M4S O.TWS
O.OK 4 0.01343 I 0.00536 i 0.00404 I 0.00415
00180 O.OOlïl 0.00113 0.00105 0.0007S 0.00059 0.00053 0.0005!
0.00034 0.00033 0.00030 O.OOOIS 0.00015 0.00014 0.0OO11 O.DOOiO 000006 0.0 0.0 0.000034 0.000020 0.000031 0.000010
.0000008 0.0000073 0. 0000070 O.OOOOOUO O.OOOOOtb
SatMiamees blaxes.
Couleur
Signe
delà
de la
Inroiére
double
. employée
réfrâc -
pour l'observa-
tion.
tion.
Jaune.
Jaune.
Jaune.
Raie D.
Jaune.
Jaune.
Rouge.
Jaune.
Jaune.
Rouge.
Jaune.
Jaune.
Jaune.
Rouge.
Rouge.
Orangé.
RaieD.
Rouge.
RIeu.
Jaune.
RaieD.
Jaune.
Rouge.
Jaune.
Rouge.
• Rouge.
Noms des subslances.
Cérusite (carbonate de plomb)
Soufre
Asparagine « • .
Azotate de potasse
Aragoniie
Formiate de strontiane. • • .
Anbydrite (sulfate de chaux anhydre]
Tartrate d'antlm . et de chaux, avec azotate de chaux. . .
Épidote de Sulzbach
PéridotTertdeTorre delGreco
Borax
Chlor.debaryum(BaCl*+2Aq).
Diopside d*Ala
Calamine (silicate de zinc hydraté
Euclase. .
Anglésite (sulfate de plomb).
llésotype • .
Cordiérlte de Bodenmais. • .
Barytine (sulfate de baryte). .
Andalousite du Brésil ....
Orthose de Wehr
Gypse
Topaze blanche du Brésil. . •
Cymophane. •
Axinite
Orthose du Saint-Gothard. .
Sulfate de potasse biaxe. . .
Sel de Seignette potassique (dextrotartrate de soude et de potasse)
draBdeurs relatives des ▼ItcsHiee avee lesquelles se propai;eai salvani la même direetloa les deux Tibrattoos reetanifulatres. — Dlsilaetloo des rayiNSs ordlaalre et extraordinaire. — Si la bissectrice aiguë des axes optiques coïncide avec i*axe maximum a, c'està-dire si le cristal est négatif, les sections cycliques de Tellipsoïde principal comprennent Taxe c dans Tintérieur de leurs angles aigus Le plan noimal à la direction de la propagation lumineuse rencontre les deux sections cycliques de part et d'autre du plan principal bc en
CHAP. lY. - THÉORIE DE LÀ WUBLB RÉnUCTION. 131
ffl el m' (flg. 36). La vibration qui, comprise dans l'angle aigu des sec-, lions cycliques, bissèque l'angle mOm', correspoud au plus petit axe
de l'ellipse ; c'eel celle dont la vitesse de propagsUoii est la plus petite. Si la bissectrice ai^ë est l'axe minimum e, c'est-à-dire si le cristal est positif, l'inverse a lieu, et la bissectrice de l'angle mOm' com-
prise dans l'angle aigu des sections cycliques (flg. 37} donne la vibration dont la vitesse de propagation est la plus grande.
Comme on l'a dit plus haut, on détermine ordinairement les dîrcc tiona des vibrations transmises nonoalemcnt ft un plan donne, en projetant sur ce plan les deux axes optiques, et menant les bissectrices des angles formés par ces deux droites, qui sont perpendiculaires sur les traces des plans cycliques. L'angle qui comprend la projection de la bissectrice aiguë comprend aussi la vibraUon dont la vitesse de propa-
gation est la plus petite dans les cristaux négatifs, et la plus grande dans les cristaux positifs.
On convient d'appeler vibration ordinaire celle qui se trouve dans l'angle aigu des sections cycliques de l'ellipsoïde principal ; l'autre est la vibration extraordinaire. Si Ton appelle d^ le d correspondant à la vibration ordinaire, et i^ celui qui correspond à la vibration extraordinaire, i^ est positif dans les cristaux positifs et négatif dsms les cristaux négatifs. En d'autres teimes, la vitesse de propagation du rayon ordinaire correspond à la nappe de la surface des vitesses normales extérieure à la sphère de rayon 6, dans les cristaux positifs ; à la nappe qui est enveloppée par cette sphère, dans les cristaux négatifs.
Passait d*aB rayon laaUneax d*an milieu «laeiconqae Ànmm an
milieu crietailieé. — Les lois de la propagation lumineuse dans les cristaux permettent de se rendre compte des phénomènes de réfraction qui se produisent dans ces corps. On considère un rayon passant d'un premier milieu dans un second qui est cristallisé. La surface de séparation des deux milieux est supposée plane, ce qui n'est pas une restriction à la généralité du raisonnement, puisque l'on n'a jamais à considérer qu'un élément très petit de cette surface. On suppose un
faisceau lumineux de dimensions transvei*sales assez petites pour que la surface de l'onde puisse être considérée comme plane. Soit ma (fig. 28) la direction de ce faisceau. Le plan de la figure est supposé mené par ma et la normale mN à la surface de séparation; c'est le plan d'incidence.
L'onde plane mn est le lieu des points du premier milieu atteints par une vibration en un même instant qu'on regardera comme l'origine des temps. On aura Tonde réfractée dans le second milieu en cherchant le lieu des points atteints par cette même vibration au bout de l'unité de temps. Choisissons a'p parallèle à mn^ de telle sorte que pn représente la vitesse de propagation dans le premier milieu, c'est-à-dire le chemin parcouru dans ce milieu par la vibration dans l'unité de temps. Le point p, commun aux deux milieux, appartient à l'onde réfractée; d'ailleurs tous les points de la droite pq perpendiculaire au plan d'in-
Fig. 28
CHâP. 1Y. — TUÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRAGTIOM. 123
cidence sont atteints en même temps par la vibration, la droite pq est donc contenue dans l'onde réfractée ; onde nécessairement plane, puisque le faisceau lumineux réfracté a, comme le faisceau incident, des dimensions transversales très petites. On suppose menée la surface des vitesses normales aux extrémités des rayons vecteurs de laquelle sont normaux, au bout de l'unité de temps, toutes les ondes planes qui, partant de m, peuvent se propager dans le second milieu; l'onde cherchée est comprise parmi celles-là. Soit donc r et t deux points de cette surface situés sur chacune des deux nappes, contenus dans le plan d'incidence et tels que pr et p$ soient respectivement perpendiculaires sur mr et m<; les plans normaux aux plans d'incidence, c'est-àdire qui passent par pq^ et ont pour traces pr et ps, sont les ondes planes réfractées. Les longueurs mr et ms représentent en grandeur et en direction les vitesses de propagation correspondant aux deux rayons réfractés; ces directions sont peu différentes Tune de l'autre, à cause de la faible biréfringence des milieux cristallisés.
