COS H P
La direction de propagation du rayon extraordinaire est en quelque sorte attirée par la normale dans les cristaux positifs, et repoussée par elle dans les cristaux négatifs ; c'est pourquoi on donne souvent aux cristaux positifs le nom d'attractifs^ et celui de répulsifs aux cristaux négatifs.
mspersloa. — Si la théorie de Fresnel était rigoureuse, l'élasticité optique du milieu dans lequel se fait la propagation lumineuse ne pouvant pas varier avec la couleur du rayon, c'est-à-dire avec la période du mouvement vibratoire, il en résulterait que la vitesse de propagation serait indépendante de la couleur de la lumière. C'est en effet ce qui a lieu pour la propagation des vibrations sonores. On sait qu'il n'en est pas ainsi pour les vibrations lumineuses dont Tinégale vitesse de propagation donne lieu au phénomène connu sous le nom de dispersion. Toutefois la dispersion n'existe pas dans le vide, ainsi que le montre l'observation des étoiles dont l'éclat varie très rapidement, comme Algolf qui passe en trois heures et demie de la seconde à la quatrième grandeur. Ces variations d'éclat seraient nécessairement accompagna de changements de coloration si les rayons différemment colorés employaient des temps inégaux pour parcourir la distance qui sépare rétoile de la terre; on n'a constaté aucun changement de cette nature. La dispersion est donc due à la présence, dans Téther, des molécules pondérables des corps.
Fresnel a le premier indiqué la cause probable à laquelle la dispersion
doit être rapportée. Il fit remarquer que les ondes lumineuses difrèrent des ondes sonores par la grandeur incomparablement moindre de leurs longueurs d'ondulation ; celles-ci ne sont donc plus, comme celles du son, très petites par rapport aux rayons d'activité des forces moléculaires. Dans la propagation d'une vibration rectiligne lumineuse, si nous considérons deux molécules pondérables séparées, suivant la direction de propagation, par une distance r, moindre que le rayon d'activité des forces moléculaires, ces molécules peuvent avoir, au même instant, des déplacements assez différents l'un de l'autre pour que la variation de position mutuelle qui résulte de cette différence influe sur la force élastique. Cette force, qui règle la vitesse de propagation, ne dépend donc pas seuleiftent de la structure du corps; elle dépend encore de la nature et plus particulièrement de la longueur d'onde des vibrations que ce milieu transmet.
Cauchy a traduit cette indication de Fresnel dans une théorie très complète et dont nous nous bornerons à donner ici une idée.
On considère une série de molécules alignées suivant la direction de propagation d'une vibration rectiligne. Le déplacement e de la molécule qui vibre à l'origine en 0 est, à l'instant f,
£ = Asin 2tc« =A sin 2?: -.
A ce même instant, la molécule située^ sur la direction de propagation à une dislance de 0 égale à r, éprouve un déplacement
s'=Asin 27C— =— =A sin ^ (»^ — r);
on a donc :
fi 2x \ . 2- , . 2r
— s' = e ( 1 — ces -— r I + A cos — vt sm r-
La force élastique développée, sur la molécule située en 0, par le déplacement mutuel des deux molécules considérées, et évaluée suivant le déplacement, est proportionnelle à e — e' ; la force élastique totale s'exerçant sur 0 est donc une somme de termes, en nombre infini, dont chacun se compose d'une valeur de e — t' correspondant à une
CBmALLOGHAPBlE, T. II. 9
150 DKllXIÈMK VXWm:, - CHISTALLOriK.Vl'llIF, PIIYSIOIJE.
valeur particulière de r, multipliée par un certain l'acteur M. On peut donc écrire :
f= c^M (\ -cosizr] 4 iy\\ eus S-r^^sin 'HtS-
[.e second tenue de celte expression est nul, car à chaque tenue de la somme pour lequel r est positif et qui pr<»vient d'une molécule située sur la direction de propagation, en correspond un autre pour lequel r a une valeur égale mais de signe contiaire, et qui provient d'une molécule située sur la direction opposée à celle de la propagation.
