PROPAGATION DE LA CHALEUR

DéflBittoM de la température d*ait polMt du corps. — NouS nous proposons d*étudier la propagation de la chaleur dans un corps solide cristallisé, lorsque l'état thermique de ce corps est devenu permanent. Cet état est défini par la température en chaque point. 11 est d*abord nécessaire de préciser la signification de cette donnée physique.

On dit qu'un corps esta une température uniforme 0, quand une portion quelconque de ce corps supposée séparée de la masse totale est incapable d'échanger de la chaleur, soit avec une autre portion du cDrps, soit avec un autre corps quelconque à la température 9. Dans cet état, chaque molécule du corps ne recevant ni n'émettant aucune quantité de chaleur (ou, ce qui est la môme chose, en recevant autant qu'elle en renvoie dans le môme temps), est elle-même dans un certain équilibre thermique qu'il serait sans doute impossible de définir avec précision, mais que l'on désigne en disant que la molécule est à la température 0.

Dans un corps inégalement chaud en ses divers points, mais arrivé à un état thermique permanent, chaque molécule ne reçoit de celles qui l'entourent aucune quantité de chaleur; elle est encore dans un état d'équilibre thermique ; mais cet état n'est pas nécessairement identique avec celui qui se produit lorsque le corps est également

CRISTÀLLOGRAPBIB, T. II. 6

82 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTàLLOGRÂPHIE PHYSIQUE.

chaud dans toute la masse, car la molécule ii*est pas, comme elle Test dans ce cas, entourée de molécules également chaudes. Il faut remarquer cependant que les variations de chaleur qui se produisent eo passant d*une partie du corps à ime partie très voisine sont très faibles ; que, d*autre part, le rayon de la sphère décrite du centre de gravité de la molécule comme centre, et au delà de laquelle rechange de chaleur avec la molécule est insensible, est très petit et que la sphère ne comprend ainsi que des molécules dont Tétat thermique dififére extrêmement peu. L'état d'équilibre thermique d*une molécule peut donc être regardé comme étant de la même nature que celui qui se produit lorsque le corps est à une certaine température uniforme 9 ; on dit que la molécule possède cette température 9".'

Supposons deux molécules très voisines l'une de Tautre, et que Ton désignera par les numéros 1 et 2 ; l'une est à la température 0^ l'autre à la température 0,. L'échange de chaleur entre ces deux molécules serait nul si 9^ était égal à 9,. L'échange sera donc causé par la différence 9| — 9,, différence infiniment petite, si les deux molécules sont infiniment voisines. En vertu de la proportionnalité de TelTet à la cau>se, lorsque celle-ci est très petite, la chaleur envoyée par 1 à 2 sera donc proportionnelle à 9^ — 9,, et pourra être représentée par A (9^ — 9,), Â étant un coefficient convenablement choisi.

Au point de vue du transport de la chaleur d'une molécule à une autre dans l'intérieur du corps, on peut donc supposer les molécules réduites à des points fictifs qui seront par exemple les centres de gravité de chacune d'elles. Chacun de ces points sera supposé doué d'une certaine température, qui sera celle de la molécule; dans un cristal, chaque nœud du réseau a ainsi sa température propre. On peut représenter les températures de tous ces nœuds par une certaine fonction continue des coordonnées des nœuds. Celte fonction donne des valeurs, non-seulement pour les coordonnées de ces points particuliers, mais encore pour celles d'un point quelconque de l'espace ; les valeurs de cette fonction définissent ce que l'on appelle la température en chaque point du corps.

FJax ealorlQqne en un point dn corps. — Conductibilité cn-

iorlCqnc. — Cela posé, nous supposons le corps divisé par un plan P en deux parties dont l'une, plus chaude, M, envoie de la chaleur à l'auti^e plus froide N. Une portion très petite m de M envoie de la chaleur à une portion très petite n de N, et l'on peut dire que cette clialeur

passe par le point 0, intersection de F et de mn. La distance mn est nécessairement très petite, car dès que la distance devient sensible, la propagation moléculaire de la chaleur devient insensible. Nous cherchons la somme des quantités de chaleur qui sont ainsi envoyées de M à N, suivant des directions rencontrant F dans Tintérieur d*une petite surface &>. C'est ce que nous appellerons \e flux calorifique suivant o).