Si ces deux directions étaient rigoureusement identiques, les vibrations de chacun des rayons seraient mutuellement perpendiculaires ; ces vibrations seront donc effectivement très prés d'être rectangulaires entre elles. On peut donc dire qu'un faisceau lumineux passant dans un milieu cristallisé s'y décompose en deux autres très voisins l'un de l'autre, et dont les vibrations sont à angle droit.
Lorsqu'un faisceau lumineux, après avoir traversé le milieu cristallisé, en ressort et rentre dans le premier milieu, on ferait, pour trouver le faisceau émergent, une construction inverse de celle qui nous a permis de déduire la direction du rayon réfracté de celle du rayon incident. Si la surface de séparation des deux milieux à l'émergence est parallèle à la surface de séparation à l'incidence, chacun des deux rayons réfractés issus d'un même rayon incident donne, pour le même rayon émergent^ une même direction, et le faisceau émergent est parallèle au rayon incident.
La longueur n p représente la vitesse de propagation { de la lumière dans le premier milieu; les longueurs mr et ms sont les vitesses de propagation respectives des deux rayons réfractés dans le second milieu; nous les appellerons r et s. Nous appellerons en outre I l'angle d'incidence, c'est-à-dire celui que fait avec la normale mN la direction de propagation ma dans le premier milieu ; R' et R'' sont les angles que font respectivement les directions des vitesses de propagation r' et r^ avec le prolongement de la normale mN. Dans le triangle
rectangle mpn, on a
pm= -. — r; ^ sin I
dans les triangles prm, et psnt, on a :
'^ ~ sin I sin R*
/''»=:jn =
sin 1 sin R''
Le rapport du sinus de Tangle d*incidence à celui de Tangle de réfraction est le même que celui de la vitesse de propagation dans le premier milieu à la vitesse de propagation dans le deuxième milieu. Les vitesses de propagation sont donc les inverses des quantités que Ton désigne sous le nom d'indicée de réfraction. Dans un milieu cristallisé, il y a en général deux indices de réfraction correspondant à la même direction de propagation, et ces indices changent avec la direclion.
Calcnl des directions de propai^atioii des deux rayons réfraeCés.
— Pour trouver les directions des vitesses de propagation des deux rayons réfractés r' et «", il suffît, on le voit, de chercher fintersection, par le plan d'incidence, de la surface des vitesses normales ayant m pour centre et de calculer les points d'intersection r et s de cette
/ courbe avec le cercle avant pm ^ -:— , comme diamètre. Les rayons
vecteurs mr et ms sont les deux directions cherchées. Soit
l'équation de la surface des vitesses normales; si u' v' w' représentent les cosinus que fait avec les axes la normale au plan d'incidence, l'équation
(2) uu' 4- vi^ + ww' = 0,
qui exprime que toutes les directions (u v w) qui y satisfont sont contenues dans le plan d'incidence, est l'équation du plan. Si Ton appelle g.hfk les cosinus que fait avec les axes la direction mp, l'angle &) que fait le rayon vecteur (u v w) avec m p est donné par la relation
cos <i) = gr» + /iM •*- kw.
GUAP. lY. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 12:>
L*équation du cercle ayant m p pour diamètre est
On a ainsi trois équations qui, par élimination, en donnent deux autres ne contenant plus r; ces deux équations, combinées avec
donnent les valeurs de u, v, w qui résolvent le problème.
Le calcul se simplifierait dans le cas des cristaux uniaxes. Il se simplifie davantage encore, même dans le cas général, si Ton emploie le procédé d'approximation qui a été défini plus baut.
Soit PR| (fig. 29) la direction de la vitesse du rayon réfracté qui se produirait si le milieu était isotrope, ^ »
et si la vitesse de propagation y était ' ^.,. la vitesse moyenne de propagation dans ^^^^' >..
le cristal, c'est-à-dire h. Les vites- . ses des deui rayons réfractés réels PR' et PR'' ne font avec PRi qu'un petit angle; les vitesses de propagation r' p. ^
et r^ qui leur correspondent sont
donc très peu différentes des deux rayons vecteurs de l'une et l'autre nappe de la surface des vilesses normales qui ont la directîon commune PRi. Les longueurs de ces deux rayons vecteurs sont 6 + ^' et 6 + ^, si d' et if sont les deux racines de l'équation en à (page 117), dans laquelle on donne à u, v, u; les valeurs qui conviennent à la direction PR|.
Prenons PM = . , et menons par M des perpendiculaires Pt el Vt'
sur les directions respectives PRi et PR'; soit c le point où W! rencontre PR. Le triangle Vite est presque rectangle en c à cause de la petitesse de l'angle R'PRi; P('=r' = 6-f-^' peut être considéré comme égal à Pc, et par conséquent on a sensiblement ci = — ^^ Soit e' le petit angle RTR|, considéré comme positif lorsqu'il est parcouru, à partir de PR|, en s'éloignant de la normale PN, et comme négatif dans le CAn contraire, convention qui revient à dire que le signe de c' est celui
de i'; dans le triangle Me où tW = e', on a :
8'sinl
^~"M(""7cosR
On aurait de même, en appelant s" Tangle que forme avec PK la direction de propagation PR*' de Taulre rayon réfracté :
y sin I / cos R
D*aprés ce qui a été dit page 122 sur le signe de d, Tangle e correspondant au rayon ordinaire est positif dans les cristaux positifs et négatif dans les cristaux négatifs. La direction de propagation du rayon
extraordinaire est donc plus rapprochée de la normale que celle du rayon ordinaire dans les cristaux positifs et plus éloignée dans les cristaux négatifs.
Si 6) est Tangle que forment entre elles les deux directions de propagation PR' et PR", on aura :
fa)
e'-6^ = (8'-8') ,^ =75Î5-^ (a-c) sin 0' sin 0'. ^ ' / cos R / cos R ^ '
Lorsque le rayon PR est dirigé suivant un axe optique, ona 9'^0et(k)=0. L*onde plane qui se propage dans le milieu cristallisé est alors unique; c'est ce qu'il était facile de voir directement.
