CHAPITRE IV

Les ondes lumineuses se propageant dans un milieu isotrope sont sphériques ; il n'en est plus de même dans un milieu continu mais ne possédant pas des propriétés identiques suivant toutes les directions ainsi qu*il arrive pour les corps cristallisés. Huyghens a montré quelle était la forme de Tonde dans les cristaux^ tels que le spath calcaire, qui présentent un axe principal de symétrie. Cette découverte, très remarquable, surtout pour Tépoque à laquelle elle se produisit, n'était d'ailleurs appuyée sur aucune idée théorique. Généralisant la construction d'Huyghens, Fresnel découvrit la loi de la propagation lumineuse dans les corps cristallisés quelconques, et cette mémorable découverte est considérée à juste titre comme un des plus beaux titres de gloire de ce grand savant.

Non content d'avoir trouvé les lois des phénomènes, Fresnel en donna la théorie, et c'est même sous la forme de déductions théoriques qu'il les fit connaître pour la première fois. Malheureusement si Texpèrience a constaté, de la manière la plus précise, l'exactitude des lois, les idées théoriques desquelles Fresnel avait cru pouvoir les déduire ont paru contestables et peu rigoureuses, et les plus illustres géomètres, les Cauchy, les Lamé, etc., se sont mis à l'œuvre pour suppléer à cette lacune. Ces travaux, qui ont été le point de départ de progrès importants dans les sciences mathématiques, n'ont cependant pas complètement atteint le but que se proposaient leurs auteurs, et la théorie de la double réfraction se trouve encore à peu près au point où l'avait laissée Fresnel. C'est donc la théorie de Fresnel que nous allons exposer. Nous en montrerons les lacunes, mais nous ferons voir aussi qu'elle suffit, après tout, lorsqu'on se place au point de vue purement physique.

i04 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PIIYSIQUE.

Principes 4e la théorie dem ondolatlons lunlneases. — Nous

rappellerons d*abord les principes sur lesquels est fondée la théorie générale des phénomènes lumineux.

On suppose ceux-ci produits par les vibrations d*un certain milieu. Ces vibrations sont transversales, c'est-à-dire qu'on peut les supposer contenues dans un plan normal à la direction de la vitesse avec laquelle se fait leur propagation dans le milieu. Toute vibration plane d*un point du milieu peut être supposée due à la combinaison de deux vibrations rectilignes composantes qui sont les projections, sur deux axes rectangulaires, de la vibration résultante. Dans chacune des vibrations rectilignes le déplacement e du point vibrant, c'est-à-dire la distance, variable avec le temps, qui sépare le point mobile de Torigine, est représenté par l'expression

A est un coefficient constant qui représente le déplacement maximum ou Vamplitude de la vibration ; a est une quantité constante qui ne dépend que du moment choisi pour représenter l'origine du temps ; t est le temps variable ; et T la durée d'une oscillation.

Pendant la durée T d'une oscillation, le mouvement vibratoire se propageant dans le milieu parcourt la distance vT, si v est la vitesse

e propagation. Posons :

X=rT;

X est la longueur d'onde de la vibration considérée, c'est-à-dire la distance qui sépare, sur la direction de la propagation, deux points dont le déplacement est identique à un même instant. La longueur d'onde X et la durée T d'une oscillation varient avec la couleur du rayon. La vitesse v devrait être théoriquement la même dans le même milieu, pour tous les rayons, quel que soit X. C'est ainsi que les vibrations sonores graves se propagent dans l'air avec la même vitesse que les vibrations aiguës. Pour la lumière il n'en est pas de même; les variations de V avec X dans le même milieu donnent lieu au phénomène particulier auquel on a donné le nom de dispersion. Si l'on différencie deux fois e par rapport à ^ on a :

=2 7:aC08 27;(s + a j

g = «4.«^sin2.(^..a)=-^%=-4..5.

Si Ton multiplie la dernière équation par la masse m du point vibrant,

dh — m .— représentei la force élastique f qui sollicite ce point, et on

obtient aisément :

Y est, dans le même milieu, une quantité constante lorsque le rayon

reste de même espèce, c*est-à-dire garde le même X, En représentant cette quantité par k^, et en appelant F la force élastique correspondant au déplacement maximum que nous prendrons pour unité de longueur, il vient

tj«=A«F ou vz=k^.

