PARTIE
<Sé:,h
coefficient de a.
dans T,
- Tx
œyx
- Tx
etc.
Les forces élastiques qui s'exercent sur tous les plans passant par l'origine des coordonnées étant connues lorsqu'on donne les 6 composantes N^, Ny, N^, T^, Ty, T^, et l'expression de chacune de c«s composantes contenant 6 coefficients, il faudra, dans le cas général, donner 56 coefficients pour qu'on puisse déduire les forces élastiques de la déformation qui les engendre.
Bédnetlon des %% coefflcleiita élastiques A ti. — Mais OU peut faire voir, avec Green, qu'il n'y a, en réalité, que 21 coefficients distincts au plus.
Les forces élastiques qui s'exercent sur les faces d'un petit prisme rectangle dont les arêtes^ parallèles aux axes coordonnés, sont égales à àxy dy, dzy ont produit, pendant une déformation très petite, un certain travail mécanique. H est facile d'en trouver l'accroissement différentiel. En effet, à une variation </a:(/Ss de la distance des deux faces du prisme sur lesquelles s'exerce la pression normale dydzJ^^, correspond un travail dxdyrf3;N^d^=irfN i , en désignant par rf le volume du
prisme. A une rotation angulaire d lu) du plan zx autour de l'axe des^r,
correspond un déplacement dzd'Q du point d'application, une force
dxdyT^, et pav conséquent nn irasM [dzdxdyT ^d 0^ ='^T^d(u) .
De même à un déplacement angulaire d'^ ^du plan zy correspond un
travail ''** T^ ^ ^ t et la somme de ces travaux est égale à xï^ T (d y -h
L'expression de l'accroissement différentiel du travail, rapporté à Vunitéde volume, est donc :
(i4) = N c/$ +N di H-N de -f-Ta -f-T rfa 4-T(ia.
XX y y aa XX y y % %
Mais le travail total 4> dont d ^ est la différentielle ne peut être fonction que des d et des a, c'est-à-dire qu'il dépend uniquement de
CHAP. U. - ÉUSTiaTÉ. 53
de l'état initial et de l'état final du corps, et qu'il est indépendant des états intermédiaires. Il est facile de le démontrer. On suppose que pendant la déformation le corps reste toujours en
Fig. :e.
équilibre sous l'action antagoniste des forces extérieures et intérieures, et qu'en outre la température reste constante grâce à la présence d'un corps étranger qui fournit en entier à chaque instant la chaleur absorbée ou produite par la variation d'énergie intérieure. En passant de l'état initial indiqué par l'indice 0 à l'état final indiqué par l'indice t » on a développé une quantité de travail égale à xii^^ — <E>o) (x^ étant le volume du corps), et on a recueilli une quantité de chaleur égale à la différence x^ (D| — Uo) des énergies intérieures initiale et finale du corps. Si l'on ramène le corps à l'état initial en le faisant passer par une série de transformations dilTérentes de celle qui a été réalisée d'abord, on devra fournir une quantité de chaleur précisément égale à vi (U| — Uo), car l'énergie intérieure du corps ne 'dépend que de son organisation interne et de sa température. Quant au travail recueilli, il ne serait pas égal au travail dépensé dans la première série de déformations, si 4>i — 4>o ne dépendait pas uniquement des états initial et final; mais celte hypothèse est inadmissible, car si elle était exacte, on aurait, à la suite des deux séries inverses de déformations qui ramènent toutes choses à l'état initial, créé ou détruit du travail, ce qui est impossible.
On déduit de ce théorème que, dans l'expression de cf^, les N et les T sont les dérivées partielles du premier ordre par rapport aux d et aux « d*une même fonction $. Les 36 coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont ainsi les dérivées partielles du second ordre, par rapport aux d et aux a, de cette fonction $. U y a donc, entre ces 36 coefficients, des relations du genre de celle-ci :
CRISTAIXOGRAPBU. T. H. S
34 DEIÎIÈME PARTIE. ~ CRISTALLOGRAPHIE PHTSIQCE.
d^tp d^
dïT^^inT ^ norobre de ces relations esl égal à celui des combi-
Daisons deai^. à deux de six quantités, c'est-à-dire à qoinie. Les 56 coefûcients se réduisent donc à 21 coefficients distincts au plus.
