PROPAGATION DE LA CHALEUR

•ëflaItloB de la iempérainre d*aii point da eorps. -» Nous

nous proposons d*ètudier la propsigalion de la chaleur dans un corps solide cristallisé, lorsque l'état thermique de ce corps est devenu permanent. Cet état est défini par la température en chaque point. Il est d*abord nécessaire de préciser la signification de cette donnée physique.

On dit qu'un corps est à une température uniforme 0, quand une portion quelconque de ce corps supposée séparée de la masse totale est incapable d'échanger de la chaleur, soit avec une autre portion du corps, soit avec un autre corps quelconque à la température d. Dans cet état, chaque molécule du corps ne recevant ni n'émettant aucune quantité de chaleur (ou, ce qui est la même chose, en recevant autant qu'elle en renvoie dans le même temps), est elle-même dans un certain équilibre thermique qu'il serait sans doute impossible de définir avec précision, mais que l'on désigne en disant que la molécule est à la température 9.

Dans un corps inégalement chaud en ses divers points, mais arrivé à un état thermique permanent, chaque molécule ne reçoit de cellps qui l'entourent aucune quantité de chaleur ; elle est encore dans un état d'équilibre thermique ; mais cet état n'est pas nécessairement identique avec^ celui qui se produit lorsque le corps est également

CftUTALLO€RArail, T. II. 6

82 deuxième; partie. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

chaud dans toute la masse, car la molécule n*est pas, comme elle Test dans ce cas, entourée de molécules également chaudes. 11 faut remarquer cependant que les variations de chaleur qui se produisent en passant d'une partie du corps à une partie très voisine sont très faibles ; que, d'autre part, le rayon de la sphère décrite du centre de gravité de la molécule comme centre, et au delà de laquelle réchange de chaleur avec la molécule est insensible, est très petit et que la sphère ne comprend ainsi que des molécules dont Tétat thermique diffère extrêmement peu. L*état d'équilibre thermique d'une molécule peut donc être regardé comme étant de la môme nature que celui qui se produit lorsque le corps est à une certaine température uniforme 0 ;

on dit que la molécule possède cette température 0.

Supposons deux molécules très voisines Tune de l'autre, et que l'on désignera par les numéros i et 2 ; l'une est à la température 6^ l'autre à la température 6,. L'échange de chaleur entre ces deux molécules serait nul si 6^ était égal à S,. L'échange sera donc causé par la différence 6i — 0,, différence infiniment petite, si les deux molécules sont infiniment voisines. En vertu de la proportionnalité de Teffetà la cause^ lorsque celle-ci est très petite, la chaleur envoyée par 1 à 2 sera donc proportionnelle à 0^ — 6,, et pourra être représentée par A (8^ — 6,), Â étant un coefficient convenablement choisi.

Au point de vue du transport de la chaleur d'une molécule à une autre dans l'intérieur du corps, on peut donc supposer les molécules réduites à des points fictifs qui seront par exemple les centres de gravité de chacune d'elles. Chacun de ces points sera supposé doué d'une certaine température, qui sera celle de U molécule; dans un cristal, chaque nœud du réseau a ainsi sa température propre. On peut représenter les températures de tous ces nœuds par une certaine fonction continue des coordonnées des nœuds. Cette fonction donne des valeurs» non-seulement pour les coordonnées de ces points particuliei^s, mais encore pour celles d'un point quelconque de l'espace ; les valeurs de cette fonction définissent ce que l'on appelle la température en chaque point du corps.

Flux calorique en na point du eorps. — CondacUbllité ca-

loriflqne. —Cela posè, nous supposons le corps divisé par un plan P en deux parties dont l'une, plus chaude, M, envoie de la chaleur' à l'autre plus froide N. Une portion très petite m de M envoie de la chaleur à une portion très petite n de N, et l'on peut dire que cette chaleur

GHÂP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 85

passe par le point 0» intersection de P et de mn. La distance mn est nécessairement très petite, car dès que la distance devient sensible, la propagation moléculaire de la chaleur devient insensible. Nous cherchons la somme des quantités de chaleur qui sont ainsi envoyées de M à N, suivant des directions rencontrant P dans Tintérieur d'une petite surface o. C'est ce que nous appellerons le flux calorifique suivant o.

La température 6 du point 0 est une fonction des coordonnées x^ y, z du point;

^, , sont les dérivées partielles de 0 dx dy dz

prises par rapport kx^yyZ et évaluées au point 0.

