CHAP. VIII. - LAMES MINCES SUPERPOSÉES
OU
7 = — ^tgA.
Les minima correspondant aux bissectrices des secteurs négatifs sont donc donnés par les valeurs
io)^ 4(0
x+— tgA, Stt-H-— a, etc.
La première courbe njininia vient ainsi rencontrer les bissectrices
des secteurs positifs sur le cercle correspondant à Stt ^tg A, les
ja 27:
bissectrices des secteurs négatifs sur le cercle correspondant à
4ûi) ^ H" — - tgA, et les lignes qui limitent les secteurs, sur un cercle un
TT
3r peu plus petit que celui qui correspond à ^* La courbe a ainsi une
forme analogue â celle que représente la figure 102.
Lorsqu'on tourne ' l'analyseur dans le sens dextrorsùm, A augmente, cotg A diminue et tg.A augmente. Si w^ est positif, les points des courbes minima situés sur les bissectrices s'éloignent du centre, et ces courbes paraissent se dilater. Si u^ est négatif, les courbes paraissent au contraire se contracter. L'inverse aurait évidemment lieu si Ton tournait Tanalyseur dans le sens sinistrorsùm.
On en conclut cette régie établie par H. Delezenne pour le quartz : I^e sens de la rotation de la pile est celui de la rotation de Tanalyseur qui produit la dilatation des courbes minima.
Pliéiioinéiies produits ea laailére eoaTerffeiite par la saperpo»!tlon de deux plies de même nalore mais de seas coalralre* —
Npiraies d'Air j. — Nous supposons superposées deux piles identiques, à cela prés que l'une est dextrormm et l'autre sinùtrorsùm^ c'està-dire ne différant entre elles que par le signe de o) . Nous supposons en outre le polariseur et l'analyseur croisés â angle droit.
Une vibration rectiligne faisant un angie a avec la section principale de la première pile, émerge de celle-ci en donnant une vibration elliptique dont les composantes suivent Oo et 0^ sont, comme nous l'avons
établi,
a^=:(l— mjcosa siïitH sihIt -t 1 1»
cos I
^ /i \ ' • / . \ wcosa . / , ?\
cosi
équations dans lesquelles
2 cos« ^
Suivant Taxe de la pile, Tintensité de la lumière transmise est évidemment nulle» puisque la direction de la vibration produite par la première pile est détruite par la seconde. Les termes en &>', qui n*ont d*importance que pour les directions de propagation voisines de celles de Taxe de la pile, peuvent donc être ici négligés, ce qui simplifiera beaucoup le problème.
Chacune des vibrations x' et t/' se compose de deux vibrations simples, dont Tune a une amplitude de Tordre de u. Cette vibration de petite amplitude pourra être considérée comme se propageant à travers la deuxième pile dans les mêmes conditions que si cette pile se comportait comme un cristal uniaxe ordinaire. En effet, chacune d'elles donne lieu à une ellipse dont le petit axe est de Tordre de 6)', et négligeable ; en réalité la vibration tourne aussi de — Gi),mais la projection de cette vibration sur x' ou y' ne diffère de la vibration elle-même que de quantités qui sont du deuxième ordre.
La vibration simple, d*amplitude finie, dirigée suivant x', a pour
amplitude cos oc; elle donne une ellipse dont le grand axe est dirigé suivant une ligne OXi, faisant avec Oo un angle égal à — w ; ce grand axe est égal à cos ix, et le petit axe, dirigé suivant une perpendiculaire h OXp est égal à » ticosa, puisque u change de signe avec 6).
Quant à la vibration, d*amplitude finie, dirigée suivant y', elle a pour amplitude sin a et donne une ellipse dont le grand axe, dirigé suivant 0\\, est égal à sin a et dont le petit axe, dirigé suivant OX^, est égal à
— u sina* L'anomalie de la vibration j:' est nulle à Tincidence, et celle de la
CHAP. VIU. — LâNES MINGKS SUPERPOSÉES. S97
vibration t/' est égal à (f ; nous pouvons supposer que Tanomalie contractée par la vibration x% pendant la traversée de la deuxième pile, est nulle; et que celle qui est contractée par la vibration y' pendant la même traversée, est égale à (f. Les composantes suivant OXi et OY, sont donc à Témergence
ji^cosasinT — usina cos(t+ 25), y, =8ina sîn(': -f 2^) — m cos a cost.