Il est aisé, d*après ce qui précède, de former les expressions définitives des N et des T. On a en effet :
dl^^ '' d>xdl^ ^9' cfôy""^' ^^dïT^^' et par conséquent
On aura évidemment de même :
= B„ et By, = B,y.
On a encore :
daxd^x
dàxdax
et par conséquent
On démontrerait de même que
^x=K^ ^x=K^ Cy=C'y,etc.
On a enfin :
yx
et ijar conséquent
^"^ xy — ^^ yx
On démontrerait de même que
CHAP. n. -. ÉLASTICITÉ. 35
Si l'on convient, pour abréger l'écriture, de représenter B par B,,
cS^cz par cSy, etc., les expressions définitives des N et des T seront en résumé :
N,=A,S,-hB^8, + ByO\+ C,a^+ D.a^H- F,a, N,= B^$^+B,5j,4-A,8,+ C,a^-+- D,a^H- F,8^
T, = FA+F,S^H-F,S,+ J^,a,H- J^.Xy + cP^^^a,.
Les coefficients A sont quelquefois appelés élasticités directes ou
longitudinales; les B élasticités latéraleSy les cPé? élasticités tangeniielles ou de rigidité; les autres sont les élasticités asymétriques.
Les six lignes horizontales et les six lignes verticales du tableau formé par les seconds membres de ces équations sont respectivement identiques. Il en résulte évidemment que si Ton forme la somme
8, ^x -H 8y ^y H- 8, rfiN, + a^dl, + etc...,
le coefficient dec/c^^, qui est la première ligne verticale du tableau, est égalài\. On a donc:
d4)=N,(/;, -h . . . . =8x(^iN^ + 8yrfNy|-h
On en déduit encore :
2rf*=rf(N^8*) + (/(Nj^Sy) H- .... + d(T,a,) + . . . .
et par conséquent en appelant ^^ le travail total produit par la déformation et rapporté à l'unité de volume,
24>i=2:NxS^ -^st^ V
Fommles «Tiiiboliqveéi donnant les expressiono des N et T. —
On peut donner aux expressions des NetT une forme symbolique rcmar*
quabie. en employant un système de notations analogue à celui dont on
a fait usage pages 9 et 24. On pose lés expressions symboliques
1^x=Pxx=PxPx^ '^x=PtP=PyP*'
analogues à celles de la page 9; on remplace les i elles a par les symboles de la page 24, et on convient de désigner par a^^^^ le coefficient de d ou 1 «- dans P, ou T^; en convenant toujours que Ton aura l'expression symbolique
Les expressions (6) peuvent être alors remplacées par la formule générale :
Pxy='^xy('^xx^xx'^^py^yy'^ +^^xydxy + )
formule dans laquelle a: et j^ sont des coordonnées quelconques qui peuvent être identiques, et dans laquelle il est permis d'inverser les deux facteurs. On remarquera que le deuxième facteur est constant, quel que soit p . Si l'on pose d'une manière générale
on pourra encore écrire :
Pxy=PxPy'
Si l'on applique ces formules à une coordonnée prise par rapport à des axes rectangulaires quelconques S) riy Ç, on aura :
Pl=a^{a^d^^ )♦ PU^PlPyi'
On se propose maintenant de chercher les coefQcients a, qui con* viennent aux axes ^9 "n^ Zy quand on connaît ceux qui conviennent aux axes a:, y, z. Pour y arriver, dans l'expression :
CHAP. n. — ÉLASTICITÉ. 57
déduite de la formule de la page 9, en remplaçant ^ par p, on remplace ps^ ft, p,, par leurs valeurs en d,» dg^ d«, on a :
ormule qui s*identifle avec la valeur précédente de p^^ si l'on pose
c'est-à-dire si Ton admet que aç est la projection sur l'axe Ç de la force symbolique a, dont les composantes sont a«, a^, Ot, Le second facteur du deuxième membre devient alors en effet, dans les deux équations, le travail de la force a correspondant au déplacement symbolique d dont les projections sont dx» d,, d,.
La formule générale de transformation cherchée est donc
dans le deuxième membre de laquelle il faut remplacer les expressions «ç. % par leurs valeurs symboliques en a,, a,, etc.
