PROPAGATION DE LA GBALEUR

•éflaitloB de la tempémtave d*BB poUit da eorps. — Nous

nous proposons d*étudier la propagation de la chaleur dans un corps solide cristallisé, lorsque Tétai thermique de ce corps est devenu permanent. Cet état est défini par la température en chaque point. 11 est d*abord nécessaire de préciser la signification de cette donnée physique.

On dit qu*un corps est à une température uniforme 9, quand une portion quelconque de ce corps supposée séparée de la masse totale est incapable d'échanger de la chaleur, soit avec une autre portion du corps, soit avec un autre corps quelconque à la température 6. Dans #et état, chaque molécule du corps ne recevant ni n*émettant aucune quantité de chaleur (ou, ce qui est la même chose, en recevant autant qu'elle en renvoie dans le même temps), est elle-même dans un certain équilibre thermique qu'il serait sans doute impossible de définir avec précision, mais que Ton désigne en disant que la molécule est à la température 0*

Dans im corps inégalement chaud en ses divers points, mais arrivé à un état thermique permanent, chaque molécule ne reçoit de celles qui l'entourent aucune quantité de chaleur ; elle est encore dans un état d'équilibre thermique ; mais cet état n'est pas nécessairement identique avec celui qui se produit lorsque le corps est également

G1ISTAIX06RAPHII, T. II. 6

chaud dans toute la masse» car la molécule n*est pas» comme elle Test dans ce cas, entourée de molécules également chaudes. Il faut remarquer cependant que les variations de chaleur qui se produisent en passant d*une partie du corps à une partie très voisine sont ti*ès faibles; que, d*autre part, le rayon de la sphère décrite du centre de gravité de la molécule comme centre, et au delà de laquelle rechange de chaleur avec la molécule est insensible, est très petit et que la sphère ne comprend ainsi que des molécules dont Tétat thermique diffère eitrèmement peli. L*état d'équilibre thermique d'une molécule peut donc être regardé conune étant de la même nature que celui qui se produit lorsque le corps est à une certaine température uniforme 0 ; on dit que la molécule possède cette température 0.

Supposons deux molécules très voisines Tune de l'autre, et que l'on désignera par les numéros 1 et 2 ; l'une est à la température O^ l'autre à la température 6,. L'échange de chaleur entre ces deux molécules serait nul si 6^ était égal à 6,. L'échange sera don^ causé par la différence 6| — 0„ différence infiniment petite, si les deux molécules sont infiniment voisines. En vertu de la proportionnalité de l'effet à la cause, lorsque celle-ci est très petite, la chaleur envoyée par 1 à 2 sera donc proportionnelle à 6| — 9,, et pourra être représentée par A (6| — 9,), A étant un coefQcient convenablement choisi.

Au point de vue du transport de la chaleur d'une molécule à une autre dans l'intérieur du corps, on peut donc supposer les molécules réduites à des points fictifs qui seront par exemple les centres de gravité de chacune d'elles. Chacun de ces points sera supposé doué d'une certaine température, qui sera celle de la molécule; dans un cristal, chaque nœud du réseau a ainsi sa température propre. On peut représenter les températures de tous ces nœuds par une certaine fonction continue des coordonnées des nœuds. Cette fonction donne des valeurs, non-seulement pour les coordonnées de ces points particuliers, mais encore pour celles d'un point quelconque de l'espace ; les valeurs de cette fonction définissent ce que l'on appelle la température en chaque point du corps.

Flux calorlflqne en un point du eorps. — • Condnetibillié emr

loriflqne. — Cela posé, nous supposons le corps divisé par un plan P en deux parties dont l'une, plus chaude. H, envoie de la chaleur à l'autre plus froide N. Une portion très petite m de M envoie de la chaleur à une portion très petite n de N, et l'on peut dire que cette chaleur

CHAP. III. — PHÉNOMÈNES THErWqUES. 83

passe par le point 0» intersection de F et de mn. La distance mn est nécessairement très petite^ car dès que la distance devient sensible, la propagation moléculaire de la chaleur devient insensible. Nous cherchons la somme des quantités de chaleur qui sont ainsi envoyées de N à N, suivant des directions rencontrant P dans Tintérieur d'une petite surface a>. C'est ce que nous appellerons le flux calorifique suivant o).

