AB

îi;n composante centripète, et puisque la vitesse est oj X AB , -j^ ou

A F sera le rayon du cercle osculateur do la spirale en A. Note cinLq\iièm.e.

sua LE MOUVEMENT O'UNE FIGL'EE PLANE DANS SON PLAN.

903. On vient de voir que les résultats acquis de la science permettent do déterminer la tangente et le rayon do courbure de la trajectoire

89i NOTES.

décrite (Mir un point quelconque, lorsque Ton connaît les tangentes et les cercles osculateurs des trajectoires de deux points seulement.

La construction successive des rayons de courbure permet donc d'obtenir la développée , et Ton peut se demander de déterminer la développée de cette seconde courbe, et ainsi de suite à Tinfini.

MM. A. Transon et M. Résal , qui se sont pos^ cette question, ont reconnu que de même que les déterminations des tangentes et des cercles osculateurs dépendaient de la construction de deux points, le centre instantané de rotation et le centre instantané d'accélération ou de roulement, de même généralement la détermination des rayons de courbure des développées de tous les ordres à Tinfini , dépend d*au> tant de points ou centres particuliers. Mais pour pouvoir énoncer cette propriété curieuse sous une forme précise, il faut préalablement introduire dans la cinématique la notion des êuraccélérations de toux les ordres. — Voici ce qu'il en est.

Gomme l'accélération est égale en grandeur et en direction à la vitesse élémentaire (rapportée à Tunité de temps), qui altère à chaque instant la vitesse actuelle pour produire celle qui a lieu à Tinstant suivant , on conçoit qu'il y ait lieu de considérer aussi et d'appeler d un nom nouveau (suraa^lération) l'accélération élémentaire qui altère à chaque instant l'accélération actuelle; puis de dénommer suraccélération du second ordre la suraccélération élémentaire , qui se comporte de même avec la première suraccélération, et ainsi de suite à l'inBoi. — Ceci entendu, on a le théorème suivant :

Théorème. — « Lorsqu'une figure plane se meut d'un mouvement » continu dans son plan , la suraccélération d'un ordre quelconque est » à chaque instant , pour les différents points du système , ce qu'elle » serait si la figure tournait autour d'un certain point dont la position • varie d'un moment à l'autre, et qui est différent pour les difierents » ordres de suraccélérations. »

Les théorèmes relatifs aux centres de rotation et de roulement ne sont manifestement que des cas particuliers du théorème ci-dessus^ lequel suppose que le déplacement se produit avec une vitesse angulaire constante, circonstance qui est elle-même indifférente quant aux propriétés géométriques des trajectoires.

Note sixième.

BECTIFICATION DE LA CTCLOÎDE.

( Extrait d'une brochure de M. Tom. Richard.)

904.GoAoBj est une droite verticale, diamètre Str d'un cercle qu'on fait rouler sur une horizontale CoM ; on demande la longueur s de la

courl)e décrite par Textrémité supérieure Bo de ce diamètre depuis l'origine jusqu'à une époque quelconque du mouvement du cercle.

Soit à c^tte époque quelconque cT=r6 la longueur de Tare qui a <léjà roulé sur Co.M ; le centre A du cercle décrivant une droite égale ot parallèle a CoM, rJO sera le chemin élémentaire de ce centre.

Et (90" — 0) = a étant alors Tangle de ce chemin élémentaire avec la droite AB, la projection de ce chemin sur AB sera rdO cos a = rdO sin. 0.

D'ailleurs, le jioint de tangenco T est le centre instantané de rotation du point B, qui décrit ainsi un petit arc ds de la courlxî, |H»rpendiculaire à la corde TB, c'est-à-dire dirigé suivant la corde GB, qui est la tangente à la courhe.

Fig. 791.

L'angle de la cq^rbe avec la seconde extrémité do la ligne AB i^i donc :

p=90« — ^0, d'où COS. p= sin. ^ 0.

et la projection de ds sur AB devient ds sin. -^6. Les mouvements virtuels sur la même ligne AB étant nécessairement les mêmes, on a l'égalité ds sin. ^0 = rcfO sin. 6; d'où

dsz=J^!^\ =2rco8.-Lerfe,ets=axtrsin.iQ=:a(cordedeTC).

Ainsi l'arc BoB = s de h courbe décrite par V extrémité supérieure du diamètre est égal à deux fois la corde de Varc GB ou TC qui a roulé sur l'horizontale. Résultat connu depuis longtemps, mais qu'il est curieux, dit M. Richard, d'obtenir aussi directement et par une voie si différente de celle qu'on suit habituellement pour y par\'enir.