La vitesse de propagation f dans le milieu considéré, est. donc proportionnelle à la racine carrée de la force élastique développée par la vibration dans ce milieu.

■ypothèse de Fresnel siir la propayatlon, dans nii milieu solMe, d'an systèine d'ondes planes parallèles entre elles. — Fresnel

admet, et nous admettons avec lui que les forces élastiques mises en jeu par la propagation d*un système d*ondes planes parallèles, à vibrations rectilignes et transversales, diffèrent des forces élastiques développées par la vibration d*une seule des molécules vibrantes, seulement par un facteur constant qui ne dépend pas de la direction des vibrations. Cette hypothèse n'est certainement pas exacte dans le cas générai, mais elle le devient lorsque, la propagation du mouvement se produisant dans un milieu isotrope, la surface de Tonde (enveloppe des ondes planes) est une sphère*

Considérons, en effet, la position d'équilibre 0 d'une certaine molécule H comme le centre des vibrations. La partie la plus importante de la force élastique exercée sur M est déterminée par le déplacement absolu e de H dans l'espace et les variations de distances qui en résultent par rapport aux autres molécules supposées immobiles. Les déplacements de ces autres molécules mises en mouvement par la vibration émanée de 0, se font, par hypothèse, sur des sphères décrites de 0 comme centre ; les distances de ces molécules à 0 ne varient donc pas et leurs distances à la molécule H ne varient que par suite du déplacement e. La force élastique, exercée sur U suivant la direction e, et due aux déplacements des molécules environnantes est donc proportion-

i06 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

nelle à e, et peut être posée égale à KF. Le coefticient K dépend de la nature du milieu, mais ne dépend pas de la direction de e, puisque, dans le milieu isotrope supposé, toutes les directions jouent le même rôle au point de vue optique.

Or Tobservation montre que tous les milieux cristallins sont presque isotropes optiquement; Thypothèse de Fresnel pourra donc toujours être regardée comme approximativement vraie.

EilipsoMe d'éiantlcité optique. — Soit un milieu transparent ; le» vibrations lumineuses se transmettent dans Téther au milieu duquel baignent les molécules matérielles qui forment ce milieu. Cette propagation se fait comme dans le vide, avec cette différence que la présence des molécules modiûe les propriétés mécaniques de Téther lumineux et en altère Tisotropie normale. Le déplacement dl d*un point de Téther développe dans ce milieu une force élastique F égale et contraire à celle qui produit le déplacement. La force élastique F s'annule avec dl; elle dépend de la direction de dl et de la constitution du milieu tout autour de 0. On en conclut que Ton se trouve dans le cas étudié au chapitre I*' t)e cette seconde partie. Lorsque le déplacement» gardant la môme longueur, prend successivement toutes les directions possibles, Textrémitë de dl décrit une sphère ; celle de F décrit un ellipsoïde qui est l'ellipsoïde d'élasticité' optique.

On se trouve d*ailleurs évidemment dans le cas de Tégalité symétrique. En outre le déplacement, dont Torientation seule varie, étant la seule cause qui mette en jeu la force F, Tellipsoîde d'élasticité op< tique ne dépendra que des propriétés optiques du milieu dans un très petit rayon autour de 0. On aura donc, entre la symétrie du milieu et "Celle de Tellipsoîde, les relations spécifiées au chapitre I*', c'est-à-dire que cet ellipsoïde sera une sphère dans les milieux à symétrie cubique; qu'il sera de révolution dans les milieux à axe de symétrie principale, etc.

Ck>iiipos«iie«B de la forée élastique. — - Hypothèse de Fresnel.

