CHAPITRE IV

Les ondes lumineuses se propageant dans un milieu isotrope sont ibériques ; il n'en est plus de môme dans un milieu continu mais ne possédant pas des propriétés identiques suivant toutes les directions ainsi qu*il aiTive pour les corps cristallisés. Huyghens a montré quelle était la forme de Tonde dans les cristaux, tels que le spath calcaire, qui présentent un axe principal de symétrie. Cette découverte, très remarquable, surtout pour Tépoque â laquelle elle se produisit, n'était d'ailleurs appuyée sur aucune idée théorique. Généralisant la construction d'Huyghens, Fresnel découvrit la loi de la propagation lumineuse dans les corps cristallisés quelconques, et cette mémorable découverte est considérée à juste titre comme un des plus beaux titres de gloire de ce grand savant.

Non content d'avoir trouvé les lois des phénomènes, Fresnel en donna la théorie, et c'est même sous la forme de déductions théoriques qu'il les fit connaître pour la première fois. Malheureusement si l'expérience a constaté, de la manière la plus précise, l'exactitude des lois, les idées théoriques desquelles Fresnel avait cru pouvoir les déduire ont paru contestables et peu rigoureuses, et les plus illustres géomètres, les Cauchy, les Lamé, etc., se sont mis à l'œuvre pour suppléer à cette lacune. Ces travaux, qui ont été le point de départ de progrés importants dans les sciences mathématiques, n'ont cependant pas complètement atteint le but que se proposaient leurs auteurs, et la théorie de la double réfraction se trouve encore à peu près au point où l'avait laissée Fresnel. C'est donc la théorie de Fresnel que nous allons exposer. Nous en montrerons les lacunes, mais nous ferons voir aussi qu'elle suffit, après tout, lorsqu'on se place au point de vue purement physique*

lOi DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

Principe!» de la thi^oric de.s ondalations luminen^e**. — Nous

rappellerons d'abord les principes sur lesquels est fondée la théorie générale des phénomènes lumineux.

On suppose ceux-ci produits par les vibrations d'un certain milieu. Ces vibrations sont transversales, c'est-à-dire qu'on peut les supposer contenues dans un plan noi'nial à la direction de la vitesse avec laquelle se fait leur propagation dans le milieu. Toute vibration plane d'un point du milieu peut être supposée due à la combinaison de deux vibrations rectilignes composantes qui sont les projections, sur deux axes rectangulaires, de la vibration résultante. Dans chacune des vibrations rectilignes le déplacement e du point vibrant, cVst-â-dire la distance,

variable avec le temps, qui sépare le point mobile de l'origine, est représenté par l'expression

A est un coefficient constant qui représente le déplacement maximum ou lamjAliude de la vibration; a est une quantité constante qui ne dé- ])end i\\\Q du moment choisi pour représenter l'origine du temps ; t est le temps variable ; et T la durée d'une oscillation.

Pendant la durée T d'une oscillation, le mouvement vibratoire se pro[)ageant dans le milieu parcourt la distance rï, si v est la vitesse

e propagation. Posons :

\ = vl ;

\ est la longueur d'onde de la vibration considéiée, c'est-à-dire la distance qui sépare, sur la direction de la propagation, deux points dont le déplacement est identique à un même instant. La longueur d'onde X et la durée T d'une oscillation varient avec la couleur du ravon. La vitesse v devrait être théoriquement la même dans le même milieu, pour tous les rayons, quel que soit X. C'est ainsi que les vibrations sonores graves se propagent dans l'air avec la même vitesse que les vibrations aiguës. Pour la lumière il n'en est pas de même; les variations de V avec X dans le même milieu donnent lieu au phénomène particulier auquel on a donné le nom de dispersion. Si l'on différencie deux fois e par ra|>port à ^ on a :

CHAP. IV. — THÉORIE DE hk DOUBLE RÉFRACTION. 105

Si Ton multiplie la dernière équation par la masse m du point vibrant,

— m représente la force élastique f qui sollicite ce point» et on

obtient aisément :

est, dans le même milieu, une quantité constante lorsque le rayon

reste de môme espèce, c'est-à-dire garde le même A. En représentant cette quantité par AS et en appelant F la force élastique correspondant au déplacement maximum que nous prendrons pour unité de longueur, il vient

v^=k*? ou v=k\f¥.