11 ne s* agit donc plus, pour résoudre le problème dans le cas général, s nyw que de connaître les cosinus (u v w)
que fait, avec les axes de la surface des vitesses normales, la direction de propagation PR,et dont il faut introduire les valeurs dans l'équation en i pour obtenir cï' et (T.
Soit U, V, W, les cosinus que fait avec les axes la direction de propagation PI (fig. 50) du rayon incident ;
g^ hy kf ceux que fait avec les axes la direction PN de la normale à la surface de séparation des deux milieux;
X, fJL^v, ceux que fait avec les axes la direction ts de la normale à PN, menée du point t pris sur la direction PI à une distance de P telle que Pt = 1 .
Fig. 30.
En projetant le triangle fis sur Taxe des x, on obtient
U+ 9C0S 1 4- X sin I =sO,
ou
^ U-f-flcosI
sml
On aurait des valeurs analogues pour fji et y, en remplaçant U et g successivement par V, A, puis par W, k.
Sur la direction PR, on prend P(' = 1, on mène tfs' perpendiculaire sur le prolongement de la normale PN ; la projection, sur Taxe des x, du triangle flfs^ donne
u-h XsinR-h^cosR=0,
d'où, en introduisante valeur de \ trouvée précédemment, on déduit :
tt = (U + g ces I) -7 — r — g ces R.
On aurait les valeurs de t; et u; en remplaçant U et 9 successivement par V et A, puis par W et ft.
On calculerait d ailleurs I par la formule :
cosl = gU+AV4-KW,
et R par la relation :
sini /
sinR b
Lola de lAréfiractlon dana le caa partlenller des eriatawK nnlaxe*.
— Dans les cristaux uniaxes, les lois du phénomène de la réfraction se simplifient. La surface des vitesses normales se réduit alors, comme on Ta vu, à une sphère et à une surface à une nappe. Des deux directions de propagation du rayon bifurqué après la réfraction, Tune a toujours pour vitesse le rayon de la sphère, le faisceau lumineux qui lui correspond et qui est le raycni ordinaire se comporte conune si le milieu était un milieu ordinaire ou isotrope ; la vitesse de l'autre direction de propagation, qui est celle du rayon extraordinaire, est marquée par un rayon vecteur de la surface à une nappe. Dans les cristaux positifs^ Taxe principal coïncide avec le plus petit
axe d'élasticité, c est-à-dire Taxe des z; on a a = fe, et la sphère de la surface des vitesses normales enveloppe la surface à une nappe ; la vitesse du rayon extraordinaire est inférieure ou au plus égale à celle du rayon ordinaire. L*angle o) que font enti*e elles ces deux directions est donné par la formule :
a)=e'= — (a — c)sln«ô 5 = ^^sin'OlgR-
^ ' CCS R a °
Dans les cristaux négatifs^ Taxe principal coïncide avec le plus grand axe d'élasticité, c'est-à-dire l'axe des x; on a 6 = c, et la sphère est enveloppée par la surface à une nappe ; la vitesse du rayon extraordinaire est toujours supérieure ou au moins égale à celle du rayon ordinaire. On a :
<i) = e'=(a — c)sin*ô = =-^ sin«6tgR.
La direction de propagation du rayon extraordinaire est en quelque sorte attirée par la normale dans les cristaux positifs, et repoussée par elle dans les cristaux négatifs ; c'est pourquoi on donne souvent aux cristaux positifs le nom d^attractifSy et celui de répulsifs aux cristaux négatifs.
Diapersioii. — Si la théorie de Fresnel était rigoureuse, l'élasticité optique du milieu dans lequel se fait la propagation lumineuse ne pouvant pas varier avec la couleur du rayon, c'est-à-dire avec la période du mouvement vibratoire, il en résulterait que la vitesse de propagation serait indépendante de la couleur de la lumière. C'est en effet ce qui a lieu pour la propagation des vibrations sonores. On sait qu'il n'en est pas ainsi pour les vibrations lumineuses dont l'inégale vitesse de propagation donne lieu au phénomène connu sous le nom de dispersion. Toutefois la dispersion n'existe pas dans le vide, ainsi que le montre l'observation des étoiles dont l'éclat varie très rapidement, comme Algoly qui passe en trois heures et demie de la seconde à la quatrième grandeur. Ces variations d'éclat seraient nécessairement accompagnées de changements de coloration si les rayons différemment colorés employaient des temps inégaux pour parcourir la distance qui sépare rétoile de la terre; on n'a constaté aucun changement de cette nature. La dispersion est donc due à la présence, dans Téther, des molécules pondérables des corps.
Fresnel a le premier indiqué la cause probable à laquelle la dispersion
doit être rapportée. 11 fit remarquer que les ondes lumineuses diffèrent des ondes sonores par la grandeur incomparablement moindre de leurs longueurs d'ondulation ; celles-ci ne sont donc plus, comme celles du son, très petites par rapport aux rayons d'activité des forces moléculaires. Dans la propagation d'une vibration rectiligne lumineuse, si nous considérons deux molécules pondérables séparées, suivant la direction de propagation, par une distance r, moindre que le rayon d'activité des forces moléculaires, ces molécules peuvent avoir, au même instant, des déplacements assez différents l'un de l'autre pour que la variation de position mutuelle qui résulte de cette différence influe sur la force élastique. Cette force, qui règle la vitesse de propagation, ne dépend donc pas seulement de la structure du corps; elle dépend encore de la nature et plus particulièrement de la longueur d'onde des vibrations que ce milieu transmet.
Cauchy a traduit cette indication de Fresnel dans une théorie très complète et dont nous nous bornerons à donner ici une idée.
On considère une série de molécules alignées suivant la direction de propagation d'une vibration rectiligne. Le déplacement e de la molécule qui vibre à l'origine en 0 est, à l'instant U
£ = Asin 27;7r=Asin2z.-.
A ce même instant, la molécule située sur la direction de propagation à une distance de 0 égale à r, éprouve un déplacement
£' = A siii 2x = A sin Y (*'* — A '»
on a donc :
— e' = £ I 1 — cos — - r j 4- A cos — v^ siu —
La force élastique développée, sur la molécule située en 0, par le déplacement mutuel des deux molécules considérées, et évaluée suivant le déplacement, est proportionnelle à 6 — e' ; la force élastique totale s'exerçant sur 0 est donc une somme de termes, en nombre infini, dont chacun se compose d'une valeur de s — ^ correspondant à une
CAHTALLOGRAPaiEf T. II.
valeur particulière de r, multipliée par un certain facteur M. On peut donc écrira :
^=62M A-cos2i:^\
f=: eSM ( 1 — cosîxr \ 4- SMA cos 2x?^sin 2x^.