— Appelons U l'angle de la force F avec le déplacement dl. La force F ise décompose en deux autres, FcosU dirigé suivant dl^ et FsinU qui lui est perpendiculaire. Si le déplacement dl se propage dans le milieu suivant la direction de la composante FsinU, on peut admettre -qu'il se transmettra sans altération, car la force FcosD sera à chaque instant la force élastique vibratoire, et Fresnel admet que la composante •FsinU, s'exerçant normalement au déplacement, et ne tendant qu'A •comprimer les couches successives de Téther, qu*il suppose incom-

CUAP. lY. -^ THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 107

pressible» est sans action sur le phénomène. Le déplacement dl se propagera donc suivant une droite qui lui est perpendiculaire, située dans le plan qui contient la force élastique F; il se propage en outre avec

une vitesse proportionnelle à y/ F cos U.

En réalité le raisonnement de Fresnel est très insuffisant; il n*est point permis de se débarrasser, ainsi qu*il le fait, de la composante FsinU. Mais on doit remarquer que, grâce à la faible biréfringence des milieux les plus biréfringents, Tangle U est toujours petit, et par conséquent la composante FsinU, toujours petite elle-même. On peut s'expliquer ainsi qu'il soit permis d*en négliger Taction vis-à-vis de celle de la composante FcosU.

On connaît la loi suivant laquelle varie, avec la direction de la vibration, la direction et la grandeur de la vitesse de propagation ; on peut donc dire que la théorie de la double réfraction est établie. II nes*agit plus que de la développer et d*en tirer les conséquences qu'elle contient implicitement.

Ellipsoïde 4*élMtleité Do. — EllIpsoMe principal D^. — Elllpsofde

loTerse E. — Soit Oa (fig. 22), la direction d'un déplacement, OAo la j^randeur et la direction de la force -^vV*

élastique F correspondante ; Do Tellipsoîde qui est, on le sait, le lieu des points ko et dont l'équation est

nuip

wnÇg?

L'angle U étant toujours très petit, les composantes normales N de la ^^- ^•

force élastique sont toujours positives et la sur face principale (chap. 1«% page 14) est un ellipsoïde. Cet ellipsoïde, qu'on représentera par Dp a pour équation :

(D,) Ellips. principal. -- ^- 1! + ?! = j .

fl« p* c*

Si A4 est le point où le rayon vecteur OAo rencontre cet ellipsoïde D|; en posant OAo = po, OA^ = p^ et U = a^ OAo, on a :

Po = Pi* cos U.

Si on mène en A^ le plan tangent à l'ellipsoïde Du ce plan est per-

i08 DEUXIÈME PARTIE. ^ CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE,

pendiculaire sur Oa^ en un point qu*on appellera a^ et on a :

Ofli = pi ces U = ^p^ ces U ;

Oa^ est donc proportionnel à la vitesse de propagation du déplacement et peut être supposé égal A cette vitesse même. La surface inverse est, comme la surface principale, un ellipsoïde, qu'on appellera E, et dont Téquationest :

(E) Ellipsoïde inverse. a*x* 4- ^V 4- c*z« = 1 .

Si A' est le point de cet ellipsoïde rencontré par le rayon vecteur Oa^^

le plan tangent en A' à l'ellipsoïde E est normal à la direction OAo qu'il coupe en un point a'. En posant OA' =: p', on a :

Surface des altesses normales. — La vitesse de propagation du déplacement dirigé suivant Oa^ est dirigée, dans le plan OA^a^, normalement à Oa^; elle est donc représentée en grandeur et en direction par une droite Oa', parallèle à k^a^ et égale à Oa^.

L'onde plane qui contient le déplacement et qui coïncide, à l'origine du temps, avec le plan mené suivant Oa et perpendiculairement à Oa^ A^ coïncide donc, au bout de l'unité de temps, avec le plan mené par a\ perpendiculairement à Oa^. La surface qui est le lieu des points a\ jouit ainsi de cette propriété que les plans normaux à l'extrémité de chacun de ses rayons vecteurs représentent les diverses positions que prend le plan de l'onde au bout de l'unité de temps. En d'autres termes la grandeur d'un rayon vecteur de cette surface représente la vitesse de propagation, évaluée suivant une normale au plan de l'onde des vibrations contenues dans le plan. Celte surface est appelée surface des vitesses normales.