Forées élastiques dans les mlUeiix qui possèdent des éléments de symétrie. — Quelle que soit la nature des éléments de symétrie qui se rencontrent dans la structure du milieu considéré, on ne peut rien en déduire touchant la position ou la grandeur relative des axes des ellipsoïdes de déformation ou d'élasticité. En effet, les 9 et les a, les N et les T ne dépendent pas seulement de la nature du milieu, mais encore des causes extérieures, plus ou moins dissymétriques, qui déforment le corps et mettent en jeu son élasticité.
Les coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont au contraire indépendants des d et des ^y et ne dépendent que de la nature du milieu ; ils doivent donc être affectés par la symétrie de celui-ci.
Plan de symétrie. -— Système binaire. — Supposons, par exemple, qu'il y ait dans le milieu un plan de symétrie perpendiculaire à l'axe des z. Si l'on imagine une déformation telle que l'ellipsoïde de déformation ait l'axe des 2 pour l'un de ses axes, on aura a, = 0, «^ = 0. Le plan des zy étant de symétrie pour l'ellipsoïde de déformation et pour lé milieu, on se trouvé ramené au cas examiné dans le chapitre I,
cl l'ellipsoïde d'élasticité admellra le môme plan de symétrie. On doit donc avoir, dans ce cas particulier, 1^ = 0 et T,=0. Donc, pour traduire dans, les expressions Texistence d'un plan de symétrie perpendiculaii e aux z, il est nécessaire et suffisant de faire en sorte que ces expressions donnent Tx=0 et Ty = 0 pour «^=0 et «^ = 0. Cette condition revient à égaler à zéro les coefficients des quantités autres que a^ et ût, dans les expressions de T, et T,. Les expressions des forces élastiques se transforment donc comme suit :
N^=Axîx4-B;,8y-fBy5, -hF^o.,
K,= Bya,+B;cOy -fA^S^-fF^a,,
0,a,+'Sé.
1^= F,8,-+-Fy8yH-F,8-h
Ges équations qui conviennent aux corps cristallisés dans le système binaire, ne contiennent plus que treûe coefficients distincts.
Système terbiimire. — Lorsque le corps appartient au système terbinaire, il faut modifier les expressions (7) de manière que pour ot, = 0 et «,= 0, on ait T^=0 et T, = 0, ce qui donne :
I N^ = A^Î,-hB,8y+B 8,
u ^ B^ 8x + Ay 8y H- B^ 8;, ,
^J ^ By Sx 4- ^X 8y + A, 8;j ,
Il n'y a plus que n«i/' coefficients dislincls.
T,=i(^^ai
Ty = tPé,ay,
Systèmes unaire^ ternaire et quadratique. — Lorsque le milieu appartient à Tun de ces systèmes, si l'ellipsoïde de déformation est de révolution autour de Taxe principal (que l'on peut supposer être celui desz), rellipsoide d'élasticité sera aussi de révolution autour du même axe ; en d'antres termes, les choses se passeront comme si tous les plans passant par l'axe des 2 étaient des plans de symétrie du milieu; les formules des N et des T seront donc de même forme dans les trois systèmes crislalUns. Il suffit de les obtenir pour le cas du système quadratîquet par exemple.
Pour y parvenir on remarque d'abord, dans le but de simplifier les calculs ultérieurs, qiie si Taxe quadratique est dirigé suivant l'axe des z, et si deux axes binaires de même espèce sont dirigés suivant les axes des X et des y, tout doit rester identique,'dans les expressions (8), lorsqu'on permute
8jc et 8y , «j. et ay , N^; et Ny ^
On en déduit :
(9) A, = Ay, B^ = By et 'cpé?^ = c5^y.
Les trois relations ainsi obtenues sont nécessaires, mais ne suffisent pas pour exprimer que le mifieu possède la symétrie du système quadratique. On s'est en effet borné à écrire que lorsque ^^^ = ^^ etajp = a^, on a N, = Ny et T, = T^, mais cette condition peut être remplie sans qu'il existe nécessairement des plans de symétrie bissecteurs des plans zy et zx.
Pour traduire complètement la symétrie du corps, on change d'axes coordonnés en conservant l'axe des 2, prenant pour axe des Ç la bissectrice de l'angle xy, et pour axe des vj celle de l'angle xy. Les expressions des nouveaux N et T auront les mêmes formes que celles des expressions (8) modifiées parles relations (9).
