CHAPITRE IV

Les ondes lumineuses se propageant dans un milieu isotrope sont sphériques ; il n*en est plus de même dans un milieu continu mais ne possédant pas des propriétés identiques suivant toutes les directions ainsi qu'il arrive pour les corps cristallisés. Huyghens a monti*é quelle était la forme de Tonde dans les cristaux, tels que le spalh calcaire, qui présentent un axe principal de symétrie. Celte découverte, très remarquable, surtout pour Tépoque à laquelle elle se produisit, n'était d'ailleurs appuyée sur aucune idée théorique. Généralisant la construction dlluyghens, Fresnel découvrit la loi de la propagation lumineuse dans les corps cristallisés quelconques, et cette mémorable découverte est considérée à juste titre comme un des plus beaux titres de gloire de ce grand savant.

Non content d'avoir trouvé les lois des phénomènes, Fresnel en donna la théorie, et c'est même sous la forme de déductions théoriques qu'il les fit connaître pour la première fois. Malheureusement si l'expérience a constaté, de la manière la plus précise, l'exactitude des lois, les idées théoriques desquelles Fresnel avait cru pouvoir les déduire ont paru contestables et peu rigoureuses, et les plus illustres géomètres, les Cauchy, les Lamé, etc., se sont mis à l'œuvre pour suppléer à cette lacune. Ces travaux, qui Qpt été le point de départ de progrès importants dans les sciences mathématiques, n'ont cependant pas complètement atteint le but que se proposaient leurs auteurs, et la théorie de la double réfraction se trouve encore à peu près au point où l'avait laissée Fresnel. C'est donc la théorie de Fresnel que nous allons exposer. Nous en montrerons les lacunes, mais nous ferons voir aussi qu'elle sufGt, après tout, lorsqu'on se place au point de vue purement physique.

104 DEUUËME PARTIE. — CRISTâUjOGRAPHIE PHYSIQUE.

rappellerons d'abord les principes sor lesquels est fondée la théorie générale des phénomènes lumineux.

• On suppose ceux-ci produits par les vibrations d'un certain milieu. Ces vibrations sont transrersales, c'est-à-dire qu*on peut les supposer contenues dans un plan normal à la direction de la vitesse avec laquelle se fait leur propagation dans le milieu. Toute vibration plane d'un point du milieu peut être supposée due à la combinaison de deux vibrations rectilignes composantes qui sont les projections, sur deux axes rectangulaires, de Ja vibration résultante. Dans chacune des vibrations rectilignes le déplacement e du point vibrant, c'est-à-dire la distance, variable avec le temps, qui sépare le point mobile de l'origine, est représenté par l'expression

e=Asin2irQ + aV

A est un coefficient constant qui représente le déplacement maximum ou ramplUttde de la vibration ; a est une quantité constante qui ne dépend que du moment choisi pour représenter l'origine du temps ; t est le temps variable ; et T la durée d'une oscillation.

Pendant la durée T d'une oscillation, le mouvement vibratoire se propageant dans le milieu parcourt la distance vT, si v est la vitesse e propagation. Posons :

X = t;T; X est la longueur d'onde de la vibration considérée, c'est-à-dire la distance qui sépare, sur la direction de la propagation, deux points dont le déplacement est identique à un même instant. La longueur d'onde X et la durée T d'une oscillation varient avec la couleur du rayon. La vitesse v devrait être théoriquement la même dans le même milieu, pour tous les rayons, quel que soit X. C'est ainsi que les vibrations sonores graves se propagent dans l'air avec la même vitesse que les vibrations aiguës. Pour la lumière il n'en est pas de même; les variations de V avec X dans le même milieu > donnent lieu au phénomène particulier auquel on a donné le nom de dispersion.

Si l'on différencie deux fois e par rapport à ^ on a :

^'=2^co8 2,cQ + a).