La température 6 du point 0 est une fonction des coordonnées ar, y, z du point;

-r-f -1-» -,- sont les dérivées partielles de 9 Fis. ig.

dx dy dz **

prises par rapport à ar, y, 2 et évaluées au point 0.

La quantité de chaleur envoyée par mk n^ pendant le temps dU est, toutes choses égales, proportionnelle à la différence d9 entre la température de m et de n, ou à

dr étant la distance mn, dont u, v, w sont les cosinus des angles avec les axes. La quantité de chaleur traversant o) et envoyée suivant la direction (u, V, w) étant évidemment proportionnelle à o), pourra être représentée par une expression de la forme

a)M(u - -H f -7- 4- te; -- dt.

\ dx dy dz]

Si nous- portons sur la direction (2/, v, w) une longueur égale à mMS et si nous la considérons comme une force, Texpression ci-dessus re> présente le travail de cette force fictive correspondant à un déplacement également fictif, dont les projections sur les axes sont

de, dO^^ d^^^ dx ^ dy ^ dz '

Four avoir la somme de toutes ces quantités de chaleur, il faut faire la somme de tous ces travaux ; on l'obtiendra aisément en cherchant

^ M peut être appelé la cùnduclibilité élémentaire suivant la direction mn.

84 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTÂLLOGRÂPfllE PUTSIQUfi.

la résultante de toutes les forces oM, et le travail de cette résultante correspondant au déplacement fictif qui est commun à toutes les forces composantes. Si OA=Gi>p représente cette résultante, en grandeur et en direction, et si (m, n, p) sont les cosinus des angles que fait cette direction avec les axes, le flux calorifique suivant on sera :

ou, comme on a :

dx dy dz dr

en représentant par -- le rapport, suivant OA, de la variation de temdr

pérature à la variation de longueur dr^ le flux calorifique <iQ sera en&n

La longueur OÂ divisée par co, c'est-à-dire la quantité p est ce qu'on appelle la conductibilité calorifique correspondant au plan P ou à la normale à ce plan ^

Si Ton prend sur une perpendiculaire au plan P élevée en 0, une longueur OB représentant Taire o, les points A et B sont liés entre eux par une relation analogue à celle que Ton suppose dans le chapitre 1*', entre les points ayant la même dénomination. On en conclut donc que les conductibilités calorifiques correspondant à tous les plans qui se croisent autour d'un point, sont représentées par les rayons vecteui*s d'un certain ellipsoïde, qui est Vellipsoïde des conductibilités.

On se ti*ouve d'ailleurs dans le cas de l'égalité symétrique, puisque la conductibilité ne dépend ni de la forme de la molécule, ni de la répartition des températures autour du point considéré '.

^ La température joue, dans la théorie actuelle, le même rôle que la dilatation cubique de l'unité de Tolume dans la théorie de l'élasticité ; la conductibiliié calori" figue p correspond à la force élastique; la quantité de chaleur Q serait TéquÎTalent du travail de cette force élastique.

* Lamé n'admettait pas que le cas de Tégalité symétrique fût général ; il pensait qu'il ne s'appliquait pas entre autres aux cristaux antihémiédriques comme la tourmaline, n supposait que, dans ces cristaux, la conductibilité élémentaire pouvait n'être pas la même, suiyanl les deux directions d'une même droite. U faudrait, pour qu'il en fût ainsi, que la quantité de chaleur envoyée par une molécule A à une molécule B fût, toutes choses égales, dinérente de celle que B envoie 4 A, ce qui me parait en désaccord avec les lois physiques les mieux établies. D'ailleurs, les conséquences que Lamé déduisait de sa Uiéorie, relativement à la tourmaline, par exemple, n'ont pas été conlirmées par l'observation.

CHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 85

Lorsque la chaleur passe de la partie H à la partie N du corps« la résultante des quantités de chaleur (positives ou négatives) est toujours dirigée de H sur N; Tangle que fait OA avec OB est donc toujours aigu. Les quantités A, B, G (chapitre I, page 14) étant toujours positives, la surface principale est un ellipsoïde, et Ton peut égaler A, B, G à des carrés a*, b*j c*. L*équation de Tellipsoîde des conductibilités est alors

et celle de Tellipsoîde principal :

at + fct + c* — ^'

Les conductibilités principales suivant les axes de rellipsoîde sont alors égales à a», J', c*.

Les axes de Tellipsoîde des conductibilités sont les axeê thermiques du corps. Si le corps est identique en tous ses points, les axes thermiques ont la même grandeur et la même direction en tous les points.

L*ellipsoîde de conductibilité ne dépend pas de la loi de répartition des températures; la symétrie de cet ellipsoïde est donc réglée uniquement par celle de la structure intérieure. L*ellipsoîde est une sphère dans les cristaux du système cubique; un ellipsoïde de révolution autour de Taxe principal dans les systèmes quadratique, ternaire et hexagonal ; dans les autres cas, un ellipsoïde à 3 axes inégaux pour lequel la direction de 3 axes ou d'un seul est déterminée suivant que le système est ortho ou clino-rhombique.

Surfaces Isothermes dans les milieux erlstalllns ladéHuls. — Concevons, dans un milieu homogène^ un point 0 que Ton supposera être une source de chaleur constante, telle que, par une surface infiniment petite d*aire &> menée par 0, passe dans l'unité de temps une quantité de chaleur constante (ùq. Il se fait dans le corps une certaine répartition de température qui devient permanente au bout d'un certain temps, lorsque la quantité de chaleur arrivant par 0 est égale à celle qui se dissipe pendant le même temps. Gonsidérons les choses arrivées à cet état de permanence, et supposons la surface du corps assez éloignée de 0 pour que les particularités de cette surface puissent être considérées comme sans influence sur la répartition des températures dans un rayon étendu autour] de ce point. Nous nous proposons de chercher, dans ces conditions, la nature des surfaces isothermes telles

86 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIfi PHYSIQUE,

que tous les points d*une de ces surfaces aient la même température.

dtr' t/' 2' On mène Tellipsoîde principal ~-f-^ H — -, = 1, ayant 0 pour

centre, et on suppose le corps découpé par une série d*elIipsoîdes infiniment peu distants les uns des autres et tous semblables» avec 0 pour centre de similitude, à cet ellipsoïde principal. On consiilére la portion du corps comprise entre deux de ces ellipsoïdes infiniment voisins dont l'un, le plus rapproché de 0, sera appelé ÎTLtérieur, et l'autre extérieur. La quantité de chaleur qui, pendant Tunité de temps passe à travers la surface de Tellipsoîde intérieur est égale à celle qui sort par la surface de Tellipsoîde extérieur.

Si (ù (fig. i5) est une petite surface de Tellipsoîde intérieur, le flux cnlorifique traversant w est dirigé suivant le rayon vecteur de Tellip-

soîde OA en 0) ; c'est-à-dire que la quantité de chaleur totale qui, pendant Tunité de ^'^^•^'*' temps, traverse w, est représentée par

&m -— ) étant le rapport de la variation de température à la variation * dr dr

de distance évaluée suivant OA. Si 9 est la température en A, et 6-Hd8 la température au point B où le rayon vecteur OA vient rencontrer Tellipsoïde extérieur, dQ est la variation de température évaliite suivant le rayon vecteur et dr = AB la variation de distance corrospondante.

La chaleur après avoir traversé o) se répand dans tous les sens, mais la quantité totale de chaleur qui traverse la surface de rellipsoïde intérieur sera correctement évaluée si Ton suppose que la chaleur passant Il travers chaque élément de la surface, suit tout entière la direction du rayon vecteur correspondant. Les choses se passent donc comme si la quantité de chaleur traversant &> restait tout entière comprise dans rintérieur du prolongement du cône ayant pour sommet 0 et pour base &). Ce faisceau de chaleur vient rencontrer la petite surface o/=:a)4-^6) découpée par ce cône dans Tellipsoïde extérieur, et doit

la traverser intégralement. Il faut donc que le flux calorifique oip —

dr

qui traverse &> soit égal à celui qui traverse u', c'est-à-dire égal à

CHAP. m. - PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 87

p(a) -{- à(a) -^— = 1 ; condition qui peut se traduire par Féquation

différentielle

On en déduit

dr

K étant une constante. Si H désigne la portion très petite de la surface de la sphère ayant Tunité pour rayop, qui est interceptée par le cône

de base &>, on a &>= -;» et H étant constant, on aura, C étant une conr

stante égale à g :

dh Q

équation qui, étant intégrée, donne :

C étant une autre constante* Il faut déterminer C et Cf.

