CHAPITRE II
ÉLA8TieiTË«
g I. «^ DirORÏinON DES soLipies
Si on BOtiiijet un eorps solide à dei forces extérieures, celui-<i subit une déformation» et lorsque cette déformation est devenue permanente» il s*e9t établi un eertain équilibre entre les forces ei^térieures et les foires intérieures moléculaires qui ont subi à cet effet des modifications convenables sous Tinfluenee de la déformation même. Si cette défbnnation est très petite, lorsque les forces extérieures sont supprimées, les forées intteieures reprennent leur première valeur et le corps reprend sa première forme. On dit alors que Télasticité du corps est mise Ml jeu.
La déformation d*un oorps quelconque, et plus partieulièremantd'iin eorps cristallisé sous TinfluencQ de forces extérieures est de deux niM tures : 1* Il y a déformation du système i*éticulaire formé par les cen<* très de gravité des molécules ; 3^ il y a déformation ou rotation de le molécule autour de son oentre de gravité. Ces dèuj( déformations sont évidemment liées l'une i l'autre, de telle façon que si la première est
4. Je me mis priQQipulem^nt pidé, dans )a rédacUoD ^ û^ chapitrSf 4es beaux tra-» vaux de M. B. de Saint-VenanL [Mémoireê diven, insérés dans le Journal de mathé' fruUifueê, et llûi0$ et appendiceê eenteiras dans la noUfeile édiUon de Mafier (tW4|.)
donnée, la seconde Test aussi. Hais tandis que la première déformation se traduit par des modifications observables dans la forme extérieure du corps, la seconde ne se traduit que par des modiGcations inobservables, d'une nature très complexe et très obscure, dans les propriétés physiques du corps. La relation qui lie ces deux déformations est d'ailleurs complètement inconnue.
Laissant de côté la déformation moléculaire, nous ne nous occuperons que de la déformation réticulaire au moyen de laquelle nous définirons la déformation complète du* corps. La déformation réticulaire s'exprime par le déplacement qu*ont subi les nœuds. Ce déplacement BBi une fonction continue des coordonnées du nœud par rapport à des axes fixes. Cette fonction continue assigne des valeurs aux déplacements fictifs des points situés entre les nœuds, et Ton peut substituer au milieu discontinu un milieu fictif continu, dont le déplacement est axprjfEié par la fonction précédente.
DéfinJiloB de la dérormatloB réUenlalre. — Ellipsoïde de défor-
BMiion. — Supposons donc un corps solide ayant subi une déformation quelconque. Un point qui était primitivement en 0 et que Ton prend A «Il z P^"^ origine des coordonnées, est venu . -"'n occuper la position 0| et les projections de son déplacement sont n, v, w.
Un point B très voisin de 0, et dont les coordonnées sont a/, j^, a' {o^ ^xf^tf étant très petits), vient en B|; et les projections du déplacement BB| sont u '\- àu^ i; -H àv;w + àw. Si Ton donne à tout le corps une translation égale, paraMèle et contraire au déplacement de 0, le point B prend la position A {Xy y, 2) et le déplacement de B par rapport à 0 supposé fixe, a pour projections du, dr, àw. 11 est évident que OA et OB se trouvent dans les relations convenables pour appliquer la théorie générale du chapitre précédent. Lorsque B décrit une sphère, A décrit donc un ellipsoîdo, ou, en d'autres termes, si Ton considère la déformation d'un corps fiolitle dans un très petit rayon autour d'un point 0 quelconque, les points qui se trouvaient avant la déformation sur une sphère décrite de 0 comme centre, se trouvent, après la déformation, sur un certain ellipsoïde. Il est clair d'ailleurs qu*on ne se trouve pas ici dans le cas de l'égalité symétrique, car, la déformation étant quelconque, on peut tordre le
CHAP. U. — ÉUSTICITÉ. 2f
corps autour d*une certaine droite, ce qui donne aux deux directionsde Taxe de la torsion des propriétés différentes.
On peut, dans Tespéce, établir immédiatement les relations linéaires qui lient les coordonnées x^ j^, 2 de A aux coordonnées V, y, z' dft B. On a en effet :
. dw , , dw , /. dw\ ,
En comparant ces équations avec les équations (3) du chapitre I (p. 7), on voit que :
dy * dz
du
di'
^y^'^ dy
^-y-dx
/C du
" dx
'y di
f^ dw
y^^'dy
On suppose maintenant très petites toutes les différentielles pai*tielles de u, v, w par rapport à x, y^ z, et on va chercher quel est, dans ce cas particulier, la signification physique de ces divers coefficients.
Si. l'on suppose que le point B (x^, y', zf) est pris sur Taxe des x, c'est-à-dire si Ton fait ^=0 et 2'= 0, les coordonnées du point A cor respondant, que l'on désignera pour éviter la confusion par x^, ys> ^x» seront
La dilatation de Tunilé de longueur suivant l'axe des x est, pour les points de Taxe des x,
^ X" * dx '
