PI

48 Ë bh^

Malheureusement cette formule ne s'applique qu*aux corps isotropes ou cubiques; pour les autres corps cristallisés, on n'a pas encore pu établir, si ce n'est dans des cas particuliers, la formule qui lie la flèche aux dimensions du prisme et aux constantes élastiques.

11 faut^donc, pour déterminer les constantes élastiques des cristaux, mesurer directement l'allongement ou le raccourcissement qu'éprouve, sous l'action d'une force connue, un prisme de longueur et de section données, découpé dans le cristal suivant une direction cristallographiquement connue. La difficulté provient de l'extrême petitesse de la longueur à mesurer; mais on pourrait sans doute, comme Ta depuiis longtemps indiqué M. Cornu, surmonter cette difficulté en ayant recours à la belle méthode d'observation imaginée par M. Fizeau et appliquée par lui à la mesure des dilatations thermiques des corps cristallisés; nous la décrirons plus loin.

Cas d'une pression nniforme sur tontes les isces. — 11 est

intéressant d'examiner le cas d'un corps que presse uniformément sur sa surface une pression égale à p par unité de surface. Il est aisé de voir qu'on a alors dans tout le corps :

N^ = Ny = N, = -p T, = 0, Ty = 0, T, = 0.

On aura donc:

(BV + K + A'. ) P «. = - (K + ^'y + F'. ) p.

Si le corps a la forme d'un cube dont les arêtes soit parallèles à ^, y, x;dx* ^x^ ^y seront les dilatations des arêtes, a^, ^y* a^ les rétrécissements des angles dièdres de ce cube. Les a seront tous nuls si les axes coordonnés sont des axes de symétrie.

Cas d'nn corps eyllndriqne soUlrité à la torsion* — Les phénomènes d'extension, de compression ou de flexion ne pouvant suffire à

déterminer tous les coefûcients qui définissent les propriétés élastiques .d*un corps donné, et cette détermination exigeant le concours des phénomènes de torsion, il est nécessaire d*étudier ceux-ci avec soin.

On suppose un corps prismatique ou cylindrique, sollicité extérieurement sur Tune des bases par un couple de forces dont le moment est M, et sur l'autre base par un couple égal et contraire, qui peut être remplacé par la réaction due à Tencastrement de cette base. On prend l'axe du prisme pour axe des z, et pour axes des ;r et des j^ deux droites rectangulaires quelconques situées dans la base encastrée*

Si l'on suppose dans tout le corps :

N, = 0. N^=0, N, = 0, .T, = 0, ^/=0, ^' = 0. les équations indéfinies (13) sont satisfaites si Ton a:

dx dy

Les équations définies à la surface, dans lesquelles on peut faire X^=0, Y^=0, Z^=0 en négligeant le poids du prisme, le sont aussi, à condition qu*on ait

T^da:-.Ty(fy=:0,

-^ étant tiré de l'équation en x, y du contour de la section. En elTet,

les forces extérieures agissant sur la base peuvent être remplacées par des forces égales, f, agissant tangentiellement en chaque point du contour. L'équilibre d'un élément infiniment petit de la base pris sur le contour, et pour lequel m' = 0, n'=0, p'=l, exige, en vertu des équations (14),

d'où l'on tire

Yi dy

Ty-X,- dx'

Quant à la déformation, la nullité de T^ et des trois N montre que les ^ et les a sont fonctions linéaires de T;^ ^^ l'y* ^^ difTérentiant par

rapport à a, on aura donc, à cause de "T"'"®»'3^^*^» ^^ ^*'*"® *"*-

CHAP. U. — ÉUSTIQTÉ. 49

nière générale»

équations dans lesquelles on peut mettre à ^ et a un quelconque des indices x, y, z.

Les équations (3) donnent donc :

dxdy dy* dx*

équations satisfaites lorsque T^ et T^ et par conséquent les a et les d sont fonctions linéaires de x et de y. Les équations (4) donnent :

\dy dx)

dy \dy dx J 0 = 0,

équations satisfaites, lorsque Ton pose :

da dOL dx dy '

20 étant une certaine constante.

La condition que T^ et T^ soient des fonctions linéaires de a: et de y exige d'ailleurs que le contour soit une ellipse, car si l'on remplace T^ et Ty par ces fonctions linéaires dans l'équation TJLc — T^dy=0,

cette équation» intégrable en vertu de l'équation ^= — -j^« donne

par l'intégration une équation du deuxième degré qui ne peut être que celle d'une courbe fermée et par conséquent d*une ellipse. Dans les expressions de T^ et T en x et 2^, il ne doit point aitrer

ne peuvent être mises sous la même forme que les équations (6), qu'en substituant aux C des coefficients G" tels que

Les formules :

ne peuvent être mises sous la même forme que lès précédentes qu*en prenant

Les formules symboliques de transformation donneront les C", D*', F'',

«-^ p ^ ; il faudra donc, pour employer les formules, diviser par 2 les

C, D', F' et par i les <^ et ^ qui y entrent; puis doubler les C, D%

F' et quadrupler les ^-^ et c^ donnés par les formules.

