OO

relatlYea écm ^tcsses avec les^pnelles se pa^pagct MilvMit la lêie élrectioM les 4e«x TUbratlM» rc r<— flalni — MsUactIaa des wmjmÊM •rdlaalre et eiLtrmmtéimadre. — Si la bis* sectrice aigué des axes optiques coïncide aTcc l*a\e maximum a, c'està-dire si le cristal est négatify les sections cycliques de Tellipsoîde principal conipi^nncnt Taxe r dans l'intérieur de leurs angles aigus Le plan normal à la direction de la propagation lumineuse rencontre les deux sections cycliques de part et d*autre du plan principal bc en

m et m' (fig. 26). La vibration qui, comprise dans Tangle aigu des sections cycliques, bissèque Tangle mOm', correspond au plus petit axe

Fiis. se.

de TeHipse; c*est celle dont la vitesse de propagation est la plus p€iiit. Si la bissectrice ai^aifi est l'axe minimum e, c'csi-ù-dire si le cristal est positif, rjnvejse a lieu, et la bissectrice de l'angle mO/n' cora-

Fig. Î7.

prise dans Tangle aigu des secUons cycliques (flg. S7} donne la vibration dont la vitesse de propagation est la plus grande.

Comme on l'a dit plus haut, on delurmine ordinaii'cmcnl les dlrrclions des vibralions transmises normal emiml à un plan donné, on projetant sur ce plan les deux axes optiques, et menant les bissectrices des angles formés par ces deux droites^ qui sont perpendiculaires sur les traces des plans cycliques. L'angle qui comprend la projection de la bissectrice aiguë comprend aussi la vibration dont la vitesse de propa-

galion est la plus petite dans les cristaux négatirs, et la plus grande dans les cristaux positifs.

On convient d'appeler vibration ordinaire celle qui se trouve dans Tangle aigu des sections cycliques de Tellipsoîde principal ; l'autre est la vibration extraordinaire. Si Ton appelle d^ le d correspondant à la vibration ordinaire, et i^ celui qui correspond à la vibration extraordinaire» d^ est positif dans les cristaux positifs et négatif dan^ les cristaux négatifs. En d'autres teimes, la vitesse de propagation du rayon ordinaire correspond à la nappe de la surface des vitesses normales exté^ rieure à la sphère de rayon b^ dans les cristaux positifs ; à la nappe qui est enveloppée par cette sphère, dans les cristaux négatifs.

Paasaa^ d'an rayon lomlneax d'an mllIeD qaelecMMiae dUias ■■ milieu cristaUlaé. — Les lois de la propagation lumineuse dans les cristaux permettent de se rendre compte des phénomènes de réfraclion qui se produisent dans ces corps. On considère un rayon passant d*uii premier milieu dans un second qui est cristallisé. La surface de séparation des deux milieux est supposée plane, ce qui n*est pas une restriction à la généralité du raisonnement, puisque l'on n'a jamais à considérer qu'un élément ti*ès petit de cette surface. On suppose un

faisceau lumineux de dimensions transversales assez petites pour que la surface de Tonde puisse être considérée comme plane. Soit ma (fig. 28) la direction de ce faisceau. Le plan de la figure est supposé mené par ma et la normale mN à la surface de séparation; c'est le plan d*incidence.

L'onde plane mn est le lieu des F«K- 28 points du premier milieu atteints

par une vibration en un même instant qu'où regardera comme l'ongine des temps. On aura Tonde réfractée dans le second milieu en cherchant le lieu des points atteints par cette même vibration au bout de l'unité de temps. Choisissons a'p parallèle à mn, de telle sorte que pn représente la vitesse de propagation dans le premier milieu, c'est-à-dire le chemin parcouru dans ce milieu par la vibration dans l'unité de temps. Le point ;>, commun aux deux milieux, appartient à Tonde réfractée; d'ailleurs tous les points de la droite pq perpendiculaire au plan d'in-

cidence sont alteints en même temps par la vibration, la droite pq est donc contenue dans Tonde réfractée ; onde nécessairement plane, puisque le faisceau lumineux réfracté a, comme le faisceau incident, des dimensions transversales très petites. On suppose menée la surface des vitesses normales aux extrémités des rayons vecteurs de laquelle sont normaux, au bout de l'unité de temps, toutes les ondes planes qui, partant de m, peuvent se propager dans le second milieu; Tonde cherchée est comprise parmi celles-là. Soit donc r et s deux points de cette surface situés sur chacune des deux nappes, contenus dans le plan d'incidence et tels que pr et ps soient respectivement perpendiculaires sur mr et ms; les plans normaux aux plans d'incidence, c'est-àdire qui passent par pq, et ont pour traces pr et p«, sont les ondes planes réfractées. Les longueurs mr et ms représentent en grandeur et en direction les vitesses de propagation correspondant aux deux rayons réfractés; ces directions sont peu différentes Tune de l'autre, à cause de la faible biréfringence des milieux cristallisés.

Si ces deux directions étaient rigoureusement identiques, les vibrations de chacun des rayons seraient mutuellement perpendiculaires ; ces vibrations seront donc effectivement très près d'être rectangulaires entre elles. On peut donc dire qu'un faisceau lumineux passant dans un milieu cristallisé s'y décompose en deux autres très voisins Tun de l'autre, et dont les vibrations sont à angle droit.

Lorsqu'un faisceau lumineux, après avoir traversé le milieu cristallisé, en ressort et rentre dans le premier milieu, on ferait, pour trouver le faisceau émergent, une construction inverse de celle qui nous a permis de déduire la direction du rayon réfracté de celle du rayon incident. Si la surface de séparation des deux milieux à l'émergence est parallèle à la surface de séparation à Tincidence, chacun des deux rayons réfractés issus d'un même rayon incident donne, pour le même rayon émergent, une même direction, et le faisceau émergent est . parallèle au rayon incident.

