AR:PR = KT:PT

Remplaçant ces quantités par leurs valeurs et posant : PR = TR— PT, on a :

KTxPR rsin. ex(Rcos. e — rf) "" AR "" Rsin. 0

Rrcos. 6 — rd

Rrcos. 6

d'où (R + r}rf=Rr COS. ôet dz=

En opérant de même pour Tautrc cercle, on trouverait :

^ Rrcos. ô . ^

D = -— — flrT.

Donnant à r et à 0 les valeurs constantes qu'on juge les plus convenables pour ce système général d'engrenages, on calcule et Ton dispose facilement en tables numériques les valeurs de D et (/ correspondantes à différents rayons et à différents pas, et on se trouve ainsi dispensé de faire un tracé complet pour cliaque cas, ce qui rend cette métbode très-avantageuse dans la pratique.

Si, par exemple, on prenait r = 1"' pour le plus petit pignon d*un système de gros engrenages et 0 = IS"" 30% on aurait sensiblement

d=—-— — -etD— -

2t7. Odontographe. — M. AiVillis a fait établir, pour Fosage de sa méthode, une espèce de petit rapporteur en corne ou carton (fig. 196), sur lequel on trace des divisions assez fines, et dont une face est inclinée suivant QT^. Ce petit appardi, qu'il appelle odontograpke j donne rapidement les centres des

CmCULÀIRE œNTINU EN aRCULAIRE CONTINU. t«

des dents dont les rayons sont fournis par une table frétlaUement dressée.

Fjg. 19C.

218. Application aux engrenages à lanterne. — Les foseaux ^^ la lanterne étant des dents en are de cercle, si on suppose le Point K situé à Finfîni (flg. 142), AP, BQ deviendront perpen- ^«olaires àPTQ et les centres de courbure seront situés en r et ^^ f. Le premier sera celui de la dent et le second le centre du ^tijeao. Prenant donc entre T et S un point m situé à une dîs-

^SDce de S égale au rayon du fuseau, rm sera le rayon de cour-

l^nre de la dent.

219. Engrenages à flancs. — Si on voulait que le flanc de la *t)ae fat une droite dirigée suivant le rayon , cette condition rejetterait évidemment à Tinllni le centre de courbure de ce flanc, ^le point k s'obtiendrait en menant du point A une perpendi- ^«tlaire à la direction YiTk (fig. 195). On joindrait ensuite les P^ts A; et B par une droite qui couperait PTQ en un point qui ^rait le centre de courbure de la dent destinée à conduire le flanc ^^t. La perpendiculaire AR abaissée sur PTQ serait elle-même b direction de ce flanc, et ce serait par le point R que devrait

{NiMer Tare de la dent qui mèoe. L'angle RT A devrait en mène temps prendre la valeur qui rendrait TR = demi-pas, puisque I est par hypothèse un point par lequel la poussée se produit nécessairement.

220. Engremagcs à dents épicycloïiàUs. — Les dents tracées par la méthode que nous venons d*indiqner sont limitées par des courbes qui se rapproebeat beaucoup d'éf^ycloïdes, et sur la ligne de QT^ elles sont tangentes à de semblables courbes. En effet, les normales à celles-ci passent par lepdnt de contingence T, et de la détermination de sa valeur D il serait facile de déduire la valeur R' du rayon d*un cercle roolaiit qoi donnerait naissance à une épicycloîde ayant pour son rayon de courbure, dont nous, avons donné plus haut Texpression, la même valeur.

2^ i. De la pression au contact dès dents, — Cherchons comment la pression varie au contact des dents dans un engrenage quelconque, ce qui nous permettra de compléter nos études sur les engrenages à développantes.

Soit N la pression qui s* exerce au point de contact entre les w deux dents al^ elh\ suivant la normale commune, soft P 1 force qui agit à la circonférence de la roue 0, on «nura, le mouvement étant uniforme :

PR =NR sin. a, à étant Tangle de la normale et de la ligne des centres, et R sin. a = O//, la perpendiculaire abaissée sur la normale A/?, suivant laquelle la pression a lieu, d'où :

P=:N sin. 0^. F|g- w-

222. — Pour tous les engrenages, sauf pour celui à dévelua. '^^1 pantes, Tangle de la normale et de la ligne des centres variable, la pression est donc constamment variable. La ^ de la pression est au contraire constante dans les eng développantes, ce qui est un avantage dont toutefcb il ne fiis pas s'exagérer importance, car il n'en résulte pas une régulière des dents. Pour cela, en effet, il faudrait que le trav^ii^

CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. tl3 da Ifirottement fût constant, et par suite aussi le ehemin parconrn par lefiroUement; il faudrait donc que la dîfif^érence des ares passant dans un même temps au point de contact, ou que pour des longueurs de courbes égales, la différence des rayons de courbure fût constante, ce qui n'est pas. La variation en est d'autant moindre que le contact sur chaque dent, qui a toujours lieu saiTant la tangente.eommune, est moins prolongé, ce qui a lieu 6Q r^adant le nombre des dents un maximum, comme noiis le v^mms bi^t^t. En réalité, le travail du frottement variant, il en résolte que Fasure n'est pas Ut même pour tous les points 4e M dent et est plus grande vers la racine que vers la pointe*

Bans les engrenages à développantes, la forme des depts de chaque. roue étant déterminée par le roulement d*une droite sur Une. même rone , ne change pas quand le rayon d*un des cercles ^arie, avantage que possède seul le dernier système que nous tenons de décrire et que ne possèdent pas les engrenages à flancs , XH>iir lesquels les formes d*une dent sont déterminées par le roui'ement d'une circonférence dont le rayon est moitié de celui de â^autre eercle primitif.

Enfin, un dernier avantage des engrenages à développantes *:st qu'ils possèdent seuls, est que si les axes des roues éprouvent xin certain déplacement en restant parallèles , Tengrenage ne cesse SMS d'être exact, la poussée devant toujours avoir lieu par les Ynèmes courbes dans tous les cas.

Pour le tracé de ces eugrenages, on doit incliner très-peu la tangente commune aux deux roues concentriques aux circonfé- :»ences primitives, les bras de levier de la puissance et de la :arésistance seront les plus grands possible, ce qui est avantageux, puisque, pour la transmission d'une même quantité de travail, la pression diminuant, son action destructive sur chaque dent ^minnera également.

Tous les éléments du tracé d'un engrenage quelconque sent aetoeUement déterminés, sauf un, celui dn nombre de

fi R

dents, ou plutôt les limites dans lesquelles les nombres -7 = —

doivent se trouver renfermés ponr que Fengrenage satisfasse aux conditions de continuité d*action que nous avons reconnu être nécessaires.

nSS ARCS-BOUTEMEMTS.

NOMBRE ET SAILLIE DBS DBHTS.

228. — La résistance passive qui s'exerce entre les dents d*nn engrenage, avant et après la ligne des centres, n*est pas égale-ment nuisible. Avant la ligne des centres, elle ne se borne au fW>ttement, il peut en résulter une action destructive que arêtes vives de la pointe des dents peuvent exercer sur les sni faces qu'elles rencontrent obliquement.

Il peut arriver, soit à raison du petit nombre de dents, scrit ^^ raison de quelque irrégularité dans leur exécution , qu'à une cer^^^ taine époque du mouvement les deux roues 0, (ï (fig. 19S ^^ n*aient qu'un seul point de contact en m précisément suivant ^^^ dernier élément du profil m a.

A partir de cette position, si la roue 0 tournant de droit^^ i gauche est celle qui mène, la pointe m formant arête vive ex ^^ vcera seule la poussée en remontant vers Textrémité b du pr^^^^Qj db^ tandis que la poussée régulière devrait avoir lieu par le j^

Fig. 198.

longement m t du profil a m et de manière que le contact s'avaiig?^^ vers rf, le long du profil b d. On voit d'abord que le mouveiM^^* de la roue 0' dans la poussée qui se fait par l'arête vive m ^ trouve ralenti. En effet, si la courbure des profils ami,bméP '

CIRCULAIRE CONTINU EN aRCULAIRE CONTINU. 225 constamment le même signe, toutes les tangentes à la portion m i\ par exemple, laissent derrière elles, par rapport au sens du mouvement, la portion de profil a m, la pointe m par conséquent. Le mouvement de G' est ainsi ralenti jusqu'à ce que la poussée se fasse régolièreraent de la dent a' m' sur la dent V d\ Toutefois, et dans cet intervalle, la poussée irrégulière par la pointe m n*a lieu qu'au delà de la ligne des centres, qu'après cette ligne par rapport au sens du mouvement.

Mais renversons le sens du mouvement. Regardons la roue G' comme roue menante et comme tournant de b vers V dans le ^éme intervalle de poussée irrégulière que nous venons de considérer, après que le profil b' d aura cessé d'être en prise, la partie h mdxx profil b d mènera seule la pointe m en la forçant ct*avancer de b vers m. Aloi*s, si Ton regarde comme uniforme le rtiouvcment dliigeant de 0', la rotation de G se trouvera cette fols càceélërée et de plus la poussée irrrégulière de 6 m sur le point m ^ura lieu tout entière avant la ligne des centres, par rapport au Oouveau sens du mouvement. C'est alors que Taction de la Idiote, ou, pour mieux dire, de Tarête vive m, peut surtout dé- ^raire la surface opposée, s*y enfoncer même au point d'arrêter le jeu de l'engrenage ou de briser les dents aiu^i engagées; c*est là ce que Ton désigne par le nom d'arc -boutements. En effet, la somme des lignes G m + 0' m étant plus grande que G G', s'il arrive que quelque obstacle s'oppose à leur mouvement, il y aiura nécessairement rupture lorsqu'elles se rapprocheront de la ligne des centres; le même effet ne serait pas produit au delà de ligne des centres, la quantité Gm-f-G' w allant toujours en croissant.