La quantité de chaleur envoyée par mk n^ pendant le temps du est, toutes choses égales, proportionnelle à la différence dB entre la température de m et de ti, ou à

Fig. IG.

di

(|^^?.,^ie,.

dy

Jt.

; ) = rfr. ( M -T-

dx dy dzj

dr étant la distance mn, dont u, v, w sont les cosinus des angles avec les axes. La quantité de chaleur traversant &) et envoyée suivant la direction (tt, V, w) étant évidemment proportionnelle à gd, pourra être représentée par une expression de la forme

Câ)M ( u ~- -Hf -7- -+- w :r- "^' \ dx dy dzJ

Si nous portons sur la direction (u, v, w) une longueur égale à 6)MS et si nous la considérons comme une force, Texpression ci-dessus représente le travail de cette force fictive correspondant à un déplacement également fictif, dont les projections sur les axes sont

Ja. pt, pt.

dx dy dz

Pour avoir la somme de toutes ces quantités de chaleur, il faut faire U somme de tous ces travaux ; on l'obtiendra aisément en cherchant

' M peut être appelé la conductUnlilé élémentaire suivant la dirociion mn.

la résultante de toutes les forces 6)M, et le trayail de cette résultante correspondant au déplacement fictif qui est commun à toutes les forces composantes. Si OA=aip représente cette résultante, en grandeur et en direction, et si (m, n, p) sont les cosinus des angles que fait cette direction avec les axes, le flux calorifique suivant &> sera :

ou, comme on a :

do de , de de.

dx dy dz dr

en représentant par -- le rapport, suivant OA, de la variation de tem* pérature à la variation de longueur dry le flux, calorifique dQ sera enfin

, dQ=(«)p--d<.

La longueur OA divisée par &>, c'est-à-dire la quantité p est ce qu'on appelle la conductibilité calorifique correspondant au plan P ou à la normale à ce plan^

Si Ton prend sur une perpendiculaire au plan P élevée en 0, une longueur OB représentant Taire &), les points A et B sont liés entre eux par une relation analogue à celle que Ton suppose dans le chapitre I^', entre les points ayant la même dénomination. On en conclut donc que les conductibilités calorifiques correspondant à tous les plans qui se croisent autour d'un point, sont représentées par les rayons^vecteurs d*un certain ellipsoïde, qui est ïellipsoide des conductibilités.

On se ti'ouve d'ailleurs dans le cas de l'égalité symétrique, puisque la conductibilité ne dépend ni de la forme de la molécule, ni de la répartition des températures autour du point considéré *.

* La température joue, dans la Uiéorie actuelle, le même rôle que la dilatation cxabique de l'unilé de Yolume dans la théorie de l'élasticité ; la conductibilUé calorie figue p correspond à la force élastique; la quantité de dtatettr Q serait l'équiva* leDt du travail de cette force élastique. *

* Lamé n'admettait pas que le cas de l'égalité symétrique fût général ; il pensait qu'il ne s'appliquait pas entre autres aux cristaux antihémiédriques comme la tourmaline. Il supposait que, dans ces cristaux, la conductibilité élémentaire pouvait n'ôtre pas la même, suivant les deux directions d'une même droite. Il faudrait, pour qu'il en fût ainii« que k quantité de chaleur envoyée par une molécule A i une molécule B fût, toutes choses égales, dilTérente de celle que 0 envoie à A, ce qui me parait en désaccord avec les lois physiques les mieux établies. D'ailleurs, les conséquences que Lamé dédaisait de sa théorie, relativement à la tourmaline, par exemple, n'ont pas été conlirmées par l'observation.

CHâP. m. -< PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 85

Lorsque la chaleur passe de la partie H à la partie N du coi*ps, la résultante des quantités de chaleur (positives ou négatives) est toujours dirigée de M sur N; l'angle que fait OA avec OB est donc toujours aigu. Les quantités A, B, C (chapitre I, page 14] étant toujours positives, la surface principale est un ellipsoïde, et Ton peut égaler A, B, C à des carrés a*, 6*, c*. L*équation de Tellipsoîde des conductibilités est alors

et eeUe de Telllpsoîde principal :

Les conductibilités principales suivant les axes de l'ellipsoïde sont alors égales à a', b^, c^.

Les axes de l'ellipsoïde des conductibilités sont les axes thermiques du corps. Si le corps est identique en tous ses points, les axes ther^ miques ont la même grandeur et la même direction en tous les points.