GHAP. lY. — THËORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 105

Si Ton iDulUplie la dernière équation par la masse m du point vibrant,

— m f représente la force élastique f qui sollicite ce point, et on

obtient aisément :

est, dans le même milieu, une quantité constante lorsque le rayon

reste de même espèce, c'est-à-dire garde le même X. En représentant cette quantité par A:', et en appelant F la force élastique (Correspondant au déplacement maximum que nous prendrons pour unité de longueur, il vient

»«=it«F ou »=it\/F.

La vitesse de propagation^ dans le milieu considéré, est donc propor-tionneUe à la racine carrée de la force élastique développée par la vibra^ tùm dans ce milieu.

Mypothése de Fresnel sur la pn^pag atlon, dans on mlltea solide, d*aa système d*oBdes plaoes parallèles eotre elles. — Fresnel admet, et nous admettons avec lui que les forces élastiques mises en jeu par la propagation d*un système d*ondes planes parallèles, à vibrations rectilignes et transversales, diffèrent des forces élastiques développées par la vibration d*une seule des molécules vibrantes, seulement par un facteur constant qui ne dépend pas de la direction des vibrations. Cette hypothèse nest certainement pas exacte dans le cas général, mais elle le devient lorsque, la propagation du mouvement se produisant dans un milieu isotrope, la surface de Tonde (enveloppe des ondes planes) est une sphère.

Considérons, en effet, la position d'équilibre 0 d*une certaine molécule H comme le centre des vibrations. La partie la plus importante de la force élastique exercée sur H est déterminée par le déplacement absolu e de H dans Tespace et les variations de distances qui en résultent par rapport aux autres molécules supposées immobiles. Les déplacements de ces autres molécules mises en mouvement par la vibration émanée de 0, se font, par hypothèse, sur des sphères décrites de 0 comme centre ; les distances de ces molécules à 0 ne varient donc pas et leurs distances à la molécule H ne varient que par suite du déplacement e. La force élastique, exercée sur M suivant la direction e, et due aux déplacements des molécules environnantes est donc proportion-

iH WaSÈME PABT1E. — OlSriLLOaiPBE FflTSiQCE.

nelle à e, et peut être pesée égaie à EF. Le coefficient K dépend de la natare da nûliea, mais ne dépend pas de la direction de e, pinsqBe, dans le milieu isotrope supposé, toutes les directions jonent le même rôle au point de tue optique.

Or l'obsenration montre que tous les milieux cristallins sont presque isotropes optiquement; lliypothése de Fresnel pourra donc toujours être regardée conmie approximatirement Traie.

Empmmiéfe éTéÊmmOeHé mpiit/me, — Soit un milieu transparent ; les vibrations lumineuses se transmettent dans Téther au milieu duquel baignent le» molécules matérielles qui Torment ce milieu. Cette propagation se fait comme dans le YÎde» avec cette différaice que la présence des molécules modifie les propriétés mécaniques de Téther lumineux et en altère l'isotropie normale. Le déplacement dl d*un point de Féther développe dans ce milieu une force élastique F égale et contraire à celle qui produit le déplacement. La force élastique F s^annule avec dl; elle dépend de la direction de dl et de la constitution du milieu tout autour de 0. On en conclut que Ton se trouve dans le cas étudié au chapitre l" de cette seconde partie. Lorsque le déplacement, gardant la même longueur, prend successivement toutes les directions possibles, rextrèmité de dl décrit une sphère ; celle de F décrit un ellipsoïde qui est FMi^ êoîde d*élasticité optique.

On se trouve d'ailleurs évidemment dans le cas de Tégalité symétrique. En outre le déplacement, dont Torientation seule varie, étant la seule cause qui mette en jeu la force F, l'ellipsoïde d'élasticité optique ne dépendra que des propriétés optiques du milieu dans un très petit rayon autour de 0. On aura donc, entre la symétrie du milieu et celle de l'ellipsoïde, les relations spécifiées au chapitre !<*, c'est-à-dire que cet ellipsoïde sera une sphère dans les milieux à symétrie cubique; qu'il sera de révolution dans les milieux à axe de symétrie principale, etc.