La longueur n p représente la vitesse de propagation l de la lumière dans le premier milieu; les longueurs mr et ms sont les vitesses de propagation respectives des deux rayons réfractés dans le second milieu; nous les appellerons r et s. Nous appellerons en outre I l'angle d'incidence, c'est-à-dire celui que fait avec la normale mN la direction de propagation ma dans le premier milieu ; R' et R" sont les angles que font respectivement les directions des vitesses de propagation r' et r^ avec le prolongement de la normale mN. Dans le triangle

i24 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE

rectangle mpn, on a

dans les triangles prm^ et psm, on a :

^ "" sin I sin H'

P^-~ sin l"~sin R'*

Le riipport du sinus de Tangle d'incidence à celui de Tangle de réfraction est le même que celui de la vitesse de propagation dans le premier milieu à la vitesse de propagation dans le deutième milieu. Les vitesses de propagation sont donc les inverses des quantités que Ton désigne sous le nom d'indices de réfraction. Dans un milieu cristalliséy il y a en général deux indices de réfraction correspondant à la même direction de propagation, et ces indices changent avec la direction.

C^lcal des directions 4e propa^atloii des deoz rayons réfrnctén>

— Pour trouver les directions des vitesses de propagation des deux rayons réfractés r' et <", il suffit, on le voit, de chercher rintersedion, par le plan d*incidence, de la surface des vitesses normales ayant m pour centre et de calculer les points d'intersection r et s de cette

courbe avec le cercle avant »m = -r-. comme diamètre. Les rayons

' «ml

vecteurs mr et ms sont les deux directions cherchées.

Soit

Téquation de la surface des vitesses normales; si u' v' w' représentent les cosinus que fait avec les axes la normale au plan d*incidence, réquation

(2) im' 4- ttf' -h ww' = 0,

qui exprime que toutes les directions (u v w) qui y satisfont sont contenues dans le plan d'incidence, est Téquation du plan. Si Ton appelle g, h, k les cosinus que fait avec les axes la direction mp, l'angle &) que fait le rayon vecteur (u v w) avec mp est donné par la relation

C05 (ù = gv-k- hu 'h kw.

CHAP, IV. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION, 12îi

L*équationdu cercle ayant m p pour diamètre est

(3) r = mpcos(i) = -: — '.(gu-hhv-hkw).

On a ainsi trois équations qui, par élimination, en donnent deux autres ne contenant plus r; ces deux équations, combinées avec

donnent les valeurs de u, v, w qui résolvent le problème.

Le calcul se simplifierait dans le cas des cristaux uniaxes. Il se simplifie davantage encore, même dans le cas général, si Ton emploie le procédé d*approximation qui a été défini plus haut.

Soit PR| (fig. 29) la direction de la vitesse du rayon réfracté qui se produirait si le milieu était isotrope, ^ m^

et. si la vitesse de propagation y était '-v^. la vitesse moyenne de propagation dans ^^^^-

le cristal, c'est-à-dire b. Les vitesses des deux rayons réfractés réels PR' et PR" ne font avec PRi qu*un petit angle; les vitesses de propagation / p. 29

et r^ qui leur correspondent sont

donc très peu différentes des deux rayons vecteurs de Tune et l'autre nappe de la surface des vitesses normales qui ont la direction commune PRi. Les longueurs de ces deux rayons vecteurs sont J -4- ^ et J -4- d^, si ^' et ^ sont les deux racines de Téqualion en d (page il7), dans laquelle on donne k u, v, w les valeurs qui conviennent à la direction PR|.

Prenons PM = . et menons par H des perpendiculaires ft et Pt'

sur les directions respectives PRi et PR'; soit c le point où Mt' rencontre PR. Le triangle Mtc est presque rectangle en c à cause de la petitesse deFangle R'PRp Pt'=r' = J-4-^ peut être considéré comme égal à Pc, et par conséquent on a sensiblement c(= — 3\ Soit g' le petit angle RTR|, considéré comme positif lorsqu'il est parcouru, à partir de PR^, en s*éloignant de la normale PN, et comme négatif dans le CHR contraire, convention qui revient à dire que le signe de e' est celui

de ^; dans le triangle Me où tUf = t\ on a :

^î' ysini

On aurait de même, en appelant t" Tangle que forme aTee PU la direction de propagation PR' de Tautre rayon réfracté :

, 8* sin I

^ "" / cos R*

D'après ce qui a été dit page 122 sur le signe de i^ Tangle e correspondant au rayon ordinaire est positif dans les cristaux positifs et négatif dans les cristaux négatifs. La direction de propagation du rayon extraordinaire est donc plus rapprochée de la normale que celle du rayon ordinaire dans les cristaux positifs et plus éloignée dans les cristaux négatifs.

Si 0) estTangle que forment entre elles les deux directions de propagation PR' et PR", on aura :

# m i^i ^\ sini sin I / \ . a/ • a» « = e'-e' = (S'-S') ^^3^ = 73^ (a-c)s,nO' sine.

Lorsque le rayon PR est dirigé suivant un axe optique, on a 9' = 0 et w =0. L'onde plane qui se propage dans le milieu cristallisé est alors unique; c'est ce qu'il était facile de voir directement.

11 ne s'agit donc plus, pour résoudre le problème dans le cas général, Tivw que de coimaître les cosinus (u v p;) que fait, avec les axes de la surface des vitesses normales, la direction de propagation PR, et dont il faut introduire les valeurs dans l'équation en i pour obtenir à' eii^ .

Soit U, V, W, les cosinus que fait avec les axes la direction de propagation PI (fig. 30) du rayon incident;

9, A, ky ceux que fait avec les axes la direction PN de la normale à la surface de séparation des deux milieux;

A, (x,v, ceux que fait avec les axes la direction is de la normale â PN, menée du point i pris sur la direction PI à une distance de P telle que P< = 1 •

Fiîf. 30.

En projetant le triangle fts sur Taxe des x^ on obtient

U-f-gcosI + XsinI = 0,

ou

^•__ U-hgrcosI sini *

On aurait des valeurs analogues pour |xet v, en remplaçant U et 9 successivement par V, A, puis par W, k.

Sur la direction PR, on prend ftf=zl^ on mène tf»' perpendiculaire sur le prolongement de la normale PN ; la projection, sur Taxe des x, du triangle ?($' donne

u -h XsinR-#-^cosR=0,

d*où, en introduisant la valeur de X trouvée précédemment, on déduit :

ti = (U + a cos l) -r-Y — a cos R. ^ * ' sm l ^

On aurait les valeurs de v et u; en remplaçant U et 9 successivement par y et A, puis par W et k.

