FROTTEMENT

Bois sur bois, à sec

Id., avec enduit gras. . .

Bois sur métaux , à sec

Id., avec enduit gras. .

Métaux sur métaux , à sec

Id., avec enduit gras.

Cuir sur métal, à sec

Id., avec enduit

On voit que le frottement est d'autant moindre qu*il s'exerce entre corps plus durs. Quand des substances grasses sont interposées entre deux surfaces, celles-ci ne sont plus en contact immédiat, les molécules des corps gras forment des petites sphères qoi roulent entre les deux corps.

Frottement dans le système plan,

Mous étudierons d*abord le frottement dans le système plan , parce que les autres cas s'en déduisent facilement.

73. Considérons un corps glissant d*un mouvement uniforme sur un plan incliné. Il y a alors équilibre en clmque instant entre la résultante nécessairement unique des forces qui agissent sar le corps et la résistance, la réaction du plan. Les points j d'application de ces forces opposées

-^ -^- décrivant des chemins égaux, Tégalité . du travail exige Tégalité des forces, r Soit Y (fl^, 61) l'angle que fait la ^ résultante avec la normale au plan. Elle

^*^* ^^' peut se décomposer en deux autres for-

ées : R cos. Y) B sin. y, la première normale, la seconde parallèle au plan.

La première force- R cos. y? exerce une pression sur le plan et produit le frottement, lequel est proportionnel à cette pression, et a pour va!eur/R cos. Y,/étant le coefflcient du frottement. Cette résistance de frottement agit comme une force résistante parallèlement au plan, dans une direction opposée à celle du mouvement du corps.

La deuxième composante de la force R, qui a pour valeur

H sin. Y) ^t la force qui produit le mouvement. C'est donc cette

force qui fait équilibre au frottement, on a donc :

R sin. Y =/ R cos. y ou tang. y =/

Or, nous avons trouvé tang. f =/, 9 étant ï angle du frotte-

«enf . Donc la résultante R qui agit sur le corps de manière à lui

66 FlINCIPES FONDAMENTAUX.

imitnÊiur un nunmèmenC uniforme, faU mœe la normale au pàm um angle égal à l* angle du frottement. Cette résultante peut être coosidéfée comme égale et opposée à la réaction du plan, qui en détruit reflet en chaque instant, et Ton peut dire que la réaetwn du plan fait toujours avec la normale un angle égal à tangle du frottement.

Si la résultante R faisait avec la normale un angle plus petit que Tangle du frottement, le corps ne pourrait plus éprouver de déplacement, car on aurait tang. y < tang. <p ou R sin. y </R cos. y, c*est-à-dire que la forée qni tendrait à filtre glisser le corps serait plus petite que la force égale ao frottement qui tendrait k Tempédierée glisser.

Si, air contraire, la résultante R foisait avec la normale an plan un angle plus grand que Tangle dn frottement, on aurait : Tang. 7 > tang. <p ou R sin. y >/R cos. y.

Alors, la force qui tend à jfiifre glisser le corps étant toujours plus grande que ta force de frottement qui tend à le retenir , le mouYonent serait accéléré.

7i. Cane de frottement ou de résistance. — H est une manière de présenter cette propriété qni en fait mieux apprécier TtmpcHtance. AQB étant Tangle du frot- q

tement, limité par la ligne QB, AQ étant \ y^\\ la normale au point Q , si Ton fait tourner Jl/.. — ■[—r'''Tir ia ligne B Q mitour de AQ comme axe , ^1^"^^=^^

eUe engendrera le e4iie BQC. ' °

Il jouit de cette propriété qnc toutai ^^ *"•

pression, quelque grande qn*elle soit, appliquée en Q, ne prodiiira aucun mouvement et seulement une pression sur la sor^ face, tant qu'elle est dirigée à Tintérieur de ce cône. Au contraire, toute fowe, quelque petite qu'elle soit, produira un mouvem^iit , ne sera pas annnlée par la résistance dn corps, si sa direction est extérieure au edme.

