PHÉNOMÈNES PRODUITS PAR LA SUPERPOSITION DE LAMES MINCES CRISTALLINES

l. — MODinCATIONS SUBIES PAR UNE VIBRATION ELLIPTIQUE TRAVERSANT UNE LANE GRISTALUNE TRÈS MINCE.

Dans un très g]*and nombre de recherches cristallographiques il est fort important de pouvoir calculer les phénomènes de double réfraction qui prennent naissance lorsqu'on superpose des lames cristallines extrêmement minces. Ces phénomènes sont, comme nous le verrons, réalisés très fréquemment dans la nature; ils peuvent Têlre artificiellement par la superposition de lamelles minces de mica blanc. Nous consacrerons ce chapitre à les étudier.

Les équations fondamentales, desquelles nous déduirons toute la théorie que nous avons en vue, seront obtenues en cherchant les madificalions que la traversée d'une lame cristalline extrêmement mince fait subir à une vibration elliptique.

Soient OX (fig. 94), OY, les directions des axes de cette ellipse incidente, dont les grandeurs sont respectivement p et q, Oo et Oe sont les directions des sections principales de la lame, dont l'épaisseur très petite est e. Nous appellerons d le retard, qu'après la traversée d'une lame de même matière et d'une épaisseur égale à l'unité, la vibration dirigée suivant Oo éprouverait par rapport à la yibration dirigée suivant (V. Nous appellerons, conune d'ordinaire, 0 ete les temps que les vibrations, dirigées respectivement suivant Oo et Oe, mettent à traverser la lame.

Après la traversée de la lame, les projections de la vibration, suivant

CHAP. yill. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 263

les sections principales Oo et Oe, sont :

t/'=|)sinYsin27c —^ h g cosy ces 2ic — ^i — ,

si Ton a préalablement changé Torigine des temps, et pris cette ori^ gine en retard de o sur Torigine première.

Lorsqu'on néglige les quantités du 2« ordre de grandeur en e,;/' peut s'écrire :

!/'=;> sin Y smSicç + / — -.;> smy H- gcosY jcosSri- Projetons les vibrations x' et y' sur les axes Xj et Yj de la nouvelle Y Y/

Fig. 94.

ellipse, dont Taxe X| fait avec X un angle très petit d(ùf nous aurons :

X, = x'cos (y — rfw) -+■ y* sin (y — <^w), y, =t/'cos(Y — rfw) — a:'sin(Y — do)),

qui reviennent, en supprimant toujours les termes du 2« ordre, à celles-ci :

X| = sm2x ^ ( p g- g sm2Y l + cos2tc| ( -r— P sm^^^qdtùj*

y^ = sin2i; U ~ -^g cos'y +/w/(i) W cos2i:;y f g + ^

Il est aisé de voir qu*on peut encore mettre ces équations sons la forme

xi=zlp r-gsmSY jsm( 2x| -f -r— sm^^—^dtaj

car on n*introduit ainsi que des termes du i^ ordre de grandeur.

Pour que ces deux équations représentent une ellipse vibratoire, il faut et il sufflt que Tanomalie soit la même, et qu*on ait

rtffl'=: - OU) r— sin*Y ^ - aw — - cosV-

On tire de là

d(a^ ^ = — eScosSY.

pq X *

Si nous posons, suivant un mode de transformation que nous avons déjà plusieurs fois employé,

p=zcosu, g=:sintt.

nous aurons,

1 Sx d(i) = 5 Ig 2m. -^ £8 cos 2y,

, , sin'tt 2x . 2x ^ . rf? = o o" • T- «8 cos 2y — — e3 sm*Y. ^ 2cos2u X X

Mais, si nous supposons que Torigine des temps est la même que celle de la vibration incidente, il faudra augmenter d<f' d une quantité

égale à — 0, et Ton aura, en remarquant que 6^ = 0 — e,

, sill*U 27C . a , ^'^ / -, . • \

Quant aux variations de grandeur des axes de Tellipse, elles sont dcostt = — -€8sin2Ysintt,

d*où Ton tire

d sin tt = 4- r- 68 sin 2y cosii.

dtt=-e5sin2Y.

CHAP. yni. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 265

Les quantités rfw, du, rfç, ne sont exactes qu'au premier ordre de

grandeur près. Lorsque u est très petit, et est lui-même du premier

ordre de grandeur, drù est du 2« ordre, et il devient nécessaire d'en

obtenir l'expression au 2« ordre près.

Nous allons donc nous proposer de trouver du, dtù, d(f, au second ordre de grandeur près , lorsqu'on suppose que u est du premier ordre.

Pour résoudre ce problème d'une manière simple, nous remarquerons que Tune quelconque de ces quantités, rfw par exemple, étant considérée comme fonction de m, peut être mise sous la forme

(fa)=A-i-Bu-i-Cu«-H....

Les expressions que nous avons obtenues représentent cette fonction au !•' ordre de grandeur près, lorsque u est fini; on a donc A,B,C avec cette approximation. Si nous voulons avoir dcù au â*" ordre près, u étant du !«' ordre, on peut négliger les termes contenant une puissance de u supérieure à la 2* ; il est inutile de connaître B ou C avec une approximation supérieure au 1*' ordre, car les termes du 2*^ ordre dans B, multipliés par u, donnent des termes du 3* ordre. Il ne nous reste donc plus qu'à connaître A au 2« ordre près. Pour trouver l'expression de A, nous pouvons faire m = 0, ce qui revient à supposer que la vibration est recliligne. Le problème est donc ramené à chercher, au 2« ordre de grandeur près, l'expression des paramètres de l'ellipse vibratoire émergeant d'une lame cristalline très mince sur laquelle tombe une vibralion rectiligne.

Ce problème a été résolu dans le chapitre précédent, et nous avons trouvé, dans ce cas :

d9 = o cos'y + c sin*Y,

dtt= - eîsinSY,

Les expressions trouvées plus haut pour du, dw, dy, dans l'hypothèse Qô tt fini, lorsqu'on y suppose u petit, et qu'on y néglige les termes du

3*^ ordre, ce qui permet de supprimer le terme — ^e^cosSyet

d'assimiler tgiu à 2u, deviennent

df=zo cos*Y + c sin*Y,

If du = - eS sin 2y,

f d(â) = -r^iie8cos2Y.

En comparant entre eux ces deux groupes d^expressions, nous trouverons enfin les valeurs suivantes de (f(p, du, d(ùj exactes au 2'' ordre près:

d<^z=:zo cos»Y + e sin«Y»

(ÏM = ^ 6$ sin 2y,

2z/ rfM\ . o

On peut mettre sous une autre forme Texpression de d(f. Si Ton appelle n rindice de réfraction correspondant à la vibration Oo, n' celui qui correspond à la vibration 0^, â est alors Texcès n — w' du premier indice sur le second, et Ton a :

(1) d9 = 6Îi±^'-f-56Scos2Y.

(2) rfM = ^65sin2Y,

(3) rfw = Y /^ti + -|) eS cos 2y.

Les équations (1), (2) et (5) résolvent complètement le problème que nous nous étions posé.