On calculerait d*ailleurs I par la formule :

cosI = flfU+AV + KW, et R par la relation :

sin l /

sinR T

Lot» de larélraettoB dans le eas parttealler dea erlataaz onlaxea.

— Dans les cristaux uniaxes, les lois du phénomène de la réfraction se simplifient. La surface des vitesses normales se réduit alors, comme on Ta vu, à une sphère et à une surface à une nappe. Des deux directions de propagation du rayon bifurqué après la réfraction, Tune a toujours pour vitesse le rayon de la sphère, le faisceau lumineux qui lui correspond et qui est le rayon ordinaire se comporte comme si le milieu était un milieu ordinaire ou isotrope ; la vitesse de l'autre direction de propagation, qui est celle du rayon extraordinaire, est marquée par un rayon vecteur de la surface à une nappe. Dans les cristaux positifs^ l'axe principal coïncide avec le plus petit

axe d*élaslicité, c*est-à-dire Taxe des s; on a a=^, et la sphère de la surface des vitesses normales enveloppe la surface à une nappe ; M vitesse du rayon extraordinaire est inférieure ou au plus égale à celle du rayon ordinaire. L*angle c» que font entre elles ces deux directions est donné par la formule :

# \ • «A sin I a — <^ • • A . n u)=e;=— (a — c)sm«e ^—f^= ^sm«etgR.

Dans les cristaux négatifs. Taxe principal coïncide avec le plus grand axe d'élasticité, c'est-à-dire Taxe des a: ; on a & = c, et la sphère est enveloppée par la surface à une nappe ; la vitesse du rayon extraordinaire est toujours supérieure ou au moins égale à celle du rayon ordinaire. On a :

« # \ • «A sin I a — c . .*. «

(i) = e'=(fl— c)8m*6 s =— r— sm«6tgR.

* cos n. 0

La direction de propagation du rayon extraordinaire est en quelque sorte attirée par la normale dans les cristaux positifs, et repoussée par elle dans les cristaux négatifs; c*est pourquoi on donne souvent aux cristaux positifs le nom ^attractifs, et celui de répulsifs aux cristaux négatifs.

DispenloB. — Si la théorie de Fresnel était rigoureuse, Télasticité optique du milieu dans lequel se fait la propagation lumineuse ne pouvant pas varier avec la couleur du rayon, c'est-à-dire avec la période du mouvement vibratoire, il en résulterait que la vitesse de propagation serait indépendante de la couleur de la lumière. C'est en efiet ce qui a lieu pour la propagation des vibrations sonores. On sait qu'il n'en est pas ainsi pour les vibrations lumineuses dont l'inégale vitesse de propagation donne lieu au phénomène connu sous le nom de dispersion. Toutefois la dispersion n'existe pas dans le vide, ainsi que le montre robser>'ation des étoiles dont Téclat varie très rapidement, conune Algol, qui passe en trois heures et demie de la seconde à la quatrième grandeur. Ces variations d'éclat seraient nécessairement accompagnées de changements de coloration si les rayons différemment colorés employaient des temps inégaux pour parcourir la distance qui sépare l'étoile de la teiTe; on n'a constaté aucun changement de cette nature. La dispersion est donc due à la présence, dans l'éther, des molécules pondérables des corps.

Fresnel a le premier indiqué la cause probable à laquelle la dispersion

doit être rapportée. Il fit remarquer que les ondes lumineuses diffèrent des ondes sonores par la grandeur incomparablement moindre de leurs longueurs d^ondulation ; celles-ci ne sont donc plus, comme celles du son, très petites par rapport aux rayons d'activité des forces moléculaires. Dans la propagation d'une vibration rectiligne lumineuse, si nous considérons deux molécules pondérables séparées, suivant la direction de propagation, par une distance r, moindre que le rayon d'activité des forces moléculaires, ces molécules peuvent avoir, au même instant, des déplacements assez différents l'un de l'autre pour que la variation de position mutuelle qui résulte de cette différence influe sur la force élastique. Cette force, qui règle la vitesse de propagation, ne dépend donc pas seulement de la structure du corps; elle dépend encore de la nature et plus particulièrement de la longueur d'onde des vibrations'que ce milieu transmet.

Cauchy a traduit cette indication de Fresnel dans une théorie très complète et dont nous nous bornerons à donner ici une idée.

On considère une série de molécules alignées suivant la direction de propagation d'une vibration rectiligne. Le déplacement e de la molécule qui vibre à l'origine en 0 est, à l'instant ^

£ = Asin27:^=Asin2r.-.

A ce même instant, la molécule située sur la direction de propagation à une dislance de 0 égale à r, éprouve un déplacement

£' = A siri 2^ — = — = A sin — • (vt — r) ; on a donc :

£ — £' = £ ( 1 — cos -— r l 4- A cos — v< sm — r,

La force élastique développée, sur la molécule située en 0, par le déplacement mutuel des deux molécules considérées, et évaluée suivant le déplacement, est proportionnelle à e — e' ; la force élastique totale s'exerçant sur 0 est donc une somme de termes, en nombre infini, dont chacun se compose d'une valeur de e — e correspondant à une

CAlSTALLOtiBAPUlE, J. 11. 9

i50 DEUXIÈME PARTIE. - CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

valeur particulière de r, multipliée par un certain facteur H. On peot donc écrire :

/•== eSM U -cosSx^') + 2MA cos Sx^^sin 2x^.

Le second terme de cette expression est nul, car à chaque terme de la somme pour lequel r est positif et qui provient d*une m()Iècule située sur la direction de propagation, en correspond un autre pour lequel r a une valeur égale mais de signe contraire, et qui provient d*une molécule située sur la direction opposée à celle de la propagation.

r Reste donc le premier terme. Pour les ondes sonores r est n^li-

geable, et /* est proportionnel à e et indépendant de X; pour les onde$

lumineuses, t n'est plus négligeable, mais il est petit, et Ton peut déve-

lopper 1 — cos 27r ^ suivant les puissances croissantes de t, ce qui

donne

l cos2.-=P--Q-.-HR-.

d*où Ton déduit

On a vu (page 105) que

on aura donc pour v- une expression de la forme i,'=A-hBi + ci + ....

