PROPAGATION DE LA CHALEUR

Délteltion de la températare d*Bn point da «orps. — - Nous nous proposons d'étudier la propagation de la chaleur dans un corps solide cristallisé, lorsque Tétat thermique de ce corps est devenu permanent. Cet état est défini par la température en chaque point. 11 est d*abord nécessaire de préciser la signification de cette donnée physique.

On dit qu'un corps est à une température uniforme 9, quand une portion quelconque de ce corps supposée séparée de la masse totale est incapable d'échanger de la chaleur, soit avec une autre portion du cT)rps, soit avec un autre corps quelconque à la température 6. Dans cet état, chaque molécule du corps ne recevant ni n'émettant aucune quantité de chaleur (ou, ce qui est la môme chose, en recevant autant qu'elle en renvoie dans le même temps), est elle-même dans un certain équilibre thermique qu'il serait sans doute impossible de définir avec précision, mais que l'on désigne en disant que la molécule est à la températures.

Dans un corps inégalement chaud en ses divers points, mais arrivé à un état thermique permanent, chaque molécule ne reçoit de celles qui l'entourent aucune quantité de chaleur; elle est encore dans un état d'équilibre thermique ; mais cet état n'est pas nécessairement identique avec celui qui se produit lorsque le corps est également

CBISTALLOORAPHIB, T. II. 6

chaud dans toute la masse, car la molécule n*est pas, comme elle Test dans ce cas, entourée de molécules également chaudes: 11 faut remarquer cependant que les variations de chaleur qui se produisent en passant d*une partie du corps à une partie très voisine sont très faibles; que, d*autre part, le rayon de la sphère décrite du centre de gravité de la molécule comme centre, et au delà de laquelle réchange de chaleur avec la molécule est insensible, est très petit et que la sphère ne comprend ainsi que des molécules dont Tétat thermique difiere extrêmement peu. L*état d'équilibre thermique d'une molécule peut donc être regardé comme étant de la même nature que celui qui se produit lorsque le corps est à une certaine température uniforme fl ; on dit que la molécule possède cette température ffj

Supposons deux molécules très voisines l'une de l'autre, et que Ton désignera par les numéros i et 2 ; l'une est à la température 9p Tautre à la température 0,. L'échange de chaleur entre ces deux molécules serait nul si 6| était égal à 6,. L'écliange sera donc causé par la différence 6| — 9|, différence infiniment petite, si les deux molécules sont infiniment voisines. En vertu de la proportionnalité de l'effet à la cause, lorsque celle-ci est très petite, la chaleur envoyée par 1 à 2 sera donc proportionnelle à ôj — 0,, et pourra être représentée par A (Oj — ©,), A étant un coefGcient convenablement choisi.

Au point de vue du transport de la chaleur d'une molécule à une autre dans l'intérieur du corps, on peut donc supposer les molécules réduites à des points fictifs qui seront par exemple les centres de gravité de chacune d'elles. Chacun de ces points sera supposé doué d'une certaine température, qui sera celle de la molécule; dans un cristal, chaque nœud du réseau a ainsi sa température propre. On peut représenter les températures de tous ces nœuds par une certaine fonction continue des coordonnées des nœuds. Cette fonction donne des valeurs, non-seulement pour les coordonnées de ces points particuliers, mais encore pour celles d'un point quelconque de l'espace ; les valeurs de cette fonction définissent ce que l'on appelle la température en chaque point du corps.

Flux caloriliqae ea no polot da corps. — CoadaelIblUté cslorMMpie. — Cela posé, nous supposons le corps divisé par un plan P en deux parties dont l'une, plus chaude. H, envoie de la chaleur à l'autre plus froide N. Une portion très petite m de H envoie de la chaleur à une portion très petite n de N» et l'on peut dire que cette chaleur

CHAP. m — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 85

passe par le point 0, intersection de F et de mn, La distance mn est nécessairement très petite, car dès que la distance devient sensible, la propagation moléculaire de la chaleur devient insensible. Nous cherchons la somme des quantités de chaleur qui sont ainsi envoyées de M à N, suivant des directions rencontrant F dans Tintérieur d'une petite surface on. C'est ce que nous appellerons le flux calorifique suivant co.