La vitesse de propagation, dans le milieu considéré, est donc proportimneUe à la racine carrée de la force élastique développée par la vibralion dans ce milieu.

■7pothés« de Fresnel muw la propag^atlon, dans an mlllea solide, d*aa nystéme d'ondes planes parallèles entre elles. — Fresnel

admet, et nous admettons avec lui que les forces élastiques mises en jeu par la propagation d*un système d'ondes planes parallèles, à vibrations rectilignes et transversales, diffèrent des forces élastiques développées par la vibration d'une seule des molécules vibrantes, seulement par un facteur constant qui ne dépend pas de la direction des vibrations. Cette hypothèse n'est certainement pas exacte dans le cas général, mais elle le devient lorsque, la propagation du mouvement se produisant dans un milieu isotrope, la surface de l'onde (enveloppe des ondes planes) est une sphère.

Considérons, en effet, la position d'équilibre 0 d'une certaine molécule M comme le centre des vibrations. La partie la plus importante de la force élastique exercée sur M est déterminée par le déplacement absolu e de M dans l'espace et les variations de distances qui en résultent par rapport aux autres molécules supposées immobiles. Les déplacements de ces autres molécules mises en mouvement par la vibration émanée de 0, se font, par hypothèse, sur des sphères décrites de 0 comme centre ; les distances de ces molécules à 0 ne varient donc pas et leurs distances à la molécule M ne varient que par suite du déplacement e. La force élastique, exercée sur M suivant la direction e, et due <ux déplacements des molécules environnantes est donc proportion-

nelle à e, et peut être posée égale à KF. Le coefticient K dépend de la nature du milieu» mais ne dépend pas de la direction de e, puisque, dans le milieu isotrope supposé, toutes les directions jouent le même rAle au point de vue optique.

Or Tobservation montre que tous les milieux cristallins sont presque isotropes optiquement; Thypothése de Fresnel pourra donc toujours être regardée comme approximativement vraie.

EilipM»ide d'éiAstieité optiqoe. — Soit un milieu transparent ; les vibrations lumineuses se transmettent dans Télher au milieu duquel baignent les molécules matérielles qui forment ce milieu. Cette propagation se fait conuQe dans le vide» avec cette différence que la présence des molécules modifie les propriétés mécaniques de Téther lumineux et en altère Tisotropie normale. Le déplacement dl d'un point de Téther développe dans ce milieu une force élastique F égale et contraire à celle qui produit le déplacement. La force élastique F s^annule avec dl; elle dépend de la direction de dl et de la constitution du milieu tout autour de 0. On ea conclut que Ton se trouve dans le cas étudié au chapitre I^' de cette seconde partie. Lorsque le déplacement, gardant la même longueur, prend successivement toutes les directions possibles, Textrémité de dl décrit une sphère ; celle de F décrit un ellipsoïde qui est Vdlipsolde d*élasticité optique.

On se trouve d'ailleurs évidemment dans le cas de Tégalité syméti*ique. En outre le déplacement, dont Torientation seule varie, étant la seule cause qui mette en jeu la force F, l'ellipsoïde d'élasticité op« tique ne dépendra que des propriétés optiques du milieu dans un très petit rayon autour de 0. On aura donc, entre la symétrie du milieu et celle de l'ellipsoïde, les relations spécifiées au chapitre I^, c'est-à-dire que cet ellipsoïde sera une sphère dans les milieux à symétrie cubique; qu'il sera de révolution dans les milieux à axe de symétrie principale, etc.

CoBiposante» de la forée élastique. — Hjpothése de Fr^mmtA.

— Appelons U l'angle de la force F avec le déplacement dl. La force F se décompose en deux autres, FcosU dirigé suivant dl^ et Fsinll qui lui est perpendiculaire. Si le déplacement dl se propage dans le milieu suivant la direction de la composante FsinU, on peut admettre qu'il se transmettra sans altération, car la foi-ce Fco&U sera à chaque instant la force élastique vibratoire, et Fresnel admet que la composante FsinU, s'exerçant normalement au déplacement» et ne tendant qu'à comprimer les couches successives de Téther, qu'il suppose incom-

pressible, est sans action sur le phénomène. Le déplacement dl se propagera donc suiTant'une droite qui lui est perpendiculaire, située dans le plan qui contient la force élastique F; il se propage en outre avec

une vitesse proportionnelle à v^ F cos U.

