ÉLASTICITÉ
g I. — DÉFORMATION DES SOLIDES
Si on soumet un corps solide à des forces extérieures, celui-ci subit une déformation, et lorsque cette déformation est devenue permanente, il s*est établi un certain équilibre entre les forces extérieures et les forces intérieures moléculaires qui ont subi à cet eflet des modifications convenables sous Tinfluence de la déformation même. Si cette déformation est très petite, lorsque les forces extérieures sont supprimées, les forces intérieures reprennent leur première valeur et le corps reprend sa première forme. On dit alors que Télasticité du corps est mise en jeu.
La déformation d*un corps quelconque, et plus particulièrement d'un corps cristallisé sous Tinfluence de forces extérieures est de deux natures : 1® Il y a déformation du système réticulaire formé par les cen* très de gravité des molécules ; â*" il y a déformation ou rotation de la molécule autour de son centre de gravité. Ces deux déformations sont évidemment liées Tune à Tautre» de telle façon que si la première est
i. Je me suis principalement aidé, dans ia rédaction de ce chapitre, des beaux tra-» Taux de M. B» de Saint-Venant. [Métnoireê diverti insérés dans le Journal de mathémaiiqueê^ et Hoteê et appendice* <iontenus dans la nouvelle édition de Navier (1S04;.]
20 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQl^.
donnée, la seconde Test aussi. Hais tandis que la première déformation se traduit par des modifications observables dans la forme extérieure du corps, la seconde ne se traduit que par des modifications inobservables, d'une nature très complexe et très obscure, dans les propriétés physiques du corps. La relation qui lie ces deux déformations est d'ailleurs complètement inconnue.
Laissant de côté la déformation moléculaire, nous ne nous occuperons que de la déformation réticulaire au moyen de laquelle nous définirons la déformation complète du corps. La déformation réticulaire s'exprime par le déplacement qu'ont subi les nœuds. Ce déplacement est une fonction continue des coordonnées du nœud par rapport à des axes fixes. Cette fonction continue assigne des valeurs aux déplacements fictifs des points situés enti*e les nœuds, et l'on peut substituer au milieu discontinu un milieu fictif continu, dont le déplacement est exprimé par la fonction précédente.
Délliiitioii de la déformatioii réilcalalre. — Ellipsoïde de déformation. — Supposons donc un corps solide ayant subi une déformation quelconque. Un point qui était primitivement en 0 et que l'on prend
A aen « P^*^^ origine des coordonnées, est venu
— ^ ^'n occuper la position 0^ et les projec-
^ -'^' lions de son déplacement sont «, r, w.
Un point B très voisin de 0, et dont les coordonnées sont a/, y', 2' (a/, y', z' étant très petits), vient en B|; et les projections du déplacement BBi sont
u ->r àuy t; -f- dv^w -f- àw. Si l'on donne à tout le corps une translation égale, parallèle et contraire au déplacement de 0, le point B prend la position A (:r, y, z) et le déplacement de R par rapport à 0 supposé ï\\^^ a pour projections du, dv, Avo. 11 est évident que OA et OB se trouvent dans les relations convenables pour appliquer la théorie générale du chapitre précédent. Lorsque B décrit une sphère, A décrit donc un ellipsoïde, ou, en d'autres termes, si Ton considère la déformation d'un corps solide dans un très petit rayon autour d'un point 0 quelconque, les points qui se trouvaient avant la déformation sur une sphère décrite de 0 comme centre, se trouvent, après la déformation, sur un certain ellipsoïde. Il est clair d*ailleurs qu'on ne se trouve pas ici dans le cas de l'égalité symétrique, car, la déformation étant quelconque, on peut toMre le
aiAP. II. ^ ÉLASTICITÉ. 21
corps autour d'une certaine droite, ce qui donne aux deux directions de Taxe de la torsion des propriétés différentes.
On peut, dans Tespéce, établir immédiatement les relations linéaires qui lient les coordonnées Xy y, 2 de A aux coordonnées :r', y', t! de B. On a en effet :
En comparant ces équations avec les équations (3) du chapitre I (p. 7), on voit que :
On suppose maintenant très petites toutes les différentielles partielles de 11, V, w par rapport à x, y, 2, et on va chercher quel est, dans ce cas particulier, la signification physique de ces divers coeflicients.
Si Ton suppose que le point B (^, y', z') est pris sur Taxe des :r, c*est-à-dire si Ton fait 2^=0 et 2'== 0, les coordonnées du point A cor respondant, que Ton désignera pour éviter la confusion par x^y y^, Zg, seront
La dilatation de Tunilé de longueur suivant Taxe des x est, pour les points de Taxe des x,
*. x" ' dx
ou :
du
yx
du = dz'
dv = dz
On trouverait de môme :
et
Pour trouver la signification physique de ^ on remarque d'abord que :
Soit A^ (fîg. 4) la projection^ sur le plan des xy d*un point A cor^
respondant d'un point pris sur Taxe des X. L'angle aOA^ est^très petit, puisque la distance qui sépare deux points correspondants A et B est un infiniment petit du deuxième ordre.
La distance de A à 0 est ^/ ;
aura donc :
Fig. 4. angle aOA^= îft
ou, puisque x et a/ ne diffèrent que d'un infiniment petit du deuxième ordre,
angle aOA^=-^=: '&^,
Les angles seront positifs lorsqu'ils seront comptés des x positifs aux y positifs, négatifs dans le sens contraire.
Si l'on projette de même en A sur le plan des xy un point A correspondant à un point pris sur l'axe de y y on aura :
on
angle yOÂ^= ^ = ^ ^y.
Les angles seront encore positifs lorsqu'ils seront comptés des y positifs aux X positifs et négatifs dans le sens contraire. On a donc :
90o-A,OAy=aOA^-hî/OAy.
La différence
angle xOy — angle A^OA
est la diminution jsubie après la déformation par Tangle des axes coordonnés X et y. En appelant a, cette diminution, on aura :
Lorsque les axes seront rectangulaires, a^ pourra être considéré aussi
conune la diminution du dièdre rectangle formé par les deux plans coordonnés xz et yz.
On aura de même pour les variations du dièdre dont les arêtes sont parallèles aux x et aux y
*^ ^y^^ ^y dx^ dy
Les équations (4) et (6) du chapitre I (page 8] donnent immédiatement, en y introduisant les S et les a :
+ PÇ Pr. 5» [+ (\ Pi -^ ^ "ç) **•
L*équation (7) (page 9) devient :
C*est l'équation d'une surface du second degré dont les rayons vec-
teurs sont égaux à -j=. Cette surface est un ellipsoïde si les cî,, (î^, (î„
sont positifs. Dans ce cas, toutes les dilatations sont donc positives. Si Tune des dilatations $^, Sy^ $^ est d un signe contraire à celui des deux autres, la surface se compose de deux hyperboloïdes conjugués. L'un correspond aux dilatations négatives, l'autre aux dilatations positives. Le cône asymptotique commun à ces deux hyperboloïdes comprend
(i) Oç =
toutes les directions pour lesquelles la dilatation est nulle, et auxquelles ne correspondent que des déplacements tangentiels. Les 3 axes de ces hyperboloîdes conjugués sont les directions pour lesquelles les a sont nuls, c*estrà-dire que ce sont les droites auxquelles correspondent les axes de rellipsoîde de déformation.
La grandeur du petit volume dxdydz est devenue, après la déformation, dr (1 4- ^,) . dy (l-f-^^). d%{\'{-$^. ou, à cause de la petitesse
de i, dxdydz. (l-i-cJ^-^^^-^^^»)» ^^ somme ^,-h^,-h^, = B est donc la dilatation de l'unité de volume. Cette somme est constante, quels que soient les axes coordonnés choisis, comme cela doit nécessairement être
et comme il est facile de le déduire de la constance de /u^^vb^ -h^<^, (page 8).
En employant le même genre de notations symboliques qu*à la page 9, on peut poser :
axy='^xy=^dj. dy^
et les deux formules (1) et (2) sont représentées par la formule symbolique unique :
dans laquelle il est loisible d*intervertir Tordre des facteurs, puisque <^^=dy^, et dans laquelle ^ et y] représentent deux coordonnées quelconques qui peuvent être identiques.
En posant symboliquement :
on peut donc écrire :
(Conditions ponr que six quantités puissent représenter les i et les a earuetéristiques d'une certaine déformation. — Les six quantités i et ay fonctions de x, y, 2, dépendant des différentielles partielles de trois quantités u, Vy w, ne sont pas complètement arbitraires. Il doit donc y avoir entre les différentielles de ces six fonctions des relations exprimant qu'elles sont susceptibles de représenter la défor-
CHAP. 11. - ÉLASTIOTÉ. 25
mation d'un corps. Il est très aisé de trouver ces relations en éliminant, par la diffèrentiation, u, v, w entre les six équations qui donnent les valeurs des 9 et des a en fonction des différentielles partielles^ de ti» v, w.
Si on porte dans Texpression de a. les valeurs de u et t; déduites de celles de ^ et ^ , on a :
du dv d n^ . d f*^ .
En différentiant deux fois par rapport k dx et dy^ on a la première des trois équations ci-dessous, dont les deux autres s obtiennent d'une manière analogue : /
rf*g» d*ix <ft5y
dxdy'^'dy*"^'!^* ^dydz d^z dx**
dydz dz* dy*
doc, dcc^ doc^ Si l'on prend les différentielles -r-S -t^> -r-^> on a : '^ dz dy dx
da, rf*M d*v
— ZjTZaT. "T"
dz dz dy dz dx
da» dhi dhv
