Du temps. — Le temps , notion première spéciale à la mé

caniqae, découlant de celle du moiiTeiiient, ne peut pas pins être défini que l'espace ; l'égalité dans le temps, d'où dérive la mesure du temps, peut se définir ainsi : Deux intervalles de temps sont égaux lorsque deux corps identiques, placés dans des conditions idefttiqu«B au commencemeat de chaque inter^ aile , et soumis aux méiaes actions d influences de toute espèce, auront parcouru le même espace.

C'est ce qui a lieu pour le pendule (fig. 1 ) , ^^

corps pesant soutenu par un fil , qui écarté de la verticale l'atteint pour la dépasser et y revenir ensuite, en exécutant ainsi successivement des oscillations identiques.

L'expérience fait bientôt reconnaître que les pendules de longueur différente n'exécutent pjis p.^^^ j

simultanément leurs oscillations, une de ces longueurs doit donc être adoptée pour fixer l'unité. Le temps

étant une grandeur peut être représenté

par un nombre ou par une suite de dm- 01234

sions sur une ligne ( fig. 2).

^ ° Fig. 2.

Mesure du temps. — Pour principale unité de temps on prend la ré> olution diurne apparente du soleil, le jour dont la durée est indiquée par deux passages au méridien du lieu , ou plutôt la valeur moyenne de ce jour qui éprouve quelques variations périodiques en raison de la position de la terre dans son orbite. Le jour est divisé en 24 heures, l'heure en 60 minutes, la minute en 60 secondes.

La longueur du pendule qui bat les secondes est à Paris de 0",993855.

4. Trajectoire. — Le mouvement d'un point est nécessairement continu, c'est-à-dire qu'un mobile ne peut occuper deux positions distinctes dans l'espace sans passer successivement par tous les points d'une certaine ligne joignant ces positions extrêmes. Cette ligne est dite la trajectoire ^ et les longueurs des parties de cette trajectoire sont les chemins , les espaces parcourus par le mobile.

DU MOUVEMENT D'UN POîNt. 3

5. ReprésetUaHon graphique du mouvement cTun pmnt. — Le moayement d'un point est eompiétetnent déterminé, lorsqu'on sait 1° quelle est fla trajectoire; ^ quelle est à un instant donné sa position sur cette courbe. Puisque ces deux éléments propres à tout mouvement , la longueur du chemin parcouru par le corps et le temps écoulé, peuvent être représentés par des droites, il devient facile d'étudier les lois du mouvement à Talde de la géométrie, les rapports de ces deux éléments.

Supposons, dit M. Poncelet {Iniroduetian à la Mécanique)^ que nous construisions une table à double entrée, à deux colonnes, dans laquelle nous portions les espaces parcourus pour chaque temps écoulé; prenons une certaine longueur pour représenter l'unité du temps, et une autre longueur pour représenter Tunité de cliemin parcourue.

Cela posé, traçons une droite indéfinie A^, et portons sur cette droite une distance ka représentant un des temps indiqués sur la table; sur la perpendiculaire élevée en a portons une distance aa! , représentant d'après la table le chemin parcouru au bout du temps ka; faisons de même pour les autres temps et les autres chemins correspondants, on obtiendra une suite de points 4^ ^V^d^i qo\^ réunis deux à deux par des droites, donneront te polygone a' , &^ , t' . Ce polygMie se confondra avec une courbe véritable, si Ton multiplie convenablement les points , ou si Ton prend, dans la table, des temps suffisamment rapprochés les uns des autres. Il est clair ausi^ qu*aa moyen de la courbe on pourra obtenir le chemin parcouru pour chaque temps donné, en d'autres termes, que cette courbe représentera la relation qui existe entre les temps et les chemins.

On sait que les lignes ^^a^ Ah, Ac..., s'appellent les (AseUtes, les lignes oa', &^.... les ordonnées de la courbe. On sait encore que cette courbe peut servir à retrouver les relations algébriques entre les coordonnées, ici entre les temps et les chemins, ou In* Tcrsemeiit que ees relations peuvent servir à trouver la courbe, par

Fig. 3.

les méthodes dont le développement constitae la géométrie analytique. Nous allons employer le premier système, qui correspond le mieux à la nature géométrique de cet ouvrage.