CoaiposMites de la fore« élastlqae. — Hypothèse ëm Fresael. — Appelons U l'angle de la force F avec le déplacement dl. La force F se décompose en deux autres, FcosU dirigé suivant d/, et FsinU qui lui est perpendiculaire. Si le déplacement dl se propage dans le milieu suivant la direction de la composante FsinU, on peut admettre qu'il se transmettra sans altération, car la force FcosU sera à chaque instant la force élastique vibratoire, et Fresnel admet que la composante FsinU, s'exerçant normalement au déplacement, et ne tendant qu*à comprimer les couches successives de l'éther, qu'il suppose incom-

CHAP. lY. — THÉORIE DE U DOUBLE RÉFRACTION. 107

pressible, est sans action sur le phénomène. Le déplacement dl se propagera donc suivant une droite qui lui est perpendiculaire, située dans le plan qui contient la force élastique F; il se propage en outre avec une vitesse proportionnelle à V F cos U.

En réalité le raisonnement de Fresnel est très insuffisant; il n'est point permis de se débarrasser, ainsi qu'il le fait, de la composante FsinU. Hais on doit remarquer que, grâce à la faible biréfringence des milieux les plus biréfringents, Tangle U est toujours petit, et par conséquent la composante FsinU, toujours petite elle-même. On peut s'expliquer ainsi qu*il soit permis d'en négliger Taclion vis-à-vis de celle de la composante FcosU.

On connaît la loi suivant laquelle varie, avec la direction de la vibration, la direction et la grandeur de la vitesse de propagation ; on peut donc dire que la théorie de la double réfraction est établie. U ne s'agit plus que de la développer et d'en tirer les conséquences qu'elle contient implicitement.

Ellipsoïde d'élasticité Do. — Ellipsoïde principsl D^. — Ellipsoïde laverie B. — Soit Oa (fig. 22), la direction d'un déplacement, OAo la

H uvw

grandeur et la. direction de la force élastique F correspondante ; D© l'ellipsoïde qui est, on le sait, le lieu des points ko et dont l'équation est

L'angle U étant toujours très petit, les composantes normales N de la ^^' ^

force élastique sont toujojurs positives et la surface principale (chap. P% page 14) est un eUipsoide. Cet ellipsoïde, qu'on représentera par Dj, a pour équation :

(D4) EUips. principal. ^ + ^ ^- î! == 1 .

Si Al est le point où le rayon vecteur OA© rencontre cet ellipsoïde D|; en posant OAo = po, OA^ = p, et U = a^ OAo, on a :

Po = Pi' cos D.

Si on mène en A^ le plan tangent & l'ellipsoïde D^, ce plan est per-

i08 DECXIÈIIE PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE,

pendiculaire sur Oa^ en un point qu*on appellera a^ et on a*:

Oflj = Pj ces D = ^p^ cos U ;

Oa| est donc proportionnel à la vitesse de propagation du déplacement et peut être supposé égal à cette vitesse même. La surface inverse est, comme la surface principale, un ellipsoïde» qu'on appellera E, et dont Téquation est :

(E) Ellipsoïde inverse. a*x* -4- b*y* 4- A* = 1.

Si A' est le point de cet ellipsoïde rencontré par le rayon vecteur Oa^, le plan tangent en A' à Tellipsoîde E est normal à la direction OAo qu*il coupe en un point a'. En posant OA' ss p', on a :

f fi i

PPo= Pi» P =ô^' Oa'=-.

Surface de* Tiiesses nonmiles. — La vitesse de propagation du déplacement dirigé suivant Oa^ est dirigée, dans le plan OA^a^, normalement à Oai'/elle est donc représentée en grandeur et en direction par une droite Oa\ parallèle à A|a| et égale à Oa^.