11 est très aisé d'en trouver Téquation. Soient

m, n, p les cosinus des angles que fait la direction 0A| avec les axes, m', n', j:>' ^ — — — — Oa^ — —

Posons r = Oa| = Oa\, et cherchons les cosinus ti, v, w des anglesque fait la direction Oa\ ou kfi^^ avec les axes.

CIlÂP. lY. — THÉORIE DE Lk DOUBLE RÉFRACTION. 109

Si a/ y y', z' représentent les coordonnées du point Â' de rellipsoîde

inverse, on a

et

^i. ..»—yi

d*où Ton déduit

r a** r ir«* r c*

Appelant ^, >?, Ç, les coordonnées de ai, on a d'ailleurs :

€t Ton tire aisément de ce qui précède :

Xj — $ = ^(a« — r«) = — ttXAiOp

Si l'on se rappelle enfin que Oa^ est perpendiculaire à Oa\ ce qui se traduit par la relation :

m'u •+■ n'v + pw = 0 ;

on a, en remplaçant dans cette équation m\ n\p' parles valeurs déduites des équations ci-dessus :

équations où n'entrent que r = Oa'i et les cosinus des angles que fait Oa\ avec les axes. C'est l'équation polaire de la surface des vitesses normales.

On appelle surface de Fonde le lieu des points de l'espace atteints» au bout d'un temps qu'on peut prendre poiir unité, par le mouvement vibratoire qui, à l'origine du temps, aflectait l'origine 0 des vibrations. On démontre que cette surface est l'enveloppe des ondes planes, ayant toutes les orientations possibles, et qu'on peut supposer partant du

ilO DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

point 0 à Torigine du temps. On démontre en outre que cette surface est le lieu des points k\.

La considération de la surface de Tonde est rarement utile dans les recherches cristallographiques, on en renverra l'étude à la fin de ce chapitre.

PolarlsatloD rectlllgne, à aB||^le droit, dem deoz wmjomm trwmt

•allant «ne ■lièflM direction. — Après avoir exposé la théorie de la double réfraction, on va revenir sur quelques conséquences importantes qu*on aurait pu déduire immédiatement des principes qui ont servi de point de départ, mais qu'on a laissées de côté pour ne pas interrompre Tenchainement de la démonstration.

Considérons le plan de Tonde qui contient la vibration Oa| (fig. 22) et se propage suivant la droite normale Oa\, Un plan mené suivant 0A| perpendiculairement au plana^ OA^, coupe Tel lipsoide principal D^ suivant une ellipse dont OA^ est Tun des axes, car le plan tangent en Ai est normal au plan ai OAi et coupe le plan de Tellipse suivant une droite normale à OAi. La tangente à Tellipse en Ai est donc normale au rayon vecteur. Par une raison entièrement analogue OA' sera Tun des axes de la section que détermine dans Tellipsoîde inverse E un plan normal au plan ai OAi mené suivant Oa^. Le deuxième axe OB' de cette ellipse correspond de même à une vibration Ofrp qui se propage suivant la môme direction' que la vibration Oa^, mais avec une vitesse différente, au moins en général.

Ainsi, parmi toutes les vibrations rectilignes que Ton peut supposer issues d*un même point et contenues dans un même plan, il en est deux et deux seulement dans le cas général, qui se propagent avec des vitesses inégales, suivant une même direction normale au plan qui contient les deux vibrations. Ces vibrations sont dirigées suivant les deux axes de Tellipse que détermine Tintersection du plan de vibration et de Tellipsoîde inverse E. La vitesse de propagation de chacune d*elles est égale à Tinverse de la grandeur de Taxe de Tellipse auquel la vibration est parallèle.

On peut encore déduire de là que tous les rayons qui ont traversé un milieu biréfringent sont, sauf les cas singuliers, polarisés rectilignement, et que, suivant une même direction de propagation normale, sont transmises deux vibrations rectilignes rectangulaires entre elles.