Si Ton suppose le corps s*étendant à Tinfini, la portion du corps située à Tinfini n*est pas atteinte par réchauffement; elle est donc encore à la température Oq que Ton suppose avoir été la température commune de tous les points de corps avant réchauffement. C étant la valeur de 0 pour r = oo , on peut donc poser C = Oo-

Si Ton appelle 6 la température d*un point du corps situé sur la direction OA, à une distance R de l'origine, en faisant r=:R, on a :

L'équation en 0 devient ainsi :

Si Tellipsoîde auquel appartient le rayon vecteur R avait en tous ses points la même température 6, un autre ellipsoïde quelconque aurait

la même température 6 en tous ses points, puisque les deux ellipsoïdes

étant homothéliques, le rapport - est constant. Tous les ellipsoïdes

sont donc des surfaces isothermes, si cette propriété convient à un seul d*entre eux.

Or si Ton considère Tellipsoîde infiniment petit tracé autour de G, il est permis de le regarder comme une surface isotherme puisque tous ses points sont, à un infiniment petit prés, à la même température.

Donc, dans un milieu échauffé par un point intérieur, les surfaces isothermes sont des ellipsoïdes semblables à Tellipsolde principal ayant 0 pour centre. On se rappelle que les longueurs des axes principaux de cet ellipsoïde sont les racines carrées des conductibilités relatives aux directions de ces axes.

SnriBces îmmihermiÊem dans les plaques erlstalllaes très ailseea. — Supposons maintenant non plus un solide, mais une plaque très mince, indéfinie et chauffée en son centre. I , Soit, dans le plan de la plaque, un rayon ^ B^ vecteur sur lequel on prend deux points très '^'K- 18- voisins A et B, et par lesquels on mène deux

ellipsoïdes semblables à Tellipsoïde principal. Dans les plans tangents parallèles en A et B, nous prenons les sections o) et a>' découpés par deux plans menés Tun suivant OA et le diamètre de Tellipsoîde principal, correspondant au plan de la plaque, Tautre suivant le même diamètie et un rayon vecteur très voisin de OA. On a ainsi découpé im petit volume ayant deux surfaces libres, ABA|B| d*une part et une surface analogue de Tautre côté de la plaque. La quantité de chaleur qui dans

Tunité de temps ti*averse o), est égale à a)p --> celle qui traverse a>' est égale ^pU>>n-+^(o^j-)r L^ quantité de chaleur gagnée par le

petit volume compris entre w et w' est — P ^ ( ^ X ) ' ®^'® °'®^^ P^^

nulle, comme dans le cas précédent, car elle doit compenser la quantité de chaleur perdue par les deux surfaces libres inférieure et supérieure de la plaque.

La quantité de chaleur perdue à travers la surface supérieure a pour expression :

A(ô-ejds,

CHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMH}UES. 8^

en appelant h le coefficient de conductibilité extérieure de la surface supérieure, 0^ la température du milieu ambiant, et dS la surface âBÂ|B|.

. Appelons e Tépaisseur de la plaque, le volume du petit solide élémentaire compris entre &>, a>' et les deux surfaces de la plaque est edS. 11 peut encore s'exprimer en multipliant par la base o la hauteur correspondante du prisme. Si U est l'angle de dr avec la normale à cette base, le volume sera tùdr cos U, et on pourra poser

edS=z (odr cos U.

Or U est Tangle du rayon vecteur de rellipsoîde principal avec la normale au plan tangent, on a donc, d*aprés une relation connue :

Pi ^

La quantité de chaleur perdue par le rayonnement de la face supé* rieure est donc :

îiP**(e-6.).