L'onde plane qui contient le déplacement et qui coïncide, à l'origine du temps, avec le plan mené suivant Oa et perpendiculairement à Oa^ A| coïncide donc, au bout de l'unité de temps, avec le plan mené fnv a\ perpendiculairement kOa^. La surface qui est le lieu des points a\ jouit ainsi de cette propriété que les plans normaux à l'extrémité de chacun de ses rayons vecteurs représentent les diverses positions que prend le plan de l'onde au bout de l'unité de temps. En d'autres termes la grandeur d*uii rayon vecteur de cette surface représente la vitesse de propagation, évaluée suivant une normale au plan de l'onde des vibrations contenues dans le plan. Cette surface est appelée surface des viiesses normales.

a est très aisé d'en trouver l'équation. Soient

ntt n, p les cosinus des angles que fait la direction 0A| avec les axes, m\ n\ p' — — — — Oa, — —

Posons r = Oa^ = Oa\, et cherchons les cosinus ii, v, w des angles que fait la direction Oa\ ou k^a, avec les axes.

CUAP. lY. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 109

Si a:', y\ %' représentent les coordonnées du point A' de rellipsoîde inverse, on a

d*où Ton déduit :

r a*' r ï*' r c*' Appelant {, y?» (> '^ coordonnées de a^ on a d'ailleurs :

et Ton tire aisément de ce qui précède :

y , - If) = 2^ (d« - r«) = - » X A,a4,

Si l'on se rappelle enfin que Ooi est perpendiculaire à Oa'^ ce qui se traduit par la relation :

on a, en remplaçant dans cette équation m\ n\p' parles valeurs dédui* tes des équations ci-dessus :

équations où n'entrent que r = Oa\ et les cosinus des angles que fait Oa\ avec les axes. C'est l'équation polaire de la surface des vitesses normales.

On appelle turface de Vonde le lieu des points de l'espace atteints» au bout d'un temps qu'on peut prendre pour unité, par le mouvement vibratoire qui, à l'origine du temps, affectait Torigine 0 des vibrations. On démontre que cette surface est l'enveloppe des ondes planes, ayant toutes les orientations possibles, et qu'on peut supposer partant du

ilO DEDUÈME PARTS. — OUSTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

point 0 à l'origine da temps. On démontre en oatre que cette surface est ie lieu des points k\.

La considération de la soiface de l'onde est rarement utile dans les recherches cristallographiques, on en remrerra Tétude à la fin de ce chapitre.

MH^airt aiM HiéMe diroction. — Après aToir exposé la théorie de la double réfraction, on Ta revenir sur quelques conséquences importantes qu'on aurait pu déduire immédiatement des principes qui ont servi de point de départ, mais qu*on a laissées de côté pour ne pas interrompre l'enchaînement de la démonstration.

Considérons le plan de l'onde qui contient la vibration Oo^ (fig. 22) et se propage suivant la droite normale Oa\. Un plan mené suivant OA^ perpendiculairement au planai OA^, coupe l'ellipsoïde principal D| suivant une ellipse dont OA^ est l'un des axes, car le plantangent en Ai est normal au plan ai OAi et coupe le plan de l'ellipse suivant une droite normale à OAi. La tangente à l'ellipse en Ai est donc normale au rayon vecteur. Par une raison entièrement analogue OA' sera l'un des axes de la section que détermine dans l'ellipsoïde inverse E un plan normal au plan ai OAi mené suivant Oa^. Le deuxième axe OB' de cette ellipse correspond de même à une vibration Ob^^ qui se propage suivant la même direction que la vibration Oa^ mais avec une vitesse différente, au moins en général.

Ainsi, parmi toutes les vibrations rectilignes que l'on peut supposer issues d'un même point et contenues dans un même plan, il en est deux et deux seulement dans le cas général, qui se propagent avec des vitesses inégales, suivant une même direction normale au plan qui contient les deux vibrations. Ces vibrations sont dirigées suivant les deux axes de l'ellipse que détermine l'intersection du plan de vibration et de l'ellipsoïde inverse E. La vitesse de propagation de chacune d'elles est égale à l'inverse de la grandeur de l'axe de l'ellipse auquel la vibration est parallèle.