L'ellipsoïde de conductibilité ne dépend pas de la loi de répartition des températures; la symétrie de cet ellipsoïde est donc réglée uniquement par celle de la structure intérieure. L*ellipsoîde est une sphère dans les cristaux du système cubique; un ellipsoïde de révolution autour de Taxe principal dans les systèmes quadratique, ternaire et hexagonal; dans les autres cas, un ellipsoïde à 5 axes inégaux pour lequel la direction de 5 axes ou d*un seul est déterminée suivant que le système est ortho ou clino-rhombique.

Snrfaeen Isothermes dans les milleiix erlstalllns IndéSnls. •—

Concevons, dans un milieu homogène, un point 0 que l'on supposera élre une source de chaleur constante, telle que, par une surface infiniment petite d'aire a> menée par 0, passe dans l'unité de temps une

quantité de chaleur constante uç. 11 se fait dans le corps une certaine répartition de température qui devient permanente au bout d^un certain temps, lorsque la quantité de chaleur arrivant par 0 est égale à celle qui se dissipe pendant le même temps. Considérons les choses arrivées à cet état de permanence, et supposons la surface du corps hissez éloignée de 0 pour que les particularités de cette surface puissent être considérées comme sans influence sur la répartition des températures dans un rayon étendu autour' de ce point. Nous nous proposons de chercher, dans ces conditions, la nature des surfaces isothermes telles

que tous les points d*une de ces surfaces aient la même température.

On mène Tellipsoîde principal— -f-|;-f--i = 1, ayant 0 pour

centre, et on suppose le corps découpe par une série d*ellipsoîdes infiniment peu distants les uns des autres et tous semblables, avec 0 pour centre de similitude, à cet ellipsoïde principal. On considère la portion du corps comprise entre deux de ces ellipsoïdes infiniment voisins dont l'un, le plus rapproché de 0, sera appelé intérieur, et Tautre extérieur. La quantité de chaleur qui, pendant Tunité de temps passe à travers la surface de Tellipsoïde intérieur est égale à celle qui sort par la surface de l'ellipsoïde extérieur.

Si (ù (fig. iS) est une petite surface de l'ellipsoïde intérieur, le flux calorifique traversant &> est dirigé suivant le rayon vecteur de l'ellipsoïde OA en Gt) ; c'est-à-dire que la quantité de chaleur totale qui, pendant l'unité de ''*'''•*'• temps, traverse o, est représentée par

6)û .-.» --. étant le rapport de la variation de température à la variation ^ dr dr

de distance évaluée suivant OA. Si 6 est la température en A, et

0+<f9 la température au point B où le rayon vecteur OA vient rencontrer l'ellipsoïde extérieur, i9 est la variation de température évaluée suivant le rayon vecteur et rir = AB la variation de distance correspondante.

La chaleur après avoir traversé tù se répand dans tous les sens, mais la quantité totale de chaleur qui traverse la surface de l'ellipsoïde intérieur sera correctement évaluée si l'on suppose que la chaleur passant à travers chaque élément de la surface, suit tout entière la direction du rayon vecteur correspondant. Les clioses se passent donc comme si la quantité de chaleur traversant &) restait tout entière comprise dans l'intérieur du prolongement du cône ayant pour sommet 0 et pour base 0). Ce faisceau de chaleur vient rencontrer la petite surface o/ = 6)+^o) découpée par ce cône dans l'ellipsoïde extérieur, et doit

la traverser intégralement. II faut donc que le flux calorifique 6>p -j-

qui traverse u soit égal à celui qui traverse] o', c'estrA-dire égal à

CHâP. m. -^ PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 87

ùU-^-dta) ^ 1; condition qui peut se traduire par Téqualion

dr

différentielle

On en déduit

K étant une constante. Si M désigne la portion très petite de la surface de la sphère ayant Tunitè pour rayon, qui est interceptée par le cône

de base u» on a a)= •-=» et M étant constant, on aura, C étant une con-

stante égale à g :

de G

équation qui, étant intégrée, donne :

C étant une autre constante* Il faut déterminer C et C^

Si Ton suppose le corps s*étendant à Tinfini, la portion du corps située à Tinfini n'est pas atteinte par réchauffement; elle est donc encore à la température 9^^ que l'on suppose avoir été la température commune de tous les points de corps avant réchauffement. C! étant la valeur de 9 pour r = oo , on peut donc poser G' = 6o-

Si Ion appelle % la température d*un point du corps situé sur la direction OA, à une distance R de Torigine, en faisant r=U, on a :

e-eo=:-

L'équation en 6 devient ainsi :

e-eo=(e-eo)5.

s Tellipsoîde auquel appartient le rayon vecteur R avait en tous ses points la même température O, un autre ellipsoïde quelconque aurait

la même température 0 en tous ses points, puisque les deux ellipsoïdes

Haut homothéliques, le rapport - est constant. Tous les ellipsoïdes

sont donc des surfaces isothermes, si celte propriété convient à un seul d'entre eux.