En réalité le raisonnement de Fresnel est très insuffisant; il n*e8t point permis de se débarrasser, ainsi qu'il le fait, de la composante FsinlJ. Mais on doit remarquer que, grâce à la faible biréfringence des milieux les plus biréfringents, Tangle U est toujours petit, et par conséquent la composante Fsinll, toujours petite elle-même. On peut s'expliquer ainsi qu'il soit permis d'en négliger l'action vis-à-vis de celle de la composante FcosU.

On connaît la loi suivant laquelle varie, avec la direction de la vibration, la direction et la grandeur de la vitesse de propagation ; on peut donc dire que la théorie de la double réfraction est établie. U ne s'agit plus que de la développer et d'en tirer les conséquences qu'elle contient implicitement.

BUlpMlde d*élas«lclCé D». — Ellipsoïde pHnelpal l^i* — Ellipsoïde

fairene B. — Soit Oa (fig. 22), la direction d'un déplacement, OAo la grandeur et la direction de la force élastique F correspondante ; Do Tel- Upsoîde qui est, on le sait, le lieu des points Ao et dont l'équation est

(5)"-ao'-(i)'=

L'angle U étant toujours très petit, les composantes normales N de la ^^^ ^

force élastique sont toujours positives et la surface principale (chap. I*% page 14) est melUpsoide. Cet ellipsoïde, qu'on représentera par Dp a pour équation :

(D,) Ellips. principal. ^ -j- |.V î! = 1 .

Or p* C*

Si Aj est le point où le rayon vecteur OAo rencontre cet ellipsoïde D^; en posant OAo = po, OA^ = p^ et U = a^ OAo, on a :

Po = p* ces U.

Si on mène en A| le plan tangent à l'ellipsoïde D|, ce plan est per-

pendiculairc sur Oa^ en un point qn'on appellera a^ et on a

Oa^ =: pj CCS U = ^'p,^ cos U ;

O^/j est donc proportionnel à la vitesse de propagation du déplacement et peut être supposé égal à cette vitesse même. La surface inverse est, comme la surface principale, un eIli])soïde, qu'on appellera E, et dont Téquation est :

(E ) Ellipsoïde inverse. a^-j:^ -f fr-//^ 4- c-z'^ = I .

Si A' est le point de cet ellipsoïde rencontré par le rayon vecteur Ooi,

le plan tangent en A' à l'ellipsoïde K est normal à la direction OAo qu*il coupe en un point a\ En posant OA' = p', on a :

.'^ __ . n' — ^ IX,'— . ^

KiiiTncc des Titciisr» normales. — La viltvsse de propagation du déplacemi'Ut dirigé suivant O^/i est dirigée, dans le plan OA//p normalement à Or/j;elIe est donc représentée en grandeur el en direction par une droite Oa', parallèle à X/t^ el égale à Or/^

L'onde plane qui contient le dé]»la(:enient et qui coïncide, à l'origine du temps, avec le plan mené suivant Or/ et perpendiculairement à Oc/i Al coïnciile donc, au bout de runité de temps, a\ec le plan u:ené pir a\ {)erpen(liculaireinent àUf/j. La sui l'ace qui est le lieu des points a\ jouit ainsi de celte propriété que les plans normaux à rexlrémitê de chacun de ses rayons vecleurs représentent les diverses positions que prend le plan de l'onde au bout de l'unité de tiMups. Kn d'autres termes la graiuleur d'un rayon vecteur de cette surlace représente la vitesse de propagation, évaluée suivant une normale au plan de l'onde des vibrations contenues dans le plan. Celte surlace est appelée surface des vitesses normales.

Il est très aisé d'en trouver l'équation. Soient

7?2, n, p les cosinus des angles que fait la direction OAj avec les axes, in\ n\ })' — — — — Oaj — —

Posons r = Or/j =^ Oa\, et cherchons les cosinus ?/, r, xv des angles que fait la direction Oa\ ou \fi^ avec les axes.