Le second terme de cette expression est nul, car à chaque terme de la somme pour lequel r est positif et qui provient d*une molécule située sur la direction de propagation, en correspond un autre pour lequel r a une valeur égale mais de signe contraire, et qui provient d*une molécule située sur la direction opposée à celle delà propagation.
Reste donc le premier terme. Pour les ondes sonores r est négligeable, el /* est proportionnel à s et indépendant de ^; pour les ondes
r , lumineuses, tu est plus négligeable, mais il est petit, et l*on peut déve-
lopper 1 — cos27r^ suivant les puissances croissantes de r, ce qui
donne
1 —cos 2t:-= P--Q +R- , X /. X* X*
d'oîi l'on déduit
/■ = e (^ SMPi» ~1 SMOr* -f . . . . V
On a vu (page 105) que
on aura donc pour v- une expression de la forme
La somme des termes qui suivent le premier étant petite, on peut prendre par approximation la racine du second membi*e, ce qui donne
La vitesse de propagation dans le vide étant indépendante de a, la
CUAP. IV. — THÉORfE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. loi
formule qui précède peut aussi représenter le rapport de la vitesse de propagation absolue dans le milieu à la vitesse de propagation dans le vide, ou, ce qui équivaut presque, dans Tair.
On peut, en général, se borner au second terme de la série qui donne v; ce terme est nécessairement négatif, puisque la vitesse de propaga. tion croit avec la longueur d*onde. On peut donc poser
g eih étant des coefficients que Texpérience doit faire connaître.
Cette expression s'applique aux corps isotropes comme aux corps cristallisés; mais dans ces derniers une complication nouvelle intervient, car après avoir déterminé les constantes pour la vitesse de propagation d'une vibration rectiligne déterminée, il faudra en déterminer de nouveaux pour représenter h vitesse de propagation d'une autre vibration.
Toutefois, pour chaque valeur de X, il existe un certain ellipsoïde d'élasticité et un certain ellipsoïde principal. Supposons que le cristal appartienne à un système à axe principal ou au système terbinaire, tous ces ellipsoïdes, par des raisons de symétrie connues, ont leurs axes dirigés de la même façon. Si le système de cristallisation est terbinaire par exemple, on pourra représenter les vitesses de propagation, a, ft, c, suivant les axes communs par des expressions de la forme
Les 6 coefficients qui entrent dans ces formules suffiront à déterminer les ellipsoïdes correspondant à toutes les valeurs de X. Béer a montré que ces formules satisfont en eflet convenablement aux observations pour les cristaux dont les constantes optiques correspondant aux diverses couleurs sont bien connues, tels que le quartz, la calcite, l'aragonite et la topaze.
Si le cristal appartient à l'un des systèmes binaire ou asymétrique, il y a des axes d'élasticité dont la symétrie du cristal ne détermine plus
152 DEUXIÈBIE PARTIE. — CKISTALLOGRUHIIK PHYSIQUE.
la direction; les directions de ces axes peuvent alors varier avec h L'observation doit dans ce cas déterminer non-seulement les grandeurs des axes des ellipsoïdes correspondant aux diverses valeurs de X, mais encore les angles que font ces axes avec ceux d*un des ellipsoïdes pris comme point de départ. En général ces angles sont petits et varient dans le même sens lorsqu'on passe successivement du rouge, pour lequel A est le [plus grand, au violet, pour lequel X est le plus petit. Nous aurons à revenir plus tard sur ce sujet important.
SURFACE DE L*0NDE. — KAYOMS LUMINEUX.
Snrbice de l'onde. — On a bien rarement besoin de pousser Tétude théorique des phénomènes de double réfraction plus loin qu'on ne Ta fait dans ce qui précède. Bien que les résultats déjà obtenus soient les seuls qui nous soient nécessaires pour les études ultérieures, il parait utile de ne pas laisser incomplète une théorie aussi importante. La première lacune grave qu'il y ail à combler est la détermination de la direction du rayon qui se propage dans un milieu biréfringent.
Après avoir considéré la propagation lumineuse comme produite par la propagation d'une multitude d'ondes planes partant en même temps de l'origine des vibrations et se répandant dans tout l'espace, on a déterminé théoriquement la vitesse avec laquelle chaque onde plane, restant toujours parallèle à elle-même, s'éloigne de l'origine ; c'est ce qu'on a appelé la vitesse de propagation noimale.
Si l'on considère toutes les ondes planes, ayant toutes les orientations possibles, et partant de l'origine des vibrations à une même époque que Ton prendra pour l'origine des temps, elles occupent une certaine position dans l'espace à la fin de l'unité de temps, et cette position est déterminée par la surface des vitesses normales, comme il a été dit plus haut. Tous ces plans enveloppent une certaine surface que l'on appelle la surface de ronde. En se servant de la théorie des interférences, on démontre que si k\a\ (fig. 51) est le plan tangent en A\ à la surface de l'onde S, la seule partie efficace des vibrations que propagent les ondes planes parallèles à X\a\ est celle qui se transmet suivant la direction menée de l'origine 0 au point de tangence A'p de sorte qu'un écran placé entre 0 et A'^ supprimerait toute la lumière transmise direclemeut à A\; 0 A\ est ce qu'on appelle la
CIIAP. IV. — THÉORIF- HE LA ROI î>LK RÉFRACTION. 155
direction du rayon lumineux dont 0 a\ perpendiculaire au plan de Tonde est la direction de propagation normale.
On a vu que le point a\, qui appartient à la surface des vitesses normales, est la position que le point Cj (fig. 22, page 107) vient occuper lorsqu'on fait tourner Oa^ de 90* dans le plan A'Oa, qui contient le déplacement élastique et la force élastique qu'il engendre. Nous allons montrer que A'j est la position que prend OA, après une rotation de 90*»
Fig. ôi.