La température 0 du point 0 est une fonction des coordonnées x^ y, z du point;

T^TT* T ^"' ^^^ dérivées partielles de 6 ' pig. i6.

prises par rappoil kx^y^z et évaluées au point 0.

La quantité de chaleur envoyée par mk n^ pendant le temps dU est, toutes choses égales, proportionnelle à la différence dQ entre la température de m et de 7?, ou à

di [-. dx-\- --dy'\'-. dz]=zdrAu^ -^v ^ '\'W^]dt, \dx dy dz / \ dx dy dz/

dr étant la distance mn^ dont u, v, w sont les cosinus des angles avec les axes. La quantité de chaleur traversant a> et envoyée suivant la direction (tt, V, w) étant évidemment proportionnelle à gj, pourra être représentée par une expression de la forme

(i)M(tt --- 4-i;----f.w— . dt, \ dx dy dzj

Si nous portons sur la direction (u, v, w) une longueur égale à 6)MS et. si nous la considérons comme une force, l'expression ci-dessus représente le travail 4e cette force fictive correspondant à un déplacement également fictif, dont les projections sur les axes sont

dl, ^dt, --dt.

dx dy dz

Pour avoir la somme de toutes ces quantités de chaleur, il faut faire la somme de tous ces travaux ; on l'obtiendra aisément en cherchant

* M peut êtn appelé la conductibililé élémentaire suiyant la direction mn.

la résultante de toutes les forces («)M, et le travail de cette résultante correspondant au déplacement fictif qui est commun à toutes les forces composantes. Si Ok=^(ùp représente cette résultante, en grandeur et en direction» et si (m> n, p) sont les cosinus des angles que fkit cette direction avec les axes» le flux calorifique suivant u sera :

ou, comme on a :

de . de^ de de.

dx dy dz dr

de

en représentant par ^-- le rapport, suivant OA, de la variation de tem*

dr

pérature à la variation île longueur dr^ le flux calorifique dQ sera enfin

dQ=iùp ^dt.

' La longueur OA divisée par o, c'est-à-dire la quantité p est ce qu'on appelle la conductibilité calorifique correspondant au plan P ou à la normale à ce plan ^

Si Ton prend sur une perpendiculaire au plan P élevée en 0, une longueur OB représentant l'aire o, les points A et B sont liés entre eux par une relation analogue à celle que Ton suppose dans le chapitre I", entre les points ayant la même dénomination. On en conclut donc que les conductibilités calorifiques correspondant à tous les plans qui se croisent autour d'un poiilt, sont représentées par les rayons vecteurs d*un certain ellipsoïde, qui est Vellipsoide des conduclibililés.

On se trouve d'ailleurs dans le cas de l'égalité symétrique, puisque la conductibilité ne dépend ni de la forme de la molécule, ni de la répartition des températures autour du point considéré *.

* La température joue, dans la théorie actaelle, le même rôle que la ditbtatùm ctibique de l'unité de volume dans la théorie de l'élasticité ; la conductibUUi calorie figue p correspond à la force élastique; la quantité de chaleur Q serait l'équivalent du travail de cette force élastique.

' Lamé n'admettait pas que le cas de l'égalité symétrique fût général ; il pensait qu'il ne s'appliquait pas entre autres aux cristaux antihémiédriques comme la tourmaline. Il supposait que, dans ces cristaux, la conductibilité élémentaire pouvait n'être pas la inême, suivant les deux directions d'une même droite. Il faudrait, pour qu'il en fût ainsi, que la quantité de chaleur eriVoyée par une molécule A à une molécule B filt, toutes choses égales, différente de celle que B envoie à A, ce qui me parait en désaccord avec les lois physiques les mieux établies. D'ailleurs, les conséquences que Lamé déduisait de sa théorie, relativement à la tourmaline, par exemple, n'ont pas Ùé confirmées par l'observation.

