IP

Soit A (fig. 4) la projectioui feUr le plan des xy d'un point A cor^

retpondant d'un point pris sur Taxe des X. L*dngle xOA^ est^très petit, puisque la distance qui sépare deux points correspondants A et B est un infini^ ment petit du deuxième ordre.

La distancé de A^ à 0 est 0^/ ; on

. ^ aura donc :

Fig. 4. angle aOA^= if ,

OU, puisque x et a/ ne diffèrent que d'un infiniment petit du deuxième ordre,

angle :rOA,=^=f'^.

Les angles dëfoiitpôëltifb lorsqu'ils seront ciotUptèS dei £ positifs aUi y positifs, négatif^ dans le séUS ôotilrâiré.

Si Ton projette de lUéme en A^ sur le plan dés nty un point A corfespondani ï Un point pris sur l*axe de y^ on aura :

angle yOA^=^ = ^^.

Les angles seront encore positifs lorsqu'ils seront comptés des y positifs aux X positifs et négatifs dans le sens contraire. On a donc :

La différence

)0o— A,OA^==iÉOA,=t-yOAy .

Bogle xOy — angle A^A

CHAP. U. — ÉLASTIQTÉ* n

esl la diminution subie après la déformation par Tangle des axes coor-< donnés x et y* En appelant a^ cette diminutioni on aura :

Lorsque les axes seront rectangulaires, a^ poui^l*à étfé considél*é aussi comme la diminution du dièdre rectangle formé par les deux plans Coordonnés xz et yz.

On aura de inéme pour les variations dtl dièdre dont leë âréted iont parallèles aux t et aux y

Les équations (4) et (6) du chapitre 1 (page 8] donnent immédiatement, en y introduisant les d et les a :

(i) aç = 2

+ ^^ Pc «x -^ *^ç Pi «y-f ^ç »ç a».

L*équation (7) (page 9) devient :

4 =x« i^-hy^ 8^+«« 8,-f xy ft, + i;« a^ -f y«a^.

C'est Tèquation d'une surface du second degré dont les rayons ie6-

teurs sont égaux à j=. Cette surface est un ellipsoïde si les <î,, <î,, ^„

sont positifs. Dans ee oas) toutes les dilatations sont dene positives. Si l'utie des dilatations #^| è^^ i^ est d'uti signe contraire à celui des deux autres, la surface se compose de deux hyperboloides eoiqugués* L'un correspond aUx dilatations négatives» l'autre aux dilatations podtivesi Le t6m asymptëtique bomtUUn à ees deux hyperboloides comprend

S4 INEOXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQOE.

toutes les directions pour lesquelles la dilatation est nulle, et auxquelles ne correspondent que des déplacements tangentiek. Les 3 axes de ces hypeii>oloîdes conjugués sont les directions pour lesquelles les oc sont nuls, c'est-à-dire que ce sont les droites auxquelles corre^ndent les axes de l'ellipsoïde de déformation.

La grandeur du petit folume dxdydz est deyenue, après la déformation, dx(l-4-^x)-dy (1-4-Og). d%{l-{-d^. ou, à cause de la petitesse de i, dxdydz. {i-^-d^-hig-^-d^, La somme <î,-|-d^-|-^,=B est donc la dilatation de l'unité de Yolume. Cette sonune est constante, quels que soient les axes coordonnés choisis, comme cela doit nécessairement être

et comme il est facile de le déduire de la constance de yC^j -♦- /^f -+- ^^» (page 8).

En employant le même genre de notations symboliques qu'à la page 9, on peut poser :

et les deux formules (1) et (2) sont représentées par la formule symbolique unique :

dans laquelle il est loisible d'intervertir l'ordre des facteurs, puisque c(^=c(,^, et dans laquelle l eim représentent deux coordonnées quelconques qui peuvent être identiques.

En posant symboliquement :

on peut donc écrire :

€oBdliloBS poar qae six quantités poissent représenter les d et les a enmetéristiqnes d'une certaine défonnatlon. — Les six quantités i et a, fonctions de x, y, 2, dépendant des difTérentielles partielles de trois quantités u, v, u;, ne sont pas complètement arbitraires. 11 doit donc y avoir entre les difTérentielles de ces six fonctions des relations exprimant qu'elles sont susceptibles de représenter la défor-

CHAP. n. - ÉLASTIOTÉ. 25

mation d'un corps. Il est très aisé de trouver ces relations en éliminant, par la différentiation, ti, v, w entre les six équations qui donnent les valeurs des d et des a en fonction des différentielles partielles de u, D, w.