11 résulte ainsi de ce qui précède, que les simplifications provenant de la symétrie du corps, seront identiques avec celles qu'on a déjà

trouvées pour les A, B, ^S^j ^y etc. ; mais en tenant compte des changements qui viennent d*étre reconnu nécessaires. C'est ainsi que lorsque Taxe des % est un axe de symétrie principal, les formules de changement d'axes ont donné l'expression

qui se transformera, changeantes^, en 7 cPc?^, en

Nous désignerons dorénavant les expressions qui, dans chaque cas de symétrie particulière, donnent les ^ et « en fonction des N et T, par les mêmes numéros que ceux qui désignent les expressions correspon-

CHAP. n. — ÉLASTICITÉ. 43

dantes donnant les N et T eu fonction des d et des a, mais en accentuant ces numéros.

g 4. ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ.

Équations exprimant l'équilibre dVlaiitlclté. — Pour appliquer la théorie qui précède, il faut pouvoir résoudre le problème suivant : Un corps étant en équilibre sous Faction des forces élastiques intérieures et d*un système donné de forces extérieures, trouver la déformation du corps, ou réciproquement. 11 est aisé de poser les équations difTérentielles qui résolvent le problème.

Soit un petit prisme dont 5 arêtes, coïncidant avec les axes coordonnés, sont égales à dx^ dy^ dz, La face coïncidant avec le plan dès yz est sollicitée par une force élastique qui, appliquée à la surface dont Taire est dydz^ a pour composantes :

\dydz, T^dydz, \dydz.

La face parallèle est sollicitée par une force dont les composantes sont :

Quant à Ja force non moléculaire qui agit sur le petit parallélipipède, on peut la supposer proportionnelle au volume dxdydz = dvy et nous appellerons ses composantes Xo, Yo, Z©; l'équilibre du prisme exige que la somme des projections des forces sur Taxe des x soit nulle. On trouve ainsi la première des équations suivantes, dont les deux autres s'obtiennent par des considérations analogues en remplaçant successivement Taxe des x par ceux des y et des z :

dN, dT. dT„

rfT. </N„ dT

dT^ dT^ dN^ dx dy dz

Ces équations, qui doivent être satisfaites en tous les points du corps en équilibre d*élaslicité, sont les équations indéfinies d'équilibre auxquelles doivent satisfaire les fonctions N et T.

Les forces Xq* Yq, Z^ agissant en tous les points du corps et qui sont le plus habituellement celles de la pesanteur, sont généralement abstraites^ c'est-à-dire qu'on ne compte la déformation qu*à partir de celle qu*ont produite les forces Xo,YoZ^> que Ton peut alors supposer nulles.

Ces équations, dans lesquelles n'entrent pas les forces réellement extérieures, appliquées à la surface du corps, et qui le déforment en le tirant, en le comprimant ou en le tordant, ne suffisent évidemment pas pour résoudre le problème; il faut y ajouter d'autres équations dites définies^ parce qu'elles ne s'appliquent qu'à des points particuliers du corps.

Si l'on prend d'une manière générale une portion finie du corps, pour laquelle on connaît les forces qui agissent en chaque point de la surface, il faudra écrire que la force extérieure appliquée en un certain point de la surface sur un élément &> de cette surface, fait équilibre aux forces intérieures qui agissent intérieurement sur cette même surface. Si X, Y, Z sont les composantes de la force élastique F et XpY^.Zi, les composantes de la force extérieure Fp rapportée à l'unité de surface, l'équilibre exige que les équations suivantes soient satisfaites :

IX=m'N,-+-n'T, + p'Ty = X„ Z=m'Ty + n'T, 4-p'N, = Z,;

équations auxquelles il faudra en ajouter trois autres exprimant que la somme des moments des forces extérieures prises par rapport à 3 axes rectangulaires est égale à la somme des moments des forces intérieures.

Lorsqu'on donne la déformation, il est très facile d'obtenir les forces extérieures qui peuvent la produire, puisqu'on déduit les forces intérieures de la déformation au moyen des équations (7), et les forces extérieures des forces intérieures au moyen des équations précédentes. Le problème est plus complexe dans le cas,qui est presque toujours celui de la pratique, où l'on se donne les forces extérieures et où il s'agit de remonter à la déformation. On ne connaît pas alors de moyen de résoudre la question d'une manière générale, et l'on ne peut qu'employer une méthode de tâtonnements dans chaque cas particulier. Cette méthode consiste à essayer de satisfaire aux équations par une déformation que certaines considérations font considérer conmie vraisemblable; la déformation est bien celle quel'on cherche, si, combinée avec les forces

extérieures données, elle vérifie les équations de Téquilibre élastique. Cas d*aiie traction on d'une pression. Coefflelents d'élasticité longitudinale. — On appliquera d*abord cette théorie au cas simple d'un corps homogène quelconque, de forme prismatique, sollicité sur ses bases par une force normale (pression ou traction^ égale à p par unité de surface. On rapporte le corps à 5 axes rectangulaires x^ y, Zj dont Tun z est parallèle à Taxe du prisme.