CRAP. m. -- PHÉNOMÈNES THERIUQUES. 85

Lorsque la chaleur passe de la partie M à la partie N du corps, la résultante des quantités de chaleur (positives ou négatives) est toujours dirigée de M sur N; l'angle que fait OA avec OBest donc toujours aigu. Les quantités A, B, G (chapitre I» page 14) étant toujours positives, la surface principale est un ellipsoïde, et Ton peut égaler A, B, G à des carrés a*, &*, c*. L*équation de Tellipsoîde des conductibilités est alors

et celle de Tellipsoîde principal :

Les conductibilités principales suivant les axes de reliipsoîde sont alors égales à aS &% c*.

Les axes de Tellipsoîde des conductibilités sont les axes thermiques du corps. Si le corps est identique en tous ses points, les axes thermiques ont la même grandeur et la même direction en tous les points.

L*ellipsoîde de conductibilité ne dépend pas de la loi de répartition des températures; la symétrie de cet ellipsoïde est donc réglée uniquement par celle de la structure intérieure. L*ellipsoîde est une sphère dans les cristaux du système cubique; un ellipsoïde de révolution autour de Taxe principal dans les systèmes quadratique, ternaire et hexagonal ; dans les autres cas, un ellipsoïde à 3 axes inégaux pour lequel la direction de 5 axes ou d'un seul est déterminée suivant que le système est ortho ou clino-rhombique.

Surfaces Isothermes dans les ■illleax erlstalUns ladéflols. —

Goncevons, dans un milieu homogène, un point 0 que l'on supposera être une source de chaleur constante, telle que, par une surface iniiniment petite d'aire gd menée par 0, passe dans l'unité de temps une

quantité de chaleur constante (ùq. 11 se fait dans le corps une certaine répartition de température qui devient permanente au bout d*un certain temps, lorsque la quantité de chaleur arrivant par 0 est égale à celle qui se dissipe pendant le même temps. Gonsidérons les choses arrivées à cet état de permanence, et supposons la surface du corps a^sez éloignée de 0 pour que les particularités de cette surface puissent être considérées connue sans influence sur la répartition des températures dans un rayon étendu autour de ce point. Nous nous proposons de chercher, dans ces conditions, la nature des surfaces Uothermes telles

que tous les points d*une de ces surfaces aient la même température.

s^ î/^ 2' On mène Tellipsoîde principal -5 -f-|j H — -, = 1, ayant 0 pour

centre, et on suppose le corps découpé par une ëérie d*ellipsoîdes infiniment peu distants les uns des autres et tous semblables, avec 0 pour centre de similitude, à cet ellipsoïde principal. On considère la portion du corps comprise entre deux de ces ellipsoïdes infiniment voisins dont l'un, le plus rapproché de 0, sera appelé intérieur, et l'autre extérieur. La quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps passe à travers la surface de l'ellipsoïde intérieur est égale à celle qui sort par la surface de Tellipsoïde extérieur.

Si 0 (fig. 13) est une petite surface de Tellipsoîde intérieur, le flux calorifique traversant &) est dirigé suivant le rayon vecteur de l'ellipsoïde OA en 0) ; c*est-à-dire que la quantité de chaleur totale qui, pendant l'unité de ^^^- ^'^' temps , traverse &> , est représentée par

03p — » — étant le rapport de la variation de température à la variation ^ dr dr

de distance évaluée suivant OA. Si 0 est la température en A, et 6-4- J9 la température au point B où le rayon vecteur OA vient rencontrer l'ellipsoïde extérieur, dQ est la variation de température évaluée suivant le rayon vecteur et (ir = AB la variation de distance correspondante.

La chaleur après avoir traversé o) se répand dans tous les sens, mais la quantité totale de chaleur qui traversai la surface de Tellipsoïde intérieur sera correctement évaluée si l'on suppose que la chaleur passant à travers chaque élément de la surface, suit tout entière la direction du rayon vecteur correspondant. Les choses se passent donc conmie si la quantité de chaleur traversant &) restait tout entière comprise dans l'intérieur du prolongement du cône ayant pour sommet 0 et pour base Gt). Ce faisceau de chaleur vient rencontrer la petite surface w'=a)-}-dw découpée par ce cône dans Tellipsoïde extérieur, et doit

dQ la traverser intégralement. Il faut donc que le flux calorifique wp —

dr qui traverse oi soit égal à celui qui traverse &>'« c'est-à-dire égal à

GHAP. m. — PfiËNOMÈNES THERMIQUES. 87

p(g) + dùô) -i— T 1 ; condition qui peut se traduire par Téquation

différentielle

On en déduit

dr

K étant une constante. Si H désigne la portion très petite de la surface de la sphère ayant l'unité pour rayon, qui est interceptée par le cône

de base o), on a &) = —, et H étant constant, on aura, C étant une con-

stante égale à r: :

dr r*' équation qui, étant intégrée, donne : .