Or si l'on considère l'ellipsoïde infiniment petit tracé autour de 0, il est permis de le re^^arder comme une surface isotheiiue puiscpie tous ses points sont, à un infiniment petit prés, à la même tempéi'ature.

Donc, dans un milieu écliaulfé par un point intérieur, les surfaces isothermes sont des ellipsoïdes semhlahlesà l'ellipsoïde principal ayant 0 pour centre. On se lappelle que les lon^^aieurs des axes principaux de cet ellipsoïde sont les racines carrées des conductibilités relatives aux directions de ces axes.

Surfaces i»oClic*rnieM dans iew plaques criMtallineM très mince».

— Supposons mainlenant non plus un solide, mais une plaque très

mince, indéfinie et chauffée en son centre. /^~ Soit, dans le plan de la plaque, un rayon ^ \ vecteur sur h-quel on prend deux points très

•'r *^- voisins A et B, et par lesquels on mène deux

ellipi-oïdes send)lahles à ^ellip^oïde princi[)al. Dans les plans tanj^^enfs parallèles en A et D, nous prenons les sections &> et oj' découpés par deux plans menés l'un suivant OA et le diamètre de l'ellipsoïde principal, correspondant au plan de la plaque, l'autre suivant le mènit^ diamètie et un rayon vecteur très voisin de OA. On a ainsi découpé un petit volume ayant di*ux surfaces libres, ABA^Dj d'une j)art et une surface analogue de l'autre côté de la plaque, La quantité de chaleur (|ui dans

aie à 0 0) — +<M (•> -, ) * 1^«^ quantité de chaleur gagnée par le

petit vokune conq)ris entre w et o)' est — p d l o) — ) ; eAc n'est pas

nulle, comme dans le cas piècèdent, car elle doit compenser la quantité de chaleur perdue par les deux surfaces libres inférieure et supérieure de la plaque.

La (juantitè de chaleur perdue à travers la surface supérieure a pour

expression :

h (0-Oj^/S,

dO l'unité de tenues traverse o), est égale à oo — •» celle qui traverse /»' est

GHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 8»

en appelant A le coeflicient de conductibilité extérieure de la surface supérieure, O^la température du milieu ambiant, et ^S la surface ABÂ|B|.

Appelons e Tépaisseur de la plaque, le volume du petit solide élémentaire compris entré 6)^ &>' et les deux surfaces de la plaque est eâ&^ 11 peut encore s'exprimer en multipliant par la base &) la hauteur correspondante du prisme. Si U est Tangle de àr avec la normale à cette base, le volume sera tùàr cos U, et on pourra poser

^dS=(iKir cosU.

Or U est Tangle du rayon vecteur de l'ellipsoïde principal avec la normale au plan tangent, on a donc, d'après une relation connue :

cosU=:.4=-

La quantité de chaleur perdue par le rayonnement de la face supérieure est donc :

La quantité de chaleur perdue par le rayonnement de la face inférieure sera de même :

en appelant h' et ^\ le coefficient de conductibilité extérieure et la température du milieu ambiant inférieur.

L'équation qui exprime l'équilibre calorifique de l'élément considéré est donc :

{r L dr)* / àr\

Si Ton remarque que &>-+- ^w = oa ^ p-^ = w (l-h2yl, cette

relation peut s'écrire :

rfr« T dr e r*V A + A' /

Les points de la plaque indéfinie où la propagation calorifique issue

de 0 est sans inHuence, ont la température *^±^. Convenons de

compter les températures à partir de cette température particulière que nous nommerons 9o, Féquation différentielle deviendra :

L'intégrale générale de cette équation est :

=0 V e -i-C'rV~r".

e=Cr V « -j-

ou, si nous nous rappelons que 6 n'est ici que Texcés de la température sur 9q :

e--eo=Cr V e +C'rV «

Pourr=oo,e = 9o, on doit donc avoir C' = 0. Si Ton appelle R le rayon vecteur pour lequel on a 9=0, on a :

On a donc enfin :

d*où Ton concluerait, comme précédemment, que les surfaces isothermes sont des ellipsoïdes concentriques semblables à l'ellipsoïde principal.