II est aisé de voir qu*on a partout :

T^ = 0 Ty = 0 T,=:0, d*où Ton tire :

= pf^\ ■ «„ = P»', «, = Pl",

En effet, les valeurs de N et de T satisfont évidemment aux équations (15) lorsqu'on y abstrait X^» Y^, Z^, et aux équations (14). Les d et

les a satisfont également aux équations (3) et (4), puisque toutes les dérivées sont nulles.

Si Ton observe avec précision la dilatation d[ du prisme, ou le rapport de rallongement de ce prisme à sa longueur; si Ton mesure en outre le rapport p qui existe entre le poids qui sollicite le prisme et Taire de la section droite, 'on aura :

On a donc ainsi le moyen de déterminer expérimentalement le coefficient k\ correspondant à une direction z arbitrairement choisie. L'inverse de ce coefficient est désigné ordinairement dans la théorie de la résistance des matériaux sous le nom de module de Vélasticité longitudinale; on le désigne par E^.

Si Ton prend dans le corps 3 axes rectangulaires fixes, '^j n^ C, la formule symbolique connue donnera immédiatement l'expression de A*^

en fonction des coefficients qui se rapportent aux axes |, n^ C* On trouve ainsi :

46 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTiLLOGRAPUIE PHYSIQUE.

4-n*A'ç+my(2B'^+t5^'^)4-2mpn«(D'^+i§^'^)4-2mp(m«D'ç+p^^^^ +p^A'ç-f-ttt«ii«(2B'çH-c5^'ç) +2mnp«(F'çH-^'ç) -».2mn (m«F'ç-#-n«F'^)

en effaçant les indices des m, n, p» qui seraient tous ('.

Les 15 coefficients distincts de cette expression pourront être calculés au moyen de 15 observations de A', suivant 15 directions différentes. Il sera impossible de déduire d'observations semblables les 21 coefficients distincts des expressions (6). On ne pourra les obtenir qu*en ajoutant aux expériences d'allongement des expériences de torsion.

Aux expériences d'allongement nécessaires pour déterminer A', ou

pT) on a essayé de substituer des expériences de flexion bien plus coai-

modes, parce que, en diminuant suffisamment l'épaisseur de la lame

fléchie et augmentant sa longueur, on peut

J/ produire des flèches assez grandes pour

k A être mesurées avec précision. Il sulfit de

z /^ z' placer la lame sur le tranchant de deux

'p. ^ couteaux Z et Z' (fig. 5), de charger la

lame en son milieu d*un poids porté par

l'intermédiaire d'un autre couteau A, et de mesurer avec un microscope

la quantité dont A s'abaisse.

Avec des solides isotropes, on a en effet :

PP '■~48E,r

en appelant f la flèche, l l'écartement des deux appuis sur lesquels la lame est posée, P le poids dont la lame est chargée en son milieu, I le moment d'inertie de la section autour d'une certaine ligne qui, lorsque la lame a pour section droite un rectangle, peut être regardée conune

' Il est aisé de voir que si Ton prend sui* ctiaque direction C une longueur égale à

57= = ^Ea, on pourra remplacer dans l'expression de A' , m, n, p par ï7=.» j—-, VA', * y/k\ ^

r=, X, y, t représentent les coordonnées de Textrémité du rayon vecteur. La surface

ainsi obtenue est du 4* degré.

coïncidant avec une parallèle au côté du rectangle reposant sur les

appuis. Dans ce cas, on a I=-jq9 et la formule devient :

' 48 Ë bh^

Malheureusement cette formule ne s'applique qu*aux corps isotropes ou cubiques; pour les autres corps cristallisés, on n*a pas encore pu établir, si ce n*est dans des cas particuliers, la formule qui lie la flèche aux dimensions du prisme et aux constantes élastiques.

Il faut^donc, pour déterminer les constantes élastiques des cristaux, mesurer directement rallongement ou le raccourcissement qu'éprouve, sous l'action d*une force connue, uii prisme de longueur et de section données, découpé dans le cristal suivant une direction .cristallographiquement connue. La difficulté provient de l'extrême petitesse de la longueur à mesurer; mais on pourrait sans doute, comme Ta depuis longtemps indiqué M. Cornu, surmonter cette difficulté en ayant recours à la belle méthode d'observation imaginée par M. Fizeau et appliquée par lui à la mesure des dilatations thermiques des corps cristallisés; nous la décrirons plus loin.

Cas d'une pression nnlforme sur tontes les faces. ^ Il est intéressant d'examiner le cas d'un corps que presse uniformément sur sa surface une pression égale à p par unité de surface. Il est aisé de voir qu'on a alors dans tout le corps :

N, = Ny = N, = -p T^ = 0, Ty = 0, T, = 0.

