cos2a sin 2i| sin 2^ sin«z £*--£î

H- sin 2a cos* tj sin 2^ sin* w ^ — ÎL—^l — î«

-h sin 2a sin* i, sin 2? sin*7:-'~^'""^^*""^«^

Si les sections principales des deux lames sont parallèles, i^ = 0, et la formule devient

lo =;cos*<a -h sin 2a sin 2p sin* x ?î-=12L±£*Z1£*.

Elle montre que l'ordre de superposition des lames n*influe pas sur la teinte résultante. Elle est d'ailleurs identique à celle que donnerait une larae unique communiquant au rayon le retard o^ — ej+o, — e,; on en <:onclut que l'ensemble des deux lames se comporte comme une lame unique. Cette lame unique fictive a une épaisseur supérieure à la première si 0, — e, est de même signe que o^ — e^; elle a une épaisseur inférieure dans le cas contraire.

Cas où l'piM des deox lavics est «n mica qoart d*oiide. — Un

autre cas particulier intéressant est celui où l'une des deux lames, la

première par exemple, a une épaisseur telle que -^-r — ^= -, alors

,i„. x"'-'' + <"'-''») = ^n« (^+z 2l^^.)= ' {i si„ 21: 2i:p)

Si Ion suppose en outre a = 45^ ce qui donne l3^-i,=45^ on trouve toutes réductions faites :

L*intensité est indépendante de la position relative du polariseur et de la lame cristalline ; elle varie au contraire avec la position de l'analyseur par rapport à cette lame.

Lames sensibles. — On peut se servir de la superposition de deux lames cristallines pour déceler, dans Tune des lames, les propriétés biréfringentes les plus faibles. On prend alors pour l'autre lame l'épaisseur qui donne la teinte sensible. Suivant que les sections principales des deux lames sont parallèles ou perpendiculaires, le retard de la i'* lame soumise à l'essai s'ajoute ou se retranche au retard donné par la lame sensible. Dans l'un et l'autre cas, la modification ainsi apportée à la teinte sensible par la lame faiblement biréfringente est assez notable pour ne pas échapper à l'œil. L'expérience se fait aisément en fixant la lame sensible au-dessus du nicol polariseur, de .manière que sa

section principale soit à 45* de celle du nicol. La lame que Ton veut soumettre à Tessai est placée sur le support ordinaire du microscope.

On peut se servir d*une lame sensible pour déterminer exactement dans une lame cristalline les directions des sections principales. Supposons la lame sensible placée de manière que ses sections principales soient à 45<» des sections principales, croisées à angle droit, du polariseur et de Tanalyseur. On place la lame cristalline sur le porte-objet ; la leinte est modifiée, et cette modification ne cessera que lorsqu'en faisant tourner la lame on amène une de ses sections principales à être parallèle u Tune des sections principales d*un des niçois. Le moindre déplacemen| du cristal de part et d*autre de cette position particulière suffira pour produire des modifications perceptibles dans la teinte, et les directions des sections principales se trouveront ainsi mieux accusées que lorsqu'on se contente de les déterminer par le rétablissement de Tobscurité entre les deux niçois croisés.

Oii peut d*ailleurs rendre lobservation encore plus exacte, en disposant la lame sensible de la manière suivante. On la taille sous la forme d'un triangle rectangle isocèle dont l'hypoténuse. est perpendiculaire à la section principale ; on la partage alors en deux suivant la hauteur (fig. 49), et on juxtapose les deux triangles rectangles ainsi tenus suivant l'hypoténuse, de manière que les sections principales des

Fig. 49.

Fig. 10.

deux moitiés de la lame carrée obtenue soient à angle droit (fig. 50). On colle les lames, dans cette position sur une plaque de verre avec du baume de Canada. Lorsque la lame ainsi disposée est placée au-dessus du polariseur, dans une position telle que la section principale d'une des lames soit à 45^ de celle du polariseur, les deux moitiés de la bilame sont teintes de la même couleur, et le plus petit mouvement de la bilame suffit pour teindre les deux moitiés de deux couleurs complémentaires d'autant plus facilement observables qu'elles' se font contraste l'une à l'autre. La lame cristalline étant placée sur le porte-objet, do

CIIAP. V. — bUMlÈRK PAUALLÈLE. 177

(elle sorte que sa projeclion soit à cheval sur les deux portions de la lame sensible, on voit immédiatement les deux parties / et /' de la lame cristallisée (fig. 51) se teindre de couleurs différentes et complémentaires qui ne deviennent identiques que lorsqu'en tournant la lame dans son plan, on en a amené la section principale à être rigoureusement parallèle ou perpendiculaire à celle du polariseur ou de l'analyseur. La précision de l'observation es! augmentée par *^* le contraste que se font perpétuellement les deux parties / et /'.