La propriété énoncée phis haut, transportée ainsi du plan que Ton peut considérer eonune le plan tangent à une sorfiioe en un point, à cette wartam même, prend une ferme générale qui en

DES RÉSlSTiLNGJSS PASSIVES. 67

teoà ïdijf9likiMm fiicile aux q^eMom de staUtilé des coiistru«« tioQS. £Ue consiste en ce q^e kmée pstession appliquée à la mrfact d'un corps immobile par un second corps est détruite par la réaction de la surface de contact, quelque grande que soit cette pression, si sa direction forme avec la normale à cette surface un angle moindre que celui du frottement ; tandis qu'elle n'est pas détruite par cette réaction , quelque petite que soit la pression, si elle forme avec la normale un angle plus grand qut l'angle du frottement,

75. Quant au travail du frottement sur le plan, il est dans tous les cas pour un chemin parcouru /,/R cos. y l-, en faisant entrer dans la détermination de la résultante R , la pesanteur et toutes les forces qui agissent sur le corps, et en ayant soin de prendre cooune positives toutes celles qui tendent à presser le coirps star le plan , et comme négatives celles qui tendent à Ten éloigner. SI Y est égal à 0°, si la résultante est normale au plan, cos. y=: 1 et le frottement devieiil/R/.

S'il s'agit d'une barre AB guidée dans deux prisons, les prèslions sur chacune d'elles seront r^résentées par des forces N, N' normales aux points d'appnl (et serooft déterminées par la position des forces motrices relativement à ees appuis). Lorsqoeoes pressions sercHit de même sens, que les forces qui les produisent pousseront la barre AB du même cèté, Feur somme seraé^ale à R, et le frottement égal à/(N-f-N')/ sera égal à /R/ comme ci-dess«s. Si N et N^ sont de signes contraires, on a encore pour le travail des Arottements/(N4-N')/, sans tenir oMnpte des signes.

La comparaison de Texpression du travail du frottement sur le plm , airee celles que nous allons troorer pour les autres machines simples, fera bien sentir eoml^n les guides plans sont désa« vantageux dans fai pratique.

Mais auparavant considérons encore le cas où la force motrice F est hinriioiitale ou perpendiculaire à la résistance, que nous supposerons ici le poids du eorps Q (flg. 63), ou agitant suivant la verllade; nova aurons, pour le mouvement uniforme, à égaler

la valeur da frottement et la force qai lui fait équilibre, c*e8t-;

dire la somme des composantes parallèles à A B ,

Fig. 63.

ou /(F sin. a + Q COS. a) = P. cos. a — Q sin. a ;

„ .^ ^^/cos. a4-sin-a ^tang. «+/ ^. , . x

doùP = Q-^ -Vl = Q. /■> =Qtang. Qt + ?^»

cos. a — ^/sin. a 1 — ^/tang. a

FroU émeut dum le système tour.

76. Le frottement de glissement qui existe nécessairement dans le système plan ne devrait pas se rencontrer théoriqu:> ment dans le système tour, si on pouvait exécuter un axe sans épaisseur, et si on n était contraint de lui donner des dimensions lui permettant de mister aux actions auxquelles il est soumis.

On doit distinguer deux cas suivant que les axes de rotation sont terminés par des tourillons ou des pivots. Nous avons décrit ces deux dispositions; cherchons à évaluer le frottement dans chacune d'elles.

Pivot. Considérons un pivot terminé par une face plate pressé par une force N contre sa crapaudine, force que nous supposerons agissant dans la direction de Taxe. Puisque cette force N (ilg. 6ô , perpendiculaire à la surface pressée, passe par le centre du cercle du pivot, il est permis de la regarder comme la résultante de toutes les pressions partielles qui ont lieu sur tous les éléments de la base, et par suite comme répartie sur tous les éléments

de cette surface proportionnellement à leur étendue. Ainsi, en désignant par a un petit élément, et par A la surface totale,

Fig. 64.

-- sera la partie de la pression que supporte cet élément, et

/-^ la résistance due au frottement pour cet élément. A

Ce frottement agira comme une force appliquée au centre de

rélément et dans une direction directement contraire à celle do

mouvement du pivot, c'est-à-dire perpendiculairement au rayon

du cercle décrit par ce centre autour du centre du pivot. Si donc

on appelle r ce rayon, le travail du frottement pour un petit

angle de rotation w, sera / -7- r w.