Si on porte dans Texpression de a, les valeurs de u et v déduites

de celles de ^ et ^ , on a :

du , dv d f*^ j d Ts j

En différentiant deux fois par rapport k dx et dy, on a la première des trois équations ci-dessous, dont les deux autres s*obtiennent d*une manière analogue :

d*(Xz rf*8x rf*8y

id^'^ly^'^'l^*

\dy^ dH dx**

d^d^ d^ dydz'^ dz* "*" dy*'

Si Ton prend les différentielles -t-'> -t-?» -r-^> on a : '^ dz dy dx

dctz dhi dh)

dz dz dy dz dx*

dhi d^w

dOLx

"" dy dz dy dx dh dho

dx'

-dxdz ' dxdy'

d'où l'on tire :

Q dhi ^îî 1 ^!e <tog

Sdy "dz dy dx '

En diiïérentiant les deux membres de cette équation par rapport à dx^

et remarquant que , . , = -— i ♦ on obtient la première des trois dziydx dydz

équations ci-dessous, dont les deux autres s'obtiennent de la même

façon :

d*^x £ fd^y , ^ d!Xx\ dydz dx \dy dz "Se/*

/■\ / ^ d*vy d fddx ddz d(iy\

\ dxdz dy \dx dz dy ,*

g d«Qa d IdOLx ddy fl*,\ dj[dy dz \dx dy dz )'

Les deux systèmes d^équations (5) et (4) expriment des conditions de compatibilité nécessaires, auxquelles doivent satisfaire, pour un corps quelconque déformé, les six fonctions ^ et a représentant une déformation, très petite Autour de chaque point.

g II. — FORCES ÉLASTIQUES.

EUlpsoide d'éiastleiié. --^- Si dans un solide déformé et en équilibre on considère un certain plan P (fig. 4) qtii le divise en deux parties H et N, la suppression de la partie N troublerait Téquilibre qui ne pourrait être rétabli qu*eil appliquant sUr lés divers points du plan P

^ des forces convenables. Les forces

^ qu*il faudra appliquer sur les

points d'un petit élément de surface 6) pris sur ce plan et Contenant le point 0, seront sensiblement parallèles et égales; elles donneront donc une résultante parallèle et égale à leur somme, c'est-à-dire proportion-

F nelle à Taire w. Cette résultante F, divisée par w, ou —est ce que Ton

appelle la force élastique exèrcèe aU point 0. Si OA représente en gran-

F deur et en direction -, et si Ton prend sur une normale au plan P,

menée en 0, une longueur Ofi représentant la grandeur de Taire u, le point A et le point B sont liés entre eux de la même manière que les points A et B du chapitre L Lorsqtie B décrit une sphère, A décrit une ellipsoïde, ou, en d*autres termes, les forces élastiques exercées sur les divers plans qui se coupent en tin même point, sont représentées en grandeur et en direction par les rajond vecteurs d'un certain ellipsoïde.

Fig.

La définition qui vient d*étre donnée de la force élastique est très simple, mais Me ne donne pas une idée nette des actions qui concourent à engendrer cette force. Dans un siget aussi délicat et sur tous les points duquel les savants ne sont pas môme entièrement d*accord, il importe de ne laisser dans l'esprit aucune ambiguïté, et il parait nécessaire de scruter de plus près Tune des notions fondamentales qu'on rencontre au début de la théorie.

La force élastique, définie comme elle la été plus haut, est évidemment une certaine résultante des actions que les dernières parties du corps cristallin exercent mutuellement les unes sur les autres. Or on a vu qu'un corps cristallisé est nécessairement constitué par des molécules identiques entre elles et groupées de manière que les centres de gravité ou des points analogues quelconques de ces molécules forment un système réticulaire. Chaque molécule est formée à son tour d'un nombre fini ou infini de petites portions de matière qui peuvent ne pas être identiques entre elles, dont on peut toujours supposer les . dimensions assez petites pour pouvoir être négligées^ et que nous appellerons les atomesi

Lorsque le corps est en équilibre, il y a équilibre entre les centres % de gravité des moléculesi et il y a aussi équilibre dans l'intérieur de chaque molécule» entre les atomes qui la composent* U faut ajouter que les centres de gravité des molécules sont nécessairement immobilesi car il serait impossible d'imaginer pour un point un mode vibratoire qui conservât au système réticulaire la symétrie accusée par les phénomènes de la eristallisationi On ne pourrait concevoir autre chose qu'une succession rapide de vibrations dans tous les sens qui annulerait rinfluenoe de la symétrie de la molécule et ferait disparaître la cause Inéme de la symétrie du réseau* Les atomes, dans l'intérieur de la moléeulci peuirent au contraire vibrer, car il suffit, pour sauvegarder la symétrie» que des atomes identiques aient des vibrations identiques sui"" vlint les diiTérents axes et les différents plans de symétrie de même nature»