On aura donc :

*x = -(A'^ + B', + BY)p «x^-iC-. + C'y + C',)? ^ = -(K +A'^ -h B', ) p «y = -(D', -h ly^ -t-D-, ) p

Si le corps a la forme d'un cube dont les arêtes soit parallèles à a:, y, z;dj,, d^, dy seront les dilatations des arêtes, «jp, a^, «^ les rétrécissements des angles dièdres de ce cube. Les a seront tous nuls si les axes coordonnés sont des axes de symétrie.

Cas d'nn coFps cylindrique soUIrlté à la torsion. — Les phénomènes d'extension, de compression ou de flexion ne pouvant suffire à

litude, car il suffit de placer aux extrémités d*une même gènératiîce du cylindre, de longueur 2, de petits miroirs tangents au cylindre et placés en regard dune échelle graduée. On observe, après la torsion, par la méthode de Gauss, l'angle formé par les plans des deux miroirs; cet angle divisé par l est égal à 0. Connaissant 0 et le moment M des for* ces qui tordent, on obtient, si le cylindre est circulaire, la valeur de

tS^^'^tS^yf et si le cylindre est elliptique, une relation entre ces deux quantités. Dans ce dernier cas, il suffirait d'observer successivement avec deux cylindres elliptiques dont les grands axes seraient à angle droit par rapport aux axes cristallographiques du corps. Taxe du cylindre gardant la même direction, pour obtenir séparément ^S^x et ç^^t . Si le corps a trois axes de symétrie rectangulaires, l'observation de la torsion de cylindres circulaires taillés suivant la direction de chacun

des axes donnerait cS^^ + cP^^» tPê^^ 4-c5^.> c5^„ -hcS^.»

d'où l'on déduirait facilement çS^ > t^ et çS^\ •

Cas daos lesquels on peat rédalre à iS les Si etieflleieBts de ctreen. — Le raisonnement que nous avons employé après Green pour réduire de 36 à 21 le nombre des coefficients élastiques distincts dans le cas le plus général, ne s'appuie que sur l'équation du travail, et laisse complètement indéterminé le mode d'action des centres de ravité moléculaires, auxquels on suppose le corps réduit. Si l'on «upopsait négligeables les variations qui peuvent se produire,* pendant la déformation, dans l'orientation et la forme de la molécule, il serait permis de considérer les centres de gravité des molécules comme exerçant, suivant une direction déterminée, des actions toujours identiques, et qui ne varient qu'avec la distance des autres centres sur lesquels elles s'exercent. Dans cette hypothèse, on démontre sans peine que les 21 coefficients de Green pourraient être réduits à 15, au moyen des 6 relations :

Cette réduction, qui avait été considérée par Cauchy, dans ses premiers travaux, comme pouvant toujours être faite, est analytiquement remarquable. Elle établirait en effet une dépendance entre les coefficients qui régissent la torsion et ceux qui régissent l'extension. Des^

observations d*extensionsurriraient à déterminer, si elle pouvait être opérée, toutes les constantes élastiques, et la surface du 4* degré, qui représente la variation des A ou des E, suffirait à représenter toutes les propriétés élastiques du corps.

Voici par quel raisonnement élémentaire, on peut, avec H. de Saint- Venant, démontrer l'exactitude, les hypothèses convenables étant faites, de la réduction dont il s'agit.

Soient deux molécules séparées par la distance mn.

Une dilatation 3, déplace n, par rapport à m, d'une longueur tm^ parallèle à ;s et exprimée par:

nn, =8 rcos (r,«).

Un rétrécissement angulaire a^ ou « , déplace n par rapport à m, d'une longueur nn^ parallèle à s et égale à :

«w,= ax,*'cos(r.x).

Si les actions intermotéctUaires ne dépendent que de la distance^ les actions développées entre les molécules m, n dans la direction mn par ces deux déformations seront donc K étant une certaine constante, représentées par :

K32rcos(r,x) et Ka^^r cos (r,a;).

Si l'on cherche la force élastique exercée sur un plan quelconque que Ton désignera par 9, et la composante de cette force suivant Xy composanteque Ton désignera par P , cette composante sera la somme des projections, suivant Taxe des a:, des actions exercées entre deux molécules m et n situées de part et d'autre du plan. Tous les termes de cette somme qui contiennent ^^ ont la forme:

K§, r cos (r,2) cos (r,x), et le coefQcient de ^^ dans P^^ est

3Kr cos (r,«) cos (r^x).

On trouve de même que le coefficient de a^x ou a^ dans P^, est

2Kr cos (r^x) cos (r,«) ; ces deux coefQcients sont donc identiques.

' On trouve ainsi que le coeflicient de d^ dans P^^ ou N^» c'est-à-dire

By, est égal au coefficient de a^ ou «y dansP;^;^ ou Ty, c'est-à-dire çS^ .

Des raisonnements analogues au précédent permettraient d'établir cinq autres relations» au moyen desquelles le nombre des constantes élastiques serait réduit à 15.