Forme de la svrf aee des YlteMtes nomudea. -— Axes opUqoee. —

La surface des vitesses normales se déduit si aisément de celle de l*el-

CHAP. lY. — THÉORIE DE LÀ DOUBLE RÉFRACTION. 111

lipsoîde inverse E, qu'on peut, sans recourir à son équation, acquérir de sa forme une idée très suffisante pour ce qui doit suivre*

Nous allons, à cet effet, chercher la trace de la surface sur les 3 plans coordonnés, et comme ces plans sont évidemment des plans de symétrie, nous pouvons nous borner à l'étude de l'octant antérieur supérieur droit. Soit (fig. 23) l'ellipsoïde inverse réduit, pour simplifier la figure, à samoi-

Fig. 3i.

Fig. 25.

tié supérieure; Oa', 06', Oc' sont les 3 axes, m 6' et m! V les sections circu*

laires;onaOa'=:-, 06' = t» Oc' = — Par Oc' et les diamètres de Tel-

abc

lipse principale a'V menons une série de sections de l'ellipsoïde ; toutes aui*ont pour axes Oc' et le diamètre correspondant de l'ellipse a'6'; toutes correspondront en outre à des vitesses de propagation normales situées dans le plan principal a'V ; on aura donc tous les points de la surface des vitesses normales qui sont situés dans le plan a'c' en menant dans ce plan sur chaque direction perpendiculaire à l'une des sec^

tions menées suivant Oc', c'est-à-dire perpendiculaire à l'un des dia-

mètres de l'ellipse a'^, deux longueurs égales l'une à -^ =c, l'autre à

l'inverse du diamètre de l'ellipse a!b\ On obtient ainsi pour la trace de la surface des vitesses normales sur le plan a! c' (fig. 24) un cei*cle c\ c'.

ItS DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

de rayon égal à c et une courbe^ sur la forme de laquelle il est inutile d'insister, mais qui coupe Taxe des x en b\ à une distance de 0 égale à b^ et Taxe des y en a\ à une distance de 0 égale à a. La courbe enveloppe le cercle.

On Terra de même que dans le plan des %y^ la trace de la surface se compose d*un cercle a\ a', de rayon égal à a, et d*une courbe b\ d^ telle que Ofr',= 6.

Enfin, dans le plan des zx^ c'est-à-dire dans le plan qui contient Taxe maximum a et Taxe minimum b d'élasticité optique, la trace se compose d*un cercle b\ b\ de rayon égal à 6 et d*une courbe a\ c\ qui vient nécessairement renconti*er le cercle en un certain point H.

On a OH = 6, la direction du rayon vecteur OH de la courbe a\ c\ est

donc obtenue en faisant décrire 90* au rayon vecteur Om de l'ellipse a' c\

qui est aussi compris dans la section circulaire et est égal à j* La direction de OH est ainsi perpendiculaire sur lune des sections circulaires de rellipsoîde inverae et les vibrations qui se transmettent suivant la direction de propagation OH sont contenues dans le plan de cette section circulaire. Tous les diamètres de la section circulaire sont des axes de cette section; les vibrations qui se propagent suivant OH ne se

* L'équation polaire de l'elUpse aV rapportée à Taie des « est :

p* (a' cos' » H- 6* sin* w)= 1 ;

le rayon vecteur de la courbe a^c^' qui fait avec Taxe des a; un angle ^ -— m est égal à

-• Téquation de la courbe est donc :

p*s=a*8in* M + M cos* m.

C'est une courbe du 4" degré qui est d'ailleurs identique au lieu des points a^ (flg. 92], c'est par conséquent le lieu des projections du centre 0 sur la tangente & Teilipse a'c', auquel on a fait subir un quart de révolution.

On trouve aisément pour l'angle a que fait le prolongement de la tangente avec celui du rayon vecteur

La tangente est verticale lorsque tga= cotg m, c'est-à-dire pour

Entre ea = 0, pour lequel la tangmite est verticale, et oi=u' (lorsque tg m' n'est ni nul ni imaginaire, ou lorsque a*> 2c*), la courbe a donc un point d'inflexion. Pour tous les corps cristallisés on a a^<2c*, et par conséquent le point d'inflexion n'existe pas. Les courbes b^a^* et b^'c^ donneraient lieu à (tes remarques analogues.

séparent donc pas en deux rayons vibrant à angle droit suivant des directions déterminées el cheminant avec des vitesses inégales ; elles se propagent suivant celte direction spéciale comme elles le feraient dans un milieu isotrope. On donne à cette direction OH le nom à*axe optique ou encore axe de réfraction intérieure.