Expériences d« Sénarmoiit et de 11. JanneftaM. — - La théorie

qui précède nous fournit un moyen très simple de constater expérimentalement les propriétés des cristaux au point de vue de la propagation de la chaleur. Il suffit de tailler, dans un cristal, suivant une direction bien déterminée par rapport aux axes cristallins, une plaque suffisamment mince et assez large pour que Tirrégularité du contour soit sans influence sur la propagation calorifique. On recouvre la plaque sur ses deux faces d*une couche très mince de cire, puis on la perce d'un trou central aussi petit que possible; on y enfile un tube métallique par lequel on fait passer un courant d*air chaud , ou une petite tige d'argent que l'on chauffe par conductibilité. La tempéra-

CHAP. m. ~ fHltOHËNES THERMIQUES. 91

lure du tube ou celle de la tige étant maintenue constante, on voit, comme dans l'eipérience d'Ingenhouz, gc dessiner tout autour du cen* Ire de chaleur, une courbe elliptique marquée par le bourrelet qui sépare la cire fondue de celle qui ne l'est pas. C'est la courbe isotherme correspondant à la température de fusion de la cire. On mesure, avec un appareil grossissant, les dimensions des axes de cette ellipse el leur orientation par rapport aux axes cristallographiques de la plaque. Ces expériences ont élé pour la première fois exécutées par

Sénsrmont', qui ne parait pas avoir eu connaissance du mémoire théoni]ue de Duhamel présenté en J838 à l'Acadèinie des sciences *. Elles oal été, depuis cette époque, reprises par plusieurs savants, el pnrticulièrement par H. Jannettaz'.

H. Jannellaz a perfectionné la disposition expérimentale imaginée

■ ÀnnaU* de ekîmit el dephynqut, i' série, t. XXI et XXII, 1U7-48.

* 1 It mite dn opériencet de SéumioDt, Duhamel publie, dans le 3S* cahier dit joanulda l'École polytedmique (iS48] on nouTean mémoire sur UpropigaiioDdeU chilsur dim les oHeteni, où il «pplique la théorie générale aux eoaditioiu sipérioMO- Ula réeliiées par le urint obaerraleur.

^ im. de chimie et d*phiit.,fiine, t. XXIX, 1873.

par Séiiarniont. La source calorifique est une petite sphère de platine

(fig. 19) posée sur la plaque cristalline enduite de cire. Cette sphère s'échaufi'e parce qu'elle est soudée à un (il (in de phitine, replié sur lui-même et à travers lecjuel on (ait passer un courant électrique qui rou«5^it le (il. Au-dessus de la lame cristalline, et à peu de distance e^t placée une petite cuve à fond plat, dont la tomi»érature est maintenue constante par un courant d'eau froide. La cuve est percée, en son centre, d'un trou annulaire par lequel [)assent les (ils de platine dont le rayonnement calorifique est ainsi annulé ^

Les tableaux suivants contiennent la plupart des observations publiées par M. .lanneltaz.

L — CHISTAUX A UN AXE PUINCIPAL.

-Noms (k's suliStaiice^.

Systèmes cristallins

Clivayos

duiniii.

Aii;^le Uapport

«le Taxe île I;» lou^'nf'tir

(le syiiiè- (le l'uxe ci jslal-

tiic 1(^-^1 apliii|tje

cl du a l'axe

cliva:je qui lui «ijl

(loiiiiiiaiil iicr|ieniliculaire. , ]>• luiiculain

happiirt à i'avf' ilicr-

IIIKJIIC |M IfH'l-

|K)I (i)' 1 a\t* tlicnniijnc (|iii mi (si piT

A. — Substiiiiccs d;ms lesquelles Taxe l]iC'rini(|uo principal e>t le plus petit.

Autiiiioiiic.

Oli[;isle . .

Tt)Ui*iiialuie.

Eudialyle

Penniiio

I)<.l<)iiiiL'[C()-|M-,Cn)Oj.

(.iohertile (CO-M-iO). .

Sitléro.^e iCU-FeU). . .