La température 0 du point 0 est une fonction des coordonnées or, y, z du point;

-r » -i-» -t- sont les dérivées partielles de 9 ' ris. i6.

dx dy dz **

prises par rapport hx^y^z et évaluées au point 0.

La quantité de chaleur envoyée par mk n^ pendant le temps dt^ est, toutes choses égales, proportionnelle à la différence dB entre la température de m et de 7?, ou à

dl ( . (te-h — rfy -h - J2 == rfr. tt -- H- w . H- M? — ) rf/, \dx dy dz / \ dx dy dzj

dr étant la distance mit, dont u, v, w sont les cosinus des angles avec les axes. La quantité de chaleur traversant (ù et envoyée suivant la direction (m, V, w) élant évidemment proportionnelle à w, pourra être représentée par une expression de la forme

u)M(m -- 4-u---^w--) dl. \ dx dy dz]

Si nous^ portons sur la direction (u, v, w) une longueur égale à c^MS et si nous la considérons comme une force, Texpression ci-dessus représente le travail de cette force fictive correspondant à un déplacement également fictif, dont les projections sur les axes sont

rfô.. dô.. rfO.

di, -j-di, ^dU dx dy dz

Four avoir la somme de toutes ces quantités de chaleur, il faut faire la somme de tous ces travaux ; on l'obtiendra aisément en cherchant

' M peut être appelé la canduclibililé élémentaire suivant la direction tti/i.

84 DEUIIËME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHTSIQDfi.

la résultante de toutes les forces a>M, et le travail de cette résultante correspondant au déplacement fictif qui est commun à toutes les forces composantes. Si OA=:a>p représente cette résultante, en grandeur et en direction, et si (m, n, p) sont les cosinus des angles que fait cette direction avec les axes, le flux calorifique suivant a> sera :

ou, comme on a :

dx dy dz dr

en représentant par -- le rapport, suivant OA, de la variation de tenr dr

pérature à la variation de longueur dr, le flux calorifique dQ sera enfin

dQ= (i>p -. dt.

^ dr

La longueur OA divisée par &>, c'est-à-dire la quantité p est ce qu'on appelle la conductibilité calorifique correspondant au plan P ou i la normale à ce plan ^

Si Ton prend sur une perpendiculaire au plan P élevée en 0, une longueur OB représentant Taire &>, les points A et B sont liés entre eux par une relation analogue à celle que Ton suppose dans le chapitre !«', entre les points ayant la même dénomination. On en conclut donc que les conductibilités calorifiques correspondant à tous les plans qui se croisent autour d'un point, sont représentées par les rayons vecteurs d'un certain ellipsoïde, qui est Vellipsoîde des conductibiUlés.

Ou se tiH)uve d'ailleurs dans le cas de l'égalité symétrique, puisque la conductibilité ne dépend ni de la forme de la molécule, ni de la répartition des températures autour du point considéré *.

* La température joue, dans la Uiéorie actuelle, le même rôle que la dilatation cubique de l'unité de volume dans la théorie de l'élasticité ; la conductibilité calorie fiquê p correspond à la force élastique; la quatUUé de chaleur Q serait Téquivalent du travail de cette force élastique.

* Lamé n'admettait pas que le cas de TégaUté symétrique fût général ; il pensait qu*il ne s*appliquait pas entre autres aux cristaux antibémiédriques comme la tourmaline. U supposait que, dans ces cristaux, la conductibilité élémentaire pouvait n'éUne pas la même, suiyant les deux directions d*une même droite. U faudrait, pour qu'il en lût ainsi, que la quantité de chaleur envoyée par une molécule A à une molécule B fût, toutes choses égales, dilTérente de celle que U envoie à A, ce qui me parait en désaccord avec lee lois physiques les mieux établies. D'ailleurs, les conséquences que Lamé déduisait de sa théorie, relaUvament à la tourmaline, par exemple, n*oot pas été oooiiiv mées par Tobservation.

CHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIOUES. 85

Lorsque la chaleur passe de la partie H à la partie N du corps« la résultante des quantités de chaleur (positives ou négatives) est toujours dirigée de H sur N; l'angle que fait OA avec OBest donc toujours aigu. Les quantités A, B, C (chapitre I, page 14) étant toujours positives, la surface principale est un ellipsoïde, et Ton peut égaler A, B, C à des carrés a\ b\ c*. L*équation de Tellipsoîde des conductibilités est alors

et celle de Tellipsoîde principal :

Les conductibilités principales suivant les axes de l'ellipsoïde sont alors égales à a*, >', c*.

Les axes de l'ellipsoïde des conductibilités sont les axes thermiques du corps. Si le corps est identique en tous ses points, les axes thermiques ont la même grandeur et la même direction en tous les points.

L'ellipsoïde de conductibilité ne dépend pas de la loi de répartition des températures; la symétrie de cet ellipsoïde est donc réglée uniquement par celle de la structure intérieure. L*ellipsoïde est une sphère dans les cristaux du système cubique; un ellipsoïde de révolution autour de l'axe principal dans les systèmes quadratique, ternaire et hexagonal ; dans les autres cas, un ellipsoïde à 3 axes inégaux pour lequel la direction de 3 axes ou d'un seul est déterminée suivant que le système est ortho ou clino-rhombique.

Surface» isotherme» dans les milieux eristailias iodéOnis. — Concevons, dans un milieu homogène, un point 0 que l'on supposera être une source de chaleur constante, telle que, par une surface infiniment petite d'aire cù menée par 0, passe dans l'unité de temps une quantité de chaleur constante (o 9. Il se fait dans le corps une certaine répartition de température qui devient permanente au bout d'un certain temps, lorsque la quantité de chaleur arrivant par 0 est égale à celle qui se dissipe pendant le même temps. Considérons les choses arrivées à cet état de permanence, et supposons la surface du corps assez éloignée de 0 pour que les particularités de cette surface puissent être considérées comme sans influence sur la répartition des températures dans un rayon étendu autour] de ce point. Nous nous proposons de chercher, dans ces conditions, la nature des surfaces isothermes telles

les intersections de la lame avec les plans du rhomboèdre primitif. On obtient les résultats suivants :

c'a, (fig. 10) 6^,12

ae' 6*M2

ea 7«',65

ae 7«',65.

La dureté suivant les droites ae, ae\ c'est-à-dire suivant la petite diagonale et le côté de la face du rhomboèdre primitif, avait déjà été essayée dans le cas où ces droites sont tracées dans le plan de cette face. Les pressions qui mesurent cette dureté sont alors trois fois moins grandes que dans le cas actuel.

La courbe des duretés a |un centre de symétrie, puisqu'un des axes binaires est perpendiculaire à la face.

Enfin on taille la lame parallèle à Tune des faces du prisme e' (112). On observe les nombres suivants :

EE (fig. 11) (grande diagonale du rhombe). %^fiO bf (parallèle à Taxe ternaire). . . 5>%80

fb — — —... 9^70.

Le plan é^ est donc celui dans lequel se trouve comprise la direction de plus grande durelé, et celui dont la dureté moyenne est la plus grande, tandis que les plans de clivage sont ceux où la dureté' est la plus faïble. La courbe des duretés est symétrique par rapport à bf.

Expériences de M. Franc Ezner. — M. Franz Exner' a repris

1. Untersflchungen ûber die Hârte an KrystalIflScben, von D' Franx Exner, Wien. 1873.

CIUP. I\', - DURETÉ. 77

les expériences de Grailich et Pekarek, et a soumis à Tobservation un nombre assez considérable de substances appartenant à divers systèmes cristallins. 11 a constaté, comme ses devanciers, que la dureté ne parait pas dépendre directement de la Terme cristalline, quoique, pour une même substance, les variations en soient nécessairement soumises, comme celles de toutes les propriétés physiques, aux lois de la symétrie propre au cristal.