La quantité de chaleur perdre par le rayonnement de la face inférieure sera de même :

en appelant h' et B\ le coefficient de conductibilité extérieure et la température du milieu ambiant inférieur.

L*équation qui exprime Téquilibre calorifique de l'élément considéré est donc :

(r-j-drY ( dr\

Si Ton remarque que « -|- dw = w ^ j— ^ =« l^'^^'r)» ^^**®

relation peut s'écrire :

Les points de la plaque indéfinie où la propagation calorifique issue

de 0 est sans influence, ont la température ■^^'^*'^J. Convenons de

compter les températures à partir de cette température particulière que nous nommerons Ôo, l'équation différentielle deviendra:

df^ r dr e r«

L'intégrale générale de cette équation est :

- i/£±Â' 4/ÂTP

e=Cr V e 4-C'rV'"r'.

ou, si nous nous rappelons que 9 n'est ici que Texcés de la température sur 0^ :

Pourr=oo,e = 9j, on doit donc avoir C = 0. Si Ton appelle R le rayon vecteur pour lequel on a 8=6, on a :

e-6^=cR V • .

On a dbnc enfin :

d'où Ton concluerait, comme précédemment, que les surfaces isothermes sont des ellipsoïdes concentriques semblables à Tellipsoîde principal.

ExpérieMees ée SénarmoMt et ée M. JaimetUix. — La théorie qui précède nous fournit un moyen très simple de constater expérimentalement les propriétés des cristaux au point de vue de la propagation de la chaleur. Il suffit de tailler, dans un cristal, suivant une direction bien déterminée par rapport aux axes cristallins, une plaque sufGsamment mince et assez large pour que Tirrégularité du contour soit sans influence sur la propagation calorifique. On recouvre la plaque sur ses deux faces d'une couche très mince de cire, puis on la perce d*un trou central aussi petit que possible; on y enfile un tube métallique par lequel on fait passer un courant d*air chaud, ou une petite tige d'argent que Ton ctiauffe par conductibilité. La tempéra-»

CHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 9i

ture du tube ou celle de la tige étant maintenue constante, on voit, comme dans Texpérience d*Ingenhouz» se dessiner tout autour du centre de chaleur, une courbe elliptique marquée par le bourrelet qui sépare la cire fondue de celle qui ne Test pas. C*est la courbe isotherme correspondant à la température de fusion de la cire. On mesure, avec un appareil grossissant, les dimensions des axes de cette ellipse et leur orientation par rapport aux axes cristallographiques de la plaque. Ces expériences ont été pour la première fois exécutées par

SénarmontS qui ne parait pas avoir eu connaissance du mémoire théorique de Duhamel présenté en 1828 à TAcadémie des sciences '. Elles ont été, depuis cette époque, reprises par plusieurs savants, et particulièrement par H. Jannettaz'.

H. Jannettaz a perfectionné la disposition expérimentale imaginée

^ ÀnnaUê de chimie et de phy tique, 3* série, t. XXI et XXII, 1847-48.

' A la suite des expériences de Sénarmont, Duhamel publia, dans le 32* cahier du journal de l'École polytechnique (1848) un nouveau mémoire sur la propagation de la chaleur dans les cristaux, où il applique la théorie générale aux conditions expérimentales réalisées par le savant observateur.

s Ann. de chimie et de phy9., 4* série, t. XXIX, 1873.

par Sénarmont. La source calorifique est une petite sphère de platine

(fig. 19) posée sur la plaque cristalline enduite de cire. Cette sphère s*échaufle parce qu'elle est soudée à un fil fin de platine, replié sur lui-même et à travers lequel on fait passer un coui*ant électrique qui rougit le fil. Au-dessus de la lame cristalline, et à peu de distance est placée une petite cuve à fond plat, dont la température est maintenue constante par un courant d*eau froide. La cuve est percée, en son centre, dun trou annulaire par lequel passent les fils de platine dont le rayonnement calorifique est ainsi annulé ^

Les tableaux suivants contiennent la plupart des observations publiées par M. Jànnettaz.