Le cas hypothétique qu'on vient d'examiner n'est pas celui des corps cristallisés. Il était cependant intéressant de Tétudier» car l'écart que l'observation constatera entre les valeurs réelles des constantes et celles qu'elles auraient si les coefficients pouvaient être réduits à 15, sera en quelque sorte une mesure des variations que produisent, dans la forme et l'orientation des molécules, les déformations élastiques.

Mais l'étude que nous venons de faire présente un autre genre d'intérêt, car il est aisé de voir que l'hypothèse qui lui sert de base se réalise dans les corps dits isotropes. Dans ces corps en effet l'homo* généité ne peut être conçue qu'en admettant que, suivant toutes les directions, se rencontrent en même nombre, sur une même longueur très petite, des molécules ayant toutes les orientations possibles. Cela revient évidemment à admettre que l'orientation et la forme de la molécule sont sans influence sur les propriétés physiques du corps. Dans les corps isotropes, pour lesquels l'ellipsoïde d'élasticité est nécessairement une sphère, les 2 constantes élastiques A et B, qui restent distinctes dans les corps cristallisés à symétrie cubique, se réduisent à une seule, puisqu'on doit avoir :

B=cPé?=l(A-B),

Obsenrailons de M. Tolg^ sur l'élasticité do sel femnie. —

La science ne compte encore qu'un très petit nombre d'observations faites en vue de déterminer les constantes élastiques des cristaux. M. Voigt' a cependant, assez récemment, publié d'intéressantes observations sur l'élasticité du sel gemme qui cristallise dans le système cubique.

M. Voigt a mesuré, par la méthode de la flexion, les coefficients

i. Pogg,, Ann,, Erganzûngsband, t. VII (1875-1876).

CHAP. II. - ÉLASTiaTÉ. 59

d'élasticité E correspondant à trois directions, la première c coînci*dant avec un axe cubique» la seconde d, avec un axe dodécaédrique ou binaire, la troisième o, avec un axe octaédrique ou ternaire. M. Voigt a trouvé :

Ces (rois nombres devraient être identiques en vertu de la théorie, on voit qu'ils diffèrent d'une manière fort notable, et que E^ est surtout très différent des deux autres. L'écart relatif entre E^ et E^ est de plus de 20 pour 100.

Pour relier ses observations entre elles, M. Voigt s'est servi de formules données par Neumann et qui ne diffèrent des nôti*es qu'en ce que

le coefficient ^p^ est supposé indépendant de A et de B et non plus

égal à — ^ — C'est à ce résultat qu'on arrive en effet lorsqu'on écrit dans

les formules que les cristaux cubiques possèdent trois plans de symétrie respectivement normaux à trois axes perpendiculaires et identiques entre eux, sans tenir compte de la symétrie qui existe par .rapport aux six plans normaux binaires. Cela revient, en d'autres termes, à supposer dans l'espèce actuelle que la symétrie du sel gemme est seule(nent terbinaire avec une quasi égalité et non pas une identité complète des trois axes binaires.

Quoi qu'il en soit, les formules de Neumann représentent bien les observations, car M. Voigt trouve

calculé

observé

M. Voigt a ajouté aux observations faites sur la flexion, des observations sur la torsion de prismes rectangles dont les axes étaient aussi dirigés suivant les trois directions précédemment définies. En combinant entre elles toutes les données expérimentales, M. Voigt a déduit pour les constantes élastiques du sel gemme les nombres suivants :

d'où Ton déduit encore en intégrant :

On a en outre :

àv du ^ „, , ^-yy-26«+F(^,î,).

dv , du

équation qui, combinée avec la précédente, donne : 2 ^=26z;+p,a; + Çjy-4-F(a;,y), 2~=-20i+p^4-9,y-F(a;.y).

En différentiant les expressions de v et u, on trouve :

Ces deux équations, comparées aux deux précédente^, donnent :

2lM=-2ez + 7«y-t-(p.-2n)a;-F(x,y).

Dans ravant-dernière équation, le premier membre étant indépendant de X, il doit en être de même du deuxième, ce qui entraîne la condition :

^ (^»y)=9ty + (Pi-2n)x-t-+ (y).

La seconde équation donnerait de même :

F(x,y)=— prX + (2ni — 9,)y+(p(x).

Des deux dernières équations on obtient aisément :

et par conséquent, en intégrant :

f (*»y) = (Pf — -w) .T -f (2>t| — q^) I; .

df (y z) Avec celte valeur de F (a:, y), les équations qui donnent 2 ' ^^* •

et 2 '^], * \ deviennent :

(te

— 2^ — ez4-(/>, — n) X.