Il y a un autre axe optique perpendiculaire à l'autre section circulaire de Tellipsoîde inverse et placé par rapport au premier symétriquement an plan des zy.

L'équation polaire de Tellipse a'c\ rapportée à Taxe des x, est :

p* (a« cos« Cl) + c« sin«) Cl) = 1 ;

l'angle o), que fait le rayon vecteur Om'=. ^ appartenant à la section

circulaire, est donc donné par l'équation :

a* ces* Wj -h c* sin* a>j = 6« ou :

Tangle MOX étant le complément de ci^, on a

tgMOX

Les deux axes optiques OH sont distincts Tun de l'autre dans tous les cristaux pour lesquels les 5 axes de Tellipsoîde d*élasticité a, h, c sont inégaux. C'est pourquoi ces cristaux sont souvent désignés sous le nom de biaxes. On dit que le cristal est négatif lorsque HOX est plus petit que 45®, c'est-à-dire lorsque la bissectrice de Tangle aigu des axes optiques, ou, comme on dit pour abréger, la bissectrice aiguë, coïncide avec Taxe maximum a; le cristal est dit j^oràt/* lorsque HOX est supérieur à 45®, c'est-à-dire lorsque la bissectrice aiguë coïncide avec Taxe minimum c.

La seule inspection de la fig. 24 montre que la surface des vitesses norniales a deux nappes, qui se coupent en quatre points analogues au point H, placés symétriquement dans le plan des zx^ qu'on appelle le plan des axes. Ces points sont les ombilics.

CmUTALLOORAPBII, T. H. 8

On peut ajouter, pour donner une idée plus complète de la surface, qu'elle est comprise entre la sphère de rayon a qui la touche suivant un cercle situé dans le plan des zy et dont un quadrant est figuré en a\a\, et la sphère de rayon c qui la touche suivant un cercle situé dans le plan yx et dont un quadrant est figuré en c\ c\. La sphère de rayon b touche la surface suivant un cercle situé dans le plan des zx et dont uit quadrantest figuré en b\ b\ ; sauf le long de cette circonférence qui appartient à la nappe intérieure dans Tangle des axes optiques qui comprend Taxe des 2, et à la nappe extérieure dans l*angle de ces axes qui comprend Taxe des x, tout le reste de la sphère de rayon b est compris entre les deux nappes.

Lorsque la substance possède un axe principal de symétrie , Tellipsoîde inverse, ainsi que tous les autres, est de révolution. On a fr = c ou 6 = a. Lorsque 6=:c, Tellipsoîde est de révolution autour de Taxe des Xf le plus grand axe d'élasticité optique coUncide avec Vaxe de re* volution et le cristal est négatif. Lorsqu'au contraire b=^a^le plus petit axe d'élasticité optique coïncide avec Vaxe de révolution et le cristal est positif. Il est aisé de voir que dans ces deux cas les deux axes optiques OH se confondent en un seul qui est Taxe principal ; c'est pour cette raison que le cristal est dit alors nniaxe.

Supposons le cristal uniaxe positif, c'est-à-dire fr=c, la fig. 24 montre que la nappe intérieure se réduit à une sphère, de rayon b=c; le point H vient se placer sur l'axe des x, et la nappe extérieure est une certaine surface qui est de révolution autour de Taxe des x, et tangente à la sphère au point d'intersection avec cet axe. C'est d'ailleurs ce qu'il est aisé de voir sur l'équation même de la surface qui, lorsqu'on y fait b^c, se réduit aux deux équations :

f* = c«, ti«(r«— c«) + (»«H-tt>«) (r« — a«) = 0.

La 1'® équation est celle d'une sphère de rayon égal à c; la 2« équation, que Ton peut mettre sous la forme

est celle d'une certaine surface fermée plus ou moins semblable à un ellipsoïde.