224. De V effet des arcs-loiUements, — Il est facile de se rendre compte de la différence d'action des pointes des dents avant et après la ligne des centres. Si la pointe est en prise après cette ligne, elle parcourt la surface opposée de m vers ^; si elle est en prise avant la même ligne (toujours par rapport au mouvement) , elle parcourt la surface qui la pousse de b vers m. Or, Tarête vive m (fig. 199) peut être considérée comme le

2t6 LIVRE DEUXIÈME.

tranchant d*un ciseau symétrique par rapport au rayon d^ roue 0 passant par le point m, et sur lequel on appuierait cherchant en même temps à le faire glisser sur la surface a tw\ Si le glissement doit avoir lieu du côté où le rayon fait avec les éléments de C^l

la surface un angle aigu , cette surface ' — ^^- ^

sera seulement usée d'une manière ^ ^^

rapide; si le glissement tend à se produire du côté de Tangle obtus , il sera le plus souvent impossU^ ou du moins il y aura sans cesse pénétration et déchirement. C voit clairement ce qui se passe en se représentant la surface a= comme composée de particules isolées, entre lesquelles tend s'engager le tranchant de m. Dans un sens, ces molécules per vent être considérées comme rencontrées par un plan incliné, q^ les surmonte; dans Tautrc sens, poussées directement par c tranchant, elles devront être coupées.

225. Z)« dispositions à prendre pour éviter les arcs-boutemenB — On les évitera sûrement en faisant en sorte que les dents ■ puissent se rencontrer qu'après la ligne des centres ; mais onvc alors que, si les dents ont des profils symétriques, il n*y aok qu'une des deux roues qui puisse être roue menante. C'est lec de l'engrenage à lanterne , de l'engrenage à flancs oùlepign.* n'est point armé de dents, les fuseaux et les flancs ne devro jamais conduire la roue qui mène; celle-ci toutefois peut «o duire dans un sens comme dans l'autre. J'appellerai les engi nages qui se trouvent dans ce cas symétriques sans réciprociUS

Mais dans les machines à mouvement rapide, à résistance te inégale, où les vitesses sont régularisées par l'emploi de volais il arrivera fréquemment que, tout en marchant généralem^ dans un seul et même sens, les roues seront alternativemei l'une par rapport à l'autre, menantes et menées. On voit d'al^ qu'il importe de maintenir le jeu très-petit pour diminuer auM que possible les chocs au moment où les roues changent de r^ Ensuite les dents des roues étant d'une longueur suilisante^ contacts ont lieu à la fois avant et après la ligne des centres.

J'appellerai symétriques et réciproques les engrenages de ce genre, dont les roues peuvent être indifféremment menantes ou menées.

Les engrenages à flancs, épicycloidaux ou à développantes , fonùés de deux roues ayant des dents saillantes et symétriques, sont dans ce cas.

Longueur et saillie des dents.

226. Nous avons déjà vu comment on pouvait tracer grapbifl[aement les limitas des dents; mais il importerait de les calculer. Nous emprunterons à M. Willis d'intéressantes considérations sur la détermination des saillies des dents et Tiniluence de cette dimension sur les arcs à! approche (de contact en deçà de la ligne des centres) et de retraite (de contact au delà de la ligne des centres) dont nous venons de montrer l importance.

Engrenage à flancs. Soient : 9 = TBJ (fig. 200), Tare de

retraite qu'on veut obtenir; G, la saillie/ d de la dent de la roue

de rayon AT=iR. , N. le nombre de dents dont elle est armée;

O, R3 N, les quantités correspondantes pour Fautre roue, a le

^ .,. 27cR. 27rU3

P«» de 1 engrenage = -^^ — = -^^^ — .

IN I il a

Diaprés le tracé de Tengrenage à flancs, T d étant perpendi- ^solaire à B c/, on a T </ = R» sin. <p. Le triangle dT k fournit la dation (R. + G. )' = R.' + T ^/^ 2 R. T rf cos. kTd. I^îvisant par R.* et remarquant en outre que : «0$. ATrf= — cos. BTrf = — sin. cp et mettant pour T(isava- *^, il vient :

Développant ce binôme, remplaçant sin. 9 par son dévelop-

P^'ïtent en série cp — ^4" négligeant les termes qui ren-

^'^nnent des puissances élevées de cp à partir de la quatrième, ce

«lui est permis, puisque dans la pratique cet angle est toujours

*^z petit, il vient :