On en déduit par Tintégration :

f,(x,z) = 0«; + I Jp^«„) x« -H Xi W •

Or on a :

dv dw df,(x,z) df^(x,y)

^''dz^dy^~dr^'^''^^^îy^'

et comme oc^ est indépendant de Ç, il faut que Ton ait : ou

puisqu*aucune constante ne peut entrer dans l 'expression des u, v, w. On trouverait, par un calcul tout à fait analogue :

Les expressions de u et t; sont donc, en définitive :

On peut maintenant se demander quelle est la torsion subie par une ligne supposée parallèle à Taxe du cylindre avant la déformation. Soit, après la déformation, m (fig. 7) la projection d*un point quelconque

bk DEUXIÈME PARTIE. - CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE,

du corps sur Iq plan desxy, mf la projection d* un autre point qui, avant la déformation, se trouvait sur la môme parallèle à Taxe des x que m et était séparée de celui-ci par une distance dz. L*angle m'Qm est

Fig. 8.

ce que Ton appellera la torsion subie par Télôment dz; on le représentera par dr. Les accroissements des coordonnées x et y, en passant de m à m\ sont égaux aux accroissements du et dv correspondant à Taccroissement dz. Si Ton écrit que la surface du triangle 0mm' est égale à celle du triangle Opmf moins celle du triangle Opm^ on aura:

P«c/t = (xdv — ydu) =^« (^ ^ - y ^) •

Si Ton remplace [dans cette expression 7- ^^ t- P^ leurs valeurs tirées des expressions de u et de v, il vient :

et en intégrant :

T est l'angle (rapporté à la demi-circonférence) dont la longueur verticale z s*est tordue autour de Taxe des z. En remplaçant m, et n, par leurs valeurs, on peut écrire :

T=e«-hO

rc-.y + lD-,

Si la section est circulaire, on a :

T=a«4-lJ —, — ■ —j — .

P«(c5^', + cP^^)

Les points de Taxe du cylindre» pour lesquels :r = 0, y=0, subissent les déplacements :

ils restent donc dans un plan Tertical passant par Taxe des x, et dont la trace sur le plan des xy a pour équation :

La courbe qu'affectent les points situés sur Taxe est ime parabole ayant pour équation :

p étant la distance d*un point quelconque à Taxe des z.

On peut considérer le déplacement total très petit de chaque point comme étant la superposition de deux autres. L*un de ceux-ci est une translation égale et contraire à celle du centre de la section qui contient le point, c'est-à-dire exprimée, par

Tautre a pour projections sur les axes, u + u\v -h v\ et w. Les premiers déplacements donnent une sorte de flexion de tout le cylindre, parallèlement au plan dont Téquationest y=-^x; les autres produisent une torsion uniforme autour de Taxe des z exprimée par Téquation :

Si Taxe des z est un axe dé symétrie, on a C,= 0, D', = 0, et Taxe du cylindre reste vertical. La torsion autour de Taxe des z est exprimée par Téquation précédente. Il est alors très facile de mesurei" 0 avec exac-

titude, car il suffit de placer aux extrémités d*une même génératiîee du cylindre, de longueur /, de petits miroii^s tangents au cylindre et placés en regard d*une échelle graduée. On observe, après la torsion, par la méthode de Gauss, l'angle formé par les plans des deux miroirs; cet angle divisé par { est égal à e. Connaissant e et le moment H des for* ces qui tordent, on obtient, si le cylindre est circulaire, la valeur de

tS^^tS^y^ et si le cylindre est elliptique, une relation entre ces deux quantités. Dans ce dernier cas, il suffirait d'observer successivement avec deux cylindres elliptiques dont les grands axes seraient à angle droit par rapport aux axes cristallographiques du corps. Taxe du cylindre gardant la même direction, pour obtenir séparément tP^x et ç^^f Si le corps a trois axes de symétrie rectangulaires, l'observation de la torsion de cylindres circulaires taillés suivant la direction de chacun

des axes donnerait cPé?^-^cPé?^» cP^^ + cPé?,» c-^« -l-cPé?^»

d'où l'on déduirait facilement c5^ » ^S^ cl cPé?', •

Cas dans lesquels on pent réduire * iS les ti eoelBeienta de fireen. — Le raisonnement que nous avons employé après Green pour réduire de 36 à 21 le nombre des coefficients élastiques distincts dans le cas le plus général, ne s'appuie que sur l'équation du travail, et laisse complètement indéterminé le mode d'action des centres de ravité moléculaires, auxquels on suppose le corps réduit. Si l'on eupopsait négligeables les variations qui peuvent se produire,' pendant la déformation, dans l'orientation et la forme de la molécule, il serait permis de considérer les centres de gravité des molécules comme exerçant, suivant une direction déterminée, des actions toujours identiques, et qui ne varient qu'avec la distance des autres centres sur lesquels elles s'exercent. Dans cette hypothèse, on démontre sans peine que les 21 coefficients de Green pourraient être réduits à 15, au moyen des 6 relations :

CHAP. n. - ÉLASTICITÉ. 57

observations d^extension suffiraient à déterminer, si elle pouvait être opérée, toutes les constantes élastiques, et la surface du 4' degré, qui représente la variation des A ou des E, suffirait à représenter toutes les propriétés élastiques du corps.

Voici par quel raisonnement élémentaire, on peut, avec M. de Saint- Venant, démontrer Texactitude, les hypothèses convenables étant faites, de la réduction dont il s'agit.