Relailoiis entre les denz Tlfeeses de propagation qnl correspondent à une même direction et les anffles que fait cette direction avec les axes optiqpies. — La direction de l'axe optique, qu'on

appellera L' et qui est contenue dans Tangie des xz positifs, fait avec les axes coordonnés des x^ y^ z des angles dont les cosinus sont respectivement :

Les cosinus des angles que fait avec les mômes axes la direction L", de Tautre axe optique contenue dans Tangle des zx^ sont :

Appelons u, v, Wy ainsi que nous Tavons toujours fait, les cosinus des angles que fait avec les axes une certaine direction de propagation. Désignons, en outre, par 6' et 6' les angles que fait cette direction avec 1/ et h". En posant pour abréger récriture :

on aura :

On tire de là •

C0S« =— ttg -^ ^ Q

C(cosB'— cos6'> A = 5 9

c(cose'+cosy)^

2ÏÔ *

L'équation de la surface des vitesses normales, lorsqu'on y remplace V* par 1 — II* — w*, devient :

tt«A« u>«B« , . ^

OU, en développant :

r4 yt(ût + c«— tt«A«H- u;«B«) — tt«c«A«4- tt;«a«B*4- a«c«= 0.

Le coefficient de r*, changé de signe, est la somme des racines r'* et r"* de cette équation bicarrée, et Ton a :

r^ 4.r^=a« 4- c« + C« ces 0' cos e*.

Le terme indépendant de r^ est égal au produit des racines, et en remplaçant A et B par les valeurs précédentes, il vient

4r'«r'« = C* cos« 6' + C* cos^ 0" + 2C« (a« + c«) cos 6' cos 6" + 4fl«c«.

On en déduit aisément :

t^— ^=v'(r'*+i^*)« — 4)-'V«= C« sin 0' sin e^=(a«-c«) sin tf sin 0".

Cette expression de /* — r"* combinée avec celle de r'* •+• r"* donne :

Les plans de vibration d*nn même -rayon blsséqnent les angles dièdres formés par les plans «al passent par la direction de prt»-

pagatlon et les axes optiques. — Imaginons que la figure 25 représente une certaine section elliptique de rellipsoîde inverse E, que les sections circulaires de cet ellipsoïde coupent suivant deux rayons Om, On, d*égale longueur, et par conséquent également inclinés sur les axes de Tellipse. 11 en sera de même des rayons Om', On' respectivement perpendiculaires sur les deux précédents. Hais Om' et On' peuvent être regardés comme les pro^ jectionssur leplandeTellipse des axes optiques perpendiculaires aux sections circulaires. Les axes de Tellipse Oa et 0|3 sont les traces des plans des vibrations qui se propagent normalement suivant la perpendiculaire au plan de Tellipse. Ces plans bissèquent donc les angles dièdres formés par les plans qui passent par la direction commune de propagation normale et les axes optiques.

Formnles approchées que l'on peut substituer aux formules

complètes. — La théorie de Fresnel ne peut être regardée comme démontrée, d*aprés ce qui a été dit plus haut, que pour les substances qui ne sont pas très biréfringentes, c'est-à-dire pour lesquelles les trois quantités a, fr, c ne sont pas très différentes Tune de Tautre. C*est

en effet le cas de toutes les substances biréfringentes que nous présente la nature. Pour mettre à même d*en juger, on a réuni dans le tableau suivant tous les cristaux dont les constantes optiques se trouvent dans V Annuaire du Bureau des longitudes. Ces cristaux ont été rangés en deux groupes, celui des substances uniaxes, et celui des substances biaxes. Dans chaque groupe ils ont été rangés suivant l'énergie décroissante de la biréfringence, cette énergie étant appréciée

par la valeur du rapport ^^ — j— ^ • Sur les 68 substances comprises dans

ce tableau, une seule, le calomel, donne un rapport ^ — ^— ^ très peu

supérieur à j^:; pour une substance, Tarséniate de soude, ce rapport est

très peu supérieure ^; pour six autres, la calcite, le cinabre, la

cérusite, le soufre, Tasparagine et Tazotate de potasse, le rapport est

compris entre ^ ®^T7jâ* ^^^^ toutes les autres substances, le rapport

est inférieur à 77777.

lOU

L'examen de ce tableau suggère Tidée d'une simplification possible dans toutes les formules. Puisque, dans l'immense majorité des cas, on peut considérer comme négligeable, et de l'ordre des erreurs d'observation, la quantité (a — c)' relativement à c', on pourra négliger aussi, par rapport à c' ou à fr% le carré de la différence qui existe entre un rayon vecteur quelconque r et le demi-axe 6, puisque r — b est toujours inférieur à a — c.

Posons donc :

a = b-{-di, c=ib^d^y r:±=t-H8,

^1)^1) c^ étant des quantités très petites dont le carré est négligeable, l'équation de la surface des vitesses normales devient :

tt* «* m;*

3 rf,-^ 3 "^S+rf,

ou encore

S* + 8 [f/,(l -ti;*) - d^ (1 --««)] - rfA»'=0,

équation dont les deux racines d' et à*' donnent les deux valeurs, 6 «fd'

i18 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

eib-+- $'\ du rayon vecteur de la surface qui correspondent à une même direction (u, v, w). Ces deux racines sont de signe contraire, puisque le dernier terme de Tèquation est négatif, ce qui montre, comme on le savait déjà, que la sphère ayant fr pour rayon est comprise entre les deux nappes de la surface. La distance qui, suivant le rayon vecteur considéré, sépare les deux nappes, est donc égale à j'«»d'^ et Ton a :

«' — ^^ = V^[ d (1 — tt«) — rft (i — w*)]' H- 4rfjd,t/«.

On a trouvé précédemment :

r^ — r'=:(a«— c«)sin 6' sin ô*.

On a, dans Tordre d'approximation où nous nous plaçons,

r'*— r»«=2&{^'— 5") et a«— c«=26(a — c) ;

on peut donc écrire :

«'-3» = (a— cjsinô'sinô'.

Il serait, en effet, aisé de démontrer que la première expression trouvée ci-dessus pour ^ — ^' revient à celle-là.

En faisant subir des transformations analogues aux expressions de /* et de r"*, on trouverait encore aisément :

^, o-f c — 26 a — c ^^^ 11^, ij,v

En restant dans le même ordre d*approximalion, on a

tg

«ox=\/1iî-

L'angle MOX est donc < 45®, et le cristal est dit négatif lorsque Ton a fr— c<a— 6ou2fc — (a + c)<0; cet angle est > 45® et le cristal est positif lorsque b — c <a — h ou 26 — (a -|- c) > 0.

OUP. IV. — TUEbRFK m LA DOUBLE RËFR&CTION.

Rouge.

R*ie D.

Rouge.

Bouge.

Vert.

Rouge.

Tprt.

Rouge.

Raie D.

Rouge liihine.

Raie D.

Rouge.

Raie D.

Booge.

Rouge.

Calontel

Anjnitte de toude

Caldte (tpatb dialuide). . . .

Cinibre

Aident rougetProuiiite). . .

Dolomie

Argent rouge {ArgyrjthroM) .

Pwialle

Tarirale d'antim. et de slroi).

Wu]lénite(PbO,ilo*l>>), . . , Arséniate d'ammoniaque. . .

DiopUse ' . . . . .

Arséniate de potasse

Phosphate de potasse. , . . .

Phosphate d'ammoniaque. . .

Héionite

fiiTthrile (frythroglueine) . .

Helliie (mellate d'alumine). .

fimenude verte

Wernâritod'Arendil. . . . .

Phosg^le .' . .

llélinophane

Tuui'iii^liiie incolore. . , . .

Dipyre incolore de Pouiac. .

Schéelite [clidiix tungsutée). .

Uimétéwjphospb. de plomb).

Sulfate de potasse hexagonal.

Corindon ruhii

Réphéltne de la Somma.. . .

SuiCite de laathiDe

Hidy[diane (arséniate de plomb

Sullate cârosorC-rigue

Iijoci'usc bien d'Alli

Apophylliiede Healsoe. . . .

Pennine de Zermalt . . . . .