SI maintenant l'on considère les éléments du cercle de la base C, tels que mnpq qui sont groupés dans un même secteur ACB dont Tangle au centre est très-petit (fig. 64), les frottements prodoits dans ce groupe d'éléments pourront être regardés comme perpendiculaires au rayon CO qui passe par tous leurs milieux, ou comme parallèles entre eux, et en vertu de leur parallélisme leur résultante sera égale à leur somme, parallèle à leur direction commune et appliquée en un point de CO, situé à une distance du centre C égale à 4 de R (ou au centre de gravité du petit triangle ACB).

En effet , joignant B (fig. 66) au milieu de A C et tirant DE (Ë étant le milieu de BC) on a :

DE : Al==:€£ : ftG, ou DfittiAB,4lVyù F£ : AF^I^-. AB, emr les doux triangles ÀFfi, DFË sont senUaMes.

DoncEF = iAF.

On trouverai la même position pour le point F, obtenu en joignant le point Cm milieu de AB ; or les deux lignes BD, CF divisant la surface Aa triangle en deux parties égales, doivent être rencontrées par la vésÉItante du frottement de la somme de tous les éléments superficiels du triangle, donc elle est au point F, et AF=:|B.

Le travail ék Hpêttement dans le petit secteur GAB sera donc

^ ^' 2 , ^ ^ /--RXABCXto.

S^ Ton raisonne de même pour tous les petits secteurs dont se (compose ta surface dn cercle, <m aura une somme de produits semblables, et la somme de tous les secteurs ABC sera précisément la surface A du cercle. Donc, pour un angle de rotation o>, le travail total du frottement du cercle sera/NfRw,et pour un tour entier /NiRX2Tc = |irR/JX.

77. Couronne circulaire (fig. 67). — Si Fextrémité d'un axe, au lieu de frotter sur tout un ' cercle, frotte sur un anneau ou surface comprise entre deux cercles concentriques , comme il arrive dans le cas des arbres munis de tourillons guidés par des coussinets, toutes les fois que *'

les forces en jeu peuvent fournir des composantes parallèles à Taxe, on peut déduire la valeur du frottement produit de ce qui précède. En effet, la surface totale du frottement est w (R* — R'*), R, R' étant les rayons des deux cercles; le frottement se calculera comme précédemment pour les doux cercles, en remarquant que la pression s'exerce sur la différence de leurs surface:?, ce qui conduira, pour la valeur du travail du frottement, à l'ex-

preasIOB ./^^"^...^ (| R w R« — | R' ic R'»), «t, après toutes

ïéauctioii8,/N*) P^,

lUn

Des RÉSISTANCES PASSIVES. "7)

. Kofia, fii on nomme / la lai^ur de i'anneBa égale à R — R% rie rayon moyen de cet «iuieau,mi la distance ^de son miliea au centre, R= r + H, R' =r— ^ /, on trouve en effoctuaot le«aîlcul

que Texpression ci-dessus revient à/Nw f r-j ] et pour

tourà:2ir(r+-j^J/N.

78. Pour terminer ce qcn coneerne les'piin^ts, nous remarque- ; que le travail «da f rottemcnt ci-oissanrt «omine le rayon du

cemle moyen du pivot, toujours très-petit relativement aux rayons des eircoB^irenées décrites par les points du corps assciribl^s avec f axe, il y "a de l'avantage à Aminuer atMant que possible ce rayon y Juflqu'* la Hmîte déterminée par la da- Tcflé et ïa Tésîstanee de la suT)stancc dont est tirtné le pîvot. (Test par ce motif que i ' " f on donne anx pivots mie ferme conique

»!».«. (flg. 6«) , la plus convenable pour rappro-

cher de Vaxe la surftice defrottement , en !ul donnant une étendue suffisante podr que les substances en contact ne soient Fig. 69. pas soumises à des pressions capables de

les «Hérer/ Quelquefois, avec des mibstances dures, on donne à Textrémité de Farbre une forme convexe, forme qa'a aussi, dans ce cas, laenfmdine (fig. 69). Lefrottementn'atovjourslieuque par un petit eerde de contact qui prend Me&tAt, le plus souvent, une étendae MiiAie par suite de la preiaios et de f nore.