CUAP. lY. -- THÉORIE D£ LA DOUBLE RÉFRACTION. 109

Sij/, y\ z' représentent les coordonnées du point A' de Tellipsoide

inverse, on a

et

d'où l'on déduit :

m'__£i î!!!~20, £.'=îi.

Appelant $, ?}, Ç, lel^ coordonnées deai^ on a d'ailleurs : el Ton tire aisément de ce qui précède :

m' a?! — Ç = — (o« — î«) = — MxAjai,

y* -13 = 7 (6« -r«) = - «XAta,,

«, — i: = Ç(c«-r«) = -ii;xA,a,.

Si l*on se rappelle enfin que Oa^ est perpendiculaire à Oa\ ce qui se traduit par la relation :

m'u+n'v -f- jyw=0 ;

00 a, en remplaçant dans cette équation m\ n\jjl par les valeurs déduites des équations ci-dessus :

II* »» w*

équations où n'entrent que r = Oa\ et les cosinus des angles que fait Oo^i avec les axes. C'est l'équation polaire de la surface des vitesses Dormales.

On appelle turfacè de Fonde le lieu des points de l'espace atteints, au bout d*un temps qu'on peut prendre pour unité, par le mouvement tibraioire qui, k l'origine du temps, affectait Torigine 0 des vibrations. Ou démontre que cette surface est l'enveloppe des ondes planes, ayant toutes les orientations possibles» e( qu'on peut supposer partant du

iiO DEUXIÈME PARTIE. -- CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

point 0 à l'origine du temps. On démontre en outre qbe cette surface est le lieu des points A'|.

La considération de la surface de Tonde est rarement utile dans les recherches cristallographiques, on en renverra Tétude à la fin de ce chapitre.

PoUûrlsAtloii reetllIcBe, * anyle droit, des deux rayons transaito

MitTant nne ménie direction. — Après avoir exposé la théorie de la double réfraction, on va revenir sur quelques conséquences importantes qu*on aurait pu déduire immédiatement des principes qui ont servi de point de départ, mais qu'on a laissées de cété pour ne pas interrompre l'enchaînement de la démonstration.

CSonsidérons le plan de Tonde qui contient la vibration Oa^ (fig. 22) et se propage suivant la droite normale Oa\. Un plan mené suivant OA^ perpendiculairement au plana^ OA^, coupe Tellipsoîde principal D| suivant une ellipse dont 0A| est l'un des axes, carie plan tangent en Ai est normal au plan ai OAi et coupe le plan de Tellipse suivant une droite normale à OAi. La tangente à Tellipse en Ai est donc normale au rayon vecteur. Par une raison entièrement analogue OÀ' sera Tun des axes de la section que détermine dans Tellipsoîde inverse E un plan normal au plan ai OAi mené suivant Oa^. Le deuxième axe OB' de cette ellipse correspond de même à une vibration 0A|, qui se propage suivant la même direction que la vibration Oa|, mais avec ime vitesse différente» au moins en général.

Ainsi, parmi toutes les vibrations rectilignes que Ton peut supposer issues d'un même point et contenues dans un même plan, il en est deux et deux seulement dans le cas général, qui se propagent avec des vitesses inégales, suivant une même direction normale au plan qui contient les deux vibrations. Ces vibrations sont dirigées suivant les deux axes de Tellipse que détermine l'intersection du plan de vibration et de Tellipsoîde inverse E. La vitesse de propagation de chacune d'elles est égale à l'inverse de la grandeur de Taxe de Tellipse auquel la vibration est parallèle.

On peut encore déduire de là que tous les rayons qui ont traversé un milieu biréfringent sont, sauf les cas singuliers, polarisés rectilignement, et que, suivant une même direction de propagation normale» sont transmises deux vibrations rectilignes ractangulaires entre elles.

Poraie de Insnrface des yrîimmmmm nomuden» — Awtm optt^pMs. —

La surface des vitesses normales se déduit si aisément de celle de Tel-

CHàP. IV. — THÉORIE DE U DOUBLE RÉFRACTION. 41i

lipsoîde inverse E, qu*on peut, sans recourir à son équation, acquérir de sa forme une idée très sufGsantc pour ce qui doit suivre*

Nous allons, à cet effet, chercher la trace de la surface sur les $ plans coordonnés, et comme ces plans sont évidemment des plans de symétrie, nous pouvons nous borner à l'étude de Toctant antérieur supérieur droit. Soit(fig« 23) l'ellipsoïde inverse réduit, pour simplifier lafigure, à samoi-

Fig. 21.