La somme des termes qui suivent le premier étant petite, on peut prendre par approximation la racine du second membre, ce qui donne

La vitesse de propagation dans le vide étant indépendante de A, la

formule qui précède peut aussi représenter le rapport de la vitesse de propagation absolue dans le milieu à la vitesse de propagation dans le vide, ou, ce qui équivaut presque, dans Tair.

On peut, en général, se borner au second terme de la série qui donne v; ce terme est nécessairement négatif, puisque la vitesse de propaga. lion croit avec la longueur d'onde. On peut donc poser

^ et A étant des coefficients que Texpérience doit faire connaître. . Cette expression s'applique aux corps isotropes comme aux corps cristallisés; mais dans ces derniers une complication nouvelle intervient, car après avoir déterminé les constantes pour la vitesse de propagation d'une vibration rectiligne déterminée, il faudra en déterminer de nouveaux pour représenter la vitesse de propagation d'une autre vibration.

Toutefois, pour chaque valeur de X, il existe un certain ellipsoïde d'élasticité et un certain ellipsoïde principal. Supposons que le cristal appartienne à un système à axe principal ou au système terbinaire, tous ces ellipsoïdes, par des raisons de symétrie connues, ont leurs axes dirigés de la même façon. Si le système de cristallisation est terbinaire par exemple, on pourra représenter les vitesses de propagation, a, b, Cy suivant les axes communs par des expressions de la forme

Les Gcoeflicients qui entrent dans ces formules suffiront à déterminer les ellipsoïdes correspondant à toutes les valeurs de X. Béer a montré que ces formules satisfont en effet convenablement aux observations pour les cristaux dont les constantes optiques correspondant aux diverses couleurs sont bien connues, tels que le quartz, la calcite, l'aragonite et la topaze.

Si le cristal appartient à l'un des systèmes binaire ou asymétrique, il y a des axes d'élasticité dont la symétrie du cristal ne détermine plus

iô'2 DEUXIÈJIE PARTIE. - CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE,

la direction; les directions de ces axes peuvent alors varier avec A. L'observation doit dans ce cas déterminer non-seulement les grandeurs des axes des ellipsoïdes correspondant aux diverses valeurs de A, mais encore les angles que font ces axes avec ceux d un des ellipsoïdes pris comme point de départ. En général ces angles sont petits et varient dans le môme sens lorsqu'on passe successivement du rouge, pour lequel X est le !plus grand, au violet, pour lequel 1 fist le plus petit Nous aurons à revenir plus tard sur ce sujet important.

SURFACE DE L ONDE. BAYONS LUIIINEDX.

Surface de Tonde. — On a bien rarement besoin de pousser l*élude théorique des phénomènes de double réfraction plus loin qu'on ne l'a fait dans ce qui précède. Bien que les résultats déjà obtenus soient les seuls qui nous soient nécessaires pour les éludes ultérieures, il parait utile de ne pas laisser incomplète une théorie aussi importante. La première lacune grave qu'il y ait à combler est la détermination de la direction du rayon qui se propage dans un milieu biréfringent.

Après avoir considéré la propagation lumineuse comme produite par la propagation d'une multitude d'ondes planes partant en même temps de l'origine des vibrations et se répandant dans tout l'espace, on a déterminé théoriquement la vitesse avec laquelle chaque onde plane, restant toujours parallèle à elle-même, s'éloigne de l'origine ; c'est ce qu'on a appelé la vitesse de propagation normale.

Si l'on considère toutes les ondes planes, ayant toutes les orientations possibles, et partant de l'origine des vibrations à une même époque que Ton prendra pour l'origine des temps, elles occupent une certaine position dans l'espace à la fin de l'unité de temps, et cette position est déterminée par la surface des vitesses normales, conune il a été dit plus haut. Tous ces plans enveloppent une certaine surface que Ton appelle la surface de londe. En se servant de la théorie des interférences, on démontre que si X\a\ (fig. 51) est le plan tangent en A\ à la surface de l'onde S^ la seule partie efficace des vibrations que propagent les ondes planes parallèles à \\a\ est celle qui se transmet suivant la direction menée de l'origine 0 au point de tangence A'i, de sorte qu'un écran placé entre 0 et A'^ supprimerait toute la lumière transmise directemout à A\; 0 A'i est te qu'on appelle la

CIIAP. lY. — THÉORIK DE LA DOlhLK RÉFRACTFON. 150

direction du rayon lumineux dont 0 a\ perpendiculaire au plan de Tonde est la direction de propagation normale.

On a vu que le point a'pqui appartient à la surface des vitesses normales, est la position que le point ûj (fîg. 22, page 107) vient occuper lorsqu'on fait tourner Oa, de 90» dans le plan A'Oa, qui contient le déplacement élastique et la force élastique qu'il engendre. Nous allons montrer que A\ est la position que prend OA, après une rotation de 90*

Fig. 51.

Fig 3i.

dans le même plan, de sorte que le triangle Oa\ \\ eA la position que vient prendre le triangle Oa,A, après une rotation de 90°.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de montrer que le plan P' (fig. 32), normal à Oa\ et mené suivant a\ A\, est tangent en A'j à 1 1 surface qui est le lieu des points A\ ; c'est-à-dire que si A', est un point du lieu infinimlent voisin de A',, la droite OA', rencontre le planP' en un point R', tel que la longueur A', B', est un infiniment petit du second ordre, si la distance A\ A', est du premier. Le point A', correspond à un point A, de rellipsoîde principal très voisin de A|, et comme Tellipsoïde est tangent au plan P mené suivant Ataj perpendiculairement a Oai, le rayon vecteur OA, rencontre ce plan en un point B, tel que B, A, est un infiniment petit du second ordre. Si Ton démontre que l'angle que fait OA', avec Oa'i ne diffère que d'un infiniment petit du second ordre de l'angle que fait OA, avec Ooi, la différence entre OB^et OB', ne sera que du 2* ordre, et en vertu de l'égalité OA, = OA',, la différence OB', — OA', sera du 2* ordre comme OB, — OA,.

Soit (fig. 31), sur une sphère décrite du point 0 comme centre, Ap A,, ai, a, et A'^, A',/a'i, les traces des rayons vecteurs OAj, 0A„ etc. Les plans Afia^ et A,Oa, dt viennent sur la sphère doux grands ( erclcs

qui font entre eux un très petit angle a et qui se rencontrent suirant k diamètre mm'.