On peut encore déduire de là que tous les rayons qui ont traversé un milieu biréfringent sont, sauf les cas singuliers, polarisés rectilignement, et que, suivant une même direction de propagation normale» sont transmises deux vibrations rectilignes rectangulaires entre elles.

Ponne de la mwoftmme des vlteMee Bonaales. — Axes eptl^aes. —

La surface des vitesses normales se déduit si aisément de celle de Tel-

lipsoîde inverse E, qu'on peut, sans recourir à son équation, acquérir de sa forme une idée très sufGsantc pour.ce qui doit suivre.

Nous allons, â cet effet, chercher la trace de la surface sur les 3 plans coordonnés, et comme ces plans sont évidemment des plans de symétrie, nous pouvons nous bornera l'étude de Foctant antérieur supérieur droit. Soit (fig« 23) Tellipsoîde inverse réduit, pour simplifier la figure, à sa moi-

Fig. 24.

Fig. ».

tié supérieure ; Oa', Ob\ Oc' sont les 3 axes, m b' et m' fr' les sections circulaires ; on a Oa'=:-, 06' = 7, Oc' = -. Par Oc' et les diamètres de Tela 0 c

lipse principale a'fr' menons une série de sections de Tellipsoïde ; toutes auront pour axes Oc' et le diamètre correspondant de Tellipse a'fr'; toutes correspondront en outre â des vitesses de propagation normales situées dans le plan principal a'&' ; on aura donc tous les points de la surface des vitesses normales qui sont situés dans le plan a'c' ep. menant dans ce plan sur chaque direction perpendiculaire à Tune des sections menées suivant Oc', c'est-â-dire perpendiculaire à l'un des diamètres de l'ellipse a'ft', deux longueurs égales l'une à -jp =c, l'autre à

l'inverse du diamètre de Tellipse a'b'. On obtient ainsi pour la trace de la surface des vitesses normales sur le plan a' c' (fig. 24) un cercle c\ c\

i12 raOUËME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHTSIQIIE.

de rayon égal à c et une coari>e^ sar la forme de laquelle il est inutik d'insister, mais qui coupe Taxe des xenl/^à une distance de 0 ^ale à i, et l'axe des y en a\ à une distance de 0 égale à a. La courbe enveloppe le cercle.

On verra de même que dans le plan des sy, la trace de la suriace se compose d'uncercle af^ a\dB rayon égal à a, et d*une courbe b\ d^ telle queOft',?=6.

Enfin, dans le plan des xx, c'est-à-dire dans le plan qui contient Taxe maximum a et Taxe minimum h d'élasticité optique, la trace se compose d'im cercle V^ V^ de rayon égal à 6 et d'une courbe a\ d^ qui vient nécessairement rencontrer le cercle en un certain point M.

On a OM = 6, la direction du rayon vecteur OM de la courbe a', tf^ est donc obtenue en faisant décrire 90* au rayon vecteur Om de l'ellipse d c^,

qui est aussi compris dans la section circulaire et est égal à t* La direction de OH est ainsi perpendiculaire sur Tune des sections ciroilaires de l'ellipsoïde inverse et les vibrations qui se transmettent suivant la direction de propagation OM sont contenues dans le plan de cette section circulaire. Tous les diamètres de la section circulaire sont des axes de cette section; les vibrations qui se propagent suivant OH ne se

* L'équation polaire de TeUipse afif rapportée à l'axe des x est : p* (a* cos* « + 6* ain* w)= i ; le rayon vecteur de la courbe a^c^ qui fait avec l'axe des a: un angle | — «i est égal à

-I l'équation de la courbe est donc :

/»*=sa*8in* « + ^ cos* «é.