Fig 5i.
dans le même plan, de sorte que le triangle Oa\ A\ e^t la position que vient prendre le triangle Oa^A^ après une rotation de 90®.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de montrer que le plan P' (fig. 32), normal à Oa\ et mené suivant a\ A'p est tangent en A'^ à h surface qui est le lieu des points A'| ; c'est-à-dire que si A', est un point du lieu infiniment voisin de A\, la dmite OA', rencontre le plan P' en un point B', tel que la longueur A\ B', est un infiniment petit du second ordre, si la distance A'i A', est du premier. Le point A', correspond à un point A, de rellipsoïde principal très voisin de A|, et comme rdlipsoîde est tangent au plan P mené suivant Kia^ perpendiculairement à Oa^, le rayon vecteur OAj rencontre ce plan en un point Bj tel que B, A, est un infiniment petit du second ordre. Si Ton démontre que l'angle que fait OA', avec Oa\ ne diffère que d'un infiniment petit du second ordre de l'angle que fait OA, avec Oa^ la différence entre OB,et OB', ne sera que du 2* ordre, et en vertu de l'égalité OA, = OA',, la différence OB', — OA', sera du 2* ordre comme OB, — OA,.
Soit [Cig. 31), sur une sphère décrite du point 0 comme centre, Ap A,. Op a, et k\, k\/a\, les traces des rayons vecteurs OA^ 0A„ etc. Les plans Kfia^^ et A,0a, deviennent sur la sphère deux grands cercles
qui font entre eux un très petit angle a et qui se rencontrent suivant le diamètre mm\
Fig. 33.
Dans le triangle sphérique A^ A, a^ où k^a^ = U, on a :
CCS aiA, =cos U C08 A|As + sin U sin AfA, cos Ai;
dansle triangle k\ k\ a'„ où k\ a\ = U, on a :
cos a\ A's = cos U cos A'i A'i -f- sin U sin A'i A'i cos A, .
Si Ton mène le grand cercle Ai A'^, on a deux triangles A, A'i A', et A, A'i A| qui ont le côté A, k\ commun et qui sont rectilatères en A, A', et A| k\ ; ils donnent :
cos A,A| = — sin AiA, cos A| = — sin A'| A', cos A',.
On en déduit :
cosa|A,r=cosUcos A|A,+sinUsinA'iA', cos A',,
et par conséquent :
Ci par uuiuequeiii ;
cosa'jA',— cosa|A,=cosU(cosA'iA',— cosA,A,)4-smUsinA',A',(cosA\— cos
Or la surface S du triangle sphérique k\m k\ est :
l\— cosA',)
et comme S et a sont infiniment petits, on a :
A',=-î:~A',4-P, ^ étant infiniment petit.
Dans Téquation ci-dessus, le 1" membre, cosa'iA', — cos ajA„ est le
double de produit de deux sinus, sin — * * — ^-^ sin * ' — - — -*;
dans le S'' membre, cos k\ A\ ^ cos A^ A, est le produit de deux sinus infiniment petits et est par conséquent du 2« ordre; cos \\ — cos A', est du !•' ordre, mais multiplié par sin A'^A', il donne un terme du 2* ordre. Le second membre étant du 2* ordre, il en est de même du
premier et par conséquent de sin * * — - — î ou de OjA, — a\A',,
Éq«Atioa de 1a MuriMe de r«B4e. — L*équation de la surface de Tonde s'obtient d*une manière tout à fait analogue à celle qui nous a donné Téquation de la surface des vitesses normales. On cherche les cosinus u\ v\ w\ des angles que fait avec les axes la direction A 'a' (fig. 22, page 107) parallèle au rayon vecteur 0A\ = p, de la surface de Tonde. Les coordonnées de A' sont :
îj ?i «1 .
et, à cause de la relation
Oa'=i,
les coordonnés de a' sont :
9i Pi' Pi'
On a donc :
et, en écrivant que la direction 0A| est perpendiculaire sur OA'p on obtient :
équation polaire de la surface de Tonde.
L*équation de la surface de Tonde n*esl autre que celle de la surface
des vitesses normales dans laquelle on a changé r en -, a en -, ^ en v
et c en — Toute relation trouvée entre le rayon vecteur et les paramètres de cette dernière surface deviendra une relation applicable à la surface de Tonde en y faisant les mêmes changements.
Directions des denx Ylbratlons eorrespondaat A âne même
direction dn rnyon. — Un plan perpendiculaire à 0\\ coupe Tellipsoïde principal D| suivant une ellipse C^ dont 0A| est Tun des aies ; le théorème se démontrerait comme le théorème analogue relatif aux vitesses normales. Cette droite OA^ marque la direction de la force élastique que développe la vibration rectiligne dirigée suivant OA'. Le second axe de Tellipse déterminé dans Tellipsoîde principal par le plan normal à OA'^ marque la direction de la force élastique. correspondant à une autre vibration rectiligne qui se transmet aussi suivant 0A\. Les directions des deux vibrations rectilignes qui se transmettent ainsi suivant le même rayon OA'^ ne sont pas perpendiculaires entre elles, mais elles sont contenues respectivement dans les deux plans perpendiculaires entre eux menés par le rayon vecteur et les deux axes de Tellipse Cp Comme d*ailleurs Tangle que fait le déplacement avec la force élastique est toujours petit, les deux vibrations rectilignes seront sensiblement perpendiculaires entre elles. On peut donc dire qu'un môme rayon transmet deux vibrations rectilignes sensiblement perpendiculaires entre elles. La direction de chacune de ces vibrations, telle que k\ a\y s'obtient aisément en projetant le rayon vecteur de la surface de Tonde sur le plan tangent à Textrémité de ce rayon vecteur.
11 faut ajouter que le plan tangent à la surface de Tonde n'étant pas exactement normal au rayon vecteur correspondant, les vibrations lumineuses, dans un milieu cristallin, ne sont pas rigoureusement transversales; elles approchent seulement de l'être parce que Tangle K\ (V a\
Œ\P. IV, — TFlÉOBrE DE U DOUBLE RfiFRACTiON. \ôl
ùtanL 1res petit, le plan Ungent en A', n'est pas très éloigné d'ëlre noimaUOA',.
rorme de la aurface de l'aBde. — La discussion dc la surfdce de l'onde se ferail comme celle de la surface des vilesses normales. On suppose toujours que l'axe maximum a est dirigé suivant l'aie des x, l'axe moyen b suivant Taxe des y, i'ase minimum c suivant l'axe des z. Les plans coordonnés étant des plans de symétrie, on se borne à chercher ta forme de la surface dans l'octant antérieur supérieur droit.