Il est bien évident que les courbes précédentes donnant la loi qui lie les espaces aux temps ne doivent pas être confondues avec les lignes ou trajectoires parcourues par les mobiles, sur lesquelles se mesurent les espaces parcourus.

6. Mouvement uniforme , Vitesse. — Onnommemoutfement uniforme celui dans lequel le corps parcourt des espaces égaux dans des temps égaux , dans lequel les espaces parcourus croissent comme les temps. Ainsi les ordonnées flrt», W., cr., y sont proportionnelles j ^j^y

aux abcisses oa, o&, et partant telles ^^^ ^

que la ligne a,, &,,<?, ...^ qui donne la loi ^

du mouvement , est une ligne droite.

De la définition même et ainsi que ^ a, l c é t cela se voit sur la figure, si on appelle f , é deux espaces parcourus pendant ^*^* ^•

les temps t,ty on aura :

e\e \\ t\t' Le rapport constant ^, ou la valeur de e pour f = r (Tunité

de temps), la réduction de l'espace parcouru à Tunité de temps se nomme la vitesse et représente Tinclinaison sur la ligne des abscisses (la tangente trigonométrique) de la ligne qui représente la loi du mouvement uniforme.

En appelant v cette vitesse, on a e = t; ^ 7. Mouvement varié. Vitesse. /

— Dans ce genre de mouve- jy ^

ments, les espaces n* étant plus y^K^î

prcqportionnels aux temps, la J^^n '^

ligne à y t^ n'est plus une ^>^\ !

droite ; les petits espaces décrits ^ u % c. %

dans les temps élémentaires pig. 5.

égaux sont inégaux; par conséquent le rapport de Fespace par-

conra aa temps employé, la vitesse est variable en chaque instant. Poor bien définir la vitesse dans le mouvement varié, il jOnut supposer qu'en un point c^ pour une position du mobile en un instant, le mouvement se continue uniformément avec la vitesse qui existe en cet instant. Le reste du mouvement, au lieu d*étre représenté par une courbe, le sera par la droite indéfinie c' d, prolongement de l'élément de la courbe en c, c'est-àdire la tangente à la courbe en ce point. La vitesse sera obtenue par le rapport de Tordonnée dek Tabscisse c' e, qui représente le temps égal à Funité, par la valeur de la tangente trigonométrique qui mesure l'inclinaison de la tangente à la courbe sur la ligne des abscisses.

Le mouvement dont la loi est représentée par la figure précédente est accéléré, parce que les différences ûes ordonnées successives, les espaces parcourus en des temps égaux , vont sans cesse en croissant. Si ces différences diminuaient, au lieu d'être accéléré le mouvement serait retardé, la loi qui lie les temps aux espaces serait représentée par une courbe comme celle de la figure 3, tournant sa concavité vers l'axe A( des temps. Si le mouvement d'abord retardé s'accélérait ensuite, la loi du mouvement serait représentée par une courbe, dont la première partie tournerait sa concavité du côté de l'axe A^, et la seconde sa convexité, ^'est-à-dire que cette courbe aurait un point d'inflexion au point qui correspond au changement du mouvement.

Enfin on voit que le mouvement périodique constant sera représenté par une courbe dont les on^b/a^ton^ s'enroulent régulièrement autour d'une droite a' V c' qui en représente le mouvement moyen uniforme. Nous parlons des mouvements qui, dans un espace déterminé, éprouvent des accélérations et des retards périodiques (ce qui se rencontre souvent dans les machines), et alors pour Tétude, ce mouvement varié peut sou-

Fig. 6.

vent être remplacé par un mouvement moyen supposé anîibnne et dont la vitesse est la vitesse moyenne du mouvemeiit périodique..

8. Du mouvement uniformément variée — Parmi les mouvements variés^ il en est un particulièrement remarquable et dont Tétude est d'une grande importance, c'est le mouvement uniformément varié, dont la vitesse croit ou décroît de quantités constantes en des temps égaux.