C'est une courbe du 4* degré qui est d'ailleurs identique au lieu des points 'a( (fig. 23), c'est par conséquent le lieu des projections du centre 0 sur la tangente à l'ellipse a'c^, auquel on a fait subir un quart de révolution.

On trouve aisément pour l'angle a que fait le prolongement de la tangente avec ceini du rayon vecteur

tga = />~=j5-3^(a«tg«-hc*COtg Ci).

La tangente est verticale lorsque tgas cotg m, c'est-à-dire pour

Entre «1=0, pour lequel la tangente est Terticale, et «ssm' (lorsque tg m' n'est ni nul ni imaginaire, ou lorsque a*> 2c*)» la courbe a donc un point d'inflexion. Pour tous las corps crislaUisés on a a* <2c*, et par conséquent le point d'inflexion n'existe pas. Les courbes b^a^ et h^e^ donneraient lieu à des remarques analogues.

séparent donc pas en deux rayons vibrant à angle droit suivant des directions déterminées et cheminant avec des vitesses inégales ; elles se propagent suivant cette direction spéciale comme elles le feraient dans un milieu isotrope. On donne â cette direction OM le nom i^axe optique ou encore axe de réfraction intérieure.

Il y a un autre axe optique perpendiculaire à Tautre section circulaire de Tellipsoîde inverse et placé par rapport au premier symétriquement au plan des zy.

L'équation polaire de Tellipse aV, rapportée à Taxe des Xy est :

p* (a« cos« w H- c« sin*) w = 1 ;

l'angle (o, que fait le rayon vecteur Oin'=. 7 appartenant à la section circulaire, est donc donné par l'équation :

a*cos* Wj H- c« 8in*<i>| = 6* ou :

l'angle MOX étant le. complément de c*^» on a

♦««ox==*=v/S^"

Les deux axes optiques OH sont distincts l'un de l'autre dans tous les cristaux pour lesquels les 5 axes de Tellipsoîde d'élasticité a, 6» c sont inégaux. C'est pourquoi ces cristaux sont souvent désignés sous le nom de biaxes. On dit que le cristal est négatif lorsque HOX est plus petit que 45<^, c'est-à-dire lorsque la bissectrice de l'angle aigu des axes optiques, ou, comme on dit pour abréger, la bissectrice aiguë, coïncide avec l'axe maximum a; le cristal est dit po^î^î/* lorsque HOX est supérieur à të^, c'est-à-dire lorsque la bissectrice aiguë coïncide avec l'axe minimum c.

La seule inspection de la fig. H montre que la surface des vitesses normales a deux nappes, qui se coupent en quatre points analogues au point H, placés symétriquement dans le plan des zx, qu'on appelle . le plan des axes. Ces points sont les onMlics.

CEtITALLOOmAPBn, T. II. 8

On peut ajouter, pour donner une idée plus complète de la surface, qu'elle est comprise entre la sphère de rayon a qui la touche suivaiit un cercle situé dans le plan des zy et dont un quadrant est figuré en a\a\f et la sphère de rayon c qui la touche suivant un cercle situé dans le plan yx et dont un quadrant est figuré en i/^ c\. La sphère de rayon h touche la surface suivant un cercle situé dans le plan des za: et dont un quadrant est figuré en b\ b\ ; sauf le long de cette circonférence qui appartient à la nappe intérieure dans Tangle des axes optiques qui cooh prend Taxe des z, et à la nappe extérieure dans Tangle de ces axes qui comprend Taxe des x, tout le reste de la sphère de rayon b est compris entre les deux nappes.

Lorsque la substance possède un axe principal de symétrie, Tellipsoîde inverse, ainsi que tous les autres, est de révolution. On a fr = c oub = a. Lorsque fr = c, Tellipsolde est de révolution autour de Taxe des Xf le plus grand axe éCéla$ticilé optique coïncide avec Taxe de révolution et le cristal est négatif. Lorsqu'au contraire bz=a^le plus petit axe d*ékuticité optique coïncide avec faxe de révolution et le cristal est positif. Il est aisé de voir que dans ces deux cas les deux axes optiques OH se confondent en un seul qui est Taxe principal ; c*est pour cette raison que le cristal est dit alors uniaxe.

