ENGRENAGES PLANS. (GÉNÉRALITÉS

193. Le moyen le plos usité de communiquer le mouvement drcQlaire d'un axe à un autre avec la condition que les vitesses

soient dans uu rapport déterminé, surtout quand il s'agit d*effort

considérables; et de faire qu'un axe ne puisse jamais se mouvol

indépendamment de Tautre, consiste à monter sur ces axes dew

roues tangentes entre elles. Chaque

roue porte des saillies qui s'engagent

entre les inteivalks des saillies de

l'autre roue; lo mouvement d'une des

pièces est ainsi rendu solidaire de celui

de l'autre. Ce dispositif constitue l'en- p.g ^^

grenage (fig. 182).

On appelle cercles primitifs les deux cercles tangents, tracé avec des rayons obtenus en divisant la ligne qui joint les deux cen très, c'est-à-dire les points de rencontre d'un plan perpendica' laire aux deux axes avec ceux-ci , dans le rapport inverse de vitesses angulaires des deux axes. La théorie des engi*enages oc plutôt l'application au tracé des engrenages des résultats de h théorie des mouvements relatifs que nous avons exposée, oon siste à trouver des formes de courbes portées par le centre telle! que le rapport des vitesses angulaires soit constant, que le mon vement ait lieu de la même manière que si les deux circonférenee tracées avec les rayons obtenus en divisant la ligne des centrei en raison inverse des vitesses, se conduisaient l'une l'autre pai simple contact. On aura donc alors Ro) = R'(d'; c'est-à-dire qii< des longueurs égales des deux circonférences passent au point d< contact, ce qui revient à dire qu'un point qutlamque sur Vun m l'autre des cercles primitifs doit parcourir dans un même Ump, des arcs égaux; que des points des deux circonférences doiven avoir à chaque instant des vitesses absolues égales.

194. Transmission du mauvement circulaire par deux tout. dentées. — Si nous considérons les deux cercles primitifs commt les contours de deux roues d'épaisseurs égales, comme les base parallèles de deux tranches cylindriques qui se toucheraient soi vaut une aréte^ il faudra armer ces deux roues de saillies qo dissent corps avec elles , qui soient comme elles terminées pai des surfaces cylindriques ayant pour arêtes des droites parallèlei

CraCULAraE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 497 aux axes de rotation , et pour profils des faces qui agissent Tune sur Fautre , des courbes déterminées comme nous l'avons Indiqué. Ce sont ces ^illies qui sont Tune à l'autre enveloppe et enveloppée, qui transmettront reffort moteur d'un axe à l'autre et qui portent le nom de dents. Le système de deux roues dentées constitue un engrenage.

Il ne suffit pas pour tracer un engrenage de déterminer les profils d'un couple de dents opposées, de manière que la condition générale, la constance du rapport des vitesses angulaires, se trouve obtenue, question résolue par ce qui précède. Ces dents, en effet, ne peuvent avoir qu'un développement limité; elles ne seront en prise que pendant une certaine partie de la révolution entière; il faudra donc qu'à Tinstant où elles se sépareront, deux autres saillies semblables aux premières viennent entretenir sans à-coups et d'une manière uniforme In rotation commencée. Ce qui revient à dire qu'il faut en réalité que deux dents au nfiolns puissent être en contact en même temps. 195. La question à résoudre est donc celle-ci : Quels doivent être, pour un rapport de vitesses angulaires lionne ^ le nombre, l'espacement, les profils, les dimensions des wMgnts sur chacune des deux roues qui composent un engrenage?

Définissons d'abord les éléments de la question. Une dent a pour

^ase l'arc de circonférence primitive qu'elle intercepte. Sur la

^rconférence primitive A (fig. 183), les arcs tels que eg^ etc.,

seront les bases des dents. On les nomme aussi le plein de la roue,

«n même temps qu'on désigne par l'expression le vide de la roue

les arcs intermédiaires , les intervalles tels que ef; la somme d'une

base et d'un intervalle , l'arc 9/ par exemple, forme une division

entière; sur une même circonférence toutes les divisions sont

égales comme toutes les dents pareilles. Chaque dent est terminée

par deux profils égaux et symétriques, si l'engrenage quej'ap*

pellerai alors symétrique doit fonctionner dans les deux sens ; elles

peuvent être dissemblables, si le mouvement doit toujours avoir

lieu dans une seule et même direction; dans ce cas, les profils des

faces qui n'ont pas d'action à produire sont arbitraires, à la seule

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CffiCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 499

Béterminoiiâ maintenant dans un engrenage donné les éléments qui viennent d'être définis. Soient sur les circonférences primitives des deux roues qui engrènent/)^ f> , p", etc., les divisions toutes égales entre elles de la première; ^^ ^, q", etc., les divisions pareillement égales de la seconde. Pour que les mouvements angulaires conservent entre eux un rapport invariable , les arcs des deux circonférences, qui traversent simultanément la ligne des centres, doivent, ainsi qu'on Ta vu, être égaux en longueur. Or, considérons une première couple de dents telles que a, a* en prise sur la ligne des centres , par conséquent au contact de deux circonférences primitives et à Torigine de deux divisions correspondantes. Lorsqu'une seconde couple de dents a , , a' , sera venue remplacer la première, les divisions entières/'^ q auront traversé la ligne des centres; ces divisions, et par suite toutes les autres, sont donc égales, la longueur absolue des divisions doit donc être la même sur deux rmtes qui engrènent.

197. Rapport du nombre des dents sur les deux roues. — Il suit de là que les nombres de divisions ou de dents sont pour chaque circonférence en raison inverse des vitesses angulaires données^ ou du nombre de tours entiers que chaque roue doit faire dans un temps donné. En effet, en appelant R, R' les rayons primitifs, Cl», 9ù les vitesses angulaires, et en désignant de plus par n et W les nombres de divisions ou de dents, chaque division de la circonférence 0 a pour longueur , chaque division de la circon-

2 ir R'

férence O', — ;— ; ces deux quantités doivent être égales , comme

on vient de le voir. Amsi = — r- ou -, =^-7 = — d après

la condition générale des engrenages. Les plus petits nombres

ailiers qui expriment le rappoit -^ , car n et n' sont nécessaire-

ment entiers, sont donc les pins petits nombres de dents par lesquelles ce rapport de vitesse puisse être obtenu.

Si d est la distance des axes et (a le rapport -; du nombre de

dents, on a :

198. Limites des bases des dents, — Que Tengrenage soit on ne soit pas symétrique , la plus grande base que les dents d*unc rooe puissent avoir, mesurée sur la circonférence primitive, est Tintervalle des dents sur la roue opposée. Il est clair qu'alors la partie postérieure de la dent d'une roue et l'extrémité d'une division de l'autre roue arriveraient en même temps à la ligne des centres; ces points passeraient en même temps par le point de contact des circonférences primitives. Or une dent ne peut empiéter sur nue dent de l'autre roue : chaque intervalle devra donc être pins grand que la base opposée (dans la pratique); l'égalité que nous supposons ne peut être qu'une limite.

Soient B, B\ les bases, I, T, les intervalles sur les deux roues; sur chacune d'elles , la somme d'une base et d'un intervalle forme une division entière, on a donc :

De là on peut tirer la valeur de I — B' , des différences égales et nécessairement positives (nulles à la limite , comme on vient de le voir ) qui constituent lejeii de l'engrenage. Soit J cette différence,

cejeu, et l'on aura: J = ^^— (B + B') = ^^ — (B + F]

= ta lompœur commune des divisions, moins la somme des bases.

Ordinairement on indique seulement le rapport de l'ampUtiidc

du jeu à l'amplitude des divisions. Ce rapport dans la pratique

est compris entre — et t^,

199. Détermination des promis par lesquels se fait lapùussée,

— Les considérations géométriques exposées précédemment,

fournissent la relation des profils opposés de deux dents en prise.

Pour que la condition générale des engrenages soit remplie,

pour que tous les points des circonférences primitives par*

courent constamment des arcs égaux, il faudra, si le profil de

Tune des dents est donné, considérer cette courbe comme um

aRCULAIRE CONTINU EN ORCULAIRE œNTlNU. «04

«nyeloppée dont le profil de Tautre dent sera Tenveloppe dans le Toalement d'une des circonférences primitives sur Taotre supposée immobile.

Lorsque l'engrenage devra être symétrique, les profils des deux côtés des dents des deux roues qui agissent Tune sur l'autre, symétriques eux-mêmes, seront Tun par rapport à l'autre sur chaque roue enveloppée et enveloppe; en sorte que si le jeu de Tengrenage était nul, si la base des dents d'une roue était ^ale à rintervalle des dents de l'autre roue, le contact aurait lieu en même temps des deux côtés de la dent. Ce mouvement, que les moindres irrégularités arrêteraient dans la pratique, n'est ici qu'une limite, qu'une abstraction de la théorie.

En réalité, la base d'une ^dent, comme on l'a vu, sera toujours plus petite que l'intervalle entre deux dents de l'autre roue , en sorte que les profils des dents ne se toucheront que d'un côté; mais leur écartement ou le jeu devra toujours être très-petit, car il fout n'enlever que le moins possible à l'épaisseur, par suite à la résistance des dents. On doit encore ajouter que dans plusieura cas, les roues tout en continuant de marcher dans le même sens, par de simples variations dans leur vitesse, se trouveront alternativement menantes et menées. Or il importe de diminuer autant que possible les chocs qui résultent de ces rencontres. C'est à quoi l'on parvient en ne laissant au jeu que ce qu'il faut pour les imperfections de l'exécution pratique.

300. lÀmite intérieure de l'entaille qui sépare deux dents sur une même roue. — Une dent, lorsqu'elle se termine par une poiote telle que t (flg. 184), ne doit jamais pousser par cette pointe; de plus il faut que, pendant la poussée qui se fait par les faces de la dent, la pointe ne rencontre pas d'obstacle, que son passage soit constamment libre. L'entaille pratiquée dans la roue G, par exemple, au delà du point m., pour recevoir la dent bte, aura donc pour limite le lieu de toutes les positions relatives qu'à chaque position du contact le long des faces « ou i. de i*aatre roue la pointe ( viendra prendre. Or on obtiendra toutes les positions relatives des profils, pendant leur mou-

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égale à rintervalle bd')^ on peut dire que ce contour entier est Tafeioppe du contour entier de la dent opposée bte^ la portion m,wf étant considérée comme enveloppe du seul point t; avec me interprétation semblable , la même chose sera vraie si la tet bte, échanfrinée par exemple, offre des lignes brisées. Cela sera vrai encore lorsque les profils des deux côtés de la dent ne seRNUt pas symétriques, et la portion d* enveloppe correspondant à la portion d*enveloppée te^ par exemple, sera dans Tengre- Bigenon symétrique lui-même, la limite extérieure des profils 5^, du reste alors arbitraires.

U est inutile d'ajouter que le développement de la partie

HdUante des dents de la roue 0 déterminera la limite des en-

tailles ou creux de la roue C, comme les saillies 6 ( de la roue (y Tiennent de limiter les profils et les creux de la roue 0.

ÎOl. Comment sont terminés dans une roue pleine les entailles ti les creux. — Les limites que nous venons de déterminer ne doireat jamais être atteintes; les entailles doivent toujours pénétrer plus avant dans une roue pleine, dépasser l'épicycloïde •llongée m,tm* pour que Tengrenage puisse marcher sans danger.

Bans la pratique, afin de ne pas ajouter sans utilité réelle aux difficultés d^exécution , il suffira le plus souvent de prolonger I^entaille en ligne droite, suivant la direction des rayons allant des points «§,«' au centre de la roue, jusqu'à une distance d'une cirosifëreiice on peu plus grande que la saillie maximum ht des tels de Taotre roœ. Une ligne droite ou un arc de cercle ctaBtriqoe ayee C complète le contour de raccordement

Unque eelte construction donne un angle même très-obtus ^ m ou ai m', on devra radoucir, sauf à ce que les dents ne poissent se trouver eu prise qu'un peu plus près de la circonféïWice primitive.

202. Du sens du mouvement. — Dans ce qui précède nous avons, ^général, supposé que nous prenions pour circonférences primi- ^es deux circonférences qui se touchaient en un point situé ^tre les deux centres.

On peut également considérer des circonférences dont le point de contact soit situé au delà des deux centres, les rayons de* Tant toujours être dans le rapport des vitesses.

Dans le premier cas les engrenages sont extérieurs, et les deux circonférences marchant Tune vers l'autre, les rotations des deax axes sont de sens différents;^ quand elle^ doivent être de même sens, il tant employer une roue intermédiaire (ce qui se ftiit le plus souvent), ou adopter la solution du second cas.

Dans ce second cas les engrenages sont intérieurs, les axes tournent dans le même sens.

Ces deux cas doivent être examinés pour les applications, et leur discussion montrera les raisons qui font préférer le ploa souvent dans la pratique les engrenages extérieurs.

DÉTAILS SPÉCIAUX SUR LBS DIFFERBNTS EKGBENAGBS CYLINDRIQUES.

Différentes courbes, qui correspondent aux cas les plus sim-

Fig. 186.

^ ''ptude géométrique, sont adopt

aRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 205

pratique comme profils de dents. Elles constituent au€ant d'engrenages particuliers.

203. Engrenages à lanterne (Il g. 185). — Les dents de la roue B sont des cylindres à bases circulaires, ayant leurs centres sur la circonférence primitive; les profils enveloppes des dents €le Tautre roue doivent être, comme on Ta vu, les courbes qu'on obtient en retranchant le rayon des cercles des bases de toutes les normales aux épicycloïdes engendrées par leurs centres lors ^a roulement du cercle primitif B sur le cercle A. Chacune des entailles est terminée soit par deux faces planes, soit par un arc de cercle dont le centre est sur la circonférence primitive , et le rayon au moins égal à celui des cercles de base des cylindres qui forment les dents d'une des roues. La poussée ne commence pour chaque dent que sur la ligne des centres , ou au moins extrêmement près de cette ligne (art. 1 63), par suite la roue, le rouet^ ne peut être mené qu'avant la ligne des centres, ce qui est trèsdéfectueux.

Cet engrenage porte le nom d'engrenage à lanterne , à cause àe Tapparence que présentent les petits cylindres ou fuseaux ajustés entre deux plateaux ou tourteaux circulaires (dg. 186). tes dents de la roue pleine s'engagent entre les tourteaux ; elles ^nt ordinairement implantées dans le corps de la roue, et s'appellent alluckoM. Les fuseaux, s' usant plus vite que les allucbons Par le frottement, s'exécutent plutôt en fonte, les dents plutôt en boifl. On a aussi proposé de rendre les fuseaux mobiles autour cle leur axe pour diminuer les frottements, mais cet ajustement tuanquc de solidité et les fuseaux cessent bientôt de tourner.

L* engrenage à lanterne est peu employé aujourd'hui, surtout par le motif indiqué plus haut, et seulement pour des mouvements qui n'exigent pas une grande précision.

204. Engrenage à lanterne [intérieur), — Il n'est pas sans intérêt d'examiner le tracé de Tengrcnage à lanterne, quand les axes doivent tourner dans le même sens, que l'engrenage doit être intérieur.

Ayant tracé les circonférences primitives, on marque sur celle

intérieure les petits cercles qui correspondent à la position i fuseaux , puis déterminant les arcs d^épicycloïde intérleom c gendres par la seconde circonférence primitive roulant dans première, et enfm les diminuant du rayon des fuseaux portés f les normales, on obtient la courbe enveloppe de ceux-ci.

Fig. 187.

Ces courbes se réduisent à des droites si le rayon de la graa circonférence est double de celui de la petite. Cette propriété]^ met de disposer d'une manière assez curieuse les organes de engrenage, disposition vue pour la première fois à i'exposit: de 1855, pour mener deux axes dans le rapport de vitesse 1 à 2. Nous la représentons dans la figure 188. Les six flaJ triangulaires adaptés à une des roues sont formés de lignes droii et Tautre roue ne porte que trois dents, trois galets, dont de sont toujours en prise. Rien n'empécberait d'imiter une sembla disposition pour un autre nombre de dents plus grand que trois, ce qui conduirait à une solution moins simple.

205 . E)}(jrena(/es à flancs (fig. 1 89). — < L'engrenage à lianes a plus de douceur et de régularité que celui à lanterne.

Dans celui-ci, les enveloppées, les profils que Ton se donne sont des rayons de Tune des circonférences primitives, de a' 6' par exemple; les profils enveloppes, pig. iss.

dont l'autre roae doit être armée pour conduire ces rayons, -sont des épicycioides Mz engendrées par le roulement sur la circonférence a€ d'un cercle V dont le diamètre O'M est le rayon de a'&. Les plans diamétraux Me portent le nom de ^JUmcs : ils se terminent à la circonférence primitive dans laquelle ils sont entaillés, car répicycloïde qni les mène les rencontre en M au contact des circonférences et sur la ligne des centres par son point de rebroussement. On voit en même temps qu'elle ne peut jamais les conduire avant cette ligue. Quant aux limites intérieures de l'en taille comprise entre deux flancs, les règles générales s'appliquent sans difficulté. Ce sont ici les flancs eux-mêmes que Fou prolonge pour donner passage à la dent engagée; mais la partie de ces flancs, qui peut seule se trouver en prise , devra dans un engrenage délicat être la plus exactement dressée; la limite intérieure de cette partie se trouvera sur un cercle concentrique à 0' et dont le rayon est déterminé par le point d'intersection de la circonférence décrivante, avec la cir- <^nférence qui contient tous les sommets z des dents épicycloîdales.