79. TmuiHani. — JNous avons dit que les loiHiiloBB étaient les parties des arbres de rotation, d'un diamètre moindre que ces arbres, qui tournaient dans des guides de forme cylindrique dits coussinets. On donne à ces coussinets (fig. 70) qui ont chacun moins d'une demi -circonférence, un diamètre un peu plus .grand que celui des tourtilons, afin de ne pas faire naître de pnesskn etffAT sttile, de firottement par rajustement, en prodoisaBt

Fig. 70.

une pression suffisante sur Taxe, en serrant le chapeau supérieur, pour qull ne puisse se déplacer.

Soit F la pression exercée sur le fond du coussinet par la résultante des forces, /P sera le frottement. Un point du corps situé sur une circonférence de rayon R parcourra pour une longueur / un angle «o, donné par la relation Rw=/, et pendant le même temps le point de contact du tourillon un chemin rta^r étant le rayon du cous- ^et. Le travail absorbé par le frottement sera donc P/r co =

On voit que, dans ce dernier cas, comparativement au plan incliné, le travail du frottement est bien réduit, puisque! serait pour une même longueur parcouru /,/P/; il est à celui-ci dans le rapport de r à B, rapport toujours très-petit , les tourillons étant toujours faits en substances très-résistantes.

80. Dans quelques machines délicates, dans lesquelles les forces en Jeu sont minimes relativement à celles qui seraient susceptibles d*amener i*usure des substances eu contact, on peut faire reposer le tourillon sur la circonférence d'une autre roue et réduire le travail du frottement en multipliant les avantages du système tour.

P étant la résultante passant par i*axe C, se décomposera en

deux forces égales NN . suivant CD, CD > , dans le système représenté (fig. 7 1), et a étant l'angle formé par ces deux composantes,

a /*P on aura P = 2N cos. -. Le frottement sera/(N4-N.) ^-

et le <;heiniii / parcoura par 'un t>oint de la roue C de rayon R pour lequel Rco = / correspondra à un chemin parcouru par les tourillons des roues qui supportent le tourillon de la roue G égal

à r.f»>». Or (0. = — pour une rotation w des tourillons, de R I

rayon r, à la circonférence de la roue de support D de rayon R.,

T Vi r r, 1

donc r, w, =-- — / et le travail dufrottement est P// — ,

R Ri R Ri cos. -j

c*est-à-dire plus que réduit dans le rapport du produit des rayons des tourillons à celui des rayons des circonférences successives. Ce résultat est celui exactement obtenu dans la disposition représentée ilg. 72 , dans lequel la résultante passe par les axes des deux tourillons, correspond à a = o.

Ces dispositions ne conviennent que pour de petites pressions,

• autrement les glissements accidentels font bientôt naître une

concavité dans les cercles qui supportent les tourillons et ils

cessent de tourner, le frottement n'agissant plus tangentiellement

à la circonférence.

81. Si l'on compare les pivots aux tourillons, il est fecile de voir que toutes choses égales d'ailleurs , le travail du frottement est moindre avec le premier genre de guide qu'avec le second. En effet, pour un pivot il est pour un tour P/jirr, r étant le rayon de la face horizontale du pivot; pour un tourillon de même rayon r il sera pour un tour/P 2 ir r, c'est-à-dire dans le rapport dejà2ou4à6ou.2à3; résultat qui se comprend facilement, puisque le chemin parcouru par le frottement est bien moindre dans le premier système qui n'agit pas, comme le second, par sa seule circonférence extérieure. La différence est même en réalité plus grande que nous ne le supposons ici, la valeur de r, rayon de la face d'un pivot ^ étant pour une même résistance bien moindre que le rayon d'un coussinet.

Lorsque les composantes perpendiculaires à l'axe de rotation

soAt les plus importantes , des pivots maintenus par les fieices latérales de la crapaudine fonctionnent comme de véritables tourillons. Lorsque le contraire a lieu , au frottement des tournions, lorsqu'on emploie ceax-€i, s'iyoute celui de la couronne circulaire qui termine l'arbre, alors les pivots jsont bien préférables. On rencontre souvent une disposition qui consiste à con- •erver les tourillons, mais à maintenir Tarbre contre tout déplacement dans le sens de sa longueur, par TeiLtrémité d*uiie pointe, d*un véritable pivot assemblé au bâti.