Supposons le cristal uniaxe positif, c'est-à-dire fr=c, la fig. 24 montre que la nappe intérieure se réduit à une sphère, de rayon fr=c; le point H vient se placer sur Taxe des x, et la nappe extérieure est une certaine surface qui est de révolution autour de Taxe des x^ et tangente à la sphère au point d'intersection avec cet axe. C'est d'ailleurs ce qu'il est aisé de voir sur l'équation même de la surface qui, lorsqu'on y fait 6=:c, se réduit aux deux équations :

r*z=:c^, u«(i^— c«)4-(t;»-hu>«) (r* — a*) = 0.

La l'« équation est celle d'une sphère de rayon égal à c; la 2* équation, que Ton peut mettre sous la forme

est celle d'une certaine surface fermée plus ou moins semblable k un ellipsoïde.

Relations catre les deaz vitesses de i^ropaa^tlon qal corres* pondent à nne méOM direction et les angles qne fait cette direction avee les axes optlqnes. — La direction de l'axe optique, qu'on

appellera L' et qui est contenue dans l'angle des xz positifs, fait avec les axes coordonnés des x^ y, z des angles dont les cosinus sont respectivement :

Les cosinus des angles que fait avec les mômes axes la direction L", de l'autre axe optique con tenue dans Tangle des sx, sont :

Appelons îi, y, u;, ainsi que nous Favona toujours fait, les cosinus des angles que fait avec les axes une certaine direction de propagation, DèsjgnoDSj en outre, par &' et 9'^ les angles que fait cette direction avec 1/ et L'\ En posant pour abréger récriture :

on aura :

COS 0 =: U g "•" "^ C*

Qd lire de lu

^C(cosO'4-cosrr)^

L'équation de la surface de^ vitesses normales, lorsqu'on y remplace u' par 1 -— li' — îf^', devient :

OU, en développant ^

r* -^ r» (a* H- c* — ïf'A* + it'^B*) -- iitc*A* -h i0*fl*B^ -h fl*c« ^ ft .

Le coefficient de r*, cliangc de signe, est la somme des racines r'* et r"* lie cette équation bicarrée, et Ton a ;

116 DEUXIÈME Partie. — cristallographie physique.

Le terme indépendant de r^ est égal au produit des racines, et en rem- ■ plaçant A et B par les valeurs précédentes» il vient

4r'V«=C*cos«e'H-C* cos' 6"+ 2C«(a«-Hc«)cos e'cos 6* -i- 4a*c*.

On en déduit aisément :

r^— t'»=V^(r^-|-r'*)« — 4r'V*= O sin 6' sin e'rrila'-c») sin tf sin 6*.

Cette expression de /* — r"* combinée avec celle de r'* -+- r''» donne :

Les plans de vibration 4*an même rayon blsséqnent les amples dièdres formés par les plans qnl passent par la dlreetlon de propagation et les axes optiqaes. — Imaginons que la figure 25 représente une certaine section elliptique de Tellipsoîde inverse E, que les sections circulaires de cet ellipsoïde coupent suivant deux rayons Om, On, d'égale longueur, et par conséquent également inclinés sur les axes de Tellipse. Il en sera de môme des rayons Om', Oit' respectivement perpendiculaires sur les deux précédents. Hais Om' et Oit' peuvent être regardés comme les projections sur le plan de Tellipse des axes optiques perpendiculaires aux sections circulaires. Les axes de Tellipse Occ et Op sont les traces des plans des vibrations qui se propagent nor^ malement suivant la perpendiculaire au plan de Tellipse. Ces plans bissèquent donc les angles dièdres formés par les plans qui passent par la direction commune de propagation normale et les axes optiques.

