EE
Divisant cette valeur par to* on a EC = jr-^ , et d'après la re-
manjue (2), le point B, centre instantané d*accéléralion, se trouve sur la perpendiculaire à la normale commune élev(»c en C.
A mesure que PQ se rapproche d'une droite, de sa tangente en G, le point D s'éloigne, et EC converge vers zéro. A la limite, lorsqu'une courbe liée à la figure mobile reste tangente à une droite fixe, le centre instantané des accélérations se trouve sur une parallèle à cette droite, menée par le centre de courbure répondant au point de contact.
Si la courbe mobile se réduisait à un point parcourant une droite, il faudrait faire EG = O.Donc la droite passerait par le centre instantané des accélérations.
Remarquons aussi que la distance DC = DE — EC ou DE — g^,
donc DC = ^" + ^^ (DE - OE).
Le premier facteur converge vers 3 lorsque le i>oint E â*ëk>igne à rinfini, et le second devient DO; d*oii celte règle :
Quand une droite passe constamment par un point fixe, si l*on joint ce point avec le centre instantané de rotation, et que par l*extr^të de cette ligne prolongée d'une quantité égale à elle-même on élève une perpendiculaire, cette ligne renfermera le centre instantané d'accélération.
Appliquons ces considérations à la construction géométrique des centres de courbure de quelques courbes qu'on ne saurait songer à chercher par la voie de Fanalyse.
Conchoide. — Une droite G F de longueur constante, assujettie à passer par un point fixe P, se meut de manière que son point G parcoure la droite GL ; un autre point F de la droite mobile engendre une conchorde.
En menant GO et PO respectivement perpendiculaires à GL et FF. on aura en 0 le centre instantané de rotation. Prolongeant ensuite PO d'une longueur OC = PO, et menant la perpendiculaire CB à PC. le centre instantané des accélérations se trouvera sur CB (demièrf règle] ; comme il doit se trouver aussi sur GL, il sera donc en B. Il ne reste donc plus qu'à projeter ce point sur 0 F en D, et à prendre
FH = TTïT-, moyenne proportionnelle facile à obtenir géométriquement : le point H sera le centre de courbure cherché.
Courbe à longue inflexion, — Pour déterminer le cercle oscalateur
de Tare ëlëmenlaire décrit parle point F d'une droite FGG', dont ies deux points GG' parcourant deux cercles donnes AG, A'G', nous obtenons d'abord le centre instantané de rotation 0 en prolongeant les rayons AG, A'G' jusqua leur rencontre. Prenant ensuite les distances GC , G'C respectivement égales à -r-jr- et JT^r, le centre instantané des accélérations B devant se projeter à la fois en G sur 0 A et en C sur OA' sera le jwint de rencontre des perpendiculaires CB, C 'B, menées en C et C à ces deux droites. La construction s'achèvera
en projetant B sur 0 F, direction de la normale , et portant dans le sens FD la longueur Fil = ^fr-j qui sera le rayon de courbure.
Comme les cinq points 0, D, C, B, C ' sont sur un même cercle, on |)0urrait, après avoir déterminé C et C, le décrire pour obtenir par son intersection avec OF le point D.
Généralisation. — Quelles que soient les courbes directrices, comme quelles que soient les deux courbes assujetties à glisser en même temps sur elles, on pourra, d'après la construction précédente, obtenir le rayon de courbure de la trajectoire d'un point du système.
Soient E, E', D, D', les quatre centres de courbure des courbes en contact.
Pendant un temps infiniment petit, E peut être considéré comme se mouvant sur le cercle osculateur de sa trajectoire, dont le centre est D et le rayon DE ; de même E' se meut sur le rayon de courbure D' E'; donc on aura simplement à chercher le centre de courbure de l'arc
«décrit par un point lié à nne droite de longueur constante EE', dont
Fig. 730.
les exlréinitës parcourent des circonférences données , c'est-à-dire le problème se trouve ramené à celui du cas précédent*.
RAYONS DE COCRBURE OBTENUS PAR LA DÈCOXPOSmON DES ACCÉLÉRATIONS.
902. M. Bresse a montré encore que la considération directe des accélérations et des propriétés de leurs projections pouvait conduire très-directement à la détermination de rayons de courbure , lorsqu'on connaît les accélérations comi)Osantes. Nous indiquerons comme exemple les calculs des rayons de couri)ure de l'hélice et de la spirale d'Archimède.
Hélice. — Un point parcourt avec une vitesse constante v la section droite d'un cylindre ; en même temps il se meut dans le sens |uiraiièle aux génératrices , avec la vitesse v tang. t. 11 est clair que sa trajectoire coupe tontes les génératrices sous l'angle 90® — i ; c'est donc une hélice, suivant laquelle le point mobile se déplace avec une vitesse
uniforme -. Le mouvement parallèle aux génératrices ét^mt aussi
uniforme , et de plus rectiligne , l'accélération totale du mouvement
absolu se réduit à celle du mouvement sur la section droite, soit à ~.
f étant le rayon de courbure de cette section, au point où se trouve le mobile, et le rayon de courbure de l'hélice coïncide en direction avec Jui, car le mouvement absolu étant uniforme, suivant la courbe, Tac-
céJëralion totale se confond avec son accélération centripète, p étant le
ya rayon do courbure, — est celte accélération.
Or, V =r :, donc enfin p = 5-..
' C50S. 1' ^ cos.-*»
S/nroie d\irchiméde, — Soit co la vitesse angulaire, ub la vitesse
rectiligne, a Tangle AOP, r la distance 0A« r = 6a sera Téqualion
polaire de la spirale.
Fij. 790.
La vitesse de circulalion du point A est cd X OA pcriîendiculairc à OA ; si ] ou lait AOfi = 90®, OB = 6, la vitesse de glissement stu* le rayon vecteur (ou vitesse relative) sera wÔB, perpendiculaire k OB; donc la ligne AB sera normale à la courbe, et la vitesse en A, résultante des deux premières, aura pour expression no X AB.
L'accélération totale du point mobile en A s'obtiendra tm composant : ^"raccélération relative sur le rayon vecteur, qui est nulle; 2« Taocélération d'entraînement o)^ AO dirigée de A vers 0 ; 3" Taccélératlon 2fi) X m6 ou ita^b^ dirigée suivant OB. Ainsi, en prenant CD = 20B, b>2AD serait raccéléralion totale; donc m^ X AE est
