en dérivent simplement, mais la variété de courbes semblables d*ordrc aussi élevé que Ton veut, foomit des ressources importantes à Tart de graver des surfaces pu procédé mécanique dont la pratique de Tindustrie peut tirer no grand profit. *
SECONDE '^^lASSE DEinTÈBiES ÉFttrTCËOIDAUX/
pour établir un rapport exact de .,i[fti);9^,|a|i^^l^,patr)s 4e|ax ai(C^.yA)r.4i^,s9piqÀes ou d^.différe^iiee^ do rapport, lofsqu^il ne fmtjijççe obtenu par le seul emplof de. roues âenttes et lorsqu'une simple .approximation est i^adjEnisalble.
Ij^Nis, avons vu (art. 607). que si c est. la raison d'un système épleycloldal et si Faxe menant est réuni s^yec la première roue par un système dont la raison çst {a, et avec la dernière, rpue par on système dont la rajson est v, on a :
qn9Wd m^tp ^fit,jjes.^ot^pp^,s^pU^né^jda^.r^^
rouage et de ra;Kje,qui cf)nduU;^.c*^trà-dire que l'effet des deux
Ce sys^e est appliqué squs un^ forme ^simple dans la disposition jreprésentée pr là figure ii35..
B fr est un axe sur lequel est monté le levier 6 g, qui pojrte la rcme G ; oelle-d engrène avec deux roues égales F et H , qui sont concentriques avec l*axe B b^ mais sont montées sur des tubes gai toament librement autour de celui-ci.
Le système épicycloldal consiste donc en trois roues F, G, H; P pouvant être considérée comme la première roue et H comme a dernière.
A a est Taxe moteur qui porte les deux roues D et L; D sert À mettre; l'àké en nljp^<)(rt iîVee la prënfèi^'ro sjMte
éiiicyç|fî4iil ^iiyecje tabequ},JftiK)rte).^iiu^ roues ^eotées et j^qpf^d^^iE^e^'iejatm.I^.ç^^ et k un système de roues dentées qui réunit l'axe Aa a^ee ii demièfeffôQe'H.'OnàparéUite: . . < r < . i.,..
,. .1. ^f.» '...-• i«4. 'f,. ; 1* • - 'fil l'i'ii '
Le mouvement du train épicyeloïdal étant considéré par apport au levier, on vOft que les ' roues extrêmes F ^ B 4e Mh vent dans des sens opposés, par suite e est négatif et égal i. -
Par suite :
,,.., .. p i^^T^l îW^t,:'*/.:' ,,. I
a Si donc le rapport - est donné, que sm'ifMùiéMetir'ôftMi
dénominateur, ou tous les deux ne soient pas décomposabkicB facteurs premiers, il devient facile de^ déterminer. deux flnctioai décomposables dont la somme soit égale à la fraction jinipoaée, et de les employer pour former un système semblable à celd de la figure.
Cet emploi des systèmes épicycloîdaux est donné par M. Franeœur [^Dictionnaire technologique, t.. XIV, p. 431), auquel noos empruntons le calcul ci -après. Il attribue ce mécanifflie i MM. Pecqueur et Perrelet, qui l'ont employé en 1823; lapre* miëre idée de ces méthodes, suivant M. Willis, est due à Madge, qui a construit, vers 1767, une horloge qui donnait le mouvement lunaire par trains épicycloîdaux.
Appliquons ces résultats aux cas pour lesquels le système simple de roues dentées ne suffit plus, ce qui a lieu qnsnd
Tm
— = a, a n'est plus un nombre commensurable et que les deux termes ne peuvent se décomposer en nombres premiers.
j6j|3. ]?j;emwr çqt. ^t-^)fne frac^iiiii.^f le, dénominateur
it déoompbsable'en facteàrs premiërs/^ais non le numérateur.
Soit le d^ôm(nateùfp==/o A, la fràëtibn qui i^présente le
a' qpport des vitesses est r-r. La dénominateur pouvant.souvent
\ décomposer en trois facteurs de diverses manières, chacun Nurnit une solution distincte du ph)bième.
On. décomposera 7^.. en deu^.^ftaçtioiis convenables, en point": > •''■
, /ffA /jA^/jA' est-à-dire a =:/x -^ 9 y.
Il est facile de résoudre cette équation. en nombres eptiers pour et y, et d^obtenir une infinité de valeurs de a: et y qui satisfont A problème e|; donnept : , . , , ,. ^ . ,, , ^
é^igi^de^nt étre'premiërsfuti'ét rautre, puisque a est premier
lâF'Kyjpdtlièsé;- ' ■
JSoil, par exemple, la fraction — . Puisque 310 = 4X9X6,
ni» poserons 271=r9a;-|-4jf ou/= 9, g ^4. Les méthodes fllhaires de l*analyse indéterminée donnent pour toutes les ileors qui satisfont à ces équations les deux expressions = 81 — 4ijy = 9t — 2,/ étant tout nombre entier positif ou ^tif -
On iaainsi:x = 27., 23, 19 .... 31, 35, 99 y = 7, 16, 25 .... — 2 — 11 — 20 lar les valeurs de ^, i 2 3 .... — 0 — l — 2
CSomme y A = 24, /A = 54 , la fraction — est donc égale à :
ou encore à :
31 2 35 n 39 20 ii "" 54' 24 ~ 64' 24 54'
et ainsi de suite.
La première série se rapportant au cas où les roues toamoit dans la même direction ; la seconde, quand les sens de rotatk» sont différents.
Puisque 8 et 3 n*ont pas de facteur premier, le dénomlnator 2l6peut être décomposé en 8X3 X 9, et eu posant 271^â^-f4^ on a :
X = Zt — i y = 93 — 8^, d'où 0? = 2,* 5, 8 . — 1 — 4 — 7 y =r 85, 77, 69 . . 93, 101, 109, ce qui fournit les nouvelles décompositions :
et ainsi de suite pour d'autres solutions. '
En général, le dénominateur de la fraction proposée poaimt être décomposé en facteurs premiers et mis sous la forw m«n^j9T ..., chaque paire de ces diviseurs peut être prise poor les quantités /et 9, pourvu qu'ils soient premiers l'un par rapport à l'autre. Si alors on résout l'équation a =/i;-|- 9 y en nombres
X f entiers, on a les valeurs des fractions composantes— . +:^,
gk ' fk
dans lesquelles h est le produit du reste des facteurs du dén<»ii-
nateur après qu'on a retiré/ et g.
Exemple. — La lunaison moyenne= 29^ 1 2^ 44' 3' = 2551441*,
par suite le rapport de la lunaison à 12 heures est =
dont le numérateur est premier.
D'après la méthode ci-dessus, cette fraction peut se résoodie
en deux, savoir:
. Si ces AractioDs sont employées pour les rouages tx et v, les axes Âa, B^ feront leur révoliitiop dans le rapport voulu.