Fig. 35.

Dans le triangle sphérique A^ A, a^ où A^a^ = U, on a :

cos fliA, = cos U ces A|A, + sin U sin A|A, cos Ai ;

dansle triangle A\ A', a'„ où k\ a\ = U, on a :

cos a\ A',=cos U cos A'i A', 4- sin U sin A'i A', cos A,,

Si l'on mène le grand cercle A, A\, on a deux triangles A, A'^ A', et A, k\ Aj qui ont le côté A, A', commun et qui sont rectilatères en A, A', et Aj k\ ; ils donnent :

cos A,A| = — sin AiA, cos A, = — sin A', A', cos A',. On en déduit :

cos fl, A, = cos U cos Al A, -f- sin Usin A'jA'^ cos A'„

9t par conséquent :

cosa'jA',— co5fl,A,=cosU(cosA'iA'j— cosA,Aj)-fsinUsinA'iA',(cosA',— cosA'J Or la surface S du triangle sphérique k\ m A', est :

S=A\-HA',-fa — -::.

CIIAP. TV. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. iZb

et comme S et a sont infiniment petits, on a :

(3 étant infiniment petit.

Dans réquation ci-dessus, le 1" membre, cosa'iA', — cos ûjA,, est le double de produit de deux sinus, sin ^ * ' * ^* ' sin^' ' o ^ *>

dans le 2« membre, cos A'i k\ — cos Aj A, est le produit de deux sinus infiniment petits et est par conséquent du 2* ordre; cos A\ — cos A', est du !•' ordre, mais multiplié par sin A'jA', il donne un terme du ^^ ordre. Le second membre étant du 2* ordre, il en e^t de même du

A „t kl

premier et par conséquent de sin * * — - — î ou de a^Aj — a'iA',, C. Q. F. D.

ÉqoatloB de la «nrCaee de Tonde. — L*équation de la surface cle l'onde s'obtient d'une manière tout à fait analogue à celle qui nous a donné l'équation de la surface des vitesses normales. On cherche les cosinus u\ v'y w\ des angles que fait avec les axes la direction K'a* (fig. 22, page 107) parallèle au rayon vecteur OA'i = p, de la surftice de Tonde. Les coordonnées de A' sont :

et, à cause de la relation

les coordonnés de a' sont :

Ofl'=:i,

m n p 9i Pi' Pi'

On a donc :

lu'xAV,

et, en écrivant que la direction OA, est perpendiculaire sur 0A\, on

obtient :

«équation polaire de la surface de Tonde.

L'équation de la surface de Tonde n*est autre que celle de la surface

des vitesses normales dans laquelle on a changé r en -, a en -, ^ en ^

et c en — Toute relation trouvée entre le rayon vecteur et les paramètres de cette dernière surface deviendra une relation applicable à la surface de Tonde en y faisant les mômes changements.

lHr«etlons des deux ▼Ibrattons correspondant * nno na^nM direction du rayon. — Un plan perpendiculaire à OA'i coupe Tellipsoîde principal D| suivant une ellipse C^ dont OA^ est Tun des axes ; le théorème se démontrerait comme le théorème analogue relatif aux vitesses normales. Cette droite OA^ marque la direction de la force élastique que développe la vibration recliligne dirigée suivant OA'. Le second axe de Tellipse déterminé dans Tellipsoïde principal par le plan normal à 0A\ marque la direction de la force élastique correspondant à une autre vibration recliligne qui se transmet aussi suivant 0A\. Les directions des deux vibrations rectilignes qui se transmettent ainsi suivant le môme rayon Ok\ ne sont pas perpendiculaires entre elles, mais elles sont contenues respectivement dans les deux plans perpendiculaires entre eux menés par le rayon vecteur et les deux axes de Tellipse Cj. Comme d'ailleurs Tangle que fait le déplacement avec la force élastique est toujours petit, les deux vibrations rectilignes seront sensiblement perpendiculaires entre elles. On peut donc dire qu*un môme rayon transmet deux vibrations rectilignes sensiblement perpendiculaires entre elles. La direction de chacune de ces vibrations, telle que A'i a\y s'obtient aisément en projetant le rayon vecteur de la surface de Tonde sur le plan tangent à Textrémité de ce rayon vecteur.

11 faut ajouter que le plan tangent à la surface de Tonde n'étant pas exactement normal au rayon vecteur correspondant, les vibrations lumineuses, dans un milieu cristallin, ne sont pas rigoureusement transversales; elles approchent seulement de Télre parce que Tangle A'^ 0' a\

étant très petit, le plan tangent en A\ n'est pas très éloigné d'être normal à OAV

Forme die la surfaee de l'onde. — La discussion de la surface de

Tonde se ferait comme celle de la surface des vitesses normales. On suppose toujours que Taxe maximum a est dirigé suivant Taxe des x, Taxe moyen h suivant l'axe des y, Taxe minimum c suivant Taxe des z. Les plans coordonnés étant des plans de symétrie, on se borne à chercher la forme de la surface dans Toctant antérieur supérieur droit.

Pour obtenir l'intersection de la surface de l'onde avec le plan des jry, il suffit de remarquer que les rayons vecteurs situés dans le plan x\i sont normaux à toutes les sections de l'ellipsoïde Di menées suivant OZ; toutes ces ellipses ont un axe commun c ; l'autre axe est l'un des rayons vecteurs de l'ellipse principale située dans le plan art/. La section de la surface de l'onde pur le plan xy s'obtiendra donc en menant d'abord un cercle de rayon égal à c, et portant ensuite sur chaque rayon vecteur une longueur égale à celle du rayon de l'ellipse principale de Dj qui lui est perpendiculaire. On obtient ainsi l'ellipse principale elle-même, mais tournée de 90°, cest-à-dire ayant Taxe h dirigé suivant Qx et l'axe a suivant Oy. Cette ellipse est extérieure au cercle de rayon c.

On verra de môme que l'inlersection par le plan yz se compose d'un cercle de rayon égal à «, et d'une ellipse dont l'axe h est dirigé suivant Oa, et l'axe c suivant Oy. Le cercle est extérieur à l'ellipse.

