DILATATION THERMIQUE

Théorie yéaérale. — Lorsqu'un solide se dilate sous l'action de la chaleur, les longueurs des axes de l'ellipsoïde de déformation deviennent

a, ^1 7> étant les coefficients de dilatation suivant les directions de ces axes. L'observation montre que ces. nombres sont toujours très petits. La surface inverse de l'ellipsoïde a pour équation

«•(i + «) +y«(i -h P)-*-«*(i4- Y) =1, ou en coordonnées polaires :

p'« + f» (m'«a + fï'«g H-p^Y) = 1 • On a [éq. (17) — page 16] :

\/po cos U'

ou sensiblement, l'angle U étant toujours très petit :

Po

L'équation de la surface inverse est donc :

Or p^ — 1 n'est autre chose que le coefficient de dilatation X suivant la direction p^ caractérisée par les cosinus m, n, p que l'on peut assimiler, toujours à cause de la petitesse de U, avec les cosinus m% n\ p\

Si l'on pose

Téquation précédente devient donc :

CBI8TALL0GRAPH1B, T. H. 7

Si Ton y regarde / comme la longueur d*un rayon vecteur dont la direction est déterminée par les cosinus i?i,n» p, cette équation est celle

d'une surface du 2« degré dont ■y=> "7^» "7= sont les axes. La direction

de ces axes est la même que celle des axes de rellipsoîde de déformation.

La surface définie par cette équation est un ellipsoïde lorsque les trois dilatations a, j3» y sont positives. G*est un hyperboloîde à une nappe lorsque Tune seulement des dilatations est négative ; les dilatations suivant les génératrices du cône asymptotique sont nulles ; les dilatations suivant les directions comprises dans Tintérieur du cône qui comprend Taxe imaginaire sont déterminées par les rayons vecteurs de riiyperboloîde conjugué à deux nappes imaginaires.

Lorsque deux dilatations sont négatives, Thyperboloîde réel est à deux nappes; la dilatation-suivant les génératrices du cône asymptotique est encore nulle ; la dilatation suivant les directions comprises en dehors du cône asymptotique, du côté des axes imaginaires, est déterminée par rhyperboloïde imaginaire à une nappe.

Lorsqu'on donne les dilatations a, |3, y suivant les trois axes principaux, la dilatation \ suivant une direction qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont m, n, p, est donnée par la formule

La direction de ces axes est indiquée par celle des axes cristallographiques, sauf dans le cas des systèmes clinorhombique et anorthique. Dans le premier la direction d'un seul des axes est connue.

Expériences de H. Fixeau. — Pour déterminer la dilatation d*un cristal , le procédé plus simple est de découper des prismes dans ce cristal suivant des directions déterminées par rapport aux axes cristallographiques. On mesure la dilatation du prisme suivant les différentes directions d*une même face, et Ton construit une courbe qui représente pour chacune d'elles la dilatation correspondante de l'unité de longueur. Cette courbe est une ellipse qui est l'intersection, par le plan de la face, de Fellipsoide des dilatations. En répétant les mêmes observations pour un certain nombre de prismes d'orientation différente par rapport aux axes cristallins, on parviendra à connaître la grandeur des axes de l'ellipsoïde de dilatation, et leur orientation rela* tivement aux axes cristallins. Tout le reste s'en déduira.

GHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 99

La difficulté de ces observations est considérable à cause de l'extrême petitesse de la grandeur à mesurer. H. Fizeau Ta surmontée en imaginant une méthode aussi ingénieuse qu'originale.

Une plaque de platine F (fig* 21) porte trois tiges ttf t!' également en platine et qui supportent horizontalement un plateau de verre V. Le cristal dont on veut étudier la dilatation suivant une certaine direction est placée sur le plateau F de manière que cette direction soit verticale et qu'entre la surface supérieure C de ce cristal très légèrement eonvexe, et la surface inférieure du plateau de verre il n'y ait qu'une ^ distance extrêmement faible. Tout l'appareil est plongé dans l'huile. 11 se produit des anneaux colorés entre G et V. On note la position des anneaux observés, avec la lumière homogène de l'alcool salé, à une certaine température t; on élève la température qui devient f , la distance entre C et Y^ varie d^une quantité égale à la différence qui existe entre la dilatation des supports de platine et celle de la hauteur du cristal. Cette variation fait changer la position des anneaux; on mesure ce dernier changement» et on en déduit, par une formule connue, la dilatation du ci'istal, étant connue celle du platine. Ce procédé est extrêmement sensible, car les anneaux se déplacent d'une quantité égale à la distance qui sépare un cercle noir d'un cercle blanc lorsque la distance entre le plateau de verre et le cristal varie seulement

de|x

Avant de donner quelques-uns des résultats des observations de M. Fizeau, il faut dire quelques mots sur les notations dont il fait usage. Si l^ est une certaine longueur mesurée dans le corps à une certaine température prise pour zéro ; à la température ^ elle devient /^, on pose :

en se contentant, à cause de la petitesse des coefficients A, B, de l'approximation donnée par les termes du second degré en t. Par une différenciation, on trouve :

•1 dL

— -j est le coefficient de dilatation a^ à la température U

Les tableaux de H. Fizeau, que l'on peut trouver dans V Annuaire du Bureau des longitudes (1880» p. 605 et suiv.), donnent les deux quantités

Aa

AO

Si If, représente la température à t*, et /^ la température à t d*une régie

dont la longueur est parallèle à un axe des dilatations, on aura, en négligeant les termes qui contiendraient les puissances supérieures, de A ou de B,

i£=A(<-r)-f-B(f«-r«) = (<-.o[A-HB(<4-r)|

ou, en substituant les coefficients mêmes de H. Fizeau.

Voici quelques-uns des nombres donnés par H. Fizeau ^ ; le cliifTre des unités représente des chiffres décimaux occupant le huitième rang après la virgule :

Aa