H. Exncr a vérifie égalemont que les variations de la dureté suivant les différentes directions sont surtout liées à l'orientation de ces directions par rapport aux plans de clivage. Dans deux substances, le chlorate de soude cubique, et Thyposulfite de plomb hexagonal, qui sont dépourvues de clivage, les courbes de dureté sont toutes circulaires, et la dureté est la même suivant toutes les directions.

H. Exner a cherché à représenter par une formule empirique, la loi de variation de la dureté suivant toutes les directions d'un même plan. 11 a pu satisfaire convenablement aux observations au moyen de la formule suivante :

=a 4- 1 sin <!» :t c sin 'J' -i- -h t ces A v'siii 9 ±c ces B y/sin <|» -|-

dans laquelle a est une constante, ^ Tangle de la direction considérée avec Tun des clivages, et b une constante dépendant de la plus ou moins grande facilité de ce clivage ; c et ^ sont des quantités analogues se rapportant à un second clivage, etc.; enfm A est Tangle du premier clivage avec le plan considéré, le cosinus étant pris comme positif lorsque la direction dont il s*agit va de Tangle obtus à Tangle aigu de deux plans, et comme négatif dans le cas contraire; B, C... sont des quantités analogues se rapportant aux autres clivages.

R<iMii d*aae théorie rationnelle de la dnreCé. — Relation entre la dnreté et le eoeMeient de frottement. — Pour tirer parti, au point de vue théorique, des observations faites sur la dureté, il faudrait avoir une définition précise de cette propriété physique. On peut essayer t<tut au moins une analyse exacte du phénomène.

Lorsqu'un corps glisse sur la surface d*un corps solide, quelonsuppo* sera plane, les deux corps réagissent Tun sur Tautre. Une force, qu'on appelle force de frottement, peut-être supposée appliquée au corps mobile, et est égale à chaque instant à /P ; P étant la pression exercée sur la surface, et f un coefficient qui dépend de la nature des deux corps en présence. La réaction de cette force de frottement est appliquée

aux molécules du corps frotté voisines de la surface. Celles-ci sont tirées parallèlement à cette surface et dans le sens du mouvement du corps frottant. Des réactions élastiques sont ainsi mises enjeu; les molécules, déplacées de leur position d'équilibre, sont entraînées jusqu'au point où la force élastique fait équilibre à l'action extérieure du corps froi* tant. Arrivées en ce point, elles reviennent en vibrant à leur première position ; ces vibrations sont accompagnées de phénomènes calorifiques sur lQ3quels nous n'avons pas à nous arrêter. Si l'action exercée par le corps frottant, croissant avec la pression, devient assez grande, les molécules peuvent être entraînées hors de la sphère d'attraction de leurs voisines, et se séparer du corps qui se désagrège partiellement.

Si le corps frottant se termine en pointe, la pression, c'est-à-dire le rapport de la réaction normale à la surface pressée, devient très grande, cette surface étant très petite ; l'action sur les molécules devient donc très forte, et comme elle ne s'exerce que sur un nombre limité d'entre elles, la désagrégation se produit pour une réaction normale de la pointe relativement faible en valeur absolue. Cette désagrégation qui se produit dans un rayon très limité autour de la pointe, et qui suit le mouvement de celle-ci est la rayure,

La rayure et le frottement sont donc deux phénomènes du même ordre, et il est très vraisemblable que pour étudier la dureté d'une façon complète, il faudrait faire, sur la valeur du coefficient de frottement f dans les cristaux, des expériences délicates sans doute, mais qui ne paraissent point impraticables.

Supposons donc une pointe dont la très petite surface sera prise pour unité; la réaction tangentielle des forces élastiques est/P, P étant le poids dont la pointe est chargée normalement. La force f? fait équilibre à toutes les forces développées par l'écartement des molécules de leurs positions d'équilibre.