On aura ainsi :
Nç=Aç8ç + Bç8,-hBçV
Les formules (2) donnent
8i,=2(8x + 8y-ai;)'
îç=8a.
Ces valeurs, transportées dans N^, donnent :
Ag 4- B^ h^^ ^^^ . H'h ^l = — 2 — ox H 2 — 8y -H Bç 8, H 2 — *«•
On peut avoir une autre expression de N^, caries formules (4) donnent:
N|=J(N, + N^-h2TJ,
et par conséquent :
En identifiant les deux expressions de N^, on trouve :
Aç = À,, B, = B„ ,5^^ = ^(Aç-.Bj).
et par conséquent :
Des calculs analogues faits avec les expressions des autres N et T ne donneraient aucune relation nouvelle. Les expressions des N et T^ lorsque Taxe des z est un axe de symétrie principal, sont donc :
(iO)
N,==B, (8a: + 8y) 4- Aa8â.
avec ciitf coefficients distincts.
Système cubique. -^ Pour passer au système cubique, il suffira d'écrire que la forme des expressions (10) est la même suivant les axes des Xj des y et des 2, ce qui conduit aux relations :
Les expressions des N et des T deviennent donc, en supprimant les indices devenus inutiles,
T,=2(A-B)a,j T,=5(A-B)ay T,=i(A-B)a.
avec deux coefficients distincts seulement. On a souvent à s'occuper, dans la physique mathématique, des corps
isotropes tels que le verre, dont les propriétés sont identiques suivant toutes les directions. La structure des corps isotropes peut être comparée à celle d'un tas de poussière formé de grains polyédriques très petits et identiques entre eux. Trois directions rectangulaires quel conques pourront, dans un semblable milieu, être regardés comme des axes quaternaires, puisque le milieu, quelle qu'en soit la position dans l'espace, est toujours identique à lui-même. Si Ton fait en sorte que l'ellipsoïde de déformation soit une sphère, l'ellipsoïde d'élasticité en sera une aussi. Les formules des N et des T seront donc les mêmes pour les milieux isotropes que pour les solides cristallisant dans le système cubique.
CToefiieieBts éiastiqaes ioTerses. — Des expressions linéaires des N et T en fonction des ^ et des a, on peut déduire des équations, linéaires aussi, et donnant les d et les a en fonction des N et des T. On obtient ainsi 56 nouveaux coefficients qui se tireraient des 21 anciens. Les relations de la page 35 mentirent d'ailleurs que les i et les T sont les coefficients différentiels dé la différentielle de ^ considérée comme fonction des N et des T. On réduirait donc à 21 les 36 nouveaux coefficients accentués par des équations entièrement analogues à celles qui ont réduit à 21 les 36 coefQcients non accentués.
Pour écrire aisément les expressions qui donnent les i et les a en fonction des N et T, nous conviendrons de changer, dans les expressions (6) qui donnent les N et T en fonction des ^et des a, N en ^, T en a, et réciproquement, en accentuant les coefQcients. Nous appellerons ces coefficients accentués, coefficients élastiques inverses, en réservant la dénomination de directs aux coefficients non accentués.
Formiiles symboliqaes exprimant les coeflleients élaatiqnea directs on inverses. — Quant aux fonnules qui serviront à trouver les
coefQcients inverses A'B'... c^ > cS correspondant à un certain système de coordonnées quand on connaît ceux qui correspondent à un autre, on peut encore se servir des formules symboliques de la page 37.
mais avec quelques modifications. En effet, les formules
ne peuvent être mises sous la même forme que les équations (6), qu*en substituant aux C des coefficients C tels que
Les formules :
ou
ne peuvent être mises sous la même forme que les précédentes qu*en prenant
Les formules symboliques de transformation donneront les C, D", F*',
^-^ , c:^ ; il faudra donc, pour employer les formules, diviser par 2 les
C, ly, F' et par 4 les ç^ et c^ qui y entrent; puis doubler les C. D*,
F' et quadrupler les ^-^ et cS donnés par les formules.