Soient deux molécules séparées par la distance mn.

Une dilatation 3, déplace n, par rapport à m, d'une longueur nn^ parallèle à 2 et exprimée par:

nn, = 8^ r ces {r,«).

Un rétrécissement angulaire a^ ou a^, déplace n par rapport à m, d*une longueur nn^ parallèle à 2 et égale à :

wn,= a«rcos(r.j:).

Si lei action» intermoléculaires ne dépendent que de la diitancCf les actions développées entre les molécules m, n dans la direction mn par ces deux déformations seront donc K étant une certaine constante, représentées par :

Kî, r cos (r,a;) et Ka^a»* cos (r,x).

Si l'on cherche la force élastique exercée sur un plan quelconque que l'on désignera par 9, et la composante de cette force suivant x, composanteque l'on désignera par P , cette composante sera la somme des projections, suivant l'axe des x, des actions exercées entre deux molécules m et n situées de part et d'autre du plan. Tous les termes de cette somme qui contiennent j^ ont la forme:

K5, r cos (r,z) cos (r,x), et le coefficient de j^ dans P est

]Kr cos (r,z) cos {r,x).

On trouve de même que le coefQcient de »„ ou a^ dans P^ est

2Kr cos (r,x) cos (r,«) ; ces deux coefficients sont donc identiques.

On trouve ainsi que le coefficient de i^ dans P^ ou N^» c'est-à-dire

By, est égal au coefficient de «^ ou «^ dans P^, ou T^, c'est-à-dire ^S^ .

Des raisonnements analogues au précédent permettraient d'établir cinq autres relations, au moyen desquelles le nombre des constantes élastiques serait réduit à 15.

Le cas hypothétique qu'on vient d'examiner n'est pas celui des corps cristallisés. Il était cependant intéressant de l'étudier, car l'écart que l'observation constatera entre les valeurs réelles des constantes et celles qu'elles auraient si les coefficients pouvaient être réduits à 15, sera en quelque sorte une mesure des variations que produisent, dans la forme et l'orientation des molécules, les déformations élastiques.

Mais l'étude que nous venons de faire présente un autre genre d'intérêt, car il est aisé de voir que l'hypothèse qui lui sert de base se réalise dans les corps dits isotropes. Dans ces corps en effet l'homogénéité ne peut être conçue qu'en admettant que, suivant toutes les directions, se rencontrent en môme nombre, sur une même longueur très petite, des molécules ayant toutes les orientations possibles. Cela revient évidemment à admettre que l'orientation et la forme de la molécule sont sans influence sur les propriétés physiques du corps. Dans les corps isotropes, pour lesquels rellipsoïde d'élasticité est nécessairement une sphère, les 2 constantes élastiques A et B, qui restent distinctes dans les corps cristallisés à symétrie cubique, se réduisent à une seule, puisqu'on doit avoir :

B = cP^ = i(A-B).

ou :

ObaerYattons de M. ¥otgt sur l'élastlelté dn sel gemme. —

La science ne compte encore qu'un très petit nombre d'observations laites en vue de déterminer les constantes élastiques des cristaux. H. Voigt' a cependant, assez récemment, publié d'intéressantes observations sur l'élasticité du sel gemme qui cristallise dans le système cubique.

H. Voigt a mesuré, par la méthode de la flexion, les coefficients

i. Pogg., iifiit., ErganxOngsband, t. VII (1875-1876).

d*éla8ticitè E correspondant à trois directions, la première e coînci» dant avec un axe cubique» la seconde d, avec un axe dodécaédrique ou binaire, la troisième o, avec un axe octaédrique ou ternaire. H. Voigt a trouvé :

Ces trois nombres devraient être identiques en vertu de la théorie, on voit qu'ils diffèrent d*une manière fort notable, et que E^ est sur* tout très diffèrent des deux autres. L'écart relatif entre E^ et E^ est de plus de 20 pour 100.

Pour relier ses observfeitions entre elles, H. Voigt s'est servi de formules données par Neumann et qui ne diffèrent des notices qu'en ce que

le coefficient c5^ est supposé indépendant de A et de B et non plus

A— B égal à — 5 — C'est a ce résultat qu'on arrive en effet lorsqu'on écrit dans

les formules que les cristaux cubiques possèdent trois pians de symétrie respectivement normaux à trois axes perpendiculaires et identiques entre eux, sans tenir compte de la symétrie qui existe par .rapport aux six plans normaux binaires. Cela revient, en d'autres termes, à suppo* ser dans l'espèce actuelle que la symétrie du sel gemme est seule(nent terbinaire avec une quasi égalité et non pas Une identité complète des trois axes binaires.

Quoi qu'il en soit, les formules de Neumann représentent bien les observations, car H. Voigt trouve

calculé

observé

H. Voigt a ajouté aux observations faites sur la flexion, des observations sur la torsion de prismes rectangles dont les axes étaient aussi dirigés suivant les trois directions précédemment définies. En combinant entre elles toutes les données expérimentales, M. Voigt a déduit pour les constantes élastiques du sel gemme les nombres suivants :

tSS

l'unité de force étant le kilogramme et l'unité de longueur étant le millimétré.