Le petit appareil que nous venons de décrire porte le nom de polariscope de Bravais.

Avec le polariscope de Bravais, ou, plus généralement, en superposant une lame cristalline connue à une autre lame dont la double riV fraction est inconnue, on peut déterminer quelles sont, des deux sections principales de cette dernière, celle qui correspond au plus grand ou au plus petit n. C'est ce que Ton appelle déterminer le signe de la lame.

Supposons, par exemple, que la lame connue soit une lame de quartz taillée parallèlement à Taxe et d'épaisseur e . Le quartz étant positif, la direction de l'axe est celle qui correspond au plus grand n, n^. On obsei*ve la teinte de la lame de quartz; on suppose une lame cristalline, d'épaisseur c, placée de telle sorte que la section principale correspondant à l'indice n soit parallèle à l'axe du quartz. L'épaisseur optique de Ttnsemble des deux lames est

Si n^ — w^est positif, la teinte monte; si n^ — w, est négatif, la teinte descend.

Admettons que la lame de quartz donne le second violet corresi)ondant à une épaisseur de laine d'air égale à 1128 millionièmes de millimètre. L'addition de la lame cristalline donne l'orangé 948; on en conclura que n^ dirigé suivant l'axe du quarz est plus petit que n , et que

£ K~ Wr) = 1 128 — 918 ^ 180,

en millionièmes de millimètre. Comme vérification, il faut qu'en tournant la lame cristalline de 90*^, on obtienne la teinte correspondant à l'épaisseur 1128-1-180 = 1500, c'est-à-dire une teinte intermédiaire entre le vert et le bleu.

CRISTAUX GRIPBIE, T. 11. 1*2

Au lieu d^observer la modification produite par la larae cristalline dans la teinte du quartz, on peut observer celle que la lame de quarU introduit dans la teinte de la lame cristalline. Il faut d'ailleurs, pour qu*il n y ait pas d'ambiguïté, que la lame qui modifie la teinte observée en premier lieu soit de faible épaisseur. S'il eu était autrement, la teinte pourrait passer d'un ordre à un autre, et l'on pourrait éprouver beaucoup d'embarras ù savoir si elle a monté ou est descendue. Il pourrait même arriver que la teinte monte réellement, bien que les deux retards soient de signe contraire. Si la lame cristalline est de faible épaisseur, on prendra donc une lame de quartz donnant la teinte sensible. Si. la lame cristalline est épaisse, on emploiera une lame de quartz ou une lame de mica mince» correspondant, par exemple, à un retard d'un quart d'onde.

On peut, pour rendre l'opération plus délicate, prendre, au lieu d'une lame plane de quartz, une lame taillée en biseau, Taréte du biseau étant parallèle à l'axe, par exemple. On glisse lentement la lame au-dessus ou au-dsssous de la lame cristalline, en ayant soin, bien entendu, que l'arête du biseau soit parallèle à l'une des sections principales de la lame. En voyant défiler la série des teintes, depuis celle qui est très voisine de celle que la lame présente lorsqu'elle est seule, on ne peut avoir aucune incertitude sur le sens dans lequel marche la teinte résultante.

Compensateur Babinet. — Le compensateur Babinet, fondé toujoui's sur le mcrae principe que les appareils précédents, est disposé pour servir à des mesures exactes de w — n , 11 est formé de deux lames de quartz parallèles à l'axe et taillées en biseau très aigu. L'angle du biseau est le môme pour les deux lames, de sorte qu'en les superposant, on obtient une lame à faces parallèles partagée en deux par un plan incliné (35' (lig. 52). Dans l'un des biseaux l'aréle est parallèle à l'axe; dans l'autre elle lui est perpendiculaire.