L'inlersection par le plan xz se compose encore d'un cercle de rayon égal à fc et d'une ellipse ayant un axe égal à a suivant l'axe des s, et un axe égal à c suivant Taxe des j*. Le cercle et l'ellipse se coupent en un point 1 {^\^. 54). Le rayon vecteur 01 de l'ellipse étant égal à fr, est normal à celui des rayons vecteurs de l'ellipse principale de D| située dans le plan zx qui a pour longueur h et par conséquent au plan mené par ce rayon vecteur et l'axe h de l'ellipsoïde. La direction 01 est donc perpendiculaire à l'une des sections circulaires de l'ellipsoïde D|.

Kig .S4.

Axes de réfjraciion exiérlenre*

L'équation de l'ellipse située

13« D£UXIÊIE PARTIE. — CF.ÏSTALLiJbRAPfflE PBYSIQCE.

dans ie plan méridien des zx est

. /cos- (■» sin* fa, t

(à élant l'angle du rayon vecteur avec l'aie des x ; en faisant p = b dan>

celte équation, on trouve pour la valeur correqK>ndante de », lacpielle est égale à lOX,

tgiox

Il y a, svmétriquenient placés dans les 4 quadrants formés par les axes des X et des 2, 4 points 1 qui sont les ombilics de la surface de Tonde.

Os 4 points correspondent à deux droites telles que 01 que Too nomme CLxet de réfraclion extérieure. Les points 1 sont des poinls singuliers de la surface de Tonde ; et de chacun d*eux on peut mener uo nombre infini de plans tangents à cette surface. En projetant le rayon 01 sur chacun de ces plans tangents, on a la direction d'une vibratioa qui se propage suivant la direction 01. 11 est aisé de voir comment sont placées toutes r^s vibrations ainsi que les vitesses de propagation correspondantes qui sont les normales à chacun des plans tangents à la surface de Tonde.

Soit en effet a|3y (fig. 55) une des sections circulaires de l'ellipsoïde Dj et 01 la droite normale qui est Taxe de réfraction extérieure correspondant. Tous les rayons de la section circulaire sont des axes de symétrie et peuvent, par conséquent, correspondre à une vibration transmise suivant 01.

Soit Oa Tintersection de la section circulaire avec le plan des sx, le plan tangent à Tellipsoîde en a coupe ce plan suivant une droite av^. Les plans tangents à Tellipsoîde en chacun des points de la section circulaire ont pour enveloppe un cylindre dont les génératrices sont parallèles à oxi) et dont la section droite est une certaine ellipse ^xi. Les normales menées à ces plans tangents par le point 0 sont les normales à Tellipse ptij.

Soit OAt un rayon quelconque de la section circulaire ; menons la génératrice k{m du cylindre , puis, au point m, la tangente à Tellipse

i. On aurait pu déduire cette équation de celle qui donne tg MOI (page 113) en changeai.! dans celle-ci a, b, c en -, ri -' conformément à la remarque faite plus haut.

de la section droite, et enfin la normale Oci à cette taogente. La droite Oat étant normale au plan tangent Aima^, et OAi étant normale à la tangente au cercle en A^ cette tangente est perpendiculaire au plan OÂiOi, qui se trouve ainsi perpendiculaire sur le plan de la section circulaire et renferme 01. Le pian 0^la^ est donc bien le plan de vibra-

tien, et l'on obtient la direction la\ de cette vibration en menant Oa\ égal et perpendiculaire à Caj, puis menant \a\ qui se trouve ainsi parallèle à Oa^ puisque 01 est égal à OAi-

On voit que les vibrations transmises suivant la direction 01 sont toutes parallèles à un même plan normal à OP menée parallèle à ax^. On obtient facilement OP en menant en 1 (fig. 34) la tangente à Tellipse qui avec le cercle de rayon b représente Tintersection de la surface de Tonde par le plan ZX, puis menant OP normal à cette tangente.

140 DEUXIÈME PARTIE - CltlSTALLOGRAPlilE PHYSIQUE.

Pour trouver la direction de la vitesse de propagation de chacune d^ ces vibrations, nous remarquons que Oa\ est la vitesse correspandant à la vibration la\ ; que le triangle ?0a\ est semblable au triangle Aima,, et que par conséquent ?a\ est parallèle à mai; on en déduit que Fa', est perpendiculaire sur \a\. Le point a\ se trouve donc dans un plan normal à OP sur une circonférence de cercle décrit avec IP comme diamètre. Cette circonférence est la section circulaire du cône du 2* degré formé par les directions des vitesses de propagation telles que Oa'i correspondant à toutes les vibrations transmises suivant 01.

Si, dans |e plan zx, on mène la tangente commune MN au cercle d à l'ellipse qui forment sur ce plan la trace de la surface de Tonde, le plan mené suivant MN perpendiculairement au plan zx est tangent eu N a la surface de Tonde, et perpendiculaire en M au rayon OM. Le rayon OM représente donc en grandeur et en direction la vitesse de propagation de la vibration dirigée suivant MN ; c'est donc un rayon vecteur de la surface des vitesses normales, et puisque ce rayon est égal i bf il est perpendiculaire à Tune des sections circulaires de Tellipsoide

inverse E, section dont le rayon est ?. C'est la direction de ce que Ton

a appelé Taxe optique.

Mais le plan MN est non seuleoient tangent à la surface de Tonde aas points M et N; il touche encore la surface suivant une certaine courbe. Il est clair en effet que si nous considérons la section circulaire de l'ellipsoïde E dont tous les rayons sont des axes, chacun de ces rayons corresponde une vibration recliligne,et ces vibrations, comprises dan^j le plan de la section circulaire, se propagent avec une vitesse normale qui est la même pour toutes, et qui est représentée en grandeur et en direction par OM. Toutes ces vibrations seront représentées par deN droites menées par M perpendiculairement à OM, et allant toucher la surface de Tonde en un autre point. Le lieu de tous ces points est la courbe de contact de la surface de Tonde et du plan normal à OU mené en M.