Nous pouvons déterminer Texpression algébrique qui lie la vitesse et le temps, par une construction semblable à celle qui a permis de déterminer la relation qui existe entre l'espace et le temps dans le cas du o a i e 2^ mouvement uniforme. ^^«* ^•

Traçons une ligne Oa, (,...., dont les abscisses Oa, Ob représentent les temps écoulés depuis Torigine du mouvement, et dont les ordonnées représentent les vitesses acquises à la fin de ces temps respectifs. Puisque les vitesses aot^bb, sont proportionnelles aux temps respectivement écoulés Oa, Oi, il est clair que la ligne Oaf ,b\ c\ est une droite partant de l'origine 0 dies abscisses, le mobile étant supposé partir du repos. Si Ton a divisé l'axe des abscisses en un grand nombre de parties égales, qu'on ait élevé les ordonnées correspondantes, et qu'enfin on ait mené par l'extrémité de ces ordonnées des parallèles à l'axe des abscisses, on formera une suite de petits triangles 0(za,,a, h'b, égaux et rectangles. Les cùtés oa., i' i., «' c,.... de ces triangles marqueront les accroissements successifs do la vitesse, accroissements qui seront égaux comme les petits instants qui leur correspondent Oa, ai, (c, conformément à la définition du mouvement uniformément accéléré.

Les intervalles de temps successifs Oa , ab^ be étant donc supposés extrêmement petits, on peut regarder le corps pendant l'un de ces petits intervalles queleoiiques comme se mouvant avec une vitesse égale à la moyenne arithmétique des deux vitesses (ce qui sera vrai exactement si l'intervalle devient infi-

fiiment petit). Or, dans le moayement uniforme, l'espace décrit en un temps qaeloonqae est mesuré par le produit de la vitesse par le temps ; ainsi i*espace décrit pendant le temps élémentaire

cd sera égal à cd multiplié par la vitesse moyenne - (ce, + ddt)

qui correspond à ce temps élémentaire. Ce produit n'étant autre chose que la mesure de Taire du petit trapèze ee, cf. J, celle-d pourra représenter l'espace parcouru pendant rinteryalle de temps cd. Pour un autre intervalle quelconque de, Tespace décrit sera encore représenté par le trapèze dd^ e, e. Donc enfin, Tespaee total parcouru pendant le temps Oe, par exemple, a pour mesure la somme ou surface totale des trapèzes élémentaires aug«mentée de celle du petit triangle Ono', qui mesure évidemment l'espace décrit pendant le premier instant O^r^, o'est-À-dire la surface même du triangle, comme l'a ainsi établi le premier Galilée.

Si nous appelons Y la vitesse en un temps quelconque et g la vitesse après l'unité de temps, la figure ci-dessus nous donne de suite , par les propriétés des triangles semblables : V : j = «: l,ou V=ryf.

g est Vaccélération qui se définit le rapport de l'accroiHemeat de vitesse pendant un temps infiniment petit à la durée de ce temps; les tangentes à la courbe des vitesses, pour des monve» ments quelconques, donneront ïes accélérations comme celles de la courbe des espaces donnent les vitesses.

Quant à l'espace parcouru, il est représenté par la surface da triangle, c'est-Mire que l'on aura E = -^ V ^ et d'après la valeur trouvée ci-dessus de V, E = ^ j< *.

Enfin, la valeur de l'accélération 9, constante dans le mou* vement uniformément varié, est pour < = 1 jf e= 2 E, ou le double de l>espace parcouru pendant la première seconde. v^

9. Ca$ où le corps possède déjà une vitesse acquise. — Dans ce qui précède, on suppose que le corps part du repos, de sorte que la Kgne qui donne la loi de son mouvement passe par l'origine des temps ; mais s'il possédait déjà une vitesse antérieure-

s PRINCIPES FONDAMENTAUX,

ment acquise, cette droite passerait par un point A% AA', représentant la vitesse da départ. En menant la parallèle A' D, à AD, on verra que la vitesse cd qui ^ répond à un temps quelconque kt écoulé depuis Torigine A du mouvement, se compose de la vitesse cCt égale à la vitesse initiale AA', augmentée de la vitesse d r., quelecorps acquerrait au bout du temps kc ou A'ir,, si ce corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent; car la droite A' H donnerait encore, par rapport à A' D. prise pour axe des temps, la loi de raocélération du mouvement.