En admettant que le sel gemme est réellement cubique, et en supposant exacts les coefficients A et B, la théorie exigerait

. La différence entre ce nombre et celui qui est donné par rd>serTation s'atténuerait si l'on tenait compte de ce que H. Voigt a employé» pour

calculer cPc? des formules données jadis par Cauchy pour la flexion des prismes rectangulaires et que H. de Saint-Venant a démontrées être inexactes. D'après H. de Saint-Venant, la différence entre les résultats donnés par la formule et les résultats exacts s'élève, lorsque le prisnie est un rectangle dont un côté est de 3,5 à 3,8 fois plus grand que l'autre, comme il arrive dans les observations de H. Voigt, à 0,885.

Si l'on faisait cette correction à la valeur de ç5^ observée par M. Voigt,

on trouverait cPé? = 128 qui se rapprocherait de la valeur théorique, un peu plus que le nombre donné par H. Voigt.

Quoiqu'il en soit, l'inégalité, qui parait bien constatée, de E suivant les différentes directions contredit formellement la théorie, à moins que le sel gemme, au moins sous le rapport élastique, ne jouisse pas réellement de la symétrie cubique. Nous verrons en effet plus loin que le plus grand nombre des cristaux cubiques ne possèdent, au point de vue optique, qu'une symétrie inférieure à celle qui semblerait devoir leur appartenir; le sel gemme est précisément dans ce cas. Il serait fort intéressant que de nouvelles expériences vinssent faire la lumière sur cette partie encore obscure de la science.

Expérleoees de M. firoth «or l'élasticité do sel çfwwo. —

H. P. Groth* a employé, pour trouver les modules d'élasticité E du sel gemme, suivant difTèrentes directions, un procédé ingénieux et qui est d'un emploi plus commode que celui de H. Voigt. 11 pose, sur une même planchette élastique une barre d'acier, dont l'élasticité est connue, et la petite barre cristalline dans laquelle on veut la mesurer. On fait vibrer la barre d'acier au moyen d'un archet, les vibrations se transmettent à la barre cristalline, et les deux barres exécutent des vibrations concordantes. Du sable fin, répandu sur la surface des deux barres, permet de mesurer la distance de deux nœuds, d'où l'on peut

i. Pogg., Ann., 1875.

déduire, par une formule connue, le rapport de leurs coefficients d'élasticité. Les mesures faites par H. Groth sont assez d*accord avec celles de M. Voigl, et la facilité relative du procédé qu'on lui doit permet d*espérer qu'on pourra étendre à un grand nombre d'espèces cristallines, les expériences faites sur le sel gemme K

Expériences anelennea de Savart. — Le procédé de M. Groth a quelque analogie avec celui qui a été employé jadis par Savart, dans une série d'expériences célèbres*.

Savart faisait vibrer non pas de petites barres cristallines, mais des plaques découpées dans le cristal suivant différentes directions, et dont il étudiait l'état vibratoire au moyen de sable répandu sur leur surface. On connaissait encore bien moins que maintenant une théorie générale de la vibration des plaques, et la théorie de l'élasticité cristalline était encore à naître. Savart, avec une remarquable intuition des phénomènes, considéra un cristal comme un corps n'ayant pas la même élasticité suivant différentes directions. II commença donc par expérimenter sur un corps non cristallisé, mais qui ne possédait pas les mêmes propriétés dans tous les sens, et dont on connaissait assez bien le mode de structure intérieure. Le corps choisi fut une bille de bois, découpée dans un tronc aussi régulier que possible. On découpait les plaques dans cette bille, soit perpendiculaires, soit parallèles à l'axe du tronc, soit inclinées d'une manière quelconque. En comparant ensuite le mode de vibration de ces plaques ligneuses avec des plaques découpées suivant certaines directions dans des cristaux de quartz ou de calcite, Savart montra que l'élasticité varie dans chacune de ces substances lorsqu'on fait varier la direction de la plaque. Entre autres ré- . sultats intéressants il constata que les plaqbes découpées dans le quartz parallèlement aux faces p ne vibrent pas comme celles qui sont découpées parallèlement aux faces e |.

Le procédé de Savart, quelque ingénieux qu'il soit, est trop imparfait pour donner des résultats numériques précis. Il ne peut guère servir qu'à donner une idée des variations qui se'produisent avec la direction dans l'élasticité des cristaux. Nous n'entrerons donc pas sur ce sujet dans de plus longs détails.

- i. Les Annaifê de Poggendorf (t. 152) contiennent une série d'expériences faites sur l'élasticité de la calcite, par M. Baumgarten. Ces expériences sont faites, comme celles de M. Voigt, par le procédé de la flexion, et ne conduisent par conséquent à aucune donnée précise sur les constantes élastiques de la calcite. 2. AnnaUâ de chimie et de physique, t. I, 8-40, 1820.