Formnies approchées qne l'on pent substituer ans fomMiles eompiètes. — La théorie de Fresnel ne peut être regardée comme démontrée, d'après ce qui a été dit plus haut, que pour les substances qui ne sont pas très biréfringentes, c'est-à-dire pour lesquelles les trois quantités a, fr, c ne sont pas très différentea Tune de l'autre. C*ett

Pig. 25.

en efTet le cas de toutes les substances biréfringentes que nous présente la nature. Pour mettre à même d'en juger» on a réuni dans le tableau suivant tous les cristaux dont les constantes optiques se trouvent dans VAnnuaire du Bureau des longitudes. Ces cristaux ont été rangés en deux groupes, celui des substances uniaxes» et celui des substances biaxes. Dans chaque groupe ils ont été rangés suivant Ténergie décroissante de la biréfringence, cette énergie étant appréciée

par la valeur du rapport ^ — p-^- Sur les 68 substances comprises dans

la c)*

ce tableau, une seule, le calomel, donne un rapport ^ — p-^ très peu

supérieur à jrt; pour une substance, Tarséniate de soude, ce rapport est

très peu supérieure ^; pour six autresi, la calcile, le cinabre, la

cérusite, le soufre, l'asparagine et l'azotate de potasse, le rapport est

compris ^"t*'^ gg^^TnÂ* Po"^ toutes les autres substances, le rapport

est inférieur à -rrrrr.

lUU

L'examen de ce tableau suggère Tidée d'une simplification possible dans toutes les formules. Puisque, dans Timmense majorité des cas, on peut considérer comme négligeable, et de Tordre des eri'eurs d'observation, la quantité (a — c)* relativement à c*, on pourra négliger aussi, par rapport à c* ou à b\ le carré de la différence qui existe entre un rayon vecteur quelconque r et le demi-axe ft, puisque r — b est toujours inférieur à a — c.

Posons donc :

a = b-\'dif c = fr — d,, r=fr-h8,

^vd^y i étant des quantités très petites dont le carré est négligeable, Téquation de la surface des vitesses normales devient :

8— rfi S î+d, ou encore

équation dont les deux racines J' et d" donnent les deux valeurs, 6+ d'

et fr + d^, do rayon redear de la soriace qui corre^Miiidenl à une même direction fat, r, ir;. Ces deux racines sont de signe contraire, puisque le dernier terme de Téquation est n^tiC, ce qui monlre, comme on le saiait d^, que la sphère ayant i pour raT<Mi est comprise entre les deux nappes de la surface. La distance qui, suirant le rayw vecteur considéré, sépare les deux na{^>e8, est donc égale à J'— d", et l'on a :

On a trouré précédemment :

On a, dans Tordre d*approxipiation où nous nous plaçons,

/«— f-^=2>(a'— ^'j et a^^c^=ib(a'-c)i

on peut donc écrire :

r— 3»=(a— c) sînO'sinô'.

Il serait, en effet, aisé de démontrer que la première expression trouvée ci-dessus pour ^ — d" revient à celle-là.

En faisant subir des transformations analogues aux expressions de /• et de r"% on trouverait encore aisément :

j.^ a -hc— 2^ g — c ^^^ ,^ . ^.

En restant dans le même ordre d*approximation, on a

tgMOX=V/^,-

L'angle MOX est donc < 45% et le cristal est dit négatif lorsque Ton a *— c<a— ftou26 — (d-hc)<0; cet angle est > 45« et le cristal est positif lorsque b — c < a — fr ou 26 — (a -}- c) > 0.

SabateBe«« «nliizes.

Signe deb

Cofiliïur d<! la lumière

tlâppori

dniiblc

<?inployi'e

fioms dc£ itUiïtaaus.

pour t'ob^'j'vatiûnK

Hou go.

Jauni;.

Raie 0.

Calomcl. ..-,..,,,,

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Ars^nlîite de souda* » * . . ,

Collette (spatïi d'bLande). . . .

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