Pour obtenir l'inlersection de la surface de l'onde avec le plan des J-y, il suffit de remarquer que les rayons vecteurs situés dans le plan xy sont normaux à toutes les sections dc l'ellipsoïde D[ menées suivant OZ; toutes ces ellipses ont un axe commune; l'autre axe est l'un des rayons vecteurs de l'ellipse principale ■' ' située dans le plan xy. La sec -
lion de ia surface de l'onde par le plan xy s'obtiendra donc en menant d'abord un cercle de rayon égal à c, et portant ensuite sur chaque rayon vecteur une longueur égale à celle du rayon de l'ellipse principale de D[ qui lui est perpendiculaire. On obtient ainsi l'ellipse principale elle-même, mais tournée de 90°, c'est-à-dire ayant l'axe 6 dirigé suivant Ox et l'axe a suivant Oy. Cette ellipse est extérieure au cercle de rayon c.
On verra de même que l'intersection par le plan y« se compose d'un cercle de rayon égal à a, et d'une ellipse dont l'axe b est dirigé suivant Oz, et l'axe c suivant Oy. Le cercle est extérieur à l'ellipse.
L'intersection par le plan xi se compose encore d'un cercle de rayon égal à & et d'une ellipse ayant un axe égal à a suivjnt l'axe des s, et un axe égal à c suivant l'axe des x. Le cercle et l'ellipse se coupent en un point I {lig. Zi). Le rayon vecteur 01 de l'ellipse étant égal i b, est normal à celui des rayons vecteurs de l'ellipse principale dc D^ située dans le plan sx qui a pour longueur b et par conséquent au plan mené par ce rayon vecteur et l'axe b de l'elltpsoide. La direction 01 est dom; perpendiculaire à l'une des sections circulaires de l'ellipsoïde I),.
IN ezUrIeiire>
- L'éqnalion de l'ellipse située
dans le plan méridien des zx est
û) étant l'angle du rayon vecteur avec Taxe des x ; en faisant p = b dans
cette équation, on trouve pour la valeur conespondanle de &>, laquelle est égale à lOX,
tgiox
Il y a, symétriquement placés dans les 4 quadrants formés par les axes des X et des z, 4 points 1 qui sont les ombilics de la surface de Tonde.
Ces 4 points correspondent à deux droites telles que 01 que Ton nomme axes de réfraction extérieure. Les points I sont des points singuliers de la surface de Tonde ; et de chacun d*eux on peut mener un nombre inflni de plans tangents à cette surface. En projetant le rayon 01 sur chacun de ces plans tangents, on a la direction d'une vibration qui se propage suivant la direction 01. 11 est aisé de voir comment sont placées toutes ces vibrations ainsi que les vitesses de propagation correspondantes qui sont les normales à chacun des plans tangents à la surface de Tonde.
Soit en effet aj3y (fig. 35) une des sections circulaires de Tellipsoîde D| et 01 la droite normale qui est Taxe de réfraction extérieure correspondant. Tous les rayons de la section circulaire sont des axes de symétrie et peuvent, par conséquent, correspondre à une vibration transmise suivant 01.
Soit Oa Tintersection de la section circulaire avec le plan des zx, le plan tangent 4 Tellipsoîde en a coupe ce plan suivant une droite avi. Les plans tangents à Tellipsoîde en chacun des points de la section circulaire ont pour enveloppe un cylindre dont les génératrices sont parallèles à ocvi et dont la section droite est une certaine ellipse |3x^. Les normales menées à ces plans tangents par le point 0 sont les normales à Tellipse ^vi.
Soit 0A( un rayon quelconque de la section circulaire ; menons la génératrice A^m du cylindre, puis, au point m, la tangente à Tellipse
i. Oo aurait pu déduire celte équation de celle qui donne tg MOX (page 115) en cliangeui.t dans celle-ci a, b, c en -, ti -* conformément à la remarque faite plus haut.
CHilP. IV. -^ THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 139
de la section droite, et enfin la normale Oa^ à cette tangente. La droite Gai étant normale au plan tangent k^ma^, et GA^ étant normale à la tangente au cercle en Ap cette tangente est perpendiculaire au plan GAïap qui se trouve ainsi perpendiculaire sur le plan de la section circulaire et renferme GI. Le plan GAia^ est donc bien le plan de vibra-
Fig. 35.
tion, et Ton obtient la direction la\ de cette vibration en menant Ga'i égal et perpendiculaire à Ga^ puis menant la\ qui se trouve ainsi parallèle à Oa^ puisque GI est égal à OA^.
On voit que les vibrations transmises suivant la direction GI sont toutes parallèles à un même plan normal à OP menée parallèle à cLXi. On obtient facilement GP en menant en! (fig. 54) la tangente à Tellipse qui avec le cercle de rayon b représente Tintersection de la surface de Tonde par le plan ZX, puis menant OP normal à cette tangente.
UO DEUXIÈME PARTJE - Cil ISTALUK. RAPHIA IMIYSIQUE.
Pour trouver la direction de la vitesse de propagation de chacune de ces vibrations, nous remarquons que Oa\ est la vitesse correspondant à la vibration la\ ; que le triangle ?0a\ est semblable au triangle A^mai, et que par conséquent ?a\ est parallèle à mai ; on en déduit que Pa', est perpendiculaire sur \a\. Le point a\ se trouve donc dans un plan normal à OP sur une circonférence de cercle décrit avec IP comme diamètre. Cette circonférence est la section circulaire du cône du 2* degré formé par les directions des vitesses de propagation telles que Oa'i correspondant à toutes les vibrations transmises suivant 01.
Si, dans le plan zx^ on mène la tangente commune MN au cercle et à Tellipse qui forment sur ce plan la trace de la surface de Tonde, le plan mené suivant MN perpendiculairement au plan zx est tangent en N à la surface de Tonde, et perpendiculaire en M au rayon OM. Le rayon OM représente donc en grandeur et en direction la vitesse de propagation de la vibration dirigée suivant MN ; c*est donc un rayon vecteur de la surface des vitesses normales, et puisque ce rayon est égal à by il est perpendiculaire à Tune des sections circulaires de Tellipsoïde
inverse E, section dont le rayon est t. C*est la direction de ce que Ton
a appelé Taxe optique.