Le {lystëme réticulaire et la molécule sont séparément en équilibre^ mais l'équilibre de l'un est intimement lié à celui de l'autre* Ou peut donc se borner à étudier l'équilibre du système réticulaire ; c'est du reste le eeul que l'on puisse étudier aisémenti car les forces mécaniques extérieures» au moyen desquelles nous pouvons modifier la forme d'un eorpsf agissent exclusivement sur le système réticulairci et n'ont sur la molécule qu'une action indirecte dont nous ignorons entièrement le mècatiisme*

28 DEOXIÊME PARTIE. — CRISTALÏiOGRAPfflE PHYSIQUE.

L'équilibre du système réticulaire est déterminé par les actions mutuelles des nœuds de ce système ; mais ces actions mutuelles, si on peut encore les considérer comme s'exerçant entre deux nœuds suivant la droite qui les joint, ne peuvent plus être regardées comme fonctions de la distance seule des deux nœuds, puisque, cette distance restant constante, les actions peuvent varier par suite de la déformation des molécules dont les nœuds sont les centres de gravité.

Si on mène par un point 0 quelconque de ce milieu, un plan F qui le sépare en deux portions H et N ; on prend dans le plan F, autour de 0, une surface Gt>' infiniment petite, même par rapport à la distance qui sépare deux nœuds voisins. On prend dans la partie H du milieu un nœud quelconque m et dans la partie N un nœud n tel que la ligne mn traverse Taire cd'. Far suite des actions élastiques que met en jeu la déformation supposée du milieu, le nœud n exerce sur le nœud m une force dirigée suivant mn, et fonction de la distance mn. Si Ton joint m à tous les nœuds de N tellement placés que la ligne qui les joint à m traverse a>^ les forces exercées par ces nœuds sur m auront une résultante qui passera par m, et dont la direction traversera cù' en un certain point |x auquel on pourra la supposer appliquée. Si l'on substitue successivement à m, dans la construction précédente, tous les nœuds de H, susceptibles d*étre sollicités par les actions émanant des nœuds de N, toutes les résultantes appliquées en cù' viendront se couper en des points infiniment peu distants les uns des autres, et pourront être considérées comme donnant une résultante unique R appliquée en cù'. Si Ton prend tout autour de &)' des aires égales, chacune de ces aires pourra être considérée comme sollicitée par une résultante égale et parallèle à R. Si donc on prend une aire cù infiniment petite au point de vue physique, mais très grande par rapport ào/, chacun des éléments (o de cette surface est sollicité par une force R, et Taire totale o pourra être considérée comme sollicitée par une résultante parallèle à R, et dont la grandeur contient autant de fois R que cù renferme de fois cù' c'est-à-dire que &> est sollicité par une force représentée par oF, E étant une certaine force fictive qui serait appliquée sur l'unité de surface du point F, au point 0 autour duquel a été traôée Taire ai.

Si Ton prend sur une normale au plan F menée en 0 une longueur représentant &), et si Ton prend sur la direction de la résultante cdF une longueur proportionnelle à F, ces deux longueurs sont bien, comme il a été déjà dit plus haut, dans les relations réciproques auxquelles s'applique la théorie générale du chapitre I. On se trouve d'ailleurs dans

le cas de Tégalité symétrique, car, en vertu de l'égalité de Faction et de la réaction, les actions moléculaires, dont la force a>F est la résultante sont égales et contraires suivant les deux directions opposées d*une même droite.

Les équations (5^ du chapitre 1 donnent immédiatement, en y remplaçant, pour éviter la confusion, ^, Ql y ÇT par X, Y, Z et les

^ef^parNet T:

IX=m'N^4-n'T,-hp'Ty, Y=m'T,-hn'Ny-hp'T^, Z=:m'Ty-f-n'T^4-/>'N,.

X, Y, Z sont les composantes de la force élastique F qui s'exerce sur le plan dont la normale fait avec les axes des angles ayant respectivement pour cosinus m', n', p'; Nx, T,, T, sont les composantes, suivant les axes coordonnés des x, y, % de la force élastique qui s'exerce sur le plan des yz normal aux a:; T^, Ny, T, sont les composantes de la force élastique qui s'exerce sur le plan des z^e: normal aux y; Ty, T^, N, sont les composantes de la force élastique qui s'exerce sur le plan des xtf normal aux z.

