UNE UNE CRISTALLINE TRÈS MINCE

Dans un très gi^and nombre de recherches cristallographiques il est fort important de pouvoir calculer les phénomènes de double réfraction qui prennent naissance lorsqu'on superpose des lames cristallines extrêmement minces. Ces phénomènes sont, comme nous le verrons, réalisés très fréquemment dans la nature; ils peuvent Tétre artifîciellement par la superposition de lamelles minces de mica blanc. Nous consacrerons ce chapitre à les étudier.

Les équations fondamentales, desquelles nous déduirons toute la théorie que nous avons en vue, seront obtenues en cherchant les modiûcations que la traversée d*unc lame cristalline extrêmement mince fait subir à une vibration elliptique.

Soient OX (fig. 94), OY, les directions des axes de cette ellipse incidente, dont les grandeurs sont respectivement p et q, Oo et Oe sont les directions des sections principales de la lame, dont Tépaisseur très petite est e. Nous appellerons d le retard, qu'après la traversée d'une lame de même matière et d'une épaisseur égale à l'unité, la vibration dirigée suivant Oo éprouverait par rapport à la vibration dirigée suivant Oe. Nous appellerons, comme d'ordinaire, o et e les temps que les vibrations, dirigées respectivement suivant Oo et Oe, mettent à traverser la lame.

Après la traversée de la lame, les projections de la vibration, suivant

GHAP. YIIL ~ LAMES MINCES SUPETIPOSËES.

les sections principales Oo et Oe, sont :

a:'=pcosYsin2x« — çsinYCOSÎxs»

^ r 4- eB ^ +

y* =p sin^ sin 2z -^ h çcos^ cos 2x — ™

si l'on a préalablement changé Torigine des temps, et pris cette origine en retard de o sur l'origine première.

Lorsqu'on néglige les quantités du 2" ordre de grandeur en e, y' peut s'écrire :

y'=psinYsin2x|r + ( -r--;? siny + gcos^ )cos2x = • Projetons les vibrations a:' et y' sur les axes I^ et T^ de la nouvelle

Fig. 9i.

ellipse, dont l'axe X^ fait avec X un angle très petit du, nous aurons :

X, = x'cos (y — diù) 4- y' sin (y — rfw), y^ =j/'cos{y — d(ù) — a:'sin(Y — dw),

qui reviennent, en supprimant toujours les termes du 2« ordre, à celles-ci :

x^=sin2T,rflp T-gsin2Yl + cos2xç( -r--psm«Y — gaw I.

y, = sm2xY( r—çcos'Y+pdw j+cos2TCçU + -r-^^'^^ï )*

Il est aisé de voir qu*on peut encore mettre ces équations sous la forrae

xi={p --çsin2Y jsin( 2i:| + •— sm^ ^ ^dta j

( . 'ï^sî . « \ /n *' 2x£8 , p , \ yi = U + -rV sin2Y 1 cos( 2tc|; + -r- ^^«7 — -àtù j,

car on n*introcluit ainsi que des termes du 2* ordre de grandeur. % Pour que ces deux équations représentent une ellipse vibratoire, il faut et il suffit que l'anomalie soit la môme, et qu'on ait

rt©'= - aci) r— - smV = ^ oft) -— cos'y.

On tire de là

«t — o« Sic -

dw^-^ 2- =r--eJcos2Y.

Si nous posons, suivant un mode de transformation que nous avons déjà plusieurs fois employé,

p=cosu, 9=sinu.

nous aurons,

do) = 5 tg 2m. — £8 cos 2y , , , sinHi 27C S-ïc . . ,

Mais, si nous supposons que Torigine des temps est la même que celle de la vibration incidente, il faudra augmenter d(f' d'une quantité

égale à — 0, et Ton aura, en remarquant que ed = o — e,

^^ = 275Ï2i* y.^* cos2y + Y (ocos«Y + csm«Y). Quant aux variations de grandeur des axes de Tellipse, elles sont

d cos u = — -• e8 sin 2^ sin a,

d sin a = 4- - eS sin 2y cosii,

d'où l'on tire

du=-e5sin2Y.

CHAP. Vm. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 265

Les quantités rfw, duy d(f, ne sont exactes qu'au premier ordre de grandeur près. • Lorsque u est très petit, et est lui-même du premier ordre de grandeur, rf« est du 2* ordre, et il devient nécessaire d'en obtenir l'expression au 2« ordre près.

Nous allons donc nous proposer de trouver da, r/w, d(f, au second ordre de grandeur près , lorsqu'on suppose que u est du premier ordre.

Pour résoudre ce problème d'une manière simple, nous remarquerons que Tune quelconque de ces quantités, dcù par exemple, étant considérée comme fonction de Uy peut être mise sous la forme

dw=A + Btt-|-Cii»+....

Les expressions que nous avons obtenues représentent cette fonction au !•' ordre de grandeur près, lorsque u est fini; on a donc A,B,C avec cette approximation. Si nous voulons avoir ^a> au 2" ordre près, u éUnt du 1«' ordre, on peut négliger les termes contenant une puissance de u supérieure à la 2'' ; il est inutile de connaître B ou C avec une approximation 'supérieure au 1^' ordre, car les termes du 2' ordre dans B, multipliés par u, donnent des termes du 3* ordre. Il ne nous reste donc plus qu'à connaître A au 2« ordre près. Pour trouver Texpression de A, nous pouvons faire u = 0, ce qui revient à supposer que la vibration est rectilignc. Le problème est donc ramené à chercher, au 2« ordre de grandeur près, l'expression des paramètres de l'ellipse vibratoire émergeant d'une lame cristalline très mince sur laquelle tombe une vibration rectiligne.

Ce problème a été résohi dans le chapitre précédent, et nous avons trouvé, dans ce cas :

d9 = o cos'y + e sin*Y, du= -eSsinÎY,

dc0=-r- y£*<^s2y,

Les expressions trouvées plus haut pour du, dw, dç, dans l'hypothèse de u fini, lorsqu'on y suppose^u petit, et qu'on y néglige les termes du

sin 'tt 5^ ordre, ce qui permet de supprimer le terme — ^edcosiy et

d'assimiler tgiu à 2u, deviennent

d^=zo cos'y + « sin*Yi

d» = ^ eB sin Sy,

En comparant entre eux ces deux groupes d'expressions, nous trouYerons enfin les valeurs suivantes de d(f^ du, d(ù^ exactes au 2<^ ordre près :

<itf = - eS sin 2y,

d(ù=^(u-\- ^jeScosSY-

On peut mettre sous une autre forme l'expression de d(f. Si Ton appelle n l'indice de réfraction correspondant à la vibration Oo, ni celui qui correspond à la vibration Oe, â est alors l'excès n — n' du premier indice sur le second, et Ton a :

(i) dî) = 6Î^V5e2cos2Y.

(2) du = ^easin2Y,

(3) dtaz=-^fu-]-^\ eî ces 2y.

Les équations (i), (2) et (5) résolvent complètement le problème que nous nous étions posé.