11 résulte ainsi de ce qui précède, que les simplifications provenant de la symétrie du corps, seront identiques avec celles qu*on a déjà
trouvées pour les A, B, tP&fj ^> etc.; mais en tenant compte des changements qui viennent d'être reconnu nécessaires. C'est ainsi que lorsque Taxe des z est un axe de symétrie principal, les formules de changement d'axes ont donné l'expression
qui se transformera, changeante^, en jci^,, en
Nous désignerons dorénavant les expressions qui, dans chaque cas de symétrie particulière, donnent les ^ et a en fonction des N et T, par les mêmes numéros que ceux qui désignent les expressions correspon-»
CHAP. n. — ÉLASTICITÉ. 45
dantes donnant les N et T eu fonction des S et des a, mais enaccentuant ces numéros.
g 4. ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ.
É^uatloiis exprlmaiit l'équilibre d*éla«ticilé. — Pour appliquer la théorie qui précède, il faut pouvoir résoudre le problème suivant : Un corps étant en équilibre sous l'action des forces élastiques intérieures et d'un système donné de forces extérieures, trouver la déformation du corps, ou réciproquement. 11 est aisé de poser les équations difTèrentielles qui résolvent le problème.
Soit un petit prisme dont 5 arêtes, coïncidant avec les axes coordonnés, sont égales à dx^ dy^ dz. La face coïncidant avec le plan dès yz est sollicitée par une force élastique qui, appliquée à la surface dont Taire est dydz^ a pour composantes :
^^dydz, T^ydz, l^dydz.
La face parallèle est sollicitée par une force dont les composantes sont :
Quant à la force non moléculaire qui agit sur le petit parallélipipède, on peut la supposer proportionnelle au volume dxdydz = dvy et nous appellerons ses composantes X^, Yo, l^\ l'équilibre du prisme exige que la somme des projections des forces sur l'axe des x soit nulle. On trouve ainsi la première des équations suivantes, dont les deux autres s'obtiennent par des considérations analogues en remplaçant successif vement l'axe des x par ceux des y et des z :
dN, dT. dT^ rfT, (fN^ dT
«fr„ dT, dN.
Ces équations, qui doivent être satisfaites en tous les points du corps en équilibre d'élasticité, sont les équations indéfinies d'équilibre auxquelles doivent satisfaire les fonctions N et T.
Les forces Xo, Yo, Z^ agissant en tous les points du corps et qui sont le plus habituellement celles de la pesanteur, sont généralement abstraites^ c*est-à-dire qu'on ne compte la déformation qu*à partir de celle qu'ont produite les forces Xo,YoZo que Ton peut alors supposer nulles.
Ces équations, dans lesquelles n entrent pas les forces réellement extérieures, appliquées à la surface du corps, et qui le déforment en le tirant, en le comprimant ou en le tordant, ne suffisent évidemment pas pour résoudre le problème; il faut y ajouter d'autres équations dites définies^ parce qu'elles ne s'appliquent qu'à des points particuliers du corps.
Si l'on prend d'une manière générale une portion finie du corps, pour laquelle on connaît les forces qui agissent en chaque point de la surface, il faudra écrire que la force extérieure appliquée en un certain point de la surface sur un élément ck) de cette surface, fait équilibre aux forces intérieures qui agissent intérieurement sur cette même surface. Si X, Y, Z sont les composantes de la force élastique F et X^Y^iZ^, les composantes de la force extérieure F^, rapportée à l'unité de surface» l'équilibre exige que les équations suivantes soient satisfaites :
X=m%4-n'T, + p'Tj^=X„
(i4) JY=m'T, + n'Ny-hp'T^ = Yi,
Z=mTy -h n1^ 4- p'N, = Z, ;
équations auxquelles il faudra en ajouter trois autres exprimant que la somme des moments des forces extérieures prises par rapport à 5 axes rectangulaires est égale à la somme des moments des forces intérieures.
Lorsqu'on donne la déformation, il est très facile d'obtenir les forces extérieures qui peuvent la produire, puisqu'on déduit les forces intérieures de la déformation au moyen des équations (7), et les forces extérieures des forces intérieures au moyen des équations précédentes. Le problème est plus complexe dans le cas,qui est presque toujours celui de la pratique, où l'on se donne les forces extérieures et où il s'agit de remonter à la déformation. On ne connaît pas alors de moyen de résoudre la question d'une manière générale, et l'on ne peut qu'employer une méthode de tâtonnements dans chaque cas particulier. Cette méthode consiste à essayer de satisfaire aux équations par une déformalion que certaines considérations font considérer comme vraisemblable ; la déformation est bien celle quel'on cherche, si, combinée avec les forces
extérieures données, elle vérifie les équations de Téquilibre élastique.