/• Heslc donc le premier terme. Pour les ondes sonores r est négligeable, el /"est proportionnel à £ et indépendant de /.; pour les onde>.
r lumineuses, r n'est plus négligeable, mais il est petit, et Ton peut dévo-
lopper 1 — cos '2;r c suivant les puissances croissantes de r, ce qui donne
1 — ces "Ir, r—y - — n -, 4- P. -,
d'où Ton déduit
/•=--£(.-;IMlV^-- ÏMOr'' -i ....
On a vu (page l(lo) que
'iT. )n
on aura donc pour v une expression de la loiine
La sonnue d«'s termes qui suivent le premier étant petite, on peut prendre pu ap]Moximalion la racine du second membre, ce qui donne
ba vifesse de projujgalion dans le vide étant indépendante de à, la
formule qui précède peut aussi représenter le rapport de la vitesse de propagation absolue dans le milieu à la vitesse de propagation dans le vide, ou, ce qui équivaut presque, dans Tair.
On peut, en général, se borner au second terme de la série qui donne v; ce terme est nécessairement négatif, puisque la vitesse de propaga. tion croit avec la longueur d*onde. On peut donc poser
geik étant des coefficients que Texpérience doit faire connaître.
Cette expression s'applique aux corps isotropes comme aux corps cristallisés; mais dans ces derniers une complication nouvelle intervient, car après avoir déterminé les constantes pour la vitesse de propagation d'une vibration rectiligne détf'rminée, il faudra en déterminer de nouveaux pour représenter In vitesse de propagation d*une autre vibration.
Toutefois, pour chaque valeur de X, il existe un certain ellipsoïde d'élasticité et un certain ellipsoïde principal. Supposons que le cristal appartienne à un système à axe principal ou au système terbinaire, tous ces ellipsoïdes, par des raisons de symétrie connues, ont leurs axes dirigés de la même façon. Si le système de cristallisation est terbinaire par exemple, on pourra représenter les vitesses de propagation, a« h, c, suivant les axes communs par des expressions de la forme
t^ 6 coefficients qui entrent dans ces formules suffiront à déterminer les ellipsoïdes correspondant à toutes les valeurs de X. Béer a montré tue ces formules satisfont en effet convenablement aux observations P<>ur les cristaux dont les constantes optiques correspondant aux diverses couleurs sont bien connues, tels que le quartz, la calcite. Taragonite et la topaze.
Si le cristal appartient à l'un des systèmes binaire ou asymétrique, il } a des axes d'élasticité dont la symétrie du cristal ne détermine plus
43â DEUXIÈME PARTIE. -- CRISTALLOGRAPlllIi: PHYSIQUE.
la direction; les directions de ces axes peuvent alors varier avec h L'observation doit dans ce cas déterminer non-seulement les grandeurs des axes des ellipsoïdes correspondant aux diverses valeurs de A, mais encore les angles que font ces axes avec ceux d'un des ellipsoïdes pris comme point de départ. En général ces angles sont petits et varient dans le même sens lorsqu'on passe successivement du rouge, pour lequel X est le [plus grand, au violet, pour lequel A est le plus petit. Nous aurons à revenir plus tard sur ce sujet important.
SURFACE DE l'oNDE. RAYONS LUUIKEUX.
Snitece de l'oade. — On a bien rarement besoin de pousser Tétude théorique des phénomènes de double réfraction plus loin qu'on ne l'a fait dans ce qui précède. Bien que les résultats déjà obtenus soient les seuls qui nous soient nécessaires pour les études ultérieures, il parait utile de ne pas laisser incomplète une théorie aussi importante. La pre-* mière lacune grave qu'il y ait à combler est la. détermination de la direction du rayon qui se propage dans un milieu biréfringent.
Après avoir considéré la propagation lumineuse comme produite par la propagation d'une multitude d'ondes planes partant en même temps de l'origine des vibrations et se répandant dans tout l'espace, on a déterminé théoriquement la vitesse avec laquelle chaque onde plane, restant toujours parallèle à elle-même, s'éloigne de l'origine ; c'est ce qu'on a appelé la vitesse de propagation normale.