En projetant sur x' et y\ on obtient, au moyen des relations
y=cosa sinT— usina ces (t + 2ç)— («)8inasin(T + 2^), t/=s\noL 8in(T+ 29) — ucosacosT+wcosasinT,
En faisant usage de la relation u =:— &> tg |' et remarquant qu*il faut
ajouter à ^' et à y' les vibrations de petite amplitude qui émergent de la première pile et que nous avons laissées de côté, on obtient
x'=cosasinT— ^ sin ( t + -^ ) ~" ^" ( '^ + |) •
cosi
y' =.si„ a sin(. + 2^) - "^^ [sin(. + f)- sin(. -h |)],
cos^
ou
y^cosasint — 2(iDsina tg5C0s(T4-9)'
/ = sina 8in(T + 29) — 2(0 cosa tg^ cos(t + ?)•
Projetons sur la vibration de Tanalyseur, que nous supppstfns perpendiculaire sur celle du polariseur ; la projection A sera égale à
A =x'sina— y'cosa = -sinSafsinT — sin (t -f 29)] + 2«cos2Pfg2 cos{T-i-9)
ou encore
A=:( — sin 2a 8109 + 2(1) cos 2a tg^j co8(T-i- 9)*
Si nous remplaçons enfin a> par w — I, nous aurons
1;= Isin» X I — sin2fltcos | + Wo ces %% — |.
L'expression de I se composant de deux facteurs dont aucun ne . devient infini, I sera nul pour toutes les valeurs de f qui annulent chacun d'eux.
L'égalité sin* | =:: 0 montre que, parmi les courbes obscures, figu-
rent les cercles noirs que donnerait séparément, entre deux niçois croisés à angle droit, chacune des deux piles superposées. En égalant à zéro l'autre facteur, on obtient
Elle représente d'autres courbes obscures qui viennent s'ajouter aux cercles et dont nous allons chercher la forme en discutant leur équation.
A l'origine.
(p=0, — = 1 et lg2a=:(i)„;
on a donc
2a = nz + IÙO ou a = 3 ^ -H ô»
On peut attribuer successivement à n les valeurs 0,1,2^3, ce qui donne
(1)0 z iÙQ (i)„ 3x o)<,
Si OP est la vibration du polarisateur^ si l'on mène une droite OR faisant avec OP [ûg. 103) un angle égal à ^^, et la droite qui est perpendiculaire
CBAP. VIII. — LAMES HINCES SDPERPOSËES. 399
à celle-là, on aura quatre branches de courbe qui, partant de l'origine, sont tangentes à chacune des t directions de ces deux droites.
Si l'on suit la branche tangente à OR et correspondant à x =
verra que pour i = jr ou f =Tr, onalg3a = oo ,oua= -; la courbe vient donc rencontrer sur la droite située à 45* de la vibration OP le
cercle qui correspond à y = j: ou sin 5=
Pour^=îcouf = 2ff,ona2« = iroua= -; la courbe rencontre
donc sur OA le premier cercle obscur. On verrait de méfue qu'elle rencontre le second cercle obscur sur le prolongement de OP, etc.
Les trois autres branches de la courbe ont des formes analogues.
Ces courbes spiraloides ont reçu le nom d'Airy, le premier savant qui en ait donné la théorie.
Lorsque u est positif, c'est-à-dire lorsque la première pile est dextrogyre, les spirales sout dextrogyres ; elles sont lëvogyres lorsque la première pile est lévogyre.
Dans la lumière blanche, les spirales sont vivement Colorées, parce que pour chaque longueur d'onde, u^ varie. Pour le rouge, c'est-à-dire
pour le plus grand A, o) est le plus petit ; les spirales noires corre^
pondant au violet sont donc les plus éloignées de OP^.et comme elles sont cobrées en rouge dans la lumière blanche, la conca?itè des spirales est colorée en rouge.
Les figures de la planche VIII peuvent donner une idée des spirales d*Airy; la première correspond au cas où la première lame est dextrogyre ; la seconde au cas où la première lame est lèvogyre.
Phénomènes prodnits en lumière eanversente par nae pile plaeée entre na polarisenr reetlllgae et na analTsenr elrenlalre.
— Nous supposons maintenant une pile placée entre un polariseur recliligne et un analyseur circulaire.
Nous avons vu que la vibration qui émerge de la pile, suivant une
direction de propagation pour laquelle le retard contracté est —(f, se
décompose en deux vibrations circulaires. Le rayon R de la .vibration circulaire dextrogyre est donné par la formule (F. p. 285) :
il 1
R* =7 4- 7 sin 2u cos 2a + 7 cos 2m sin 2a sin ©,
Si on superpose un analyseur circulaire droit, la vibration dextrogyre se propage seule, et Tintensité de la lumière qui émerge de l'analyseur est I = 2RS ou, en remplaçant sin iu par 2u et cos 2ti par i — 2uS
I =^ (1 -f sin 2a sin 9) -+- m cos 2a — w* sin 2a sin 9.