Fig. 23.

lié supérieure ; Oa\ Ob\ Oc' sont les 3 axes, m b' et m' b' les sections circu-

laires;onaOa'=-, OA' = t» Oc' = — Par Oc' et les diamètres de Tel-

lipse principale a'b' menons une série de sections de l'ellipsoïde ; toutes auront pour axes Oc' et le diamètre correspondant de l'ellipse a'fr'; toutes correspondront en outre à des vitesses de propagation normales situées dans le plan principal a'b' ; on aura donc tous les points de la lurrace des vitesses normales qui sont situés dans le plan a'c' en menant dans ce plan sur chaque direction perpendiculaire à l'une des sec*

lions menées suivant Oc', c'est-à-dire perpendiculaire à l'un des dia-

mètres de l'ellipse a'fr', deux longueurs égales l'une à -rr-; =c, l'autre à

rinverse du diamètre de Téllipse a'b\ On obtient ainsi pour la trace de la surface des vitesses normales sur le plan af c' (fig. 24) un cercke c\ d^

de rayon égal à c et une courbe' sur la forme de laquelle il est inutile d'insister, mais qui coupe Taxe des x en b\ à une dislance de 0 égale à b^ et Taxe des y en a\ à une distance de 0 égale à a. La courbe env»'loppe le cercle.

On verra de menie que dans le plan des zy^ la trace de la surface se compose d'unccrcle a\ a', de rayon égal à a, et d'une courbe h\ c\ lello que 0^'^ = h.

Enfin, dans le j)lan des zxy c'est-à-dire dans le plan qui contient l'axe maximum a et l'axe minimum h d'élaslicité optique, la trace se coiiiposc d'un cercle h\ b\ de rayon égal à t et d'une courbe a\ c\ qui vient nécessairement rencontrer le cercle en un certain point M.

On a OM = b, la direction du rayon vecteur OM de la courbe a'^ c\ est donc obtenue en faisant décrire 90^ au rayon vecteur 0?7i de l'ellipse a'r',

qui est aussi compris dans la section circulaire et est égal à y La direction de OM est ainsi perpendiculaire sur l'une des sections circulaires de l'ellipsoïde inverse et les vibrations qui se transmettent suivant la direction de propagation OM sont contenues dans le plan de celle iiection circulaire. Tous les diamètres de la section circulaire sont des axes de cette section; les vibrations qui se propagent suivant OM ne se

* L'équation polaire de l'ellipse a'c' rapportée à l'axe des .r est :

p- (rt* cob- w -h h- sin- ùi)=i ;

le rayon vecteur de la courbe aji^' qui fait avec l'axe des .r un angle - — w est égal à

-, l'équation de la courbe est donc :

/i- = a-sin- w 4- ^' cos* w.

CVst une courbe du 4* degré qui est d'ailleurs identique au lieu des points a( (fig. 'J'2\ c'est par conséquent le lieu des projections du centre 0 sur la tangente à l'ellipse a'c\ auquel on a fait subir un quart de révolution.

On trouve aisément pour l'angle « que lait le prolongement de la tangente avec celui du rayon vecteur

^g « = P 7^ = ^i gi («' tg w + c* cotg w)

dp La tangente est verticale lorsque tga= cotg w, c'est-à-dire pour

tffw' = i •

Entre w = 0, pour lequel la tangpnte est verticale, et w=w' (lorsque tg «' n'est ni nul ni imaginaire, ou loi*squeo*>'2r*), la courbe a donc un point d'inflexion. Pour tous Jes corps cristallisés on a «*-<*2c*, et par conséquent le point d'inflexion n'existe pas- Les courbes l>^a( et h^c^ donneraient lieu à des remarques analogues.

séparent donc pas en deux rayons vibrant à angle droit suivant des directions déterminées et cheminant avec des vitesses inégales ; elles se propagent suivant cette direction spéciale comme elles le feraient dans un milieu isotrope. On donne à cette direction OH le nom à'axe optique ou encore axe de réfraction intérieure.

Il y a un autre axe optique perpendiculaire à l'autre section circulaire de rellipsoîde inverse et placé par rapport au premier symétriquement an plan des zy.