Cas d'une traction on d*nne pression. Coefficients d'élasticité
loB^tndinaie. — On appliquera d*abord cette théorie au cas simple d'un corps homogène quelconque, de forme prismatique, sollicité sur ses bases par une force normale (pression ou traction) égale à p par unité de surface. On rapporte le corps à 3 axes rectangulaires x^ y, z^ dont Tun z est parallèle à Taxe du prisme.
11 est aisé de voir qu*on a partout :
d'où l'on lire :
En effet, les valeurs de N et de T satisfont évidemment aux équations (13) lorsqu'on y abstrait \, Y^, Z^, et aux équations (14). Les 9 et
les a satisfont également aux équations (3) et (4), puisque toutes les dérivées sont nulles.
Si l'on observe avec précision la dilatation 9[ du prisme, ou le rapport de l'allongement de ce prisme à sa longueur; si l'on mesure en outre le rapport p qui existe entre le poids qui sollicite le prisme et l'aire de la section droite, [on aura :
On a donc ainsi le moyen de déterminer expérimentalement le coefficient A'^ correspondant à une direction z arbitrairement choisie. L'inverse de ce coefficient est désigné ordinairement dans la théorie de la résistance des matériaux sous le nom de module de Vélastkité longitudinale; on le désigne par E^.
Si l'on prend dans le corps 3 axes rectangulaires fixes, g, y}, Ç, la formule symbolique connue donnera immédiatement l'expression de A*,
en fonction des coefficients qui se rapportent aux axes ^, y}, Ç. On trouve ainsi :
im*A'ç+p«/i«(2B'ç-fç^/ç)4-2npm«(C'^4-c:^'ç) 4-2n/?(n«C', +P»Oç) H-«U'çH-my(2B'^+cPé'^)+2mpn«(iy^+^'^)+2mp(m«D'ç4.p»iy^^ +p*A'ç-f-i«»n«(2B'ç+c5^'ç) H-2mnp«(Fç4-^'ç) 4-2mn (m«F'ç4-«*F'^)
en effaçant les indices des m, n, p, qui seraient tous ;*.
Les ÏD coefficients distincts de cette expression pourront être calculés au moyen de 15 observations de A'^ suivant 15 directions différentes. Il sera impossible de déduire d'observations semblables les 21 coefficients distincts des expressions (6). On ne pourra les obtenir qu*en ajoutant aux expériences d'allongement des expériences de torsion.
Aux expériences d'allongement nécessaires pour déterminer A' ou
|-j on a essayé de substituer des expériences de flexion bien plus commodes^ parce que, en diminuant suffisamment l'épaisseur de la lame
fléchie et augmentant sa longueur» on peut
f -3 produire des flèches assez grandes pour
4 â être mesurées avec précision. Il sulfit de
» ^ \ ^ placer la lame sur le tranchant de deux
Vig. 7, couteaux Z et Z' (fig. 5), de charger la
lame en son milieu d'un poids porté par
Tîntermédiaire d'un autre couteau A, et de mesurer avec un microscope
la quantité dont A s'ahaisse.
Avec des solides isotropes, on a en effet :
en appelant f la flèche, / l'écartement des deux appuis sur lesquels la lame est posée» P le poids dont la lame est chargée en son milieu, I le moment dUnertie de la section autour d une certaine ligne qui, lorsque la lame a pour section droite un rectangle, peut être regardée connue
' Il est aL$é de Toir que si l'on prend sur chaque direction Ç une longueur égale à î7^ = \/Ez, on pourra remplacer dans l'expression de A' , m, n, » par t=. r^
î7^, a^i y, ï représentent les coordonnées de l'extrémité du rayon vecteur. La surface ainsi obtenue est du 4* degré.
CHAP. IL — ÉUSTICITÉ. 47
coïncidant avec une parallèle au côté du rectangle reposant sur les
bh* appuis. Dans ce cas, on a i=-j^» et la formule devient :