Si l'on considère toutes les ondes planes, ayant toutes les orientations possibles, et partant de l'origine des vibrations à une même époque que Ton prendra pour l'origine des temps, elles occupent une certaine position dans l'espace à la fin de l'unité de temps, et cette position est déterminée par la surface des vitesses normales, comme il a été dit plus haut. Tous ces plans enveloppent une certaine surface que l'on appelle la surface de Vonde. En se servant de la théorie des interférences, on démontre que si k\a\ (fig. 51) est le plan tangent en k\ à la surface de l'onde S, la seule partie efficace. des vibrations que propagent les ondes planes parallèles à k\a\ est celle qui se transmet suivant la direction menée de l'origine 0 au point de tangence A'i, de sorte qu'un écran placé entre 0 et k\ supprimerait toute la lumière transmise directement à A'i ; 0 A\ est ce qu'on appelle la
CIIAP. IV. — THÉORIE DE LA OOIBLE RftFRACTIOX.- 153
direction du rayon lumineux dont 0 a\ perpendiculaire au plan de Tonde est la direction de propagation normale.
On a vu que le point a\,qui appartient à la surface des vitesses normales, est la position que le point a, (fig. 22, page 107) vient occuper lorsqu'on fait tourner Oa^ de 90» dans le plan A'Oa, qui contient le déplacement élastique et la force élastique qu'il engendre. Nous allons montrer que k\ est la position que prend OA, après une rotation de 90*
FiK* 31.
Fig 32.
dans le même plan, de sorte que le triangle Oa'i A'i e^t la position qnc vient prendre le triangle Oa,A, après une rotation de 90*.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de montrer que le plan P' (fig. 32), normal à Oa'i et mené suivant a\ A',, est tangent en k\ à lî surface qui est le lieu des points A'i ; c*est-à-dire que si A', est un point du lieu infiniment voisin de A'p la droite OA', rencontre le planP' en un point B', tel que la tongueur A', D't est un infiniment petit du second ordre, si la distance A\ A', est du premier. Le point A', correspond à un point A, de Tellipsoïde principal très voisin de A|, et comme Tellip^oïde est tangent au plan P mené suivant k^a^ perpendiculairement à Ooi, le rayon vecteur OA, rencontre ce plan en un point B, tel que B, A, <^t un infiniment petit du second ordre. Si Ton démontre que Tangle que fait OA', avec Oa'^ ne diffère que d*un infiniment petit du second ordre de l'angle que fait OA, avec Oa^ la différence entre OB,et OB', ne s<'ra que du 2* ordre, et en vertu de régalité OA, = OA',, la différence OB', — OA', sera du 2* ordre comme OB, — OA,.
Soit (fig. 31), sur une sphère décrite du point 0 comme centre, Ap A,, ttp a, et'A'p A',/a'i, les traces des rayons vecteurs OA^OA,, etc. Les plans AïOa^ et A,Oa, deviennent sur 'a sphère deux grands rercics
134 DF:ilXIt:ME P.\RTIK. - CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.
qui font entre eux un très petit angle a et qui se rencontrent suivant le diamètre mm'.
Fig. 53.
Dans le triangle sphérique Aj A, a^ où \^a^ = U, on a :
ces fliA, := cos U CCS AiAj -h sin U sin AiAo ces Ai ;
dansle triangle A', A', a\, où k\ a\ ^ U, on a :
ces a\ A'j|= cos U cos k\ k\ -{- sin U sin A'i A'^ cos A^.
Si l'on mène le grand cercle A^ A\, on a deux triangles A^ A\ A'^ et A, k\ A, qui ont le côté A, k\ commun et qui sont rectilatères en A, A', et Al A'i ; ils donnent :
cos AjAi = — sin AiA, cos A , =r — . sin A', A', cos A'^. On en déduit :
cosa,A, = cosUcos AjAa-|-sinUsiiiA',A'j cosA'^,
et par conséquent :
cosaVV^— cosfljA.— cosU{cosAVV^ — n)sA,A^)-|-sinlIsinA',A'^(cosA',— cosAV Or lasurface S du triangle sphérique \\m \\ est :
e( comme S et a sont infiniment petits, on a :
S étant infiniment petit.
Dans l'équation ci-dessus, le i" membre, cosa^iA', — cos a^A,, est le
double de produit de deux sinus, sin ^* ' * