Engrenages intérieurs, à flancs à la roue intérieure

L^engrenage à flancs est quelquefois intérieur. C'est le nom qu*on lui donne lorsqu'un des centres 0', par exemple, et la dreonférence a ê' sont intérieurs à la circonférence or 6. Si la roue extérieure doit seule être armée de dents et la roue inté* rieure porter seule des flancs, comme flgure 190, cet engrenage ne donne lieu à aucune remarque nouvelle. Les profils de la roue extérieure sont des épicycloïdes engendrées "par un cercle mobile dont le rayon est moitié du rayon du cercle (X, et qui roule intérieurement sur a 6. Les dents doivent conduire; elles ne peuvent le faire qu'après la ligne des centres.

Fig. 190.

208. Engrenages à flancs à la roue extérieure. — Mais si au contraire, dans le même genre d'engrenage, on voulait faire conduire la roue extérieure par la roue intérieure, il faudrait armer de dents Mt la roue intérieure 0^ (fig. 191), et donner seulement des flancs à la roue extérieure a 6, les profils M t seraient les épicycloïdes engendrées par le roulement sur a ê' d'un cercle mobile dont le rayon serait moitié du rayon de a 6; mais alors les flancs

Mie de «6 defvraient être entaillés d'ane part Jusqu'en t, pour donner passage aux dents ; de Tautre , et c'est ici le point important, comme il faut que la poussée n'ait pas lieu au seul point de contact des circonférences primitives, on doit les prolonger en saillie intérieure par rapport à la circonférence primitive « 6, dq^is.M jusqu'en e, ce prolongement M e pouvant seul recevoir les contiicts des profils M t.

Fig. 191.

En effet, pour trouver le point des flancs t Me, où le sommet des dents viendra les toucher, on décrira, comme en général , de Ô' comme centre, la portion de la circonférence "ktX passant par les sommets t, jusqu'à sa rencontre en X >, avec la circonférence ayant un diamètre égal au rayon de a 6. Comme une semblable circonférence également tangente en M à a' 6' décrit les profils M ^, les divers points de M Ma rencontreront dans des positions qui correspondront à celles qu'occupe le point M sur la circonférence décrivante pour un même roulement. La première décrit d'ailleurs les flancs t M e, elle renfermera donc tous les points de contact des dents avec les flancs; la circonférence X e X concentrique avec a 6 contiendra donc les limites cherchées des flancs, des contacts extrêmes des sommets t. La longueur des dents, et par suite celle i e des flancs, sera d'autant plus grande que Ton voudra qu'un plus grand nombre de dents soient en contact.

Il ne sufiBt pas ici d'avoir déterminé i'étendoe convenable des flancs M e formant saillie, il faut encore s* assurer que ces flancs, dans toutes les dispositions relatives où le jeu de Tengrenage les amènera, pourront se loger sans obstacle entre les daits M t de (/. Cela revioit à dire , en considérant les flancs M t comme de véritables dents, que Tentaille dans la roue entre ses dents Mf devra avoir pour limite l'enveloppe de toutes les positions du point e dans le roulement de la circonférence primitive a 6 elle-même sur l'autre circonférence primitive « ê'. Cette enveloppe est Féplcycloïde allongée ^ et qui se raccorde nécessairement en t avec le profll épicycloïdal de la dent M ^, puisque ces deux points viennent en contact par le roulement. Cette dent M t devrait donc à l'intérieur être évidée suivant la courbe «d (art. 163). Au point voisin de M où les deux courbes se coupent , Tarète devrait être adoucie. Une portion vers M du profil M ^ se trouvant ainsi supprimée , la dent M ^ ne pourrait agir qu'un peu après la ligne des centres. Mais, ce qui est encore plus important, cette dent peut se trouver tellement affaiblie à la partie inférieure vers e, que la disposition et l'engrenage dont on vient de parler doivent être, en général , exclus de la pratique.

209. Impossibilité de rendre cet engrenage réciproque, — Quant à donner à la fois à chaque roue, comme dans l'engrenage extérieur, des dents épjcycloidales et des flancs , on en reconnaît ici l'impossibilité. En effet, en considérant la dernière figure, on voit que le flanc Me de la roue 0' devrait être creusé pour fiEdre place à répicycloïde raccourcie ô e, ou que le flanc i 6 de la roueO, si l'on voulait que 0 portât un flanc, devrait disparaître pour laisser à découvert le profll 0 e , et ne pourrait par suite avoir la forme d'une dent. Ce n'est qu'en multipliant le nombre des dents et diminuant leur saillie au delà des circonférences primitives, en augmentant le jeu, qu^on exécute des engrenages intérieurs par les mêmes principes que les engrenages extérieurs, sans inconvénient dans la pratique.

210. Engrenages épicycUndauœ. — Les dents tracées dans le système qoe nous venons d'expliquer sont celtes que la pratique

CmCULAraE âONTINU EN aRCULAIRE CONTINU. 814

ajosqa'iei généralement ad<^tées; leur emploi offre cq^dant ui inefmvéïiiiBnt très-grave : le cercle décrivant de Farc éficyeleidal des dents devant avoir poar diamètre le rayon du cercle pfimltlf de la roue avec laquelle ces dents engrènent, il en résulte qa*aiie roue d'un pas et d'un nombre de dents donnés, 40 par eiMQple, tracée pour marcher convenablement avec une autre roue de 50 dents, engrènera fort mal avec une autre roue d'un tout autre nombre de dents , tel que 100. Il est évident, en effet, que le diamètre du cercle décrivant étant 1 dans le premier cas, devrait être double dans le second, et engendrer par suite des arcs épicycloîdaux différents des premiers. Cette objection intéresse au plus haut degré la pratique moderne qui fait un emploi ccHistant d*engren'ages métalliques fabriqués à Tavance. Elle oblige, en effet , le fondeur à exécuter pour un pas donné autant de modèles différents qu*il veut foire engrener de roues différentes avec une seule et même roue; ce qui exige un nombre presque indéfini de modèles.

En outre, dans une foule de combinaisons mécaniques, il arrive qu'une roue principale doit conduire à la fois et directement deux, trois, quatre roues de différents diamètres.

C'est donc un grand progrès que d'adopter un tracé des dents tel , que deux roues quelconques d'un pas déterminé engrènent convenablement.

Pour satisfaire à cette condition , il suffît de choisir, pour tout an système de roues de même pas , un cercle décrivant convenable mais constant, de le faire rouler extérieurement sur chacune des circonférences primitives pour décrire les parties des dents extérieures à ces circonférences , puis de le faire rouler intérieurement à chacune d'elles pour lui faire décrire les épicycloïdes internes ^forment les dents intérieures à ces eirconférences primitives.

liiiig. 191 montre Tapplicatton de ce principe.

A et B sont les centres de rotation ,T(i{D=sT96estle cercle décrivant constant, qui en roulant , savoir : extérieurement sur F/ trace les flancs r q; intérieurement à F/ les flancs rf; de méine relativemesat à E^^ les faees mn^lts flancs m p.

Ainsi qu*on Ta vu , les courbes décrites par le roulement d*un même cercle sur les deux circonférences, extérieurement sur l'une, intérieurement sur Tautre, seront enveloppes et enveloppées; le contact aura donc toujours lieu sur cette circonférraoe dont un même point engendre les deux courbes. Une partie dn cercle générateur GgT sera le lieu de contact avant la ligne des

centimes, une partie du cercle égal TdT> sera le lieu de contact après le passage de cette ligne. Ce contact s'éloignera de plus en plus du centre de rotation de la roue qui mène , en se rapprochant du centre de la roue conduite. Il commencera avant la ligne des centres entre la pointe n de la roue conduite et la racine s de la dent qui la conduit , remontera de n vers m sor la

aRCULAffiE œNTINU EN aRCULAIRE CONTINU. «43

première el descendra de s vers r sur la seconde , Jusqu'au passage de la ligne des centres sur laquelle le contact aura lieu entre les poluts r et m. 11 s'avancera après le passage de cette ligne de r vers f et de m vers p pour cesser à la pointe de la dent qui méfie, et à la radne de la dent menée, de telle sorte que le contact a lieu avant la ligne des centres au dedans de la circonférence primitive de la roue qui mène, et au dedans de la circonférence primitive de la roue menée , après le passage de cette ligne. Les dents étant symétriques, chacune des roues peut d'ailleurs indifféremment conduire ou être conduite.

Diamètre du cercle décrivant. — En aucun cas le diamètre du cercle décrivant ne doit être plus grand que le rayon primitif de Tune quelconque des roues du système. S'il en était autrement, les dents auraient à la racine une épaisseur beaucoup moindre que sur la circonférence primitive, défaut évident que partagent, quoique à un degré moindre, les engrenages à flancs. Lorsque, au contraire, le diamètre du cercle décrivant est plus petit que le rayon du cercle primitif, les dents s'épanouissent vers la base et acquièrent ainsi une forme qui favorise leur résistance à la rupture; il ne faudrait pas toutefois réduire ce diamètre à l'excès; car alors les faces épicycloïdales prenant trop de courbure, les dents deviendraient trop courtes; il semble que la meilleure règle à suivre consiste à prendre pour diamètre du cercle décrivant le rayon de la plus petite de toutes les roues du système.

211. Engrenages à développantes à cercle. — Si par le point de contact T des circonférences primitives (fig. 193) on mène une droite DTE, les cercles intérieurs AD, BE tangents à cette droite, concentriques aux circonférences primitives, auront des rayons proportionnels aux rayons des deux circonférences. Les développantes HK du cercle AD et F G du cercle BE seront rane à l'autre enveloppe et enveloppée, comme nous l'avons vu. EUes pourront donc former les profils conjugués de deux dents d'un système d'engrenages.

Lei coDtacts se trouvent constamment sur la droite DE; la deuxième tangente menée aux deux cercles par le point T serait

tu LIVRB DEUXIÈME.

de même le liea des contacts des autres faces symétriques avec

les premières faces des dents.

Les dents terminées de part et d'autre par des développnatei symétriques pourront être échanfrinées ; leur longueur totale sera obtenue en les traçant dans la position extrême où elles doiTeHtagir avant et après la ligne des centres, et en les coupant à oeCte distance par des arcs de cercle concentriques aux roues. La saillie

Fig. 193.

des dents étant déterminée, pour leur donner passage, on prolonge, si cela est nécessaire, les dé\'eloppanles à partir de lev origine, par deux rayons dirigés vers les centres, et on termine le fond de chaque entaille par un arc de cercle.

21 S. Engrenages intérieurs à développantes (fig. IM). — L*eD*> grenage à développantes peut être intérieur. Tune des clroaniérences se trouver comprise dans l'autre. Les dents de la row intérieure doivent être tracées comme cdles que porterait d*à* près la construction précédente «ne circonférence extérieures à Taide d'me droite passant par le point de contact; le pioll èss

CIRCULAIRE CONTINU BN CffiCULAIRE CONTINU. 245 dnts de ia circonférence extérieure serait tracé de même, par suite lear courbure serait de même sens. C'est ce qui se reconlatt QBCore, d'après la construction générale des enveloppes, par la direction des rayons de courbure des développantes Mx el Me : et ces courbes, comme les circonférences primitives, ont leur courbure tournée dans le même sens; inconvénient trèsgrave dans ia pratique; aussi ces engrenages intérieurs n'ont guère d'applications. Celui^, comme on le voit, est réciproque. Quelle que soit la roue menante, il peut, si le nombre des divisjons est suffisant, avoir constamment deux dents en prise après la ligne des centres.

Remarquons que les engrenages à développantes ont, relati- Tcmeiit aux engrenages épicycloïdaux , rinconvénient de se conduire par des contacts plus obliques relativement à la ligne des censés; ils Jouissent toutefois de quelques avantages spéciaux sur l6S(piels néus reviendrons.

TBACé PRATIQUE DES DENTS.

La portion de courbe qui forme le contour d'une dent a toojoors un développement assez faible pour qu'on puisse lui sobslituer un ou deux arcs de cercle au plus, sans erreur sensible; c'est ce qui a toujours lieu dans la pratique. Toute la

difficulté consiste à déterminer les centres et les rayons de ces arcs.

Nous ne parlerons pas du procédé employé quelquefois, qui consiste à tracer une dent en plaçant le centre d'un compas à l'origine de la dent suivante. Ce n*est qu'un moyen grossier que les bons ateliers doivent abandonner pour adopter des procédés basés sur les résultats de la théorie.

213. Traité de la dent par un seul arc de cercle. — Si nous nous reportons à Tart. 160, nous y trouvons une méthode pour le tracé qui nous occupe. Menons par le point de contact T (âg. 142) qne droite PTQ de direction qui peut être quelconque, mais qu'il est mieux de faire telle que PTA = 75*» pour avoir des dents de forme convenable. Abaissons A r perpendiculairement à cette ligne et prenons le point r pour le centre des dents d'une des roues, le centre de courbure de Tenveloppe sera le point S obtenu en menant BS parallèle à Ar, puisque le point K est alors à l'infini.

Pour tracer rapidement les dents de la roue, il convient , du centre A, de décrire la circonférence du rayon Ar, qui devient le lieu des centres de courbure des dents de la roue; puis d'une ouverture'de compas égale à rT, et en prenant pour centres les divisions tracées sur le cercle primitif en raison du nombre de dents, on trace les contours de celle-ci.

Les dents ainsi tracées se rapprochent beaucoup des dents en développantes, il suffirait que le centrer se déplaçât quelque peu pendant le tracé des dents pour qu'elles eussent cette forme. Elles participent des avantages et des inconvénients de ce genre de dents ; toutefois , comme elles sont tracées à l'aide d'un seul arc de cercle, il n'y a qu'une position pour laquelle le rapport des vitesses angulaires reste rigoureusement constant, c'est celle qui répond à la position du point de contact sur la ligne des centres.

214. Tracés des dénis par deuxarcs decercle, — On obtiendra un degré d'exactitude bien plus grand, et qui satisfera ample» ment à tous les besoins de la pratique, en traçant le flanc et la

aRCULAIRE CONTINU EN aRCULAlRE CONTINU. 247

Aœ de chaque dent , chacun par un arc de cercle, ayant chacun une tangente commune avec la courbe rigoureuse, avec la condition que le point d'action exact de Tun soit situé un peu en deçà de la ligne des centres, et celui de l'autre un peu au delà

Fig. 196.

de eette ligne et à la même distance, égale à la moitié du pas, pBr exemirfe.

24ft LIVRE DEUXIÈME.

La flg. 160 montre Tappiication de cette méttiode, qui a éH introduite par M. Willis dans les ateliers anglais, et qui repon sur les beaux théorèmes ajoutés par ce savant à la théorie da engrenages.

A est le centre de rotation de la première roue, B celui de 11 seconde roue avec laquelle la première engrène.

T est le point de contact de leurs circonférences primitives: par ce point T menez une droite QTq, faisant, avec la ligne ia centres, un angle PTA = BT^ qui peut être quelconque; cela de 75° est très -bon pour que les dents aient une forme convenable.

Menez à cette droite QT^ et par le point T une perpendicu' laire indéfinie , et marquez sur cette perpendiculaire deux di» tances égales TK, T^ qui peuvent être quelconques, mais ploi petites toutefois que le plus petit rayon primitif du système du roues dentées. Par Textrémité K de cette perpendiculaire et pai le centre B menez BK, que vous prolongerez Jusqu*à sa ren contre Q avec QTq. Joignez K au centre de la roue A, cetb droite coupera QTq en un point P.

P est le centre des courbures des/aces de la roue A, et Q es le centre de courbure des flancs de la roue B contre leeqaeb agissent ces faces. Cest encore Tapplication des principes df l'art. 160.

215. — Pour avoir les rayons de courbure j prenez sur la cirooik férence primitive de la roue A un point m, situé à une distance de T égale à la moitié du pas, de Tautre côté de la ligne des o^ très par rapport à P et à Q. Pm sera le rayon de courbure du faces de la roue A, et Q m le rayon de courbure des flancs de li roue B ; les premières seront donc convexes et en saillie sur k circonférence A , les secondes seront concaves et à Tintérieur d< la circonférence B. En opérant sur la roue B, comme nous l'a* vous fait pour la roue A, en traçant les lignes A A; et B A, <n aura les centres ^ et ^, et ies rayons de courbure pn et qn da flancs de la roue A et des faces de la roue B,