C! étant une autre constante* Il faut déterminer C et C.

Si Ton suppose le corps s*étendant à Tinfini, la portion du coi'ps située à rinfini n'est pas atteinte par réchauffement; elle est donc encore à la température % que l'on suppose avoir été la température commune de tous les points de corps avant réchauffement. C! étant la valeur de ô pour r = oo , on peut donc poser C = 60.

Si Ton appelle 6 la température d'un point du corps situé sur la direction OA, à une distance R de l'origine, en faisant r=H, on a :

e-ôo=-,"

L'équation en 9 devient ainsi :

ô-eo=(e-ôo)5.

Si l'ellipsoïde auquel appartient le rayon vecteur R avait en tous ses points la même température 6, un autre ellipsoïde quelconque aurait

88 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTÂLLÛGRAraiE PHYSIQUE.

la môme température 0 en tous ses points, puisque les deux ellipsoïdes

étant homothéliques, le rapport- est constant. Tous les ellipsoïdes

sont donc des surfaces isothermes» si cette propriété convient à un seul d'entre eux.

Or si Ton considère rcllipsoîde infiniment petit tracé autour de 0, il est permis de le regarder comme une surface isotherme puisque tous ses points sont, à un infmiment petit près, à la même température.

Donc, dans un milieu échauffé par un point intérieur, les surfaces isothermes sont des ellipsoïdes semblables à l'ellipsoïde principal ayant 0 pour centre. On se rappelle que les longueurs des axes principaux de cet ellipsoïde sont les racines carrées des conductibilités relatives aux directions de ces axes.

Snrfacefl Isothermes dans les plaques erlstalllnes très misées.

— Supposons maintenant non plus un solide, mais une plaque très

mince, indéfinie et chauffée en son centre.

~ Soit, dans le plan de la plaque, un rayon ^ \ vecteur sur lequel on prend deux points très ^'s- **• voisins A et B, et par lesquels on mène deux

ellipsoïdes semblables à Tellipsoîde principal. Dans les plans tangents parallèles en A et B, nous prenons les sections a> et cù' découpés par deux plans menés Tun suivant OA et le diamètre de Tellipsoîde principal, correspondant au plan de la plaque, Tautre suivant le même diamètre et un rayon vecteur très voisin de OA. On a ainsi découpé un petit volume ayant deux surfaces libres, ABA|B| d'une part et une surface analogue de l'autre côté de la plaque. La quantité de chaleur qui dans

Tunité de temps traverse w, est égale à wp -—» celle qui traverse w' est égale àpwj--|-d(ct)-v-)rLa quantité de chaleur gagnée par le

petit volume compris entre o) et o)' est — p rf f oj -- j ; elle n'est pas

nulle, comme dans le cas précèdent, car elle doit compenser la quantité de chaleur perdue par les deux surfaces libres inférieure et supérieure de la plaque.

La quantité de chaleur perdue à travers la surface supérieure a pour

expression :

fe(Ô-ÔjdS,

GHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 89

en appelant h le coefficient de conductibilité extérieure de la surface supérieure, 9^ la température du milieu ambiant, et dS la surface ABÂ|B|.

Appelons e Tépaisseur de la plaque, le volume du petit solide élémentaire compris entre &), &>' et les deux surfaces de la plaque est edS. 11 peut encore s'exprimer en multipliant par la base o) la hauteur cor^ respondante du prisme. Si U est l'angle de dr avec la normale à cette base» le volume sera tùdr cos U, et on pourra poser

«dS=aK/r cosU.

Or U est l'angle du rayon vecteur de Tellipsoîde principal avec la normale au plan tangent, on a donc, d'après une relation connue :

cosU = -^=-^

La quantité de chaleur perdue par le rayonnement de la face supérieure est donc:

:iP*A(e-e.).