L'équation polaire de l'ellipse aV, rapportée à l'axe des x, est :

p* (a« cos* w -4- c« sin») w = i ;

l'angle u), que fait le rayon vecteur Om'=: 7 appartenant à la section

circulaire^ est donc donné par l'équation :

a*c08*<a| -4- c« sin*u>| = ^ ou :

l'angle HOX étant le complément de 6*^, on a

t«"ox=±y^.

Les deux axes optiques OH sont distincts l'un de l'autre dans tous les cristaux pour lesquels les 5 axes de Tellipsolde d'élasticité a, 6, c sont inégaux. C'est pourquoi ces cristaux sont souvent désignés sous le nom de biaxes. On dit que le cristal est négfati/ lorsque HOX est plus pelit que 45<^, c'est-à-dire lorsque la bissectrice de l'angle aigu des axes optiques, ou, comme on dit pour abréger, la bissectrice aiguë, coïncide avec l'axe maximum a; le cristal est dit /^o^tït/* lorsque HOX est supérieur A 45®, c'est-à-dire lorsque la bissectrice aiguë coïncide avec l'axe minimum c.

La seule inspection de la fig. 24 montre qite la surface des vitesses normales a deux nappes, qui se coupent en quatre points analogues au point M, placés symétriquement dans le plan des zx^ qu'on appelle le plan des axes. Ces points sont les ombilici.

GlUtTAUXWBAPBIB, T. O. 8

On peut ajouter, pour donner une idée plus complète de la surface, qu'elle est comprise entre la sphère de rayon a qui la touche suivant un cercle situé dans le plan des zy et dont un quadrant est figuré en a\a\y et la sphère de rayon c qui la touche suivant un cercle situé dans le plan yx et dont un quadrant est figuré en c\ c\. La sphère de rayon h touche la surface suivant un cercle situé dans le plan des zx et dont un quadrant est figuré en ^'i h\ ; sauf le long de cette circonférence qui appartient à la nappe intérieure dans l'angle des axes optiques qui comprend Taxe des 2, et à la nappe extérieure dans Tangle do ces axes qui comprend l'axe des .r, tout le reste de la sphère de rayon b est compris entre les deux nappes.

Lorsque la suhstance possède un axe principal de symétrie , Tellipsoïde inverse, ainsi que tous les autres, est de révolution. On a fc = <? ou bz=:a. Lorsque fr = r, Tellipsoïde est de révolution autour de Taxe des X, le plus grand axe (lélasticité optique coïncide avec Vaxe de révolution et le cristal est négatif. Lorsqu'au contraire b = a, le plus petit axe d'élasticité optique coïncide avec Vaxe de révolution et le cristal est positif. 11 est aisé de voir que dans ces deux cas les deux axes optiques CM se confondent en un seul qui est Taxe principal ; c'est pour cette raison que le cristal est dit alors nnicuxe.

Supposons le cristal uniaxc positif, c'est-à-dire b:=c, la fig. 2i montre que la nappe intérieure se réduit à une sphère, de rayon b=:zc; le point M vient se placer sur l'axe des a-, et la nappe extérieure est une certaine surface qui est de révolution autour de Taxe des .r, et tangente à la sphère au point d'intersection avec cet axe. C'est d'ailleurs ce qu'il est aisé de voir sur l'équation même de la surface qui, lorsqu'on y fait b = c, se réduit aux deux équations :

r* = cS w' (r-^— c'-) + (r- 4- w-) (r* — a^) = 0.

La 1^*^ équation est celle d'une sphère de rayon égal à c; la '1^ équation, que l'on peut mettre sous la forme

est celle d'une certaine surface fermée plus ou moins semblable à un ellipsoïde.