Pour ç=0, c'est-à-dire au centre de Timage, on a 1=^; le centre
de rimage est donc occupé par du blanc dans la lumière blanche. Pour trouver ce qui se passe à une certaine distance du centre, nous pou-
sin'i
vous négliger le terme en «•, et, en remplaçant u par — 2&) , il
vient
I=-(i + sin2asin9) — 2ti>oCos2a •
Comme nous ne nous proposons que d'acquérir quelque idée sur la forme des courbes d'intensité minima à une certaine distance du centre, c'est-à-dire lorsque les variations de^ sont petites par rapport à (p, nous
CHAP. Vm. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 301
pouvons regarder (p comme constant, ce qui donne, pour déterminer les points d'intensité miniraa qui se succèdent sur le rayon d'azimut a, Téquation
^ï i . rt sins
T* = — ô s»n 2a cos s — w» cos 2a — - = 0
avec Tobligalion de rendre positive l'expression
«?•! i . « sinç
-7-^= ~-â sm ç — Wj cos 2a — -,
En portant dans —\ la valeur de sin cp tirée de'T- = 0, celle-ci devient
d*l cos 9
71 = — r" T" (9 sin* 2a + cos'a) .
d©' 2(i)o9cos2a^^ '
, d^\ cos®
Le signe de -T-i est donc celui de — ^ —^^
d(f 2(ùjf cos 2a
L'équation "T = " donne
l{,'2a=2a)oî^.
Supposons que la pile soit négative, c'est-à-dire que (f soit négatif. Pour (p=0, c'est-à-dire au centre de l'image, on a les 4 valeurs
a=Wo» aH"**)©' lî-hwo, —--f-Wo-
rf*l Pour que —, soit positif, il faut que cos 2a soit positif; il faut d(f
donc conserver les valeurs o) et tt + o)^» en supprimant les deux autres.
On a ainsi deuxespëoes de spirales tangentes respectivement» à l'origine, aux deux directions de la droite OR (fig. 104) qui fait avec la vibration du polariseur OP un angle égal à &). Ces spirales tournent dans le sens dextroriiim, puisque tg 2a crott en même temps que tg f .
Pour ç = ^9 on a tg 2a=oo ou a=>; la spirale atteint alors la
30a DEUXlfiHE PARTIE. — CFUSTALLOGRAPHIE PHYSIQUE,
tache Doire qui se produirait si la pile n'aiait pas de pouvoir rotatoire ou si ta était nul. (Voir page 2S9.) Pour ç = it. on a tg2a=0 ou « = ir.
Pour f ='5-. on a 01=:-^, et la spirale rencontre la première courbe minima qui se produirait dans le secteur AOP', si u était nul, et ainsi de suite.
Au centra de l'image, les mînïma sont à peine accusés, et les spirales ne sont pas visibles. Les minima commencent A tUre très accentués dans le voisinage de la tache noire que l'on observerait si m était nul ; ce minima correspond, en effet, dans ce cas à une intensité nulle. Si u était nul, la tache noire se produirait pour ^ ^!F et sur la direction OM (qui est celle de l'aie du mica quart d'onde) lorsque l'analyseur est perpendiculaire sur le potariseur.
La valeur complète de 1 est, en changeant le signe de <f.
1=3(1 — 8in2*sinç) + Sj),cosS« (• 4mî — j-sinSasIn^
Cai&. VUI. — LAMES HINCËS SUPERPUSÉES. 305
Les trots premiers termes donnent une somme égale à zéro pour
f=- et 2a = -; l'intensité est alors exprimée par le dernier terrae qui
est positif. Le premier point d'intensité nulle est donc donné par une
valeur de f supérieure â ? et par une valeur de x supérieure à I- Le
premier point où le minimum est fortement accusé et qui marque, comme une tache noire, le début de la spirale, est donc situé entre 1» direction OM et la direction OA. La spirale parait commencer en quelque sorte sur la direction OA et à une distance du centre peu dtlTérente de celle du cercle qui correspond à ç = Tr.
Si l'analyseur est gauche, au lieu d'être droit, on verrait que les spirales gardent la même gyration, mais qu'elles paraissent commencer sur les directions Or et la direction opposée (fig. 105).
Si la pile est lëvogyre, u change de sens, et le sens de gyration des spirales devient lévogyre; les spirales commencent sur OP et OP' quand l'analyseur est droil i sur OA et OA' quand il est gauche,- ce qui est l'inverse de ce qui se produisait dans le «as de la pile dextrogyre.
Tous ces faits s'observent très aisément avec une pile négative formée par l'empilement de lames de mica.
504 DEUXIÈME PiRTIE. - GRISTALLOGRiPHIE PHYSIQUE.
Si la pile est positive, f change de signe ; les spirales gardent leur gyration ; mais les taches noires qui se produiraient si &> était nul
passent dans les secteurs qui ne contiennent pas Taxe du mica quart d*onde, et Torigine des spirales se fait suivant OA lorsqu'il se fait suivant OP avec une pile négative, et inversement.