Mais le plan MN est non seulement tangent à la surface de Tonde aux points H et N; il touche encore la surface suivant une certaine courbe. Il est clair en effet que si nous considérons la section circulaire de Tellipsoïde Ë dont tous les rayons sont des axes, chacun de ces rayons correspond à une vibration rectiligne, et ces vibrations, comprises dans le plan de la section circulaire, se propagent avec une vitesse normale qui est la même pour toutes, et qui est représentée en grandeur et en direction par OM. Toutes ces vibrations seront représentées par des droites menées par M perpendiculairement à OM, et allant toucher la surface de Tonde en un autre point. Le lieu de tous ces points est la courbe de contact de la surface de Tonde et du plan normal à OM mené en M.
Il est aise de trouver la nature de cette courbe. Supposons en effet que, dans la fig. 55, a(5y représente la section circulaire de E; nous verrons, comme précédemment, que, pour avoir la direction du rayon correspondant à une vibration quelconque OAj dirigée dans le plan de
la section, il faut prendre sur la normale à cette section une longueur
0.\i=r — ; puis mener dans le plan MOA^ une droite perpemiiculaire
sur OAj, et prendre sur cette droite une longueur Or=:^. La droite Or
est la direction du rayon, et le point r Tun des points de tangcnce, avec la surface de Tonde, du plan mené en M perpendiculairement a OM. Or Mr, étant perpendiculaire à OM, est parallèle à OAi. Le plan MNr étant parallèle au plan a^/, et le plan RON étant parallèle au plan mkia^, la droite Nr est parallèle à la tangente au cercle menée en Â^. Les droites Mr et Nr sont donc perpendiculaires Tune sur Tautre et le point r se trouve sur un cercle dont MN est le diamètre.
Remarques d*Hamllioii. Expériences de MAojd. — Lorsqu'un
rayon lumineux tombe sur la surface de séparation d'un milieu cristallisé sous une incidence telle que Tonde plane résultante se propage dans ce milieu suivant un axe optique, cette onde plane est unique. Elle transmet des vibrations orientées d'une manière quelconque dans son plan, et par conséquent propage de la. lumière non polarisée.
Supposons que le milieu cristallisé soit une lame à faces parallèles. Si IS (fig. 36) est le rayon incident, à Tonde plane se propageant dans le cristal correspondra un nombre infini de rayons réfractés formant
Fig. 5d.
Fig. 37.
les génératrices d'un cône du second degré min. Après l'émergence, chacun de ces rayons doimera un rayon émergent parallèle à IS, et il est évident que tous ces rayons formeront un cylindre (*,reux du second degré.
On peut tirer de là une vérification très curieuse de la théorie de la double réfraction. Supposons que la lame cristalline soit taillée de telle sorte que les deux faces parallèles soient perpendiculaires au plan des axes a et c d'élasticité optique. On recouvre la surface de la lame d'un écran EF (Gg. 37) percé en 1 d'une très petite ouverture, et Ton fait tomber en 1 un faisceau très mince limité par un écran CD placé à une
certaine distance du cristal. En faisant glisser dans son plan la lame et son écran, on fait varier à volonté l'angle d'incidence du faisceau SI. On mesure cet angle en recevant sur un écran IK, l'image L du point I et mesurant Tangle SIL qui est le double de Tangle d'incidence.
Les rayons émergeant de la lame sont reçus sur un écran GH parallèle à la surface de la lame. En général, on voit se dessiner sur cet écran deux points lumineux. Mais en faisant varier lentement l'angle d'incidence, on voit, pour une valeur particulière de cet angle, les deux points se réunir et former une ellipse brillante continue.
On voit pour quelle raison les axes optiques sont appelés quelquefois axes de réfraction conique intérieure.
. Si le plan de l'onde transmise par le milieu cristallisé est tangent à la surface de l'onde en un point 1, le rayon transmis dans le milieu est unique et coïncide avec Taxe de réfraction extérieure. Mais il y a une infinité de plans qui sont tangents à la surface de l'onde au point I, il y a donc une infinité d'ondes planes transmises, bien qu'il n'y ait qu'un seul rayon. A chacune de ces ondes planes coiTespond un rayon incident. Il y a donc un nombre infini de rayons incidents correspondant tous à un seul et même rayon réfracté dirigé suivant une ligne 01. Tous ces rayons forment les génératrices d'un cône du deuxième degré. On verrait de môme qu'un rayon unique dirigé suivant 01 donne à rémergence un cône de rayons lumineux.
De là une expérience remarquable. La lame qui a servi dans l'expérience
précédente reçoit en un point A (fig. 58) un cône de rayons rendus divergents par une lentille convenable. Les rayons ressortent de la lame en traversant une très petite ouverture pratiquée en B dans un écran CD fixé sur la face d'émergence.
En faisant glisser In lame parallèlement à elle-même, on trouve une position pour fi g, 5g laquelle le rayon AB transrois dans Tinté-
rieur du cristal est dirigé suivant un axe de réfraction conique extérieure, et alors le rayon émergent s'épanouit en formant un faisceau creux qui dessine un anneau lumineux sur un écran EF. Cet anneau augmente de diamètre lorsqu'on éloigne de la lame l'écran EF, et le diamètre est à chaque instant proportionnel à la distance qui sépare la lame de l'écran. Tous ces phénomènes indiqués, d'après la théorie, par Hamilton^ ont
CIIAP. IV. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. i iô
été observés par Lloyd, et sont venus confirmer d'une façon éclatante la théorie de Fresnel.
Dans les cristaux à axe principal, les deux axes optiques, de même que les axes de réfraction conique extérieure, se réduisent à une seule direction qui est celle de Taxe principal. Un faisceau lumineux traversant le cristal suivant cette direction, ne se dédouble ni à l'entrée ni à la sortie, et peut transmettre de la lumière polarisée dans toutes les directions.
Déterminatloii de» directions des deux rayons rétrmetém correspondant à un rayon Incident. — Une onde plane se dédouble généralement, lorsqu'elle pénétre dans un milieu cristallisé, en deux ondes dont chacune correspond à un rayon réfracté. Pour trouver les directions de ces deux rayons réfractés provenant d'un rayon incident unique, il suffit, en répétant la construction employée précédemment poiir trouver les deux ondes planes, de mener en P (fig. 27, page 125) la surface de l'onde; les deux ondes planes perpendiculaires au plan d'incidence et menées par le point M à une distance de MP égale à -. — r,
viennent toucher la surface de l'onde en deux points ; les rayons vecteurs menés par ces deux points sont les directions des rayons réfractés. Ils ne sont pas, en général, contenus dans le plan d'incidence. Cette particularité se présente cependant quand le plan d'incidence est l'un des plans de symétrie de la surface de l'onde.