L'égalité du coefficient de v! dans X, et du coefficient de m' dans Y, montre que la composante suivant les y de la force élastique qui s'exerce sur le plan noimal aux a:, est égale à la composante suivant les x de la force élastique qui s'exerce sur le plan normal aux y.

On démontrerait directement ce théorème en isolant dans le corps un petit prisme dont les arêtes àx^ dy, dz seraient parallèles aux axes coordonnés. Ce prisme (fig. 5) est en équilibre sous l'action de forces élastiques qui s'exercent sur ses faces, et, autour de Taxe des z^ il est sollicité à tourner par deux

couples, l'un ayant pour bras de levier dy, et pour force dx dz Ty,» l'autre ayant pour bras de levier dx, et pour force dy dz T^y ; l'équilibre exige donc :

dy.dxdz Ty^ = dx.dydz T^ ,

Fig. S.

OU

Vellipsoide d*élaiticité étant rapporté à ses axes, a pour équation

en appelant A, B, C les composantes normales des forces élastiques qui s*exercent sur les plans perpendiculaires aux axes de l'ellipsoïde.

On sait (voir pages 14 et suiv.) conmient, au moyen de la surface principale dont Téquation est :

on peut déterminer le plan sur lequel s'exerce une force élastique de direction donnée ou réciproquement. Loi*sque A, B, G sont de même signe, c'est4-dire lorsque les plans perpendiculaires aux axes de l'ellipsoïde» subissent des pressions normales de, môme sens, ou lorsque ces plans sont tous tirés ou tous pressés, la surface principale est un ellipsoïde. Dans le cas contraire ce sont deux hyperboloîdes conjugués. Les plans tangents au cône asymptotique commun à ces deux hyperboloîdes sont des plans sur lesquels ne s'exerce aucune composante normale.

Pour les composantes des forces élastiques qui s'exercent sur les trois plans d'un trièdre trirectangle dont les directions des arêtes sont désignées respectivement par Ç, y?, (^ les formules (4) et (5) du cha* pitre 1 (page 8) donnent immédiatement :

(^) ^Ç = j + 2mj nj T^ + 2fi»ç p^ T^ + 3nç p^ T^.

(5) Tj; = { -h nç n^ N^ H- -h (m, PÇ-f^çp^) T^

g ni. — RELATIONS ENTRE LES FORCES ÉLASTIQUES ET LA DÉFORMAnCMI

CMflieienta éimmiiqumm. •««•On isole, par la pensée, dans l'intérieur du milieu, un petit prisme rectangle dont les arêtes infiniment petite* dr, dy^ dz sont, avant la déformation, parallèles aux axes coordonnés. Sur chaque face du prismcdéforméonpeut supposer appliquées les forces élastiques correspondantes souS l'action desquelles le prisme est en équi-

libre. La déformation du prisme est connue si l'on donne les longueurs très petites ^x* ^y« ^z qui représentent les dilatations de l'unité de longueur suivant les axes coordonnés, et les angles très petits a^, %, a^ dont ont varié les dièdres ayant dx^ dy, d% pour arêtes respectives, pourvu qu'on y ajoute la petite rotation qu*il faut donner au milieu tout entier pour amener Ie3 axes de Tellipsoîde de déformation en contact avec leurs droites correspondantes.

Ce dernier mouvement de rotation laissant aux molécules du corps leurs positions relatives ne développe aucune force élastique. On peut donc, lorsquHl s'agit de déduire les forces élastiques de la déformation qui les tngendre, négliger ce mouvement de rotation et considérer la déformation comme complètement définie par les i et les ol.

Si Ton ne considère que des déformations suffisamment petites, on peut regarder les forces élastiques comme proportionnelles à la déformation, et l'expression de chaque composante de la force élastique comme composée de 6 termes dont chacun est formé d'un facteur constant, ou ne dépendant que de la configuration du milieu au point

considéré, qui multiplie une des 6 quantités ^xi ^y, ^x^ «x> «y» ol^. Pour la symétrie des formules, on convient d'appeler :

A, le coelficient de J« dans N.,

îv -^'

Ky

etc.

C,, D»« ^x, *^* coefficients respectifs de a,, a^, %^ dans N^,

C,. D,» F, - ~ - K C'^, C , C, les coefficients respectifs de 8^, 8 \ dans T^

F',. F'^, F', - - - T, cPC', le coefficient de a^. dans T^