Il est aisé de trouver la nature de cette courbe. Supposons en effe'. que, dans la lig. 7)5^ a,3y représente la section circulaire de E; nous verrons, comme précédemment, que, pour avoir la direction du rayon correspondant à une vibration quelconque OAt dirigée dans le plan de la section, il laut prendre sur la normale à cette section une longueur

0>I^- — -; puis mener dans le plan M()A| une droite perpendiculaire

sur OA4, et prendre sur celte droite une longueur Or^jy-. La droite Or

est la direction du rayon, et le point r Tundes points de tangcnce, avec la surface de Tonde, du plan mené en M perpendiculairement à OM.

Or Mr, étant perpendiculaire à OM, est parallèle à OA^. Le plan MNr étant parallèle au plan ocÇty^ et le plan BON étant parallèle au plan mÂ|ap la droite Nr est parallèle à la tangente au cercle menée en Aj. Les droites Mr et Nr sont donc perpendiculaires Tune sur l'autre et le point r se trouve sur un cercle dont MN est le diamètre.

Kemarques d*Haiiillton. Bxpérlenees de Lloyd. — Lorsqu*un rayon lumineux tombe sur la surface de séparation d'un milieu cristallisé sous une incidence telle que Tonde plane résultante se propage dans ce milieu suivant un axe optique, cette onde plane est unique. Elle transmet des vibrations orientées d'une manière quelconque dans son plan, et par conséquent propage de la lumière non polarisée.

Supposons que le milieu cristallisé soit une lame à faces parallèles. Si IS (fîg. 36) est le rayon incident, à Tonde plane se propageant dans le cristal correspondra un nombre infini de rayons réfractés foimant

Fife'. 5-5.

les génératrices d'un cône du second degré min. Après l'émergence, chacun de ces rayons donnera un rayon émergent parallèle à IS, et il est évident que tous ces rayons formeront un cylindre creux du second degré.

On peut tirer de là une vérification très curieuse de la théorie de la double réfraction. Supposons que la lame cristalline soit taillée de telle sorte que les deux faces parallèles soient perpendiculaires au plan des axes a et c d'élasticité optique. On recouvre la surface de la lame d'un écran EF (ûg. 57) percé en I d'une très petite ouverture, et Ton fait tomber Sii I un faisceau très mince limité par un écrun CD placé à une

142 DElXIÊirE PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

certaine distance du cristal. En faisant glisser dans son plan la lame et son écran, on fait Tarier à volonté l'angle d*incidence du faisceau SI. On mesure cet angle en recevant sur un écran IK, Timage L da point 1 et mesurant l'angle SIL qui est le double de Tangle d'incidence.

Les rayons émergeant de la lame sont reçus sur nn écran GH para^ léle à la surface de la lame. En général, on voit se dessiner sur cet écran deux points lumineux. Mais en faisant varier lentement Tangle d'incidence, on voit, pour une valeur particulière de cet angle, ks deux points se réunir et former une ellipse brillante continue.

On voit pour quelle raison les axes optiques sont appelés quelqu^ois axes de réfraction conique intérieure.

Si le plan de Tonde transmise par le milieu cristallisé est tangent à la surface de Tonde en un point 1, le rayon transmis dans le milieu est unique et coïncide avec Taxe de réfraction extérieure. Mais il y a une infînité de plans qui sont tangents à la surface de Tonde au point 1, il y a donc une infinité d'ondes planes transmises, bien qu'il n'y ait qu'un seul rayon. A chacune de ces ondes planes correspond un rayon incident. Il y a donc un nombre infini de rayons incidents correspondant tous à un seul et même rayon réfracté dirigé suivant une ligne 01. Tous ces rayons forment les génératrices d'un cône du deuxième degré. On verrait de môme qu'un rayon unique dirigé suivant 01 donne à l'émergence un cône de rayons lumineux.

De là une expérience remarquable. La lame qui a servi dans l'expérience précédente reçoit en un point A (fig. 5^i un cône de rayons rendus divergents par une lentille convenable. Les rayons ressorlent de la lame en traversant une très petite ouverture pratiquée en B dans un écran CD fixé sur la face d'émergence.

En faisant glisser In lame parallèlement à elle-même, on trouve une position pour Fig, 59, laquelle le rayon AB transmis dans Tinté-

rieur du cristal est dirigé suivant un axe de réfraction conique extérieure, et alors le rayon émergent s'épanouit en formant un faisceau creux qui dessine un anneau lumineux sur un écran EF. Cet anneau augmente de diamètre lorsqu'on éloigne de la lame l'écran EF, et le diamètre est à chaque instant proportionnel à la distance qui sépare la lame de Técran.

Tous ces phénomènes indiqués, d'après la théorie, par Hamilton, ont

CHAP. IV. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. Ii5

été observés par Lloyd, et sont venus confirmer d*une façon éclatante la théorie de Fresnel.

Dans les cristaux à axe principal, les deux axes optiques, de même que les axes de réfraction conique extérieure, se réduisent à une seule direction qui est celle de l'axe principal. Un faisceau lumineux traversant le cristal suivant cette direction, ne se dédouble ni à l'entrée ni à la sortie, et peut transmettre de la lumière polarisée dans toutes les directions.

Détcrmliiatlon des directions des deux rayons réfraeiés correspondant A un rayon incident. — Une onde plane se dédouble généralement, lorsqu'elle pénètre dans un milieu cristallisé, en deux ondes dont chacune correspond à u;i rayon réfracté. Pour trouver les directions de ces deux rayons réfractés provenant d'un rayon incident unique, il suffit, en répétant la construction employée précédemment pour trouver les deux ondes planes, de mener en P {fig, 27, page 125) la surface de Tonde; les deux ondes planes perpendiculaires au plan d'incidence et menées par le point M à une dislance de MP égale à -r-r,

viennent toucher la surface de Tonde en deux points ; les rayons vecteurs menés par ces deux points sonl les directions des rayons réfractés. Ils ne sont pas, en général, contenus dans le plan d'incidence. Cette particularité se présente cependant quand le plan d'incidence est Tun des plans de symétrie de la surface de Tonde.

On peut encore résoudre le problème en déduisant les deux directions des rayons lumineux réfractés de la connaissance des deux directions de propagation des ondes planes. On sait en effet que le rayon lumineux et la direction de propagation sont dans un même plan avec la direction de vibration, et la direction de vibration est connue lorsqu'on donne celle de la propagation. 11 ne reste plus qu'à connaître l'angle U que fait la direction de propagation avec celle du rayon, et dont nous allons chercher la valeur.