Si le point se déplace de dr, le travail du frottement est représenté par /Tdr, et il est égal au travail moléculaire vibratoire développé dans le corps pendant le déplacement. A mesure que P 'devient plus grand, l'écartement des molécules va en croissant, ainsi que la force du frottement, qui est toujours représentée par /"P. La rayure commence à se produire au moment où les forces élastiques développées dans le corps dépassent la limite de résistance dont les actions moléculaires sont susceptibles. 11 y a alors désagrégation d'une certaine partie du cristal, sur une longueur dr, et sur une largeur et une profondeur égales à la sphère

(Inactivité M des actions exercées entre la pointe et la surface. Le volume désagrégé est ainsi drdl^, et si T est le travail nécessité par la désagrégation de Tunité de volume, on a :

f?dr=:Tdl^dr, ou

Sur la même surface plane, Tdl* est évidemment constant, quelle que soit la direction de la pointe. 11 en est donc de même de /*?, et P doit être ainsi en raison inverse de /*. La durete\ qui est proportionnelle à P est donc^ pour les différentes directions d'un même plan^ en raison inverse du coefficient de frottement f.

C'est en effet ce que Texpérience vérifie, car elle montre que la dureté est plus grande lorsque la pointe tend à coucher les lames de clivage que lorsqu'elle tend à les relever ou qu'elle les prend à rebrousse-poil; or on comprend que le frottement doit être plus faible dans le premier cas que dans le second. C*est au reste ce qu'on peut voir par un raisonnement très simple. Soit en effet une surface S (fig. 15) coupée par des plans réticulaires de clivage AB, CD, et en A une pointe se mouvant dans la direction AC'. La molécule A de la surface est ainsi sollicitée à se mouvoir dans la direction AC, et dans ce trajet elle est soumise à l'action des molécules du plan réticulaire AB qui, étant par hypothèse un plan de clivage, est un plan suivant lequel les actions moléculaires sont très intenses. La molécule A résistera donc avec plus d'énergie au déplacement de A vers C, et le frottement sera plus grand lorsque la poitite ira de A vers C que lorsqu'elle ira de A vers C.

Lorsque la surface de frottement n'est plus la même, on peut se demander si le travail de désagrégation par unité de volume est le même ; je pense qu'il doit en être ainsi, car la rayure a pour résultat, non pas le déplacement ou l'extraction hors du corps d'un petit cylindre de longueur dr, mais la transformation en poudre ou la désagrégation complète de ce même cylindre, et on ne voit pas alors pourquoi le travail de désagrégation par unité de volume ne serait pas le même en tous les points du corps. S*il en est réellement ainsi la quantité /*P,

est constante et, quelle que soit Torientation de la surface, P varie en raison inverse de f.

Il en résulte que les surfaces de clivage qui sont des surfaces d'actions moléculaires roaxiroa, et doivent être par conséquent des surraces pour lesquelles / est maximum, doivent être aussi les surfaces de moindre dureté. On sait que telle est précisément la loi à laquelle ont abouti 'toutes les expériences faites jusqu*à ce jour. Ainsi se trouve rationnellement expliqué ce fait expérimental, qui semble au premier abord un paradoxe, que la dureté est la plus faible pour les plans qui présentent la cohésion maximum.

Il faut d'ailleurs remarquer que si nous considérons non plus les variations de dureté des surfaces d'un même cristal, mais les duretés de deux cristaux différents, le travail de désagrégation n'est plus le même; il doit être vraisemblablement plus grand dans le cristal qui présente la plus grande concentration de matière , c'est-à-dire dans celui où, toutes choses égales, le volume moléculaire est le plus petit. C'est en effet ce que semblent montrer les duretés comparées des corps isomorphes.

Je me suis étendu sur les expériences relatives à la dureté des minéraux non seulement parce qu'elles sont peu connues en France malgré leur intérêt théorique, ipais encore parce qu'elles me paraissent de nature û trouver un emploi dans la pratique de la métallurgie. La dureté d'un mêlai est très souvent en effet une propriété du premier ordre, et même la propriété qui régie le prix de la matière. Je crois que les métallurgistes pourraient trouver, dans l'emploi du scléromètre, un moyen de défmir celte propriété avec plus de rigueur qu'on n'a pu le faire jusqu'ici. Si je ne me trompe, les essais de l'acier au scléromètre trouveraient avantageusement place à côté des essais, devenus aujourd'hui si habituels, sur l'élasticité et la ténacité do métal.