On peut encore résoudre le problème en déduisant les deux directions des rayons lumineux réfractés de la connaissance des deux directions de propagation des ondes planes. On sait en effet que le rayen lumineux et la direction de propagation sont dans un même plan avec la direction de vibration, et la direction de vibration est connue lorsqu'on donne celle de la propagation. 11 ne reste plus qu'à connaître l'angle U que fait la direction de propagation avec celle du rayon, et dont nous allons chercher la valeur.
Formules de Illac-Culla§fli donnant rang^le U compris entre la direction de propag^atlon normale et celle du rayon luailneux* —
Reprenons l'équation de la page 1 09,
--.(a« — r«) = — MXA.fl, ou —rn'=z^^^-—^*k^a^.r, que Ton peut encore écrire :
- m' - -5^ . Ig L'.
Si nous formons les équations analogues en n' et p\ si ensuite nous élevons au carré les membres de chacune des trois équations ainsi obtenues, et si enfin nous les ajoutons membre à membre, nous obtiendrons :
Or, si nous appelons r' et r" les deux valeurs de r correspondant à u, î', w, on trouve
en désignant par S -, ^ ,,v^ la somme des trois termes ^ , ,^.^ »
Ti — 7^' ( « r'*\i *• '^^ ^*^" appelle 6' et 6" lesang les que fait la direc-
tion(ii V w) avec les axes optiques, il est aisé de voir que Ton a :
r-* - a« = - î^^ [1 -f ces (6' - e')J,
r^ — fr«= û« — frt îlllf! [I 4.cos(6' — e")].
On connaît d*ailleurs la relation :
r'* — r** = (a* — c*) sin 6' sin 0'. On peut donc écrire :
(a^ - c«)* sin (6' - b") fî^^^-cos'-^-J^I
r'» tff* U' =
8 sin 6' sin 6"
En appelant v Tangle de Taxe optique avec Taxe des x; — ^=cos^v
et la parenthèse du numérateur devient :
ces* V — cos' — - — = - [ces 2» — ces (6' — 6")] ;
* V. Lamé. — Théorie mathématique de Vélasticité, pages 237 et 238.
CHAP. IV (1*011 Ton déduit.:
THÉORIE DE Lk DOUBLE RÉFRACTIOiN.
(a« — c«)» sin« (Ô' — b") (cos (ô'— 6') — cos 2») ^ 16 sin Ô' sin Ô''
Or, SI nous représentons sur la surface d*une sphère (fig. 39) les traces 1\ Ap A,, de la direction OP (u, v, u;), et des directions des axes optiques 0A| et OA,, nous aurons dans le triangle sphérique PA|A|, en
appelant vp Tanglc A^ PA^ :
cos v = cos 6' cos ô' — 2 sin ô' sin ô" sin' « ^*
ou :
ces (0' b") — cos 2w = 2 sin ô' sin ô' sin« . 6» p.., -^
Portant dans la valeur de r'*lg*U', il vient :
4r^ tg'iJ' = (a« — c«)« sin« (Ô'— 6») sin* | tj;.
ou .
tg U' =:^ ^-^ sin (Ô' - 6') sin ; d;
On trouverait de même :
Ig l* = ± ?^%in (ô' 4- 0') cos ^ ^.
Ces deux équations remarquables ont été établies par Mac CuUagh. Elles déterminent complètement les deux rayons réfractés lorsqu'on connaît les deux vitesses de propagation, les plans de vibration, et le sens dans lequel il faut compter Tangle U à partir de la direction de la vitesse. Pour préciser cette dernière donnée, il suffit de remarquer que si Ton considère Tellipsc suivant laquelle Tellipsoîde principal est coupé par le plan de vibration, Tangle aigu du rayon vecteur avec la tangente est dirigé du côté du petit axe de Tellipsc. Le pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente est donc placé du côté du petit axe ; Tangle U doit ainsi être compté à partir de la direction de la vitesse de propagation et en se dirigeant sur le grand axe de Tellipse.
Fomnies approebécs. — Lorsqu'on fait usage du genre d*approximation déjà employé et qui consiste à négliger le carré de la différence de
CBISTALL06RAPHIE, T. II. 10
deux rayons vecteurs quelconques de Tellipsoîde principal, on peut confondre sin U et U, 1 et cos U. On aura donc Oa^ = p^ (fig. 22) à cause
de la relation Oa^ = p^ cos U, et la surface de Tonde se confondra avec celle des vitesses normales, les axes optiques se confondant avec les axes de réfraction intérieure. Toutefois l'angle U que fait le rayon avec la direction de propagation normale ne s*annule pas ; il est seulement très petit, et la longueur du rayon vecteur de la surface de l'onde qui va du centre de propagation à un point de l'onde plane ne diffère que d'un infiniment petit du second ordre de la longueur du rayon vecteur de la surface des vitesses normales qui est la normale à l'onde plane.
En appliquant notre méthode d'approximation à la formule qui donne Ig L^, il vient :
tg U' =^^ sin (0' - Ô') sin I ^}/.
Si on l'applique aux cristaux uniaxes, on trouvera que l'un des angles U est nul, et que pour l'autre on a :
tgU'= -,— sm2 6.
Si le plan d'incidence contient l'axe principal, le rayon extraordinaire et le rayon ordinaire sont dans le plan d'incidence; la direction de la vitesse de propagation du rayon extraordinaire fait avec celle
du rayon ordinaire un angle e égal à dz — r— sin* 6 tg R ; l'angle A que le rayon extraordinaire fait avec le rayon ordinaire est donc :
X = e±:U = ?-^(±:sin«6tgR±:sm2ô;.
Soit &> l'angle aij^u que fait Taxe principal avec la normale à la surface de séparation ; si le cristal est positif, l'axe principal est l'axe minimum d'élasticité, et il faut porter l'angle U soit du côté de la normale, soit en sens opposé, suivant que R + oj est plus petit ou plus grand que 90''. On a :
X=^^(— sin«ÔtgR±:sin2e);
on prendra le signe -+- lorsque R -+- a> < 90", et le signe — dans le cas contraire.
Si le cristal est négatif, on aura :
\ = ^-Zl(sïn* e tgR dt sin 2 0);
on prendra le signe — si R -i- w est plus petit que 90» (fig. 40), lo signe + dans le cas contraire.
On voit que le rayon extraordinaire est tantôt plus, tantôt moins éloigné de la normale que le rayon ordinaire. La direction du rayon n'est pas soumise à des lois aussi simples que celle de la vitesse de propagation.
Fig. if).