Formules de lllac*CuIlagh donnant l'angle V compris enti*e la direction de propagation normale et celle du rayon Inminenxé — Reprenons Téquation de la page 109,

îl(a« — r«) = — MXA,a, ou — y^'=^i3:75-A,a, . r, que Ton peut encore écrire i

Si nous formons les équations analogues en n' et p', si ensuite nous élevons au carré les membres de chacune des trois équations ainsi obtenues, et si enûn nous les ajoutons membre à membre, nous obtiendrons :

Or, si nous appelons r' et r" les deux valeurs de r correspondant à i, t\ Wj on trouve

en désignant par S . ,__ ,^.^ la somme des trois termes , , •

,, ^ ,,,., , , ^ ,^,^ *. Si Ton appelle 9' et 6" lesanglesque fait la dircction(M r M') avec les axes optiques, il est aisé de voir que l'on a :

r'i-a» = -?^[i+cos(e'-ô')J,

r^ - c*= ?l^'(i -cos(ô'-e')l,

r^ - 1« = a* — t« - ?î=i! [i -f cos (0' — 6')].

On connaît d*ailleurs la relation :

r^-'r^*=(a* — c«) sin 0' 5in 0*.

On peut donc écrire :

1 — ?.^cos«Il

^ 8 sin e' sin e"

a} frï

En appelant v Tanglc de Taxe optique avec Taxe des x; -j^—^=co$*f

et la parenthèse du numérateur devient :

cos* V — cos* — jj— = 1 [cos 2» — ces (Ô' — 6")] ; » V. Lamé. — Théorie mathématique de VêlasticHé^ pages 257 et 23K.

CIIAP. IV. THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION, d'où Ton déduit :

^ __ (a* — c*)* sin< (Q^— Q*) (cos (0^—0'^) — cos 2gj ~ 16 sin 0' sin H"

i^tg«U'=

Or» si nous représentons sur la surface d'une sphère (fig. 39) les traces P, Aj, A,, de la direction DP (u, v, u;), et des y

directions des axes optiques GA^ et OA,, nous aurons dans le triangle sphérique PA|A,, en appelant vp Pangle A^ PA, :

cos rî=cos 0' cos ô* — 2 sin 6' sin 6* sin* ^ ^f

cos (6' — Ô*) — cos 2u = 2 sin 6' sin 6* sin* = à* Pi^^ 5^^

Portant dans la valeur de /^Ig*!]', il vient :

Ar^ tg* U' = (a« — c«)« sin« (6'— 0*) sin' | ^j;,

ou :

[J'=-^" Lcîn /A'

On trouverait de môme :

tg U' =:î: "-^ siû (0' - e-) sin ^ 6-

tg 0' = ± ?^%in (6' H- 0') cos J 0^.

Ces deux équations remarquables ont été établies par Mac Cullagh^ Elles déterminent complètement les deux rayons réfractés lorsqu'on connaît les deux vitesses de propagation, les plans de vibration, et le sens dans lequel il faut compter l'angle U à partir de la direction de la vitesse. Pour préciser cette dernière donnée, il suffit de remarquer que si l'on considère l'ellipse suivant laquelle l'ellipsoïde principal est coupé par le plan de vibration* l'angle aigu du rayon vecteur avec la tangente est dirigé du cAté du petit axe de l'ellipse. Le pied de la per* pendiculaire abaissée du centre sur la tangente est donc placé du côté du petit axe ; Tangle U doit ainsi être compté à partir de la direction de la vitesse de propagation et en se dirigeant sur le grand axe de l'ellipse.

ForoMiles apiNroebéeé. — Lorsqu'on fait usage du genre d'approximation déjà employé et qui consiste à négliger le carré de la différence de

CmtSTALLOOIIAPUIE, T. H. |0

chaque valeur de X répondent des valeurs particulières de sin 2ot sin 2;5, puisque les sections principales de la lame ne sont pas les ménies, et général du moins, pour les différentes valeurs de X. Mais dans les cristaux où la dispersion est faible relativement à la double réfraction, d où, par conséquent, l'ellipsoïde d'élasticité optique varie peu pour ks différents rayons colorés, le produit sin 2a sin 2^ a sensiblement U même valeur pour tous les termes de la somme, et Ton peut écrire :

le, = cos* (a + p) -♦- sin 2x sin 2^2 K sin» x ^"Y^V

On voit, sous cette forme que, pour des valeurs données de a et de ^, rintensité se compose de deux parties ; Tune, indépendante de la longueur d'onde, leprésente une certaine quantité de lumière blanche pn>portionnelle à la valeur de cos* (a -4- (3) ; quanta l'autre partie, elk représente la somme des intensités de diverses lumières colorées qui viennent compléter le faisceau. La proportion de chacun des rayons

o —g , colorés est marquée pour chacun d'eux par i^ sm *7r j^ ; la somim

li sin^îT — — donne donc, au moyen de la règle empirique de

iNewton, la teinte du faisceau. Le coefficient sin 2a sin 2^ indique rintensité de cette partie colorée du faisceau, que la quantité de lumière blanche proportionnelle à cos* (a -h (3), vient ensuite laver plus o»; moins de blanc.

Il résulte de là que la teinte du faisceau émergent ne dépend que d^ la quantité

A = ZL sin' t: — : — •

Les positions respectives des sections principales du polariseur, de la lame et de l'analyseur, font varier seulement l'intensité du faisceau et la proportion de lumière blanche dont il est plus ou moiiB

lavé.

Pour le faisceau extraordinaire, on aura de même :

I, = sin* (a + P) — A sin 2a sin 2p,

ou encore :

I, == sin« (a — p) + sin 2a sin 2g Zi^ cos*- %-^ -

Si le cristal est négatif, on aura :

X=î^^(sin«ôtgRdbsin2 0);

on prendra le signe — si R + m est plus petit que 90"^ (fig. 40), le signe -+- dans le cas contraire.

On voit que le rayon extraordinaire est tantôt plus, tantôt moins éloigné de la normale que le rayon ordinaire. La direction du rayon n*est pas soumise à des lois aussi simples que celle de la vitesse de propagation.