Si nous considérons le plan médian mm! de la lame, mené à égale dislance des arêtes des deux biseaux, un rayon traversant normalement la lame dans ce plan, tra\ei*se sur une égale longueur les deux prismes triangulaires,et ce rayon se trouve dans les mêmes conditions que s'il traversait deux lames parallèles de la même substance, ayant même èp.iissouret dont les sections principales S(»nt croisées à angle droit. La polarisation du ra\oii

CIIAP. V. -^ LU>IIKRK PAILXLLÈLI::. i79

11 est pas modifiée, et si la lame est. placée entre deux niçois croisés éteignant la lumière, on aura suivant le plan mm! une raie noire. Mais de part et d'autre de mm\ il est clair que les choses se passeront comme si les épaisseurs de la lame allaient en augmentant graduellement, -et l'on aura, dans la lumière homogène, une série de franges alternatitrement blanches et noires ; dans la lumière blanche, une série de Iranges colorées parallèles à l'arête du biseau.

L'un des prismes aj3 étant fixé invariablement, on peut faire glisser l'autre sur celui-ci d'une manière continue au moyen d'une vis micrométrique dont la tête graduée permet de mesurer de très petits déplacements. On commence par placer le compensateur entre deux niçois parallèles et de manière que la section principale en soit parallèle à celle des niçois. Si l'appareil est au zéro, c'est-à-dire s'il est dans la position de la figure, on voit, dans la lumière homogène, une frange noire coïncider avec le plan médian mm' de Tappareil ; le fil d'un réticule indique la position de cette frange. On déplace ensuite le prisme mobile a' (3' d'une quantité telle que la frange noire suivante, qui correspond à un retard égal à X, vienne se placer sur le fil, et soit d le chemin qu'il aura fallu faire parcourir au prisme pour obtenir ce résultat ; on en conclut que lorsqu'on déplacera le prisme de /, le relard

que le compensateur communiquera aux rayons sera égal à /-.

L'appareil ainsi gradué devient un mesureur de retards. Supposons

en effet que, le compensateur étant au zéro, on place au-dessous du

compensateur une lame cristalline communiquant aux rayons un retard

égal à (î. Peur ramener la frange noire au centre, et compenser ainsi le

retard ^, il faudra donner au prisme un déplacement /, et l'on aura

§ 5. I.UMIÈUE OBLIQUE.

Formnle générale donnant le retard de deux rayon» émergent» iMSDs d'an même rajon incident. — Nous considérons une lame cristalline à faces parallèles traversée par un faisceau oblique de lumière, que nous supposerons d'abord homogène.

Fronde platie incidente qui se propageait dai s Tair suivant la direclion Al (fig. r>3) du faisceau incident, donne naissance dans la lame à deux

\m DEUXIÈME PAIITIE. - CR1STALL0GII\P1JIE rUYSlQlîE.

ondes planes vibrant à angle droit, Tune dirigée suivant Ar', l'autre suivant Ar"; Xr\ hr", Al et la normale AN sont dans le inrrneplan qui est le plan d*incidence. A la sortie de la lame, les deux ondes planes suivront les deux directions r'R' et r*l\* parallèles entre elles et à la direction incidente AI; si la lame est peu épaisse, r'R' et r"W se confondront sensiblement. Cherchons quel est le retard relatif des deux ondes cheminant, Tune suivant r'R', l'autre suivant KR".

Prolongeons, jusqu'à la rencontre avec la face d'émergence efi P, la normale AN/Menons Pp' et Pp" perpendiculaires respectivement sur Ar' et Ar". D'après le mode de construction qui permet de trouver le rayon réfracté, connaissant le rayon incident, il est visible que Tonde r'w, normale à Wr\ si elle était considérée comme incidente, se partagerait dans le cristal en deux autres, Tune dirigée suivant Pp', et l'autre suivant Pp". Pp' et Pp" indiqueraient d'ailleurs la position simultanée des deux ondes à un certain instant. On en conclura que l'un des rayons met à aller de p' en r' le môme temps que le second à parcourir la ligne brisée p'V'm. Le retard relatif contracté par les cl^ux rayons est donc marqué par la différence des temps qu'ils ont mis à parcourir, l'un, la distance Ap', et l'autre, la distance Ap".