On aura donc V = V + 9^ V' étant la vitesse à Torigine , et E = V'^ + i9<'.

10. Du motwement uniformément retardé. — Si nous supposons maintenant que la vitesse initiale diminue au lieu d'augmenter de quantités égales en temps égaux , nous aurons le mouvement uniformément retardé.

Puisque la vitesse diminue de ., quantités égales en temps égaux , la ligne qui joint les extrémités des ordonnées des vitesses sera une ligne droite. Si donc on appelle V la vitesse initiale A A' et gr la quantité -^ dont la vitesse aura diminué dans l'unité de temps, on aura V = V — yf et K= Y t — igt\

1 1 . Courbes représentant les relations entre l* espace et le temps. — Revenons aux courbes que nous avions d*abord considérées, dont les ordonnées représentent les espaces parcourus (et non les vitesses, comme dans les exemples précédents). Elles fournissent des ressources très- précieuses dans des cas importants d'expérimentation mécanique, qui consistent à obtenir directement les courbes des espaces en faisant passer devant le corps en mouvement un plateau mû d'un mouvement uniforme, pro-

nfSfi

Fig. 9.

portionndlement aux temps, sur lequel un style attaché au corps

en mouTement laisse une trace, en raison de Tespace parcouru.

Nous avons déjà vu que dans le cas du mouvement uniforme,

cette courbe est une ligne droite. Dans le- cas

du mouvement uniformément accéléré, cette

courbe est une parabole (fig. 10). En effet,

on a dans ce cas E = ^ gt^^ g étant la vitesse

^ du corps après la première seconde d'accéiéra-

Fig. 10. ^^jj. Qj.^ réqûation de la forme x* = 2/?y est

celle de la parabole.

Cette courbe Jouit d'une propriété importante qui permet de la reconnal!^ facilement par des constructions graphiques, caractèi*e très* utile, puisque c'est par un tracé qu'une loi est indiquée dans les expériences.

Cette propriété consiste en ce que, si -^r^ Ton mène une tangente en un point quelconque M (fig. Il), et si par le point S où cette tangente coupe Tax^ des ordonnées, on lui élève une perpen* diculaire, elle passera toujours par un *^' même point F sur Taxe des abscisses,

qui est le foyer de la courbe. Cette facile vérification indiquera si la courbe est une parabole, si le mouvement étudié est uniformément accéléré.

Pour d'autres relations entre les espaces et les temps, d'autres oourbes tracées représenteront de même les relations plus ou moins complexes qui pourront exister entre ces éléments.

12. Du mouvement circulaire au de rotation. — Dans tout ce qui précède , nous n'avons fait aucune hypothèse sur la forme de la trajectoire qui peut être une droite ou une courbe quelconque. Le plus remarquable de tous les mouvements en ligne courbe est le mouvement circulaire , dont la trajectoire est telle que tous ses points sont à égale distance d'un centre commun. Si plusieurs points invariablement liés ensemble ont ce mouvement,

ils parcourent des ares d'un même noiBfare de degrés, ils tournent tous d*un même angle. On rapporte ordinairement les mouyements de chaque point au mouvement de celui qui est ou serait situé à une distance du centre de rotation égale à l'unité de longueur, à 1 mètre. La litesse de ce points dite la vitesse angulaire, est un arc que nous désignerons par m. Si v représente la Titesse d'un point situé à une distance r du centre, on a : V : ir :: w ; 1 ou v=rrw.

Sile système Mt n tours par minute, le chemin décrit par seconde

n 2itr fiTT

est — circonférences égales à 2 ic r, donc rw=n --— et o) = --— . 60 ° ' 60 10

Si le moUTcment est varié, raecéléra* tion g est toujours égale à r u>, m étant ^' jCr^

Taecélération angulaire. C'est une rcla- / / yi\

tUm qui dépend de la propriété du cer- / cle, que les arcs sont proportionnels aux I g tuyons. \ /