La quantité de chaleur perdue par le rayonnement de la face inférieure sera de même :

en appelant h' et B\ le coefficient de conductibilité extérieure et la température du milieu ambiant inférieur.

L'équation qui exprime l'équilibre calorifique de l'élément considéré est donc :

o. ,. * (r-f-dr)» /. . adA .^

Si Ion remarque que &) + «&)=:&) ^ — > ■ = cj ( H-z--;-!, cette

relation peut s'écrire :

rf'ô^2de^A + ^' 1/. /iO. + H'A . dr* r dr e r*\ iTÇhT J

Les points de la plaque indéfinie où la propagation calorifique issue

de 0 est sans influence, ont la température . ^^"^ ^^J. Convenons de

compter les températures à partir de cette température particulière que nous nommerons ^o» l'équation différentielle deviendra :

dr*^rdr e r«^ "*

L'intégrale générale de cette équation est :

OU, si nous nous rappelons que G n'est ici que Texcés de la tempé-

rature sur Oo :

— Oo=Cr V e +C'rV e .

Pourr=Qo,9 = 9o, on doit donc avoir C' = 0. Si Ton appelle R le rayon vecteur pour lequel on a 6=6, on a :

e-e^,=cR V e .

On a donc enfin :

A + fc'

d'où Ton concluerail, comme précédemment, que les surfaces isothermes sont des ellipsoïdes concentriques semblables à Tellipsoîde principal.

Expérienees de Sénarmont et de H. JannetUui. — • La théorie

qui précède nous fournit un moyen très simple de constater expérimentalement les propriétés des cristaux au point de vue de la propagation de la chaleur. 11 suffit de tailler, dans un cristal, suivant une direction bien déterminée par rapport aux axes cristallins, une plaque suffisamment mince et assez large pour que Tirrègularité du contour soit sans influence sur la propagation calorifique. On recouvre la plaque sur ses deux faces d*une couche très mince de cire, puis on la perce d*un trou central aussi petit que possible; on y enfile un tube métallique par lequel on fait passer un courant d*air chaud, ou une petite tige d'argent que Ton chauffe par conductibilité. La tempéra-

CHAP. m. — PHÉ»OH£nES TBERHQIIE8. 91

turedutobe ou celle de la lige étant iriainlenue constante, on voit, comme dans l'expérience d'Ingentouz, ee desBiner tout autour du centre de chaleur, une courbe elliptique marquée par le bourrelet qui sépare la cire fondue de celle qui ne l'est pas. C'est la courbe isotherme correspondant i ta température de fusion de la cire. On mesure, avec un appareil grossissant, les dimensions des axes de cette ellipse et leur orientation par rapport ^ux axes cristallographiques de la plaque. Ces expériences ont été pour la première fois exécutées -par

Sénarmonl', qui ne paraît pas avoir eu connaissance du mémoire théorique de Duhamel présenté en 1828 k l'Académie des sciences *. Elles ' ont été, depuis cette époque, reprises par plusieurs savants, et particulièrement par H. Jannettaz'.

H. Jannettaz a perfectionné la disposition expérimentale imaginée

• Annale* de chimie et de phytique, 3* B*rie, l. XXI et XXII, lM7-i8.

■ A la (uite des expërieocn de Sénirmont, Duluinel publia, daiu le 33* cabjer du journal de l'École potyiechnique (lUS) un nouTean mémoire sur la propagation de la chaleur danalescrisiaui, où il applique la théorie géDérale aux eooditiomeipérimentaies r£aliaéea par le tavant obaerralEur.

■ Ânn. de chimie cl de phyi., i* aârie, t. XXIX, 1813.

par Sénarmont. La source caloriflque est une petite sphère de platine

(fig. 19) posée sur la plaque cristalline enduite de cire. Cette sphère s*èchauffe parce qu*elle est soudée à un fil fin de platine, replié sur lui-même et à travers lequel on fait passer un courant électrique qui rougit le fil. Au-dessus de la lame cristalline, et à peu de distance est placée une petite cuve à fond plat, dont la température est maintenue constante par un courant d*eaufroidç. La cuve est percée, en son centre, d*un ti^ou annulaire par lequel passent les fils de platine dont le rayonnement calorifique est ainsi annulé ^.

Les tableaux suivants contiennent la plupart des observations publiées par M. Jannettaz.