82. Emploi da galets pmtr diminuer Ufrùttememi sur le plan. — La petite quantité de travail qu'absorbe le frottement des guides

du mouvement circulaire comparés aux j j .

guides plans du mouvement rectîligne, fait

facilement comprendre Favantage de la ^^^m^^^^m^ substitution des galets ou petites roues ^*8- '^•

supportées par des tourillons (fig. 73) qui reposent dans des cousshiets (fixés soit à la pièoe mobile, soit an plan fixe), aux guides plans ou prûoftf, entourant la pièce à conduire. "Nous avons cité* les dhemias de fer, ta principale application de cette disposition. En né^igeant le frottement de roulement à la surface du galet, dont la valeur n'est pas comparable à celle du frottement de glissement, pour une longueur /{Muroonnie par la barre, la surface du galet décrira une longueur / = Rm et le touriMon le chemin rm^ T étant son rayon. Le travail du frottement sur le tourillon

sera fVl — ^ au lieu de/P /, qui eût été celui du glissement du R

plan, c'est-à-dire diminué en raison des propriétés des tourillons.

Lorsque l'effort est oon^érable, r ne pouvant plus être trèspetit, l'avantage des galets diminue, surtout s'ils doivent servir entre surfaces dures, car, par toutes les causes qui accidentellement font que le frottement de glissement est inférieur à celui du roulement, un gttisement a lieu et cause l'usure qui altère bientôt la surface du galet; il se forme des parties plates qui font que le galet ne tourne plus.

8S. Le frottement de gàisseHieDt disparaîtrait entièrement, si

DBS BÉSISTANGES PASSITES. 75

u lieu d*élre «lamteniui par des toadllons, les galets étaoent libres , ^stème emplo>'é?daiis les travanx -de osnstraction , mais inapplicable dans une partie de machine. Une semMable disposition ne paraltftts impossilAeià réaliser 4ans ie système totir, tft cevAnit à une solution tbéoHqne éa x>roblème importante à consigner ici.

Le g«kide da tour devant éflre nne surface cyllndriqueentourant une surface sem- Klfd»le, son fractionnement sera encore assuré, si nu lien 'de mettre en <M«itact les deux ^rfbces , on grandit d^ïie ïongeeur, *' "^ partout -égale , l'intervalle qui les sépare tH

d on y place un nombre suffisant de petits cylindres ayant cette longueur posr diamètre.

De semblables cylindres étant libres , n'étant pas gcddés par des coussinets, avanceront en tournant en même temps que l'axe, et il ne se produira pas de fpottemeni de glissement.

Cette idée théorique vnde n'a ^as tcçu encore CappRcaflions yratiquis Irapoi^fiOites, par 4b dtfficuM de conserver le panAlélisme des rouleaux écartés sans fhire naître des ré^stances miisibles, et vu llmpos^bfifté de les mettre en contact à cause des glissements qui se produiraient -entre les rouleaux consécutifs.

Frottement dam le système Ie»ier,

84. I^ levier, que Ton suppose, en mécanique théorique, être une simple ligne mathématique, àoit être considéré, dans la pratique, comme une l>arre pesante qui s'appuie sur vm wsttte <OHps« Gel antre corps peut être tm couteau tranchral;, un cy- Iteére exftMsar ou Antérieur ma ie^er,iBte.

fiuM le levier osoUlant sur iWète d'mi •couteau '^rancfaafit, eon»Md«M les telanecs, le travail 4hi ihittemeiit est pKsqoeiiiri , pdaque le ehenin parcuui-u par île piriBt d'aj^Iieatlon de cette ; sensiblement iiuL

Quand les efforts sont considérables, une arétc tranchante serait bientôt écrasée. Si le levier se meut sur un ^*«- ''*•

cylindre, sans glissement, le point d'appui se déplace, et il n'existe qu'un frottement de roulement tout à fait négligeable (flg. 75 et 76).

Cherchons la limite de la production Fig. ts.

de cet effet, le moment où le glissement commence.

Soit P la résultante des forces, le levier roulera tant que la composante de P, qui opère la pression entre le point flxe et le levier suivant la normale à la surface de contact , ne fera pas naître un frottement égal à la composante suivant la tangente.

Lorsque cette limite est atteinte, le

glissement commence. Cherchons à la déterminer.

Soit Y l'angle de la normale avec la résultante, P cos. y sera la pression, et ?~

on aura pour l'égalité qui répond au Fig. 77.

point où le glissement peut commencer, où la force qui peut le produire sera égaie à la résistance du frottement : P/cos, Y = P sin. Y ou tang. y =/.