Relations entre les deux vitesses de propagation qui correspcMidcnt à une même direction et les ang^les que fait cette direction avec les axes optiques. — La direction de l'axe optique, qu'on

CHAP. lY. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 115

appellera L' et qui est contenue dans Tangle des xz positifs, fait avec les axes coordonnés des x, y, z des angles dont les cosinus sont respeotitement :

Les cosinus des angles que fait avec les mômes axes la direction L*^, de Tautre axe optique contenue dans Fangle des zx, sont :

Appelons u, v, u;, ainsi que nous lavons toujours fait, les cosinus des angles que fait avec les axes une certaine direction de propagation. Désignons, en outre, par 0' et 6' les angles que fait cette direction avec L' et h". En posant poyr abréger récriture :

on aura :

CCS 6 =Mg + «^ c'

On tire de là •

cosr=— «g + «> g- . C(cos6'— cosô")

Asi: 5 »

c(cose'+cose')

L'équation de la surface des vitesses normales, lorsqu'on y remplace «* par 1 — H* — w', devient :

tt*A« w*B>

on, en développant :

Le coefficient de r*, changé de signe, est la somme des racines r^ et f^ de cette équation bicarrée, et Ton a :

f^4-r^=«*+ c* + C« ces $' ces ô*.

Le terme indépendant de r* est égal au produit des racines, et en remplaçant A et B par les valeurs précédentes, il vient

4r^i^«=C»cos«e'+C* cos' 0"+ 2C*(fl«4-c«)cos 6' cos 6* + 4a«c*. On en déduit aisément :

.y«^r«=V^(r^+r'*)«— ér'V'rzz (? sin V sin V=(a*^(fl) sin V sin 6*.

Cette expression de r" — r"* combinée avec celle de r^ + r"« donne :

^=Sl+f 2!z:f 003(0' -e-).

plans de Tlbratlon d'm même rayon blMéqvent les angles dièdres formés par les plans qnl passent par la directton de propagation et les axes opUqnes. — Imaginons que la figure 25 représente une certaine section elliptique de Fellipsoîde iuverse E, que les sections circulaires de cet ellipsoïde coupent suivant deux rayons Om, On, d*égale longueur, et par conséquent également inclinés sur les axes de l'ellipse. 11 en sera de même des rayons Om\ On' respectivement perpendiculaires sur les deux précédents. Hais Qmi et On' peuvent être regardés comme les pro« jectionssur le plan de l'ellipse des axes . optiques perpendiculaires aux sections circulaires. Les axes de l'ellipse Oa et 0|3 sont les traces des plans des vibrations qui se propagent noi^ malement suivant la perpendiculaire au plan de l'ellipse. Ces plans bissèquent donc les angles dièdres formés par les plans qui passent par la direction commune de propagation normale et les axes optiques.

Fommles approdiées qne l'on pent snbstltner anx ffommles

conipiétes. — La théorie de Fresnel ne peut être regardée conune démontrée, d'après ce qui a été dit plus haut, que pour les substances qui ne sont pas très biréfringentes, c'est-à-dire pour lesquelles les trois quantités a, &, c ne sont pas très différentes l'une de l'autre. C*est

Fig. .25.

en effet le cas de toutes les substances biréfringentes que nous présente la nature. Pour mettre à même d*en juger, on a réuni dans le tableau suivant tous les cristaux dont les constantes optiques se trouvent dans V Annuaire du Bureau des longitudes. Ces cristaux ont été rangés en deux groupes, celui des substances uniaxes, et celui des substances biaxes. Dans chaque groupe ils ont été rangés suivant l'énergie décroissante de la biréfringence, cette énergie étant appréciée

par la valeur du rapport - — ^ • Sur les 68 substances comprises dans

ce tableau, une seule, le calomel, donne un rapport ■ ^ ■ très peu

supérieur À j^; pour une substance, Tarséniate de soude, ce rapport est

très peu supérieur à ^ ; pour six autres, la calcite, le cinabre, la

cérusite, le soufre, Tasparagine et l'azotate de potasse, le rapport est

compris entre eâ^^Taâ* P^ur toutes les autres substances, le rapport

est inférieur à jjrjj.

L'examen de ce tableau suggère l'idée d'une simplification possible dans toutes les formules. Puisque, dans l'immense majorité des cas, on peut considérer comme négligeable, et de l'ordre des erreurs d'observation, la quantité (a — c)* relativement à c', on pourra négliger aussi, par rapport à c* ou à 6% le carré de la différence qui existe entre un rayon vecteur quelconque r et le demi-axe 6, puisque r — i est toujours inférieure a — c.

Posons donc :

^'it^'i» d étant des quantités très petites dont le carré est négligeable, l'équation de la surface des vitesses normales devient :