Si Ton appelle encore o l'épaisseur d'une lame d'air traversée par un rayon de longueur d'onde A dans le même temps que le rayon Ar' (que nous appellerons l'ordinaire) met à faire le cli«min Ap'; et e l'épaisseur d'une lame d'air traversée par un rayon dans le môme temps que le rayon extraordinaire Ar" met à parcourir Ap", nous aurons

Ap' eus H' A?" cosll*

u' et m" étant les vitesses des deux rayons, \V et W* les angles des vitesses normales de chacun de ces rayons avec la normale à la lame, et £ l'épaisseur de la lame.

On aura donc

On a d'ailleurs

^ill K'=: i;' sin l hiii R' =ii' siu I

CBAP. \. - LUMIÈRE PARALLÈLE.

I éfant l'angle d*incidence, et par conséquent :

0 — r = £sinI(colg R' — colgR'') = esinI !" L "T ^j» ^ ^ ' sin R' sin R"

Fig. &5.

Si nous employons le système d'approximation fondé sur la faible biréfringence des cristaux, nous pourrons assimiler sin (R' — R") à Tare, et une formule de la p^ge 126» dans laquelle nous ferons /=i, nous donnera

^'-^' = {^-i')Z-l=ia-c)sin 6' sin 0'. i^,

R étant Fangle que ferait avec la normale le rayon réfracté si le milieu cristallin était isotrope et propageait la lumière avec la vitesse b. D'ailleurs on aura sensiblement

sin' I 1

sin R' sin R" b*'

et il vient, en définitive.

ou encore

" — ^ = î:* ^(a — c) sin 6' sin 0',

fr* cos R ^ '

0 — e= — ' ("c — w,,) siii ô' sin 0'-

CCS n

Formules générales qal donnent le» Intensité» de» rayons émrr* géant de l^analjseur lorsque la lame erlwtalllne est obllqae à

la direction des rayons. — Supposons une lame cristalline plaçât* obliquement entre le polariseur et l'analyseur. Soit 01 (fig. 54) la direction du rayon incident, ON la normale à la surface de la lame, OA et OÂ' les directions des axes optiques du cristal.

Supposons donné Tangle AA' des axes optiques, et les valeurs angulaires qui déterminent la position de ON par rapport à OA et à OA'.

On déduit aisément de ces données :

1*» L'angle que fait avec 01 la direction OR de la vitesse du rayon réfracté moyen. (Nous entendons par cette expression le rayon réfracté qui se produirait si la lame était monoréfringente, et si la vitesse de la lumière y était égale à b.)

2<» Les angles 9', Q" que fait OR avec les axes OA et OA'. Si l'on mène un grand cercle arx perpendiculaire à OR ; si Ton projette sur ce grand cercle, aux points a et a' les pôles A et A' de deux axes optiques; si enfin l'on prend le milieu r de l'arc (xa\ Or est, d'après un théorème connu (page I lO), la direction de la vibration d'un des deux rayons réfractés dont les ondes planes se transmettaient normalement à OR. H sera facile de déduire des données la valeur de l'angle que fait ORr avec le plan d'incidence.

Le rayon incident étant supposé polarisé rectilignement, et sa vibration étant dirigée suivant Oi, cette vibration incidente devra se décomposer en deux autres, l'une sensiblement dirigée suivant Or, et l'autre suivant une droite perpendiculaii'e à Or. Si l'on suppose que le rayon

incident et le rayon réfracté ne font pas un. angle trop considérable, l'angle de 0/ avec 0/* ne sera pas très différent de l'angle de Oi avec la projection Ofj de Or sur un plan perpendiculaire à 01. Pour suivre la marche du phénomène correspond à des incidences peu considérables, il suffira donc de prendre les formules relatives au cas de l'incidence normale et d'y remplacer les angles a et (3 par ceux que fait le plan Olr avec le plan de polarisation du

Fig. 5 t.

polariseur et la section principale de l'analyseur.

Il viendra ainsi

To — cos'co -h sin 2a sin 2 P sin* '^ -— •

On substituerait à o — e la valeur trouvée plus haut en fonction de R, b' et r.

On peut se proposer de trouver les teintes diverses qui correspondent aux diverses inclinaisons de lames diversement taillées. Ces teintes ne dépendent que de o — e, dont nous allons discuter la valeur, qui a pour expression

ces H

Nous allons considérer successivement le cas d'un cristal à un axe, et celui d'un cristal à deux axes.