Cet angle sera donc l'angle de frottement 9 .

Or tang, * (p =/^ et sin * (p +cos. ^ (p = 1 , donc cos. «p = ,

et la valeur du firottement est

f La valeur de —^===1 est très-voisine de /,/* étant petit en

général.

La direction de la résultante des forces étant connue, il sera donc facile de déterminer la normale et la tangente qui limiteront les mouvements qui ne donnent lieu qu'à un frottement de roulement tout à fait négligeable. Tare décrit avec roulement, en raison des courbures des surfaces en contact. Ce roulement est un des grands avantages du système levier, et ce qui le fait adojpter

dans certains, cas. Il n'en offre plus aacan lorsque le glissement peut se produire; il naît alors an frottement qai est le même que celui qui se produirait sur le plan incliné formé par le plan tangent mené à la surface par le point de contact. ; effet qui se produit, ainsi que nous Tavons vu, lorsque la résultante des forces agissant sur le système Fi«. 78. transportées au point de contact du levier et

de son support (iig. 78), fait, avec la normale au plan tang^t mené par ce point , un angle plus grand que Tangle du frottement.

Lorsque les tourillons du système tour sont libres dans leurs coussinets, que ceux placés à la partie supérieure ne sont pas serrés , ils peuvent se déplacer par roulement , ainsi que nous venons de le voir, jusqu'à la limite indiquée, à moins que le mouvement ne soit limité par la position fixe du coussinet supérieur; mais, en général, on ne peut guère dans les machines laisser le point de contact se déplacer sensiblement.

Dans le cas du levier souvent des impulsions obliques ne permettent pas de se servir d*un couteau reposant par son arête sur un plan très-dur, on emploie alors pour guides ceux du mouvement circulaire, les coussinets.

'^ ^^Hti 8.5. Une curieuse ap-

plication de support sans glissement est faite depuis quatrq, cents ans à la grosse clocbede la cathédrale de Metz.

Chaque tourillon qui supporte la cloche repose sur un secteur A mobile autour de son point d*ap- Fig. 79. pui inférieur a, qui est le

centre de sa surface supérieure. Le tourillon tourne en même tm^ que le secteur, et pour qu'il n'abandonne pas celui-ci,

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78 FRiNGIPES FONDAMENTAUX.

oa a âi8]^06é deux seeteurs semblables B, C destiaiés à enfécber le déplacemeat latérai éa touriiloii. MaU pèog qu'Us ni &8sent paft naître de frottemeat de gUssement, il faut qu'ils se d^pkieent veriLealeinent^ coawme si le tourillon roulait sur eux; ce qu'on a obtenu en les reliant par les barres G F, ED avec la tète da la cloche.

84. Réiwmé. — Oft deit condnre de l'étude des guides du mouvement y cpie le système tooi, toc||(N»rs préférable au système plan au point de vue du frottement , L'est encore priscp» toujours au système levier an point de vue de la eonstructîoa.

BOIDEUB DES COBDES.

87. Les cordes et courroies employées dans beaucoup de machines donnent lieu à une résistance particulière causée par leer flexibilité imparfaite, qui se fait sentir tors de leur enroulement sur tout le contour d'une poulie (fig. 80). Il importe de se Mre une idée exacte de cette résistance pour pouvoir comparer les systèmes dans lesquels on emploie les cordes ou courroies.

Si on ap^le R la résistance nécessaire pour appliquer une

o«rde de diamètre d sur une poulie de diamètre D, la puissance P

doit, pour surmonter en chaque instant la ré^stanceQ, qui

mesure la tension du brin enroulé, être augmentée d'une quan-

(A+BO) J^*»»tité que l'on peut représenter par la formule B = — ^- — -^

A est un nombre constant pour une corde donnée, déterminé par des expériences de Coulomb comme le ceeffieieKl &• Pour des cordes blanches (nos geudrmnéea) Touin mh a tramé :

(/= 0,009 A=:0,01M Bs=:0,M>l 1^^0,020 2,2S i^eii

Les courroies en cuir sont assex flexibles pour que ta résistance provenant de leui raideur soit négligeable en général.

88. FroiUmtaU des cardes. — Considérons une corde qui roule sur un rouleau fixe et qui, supportait un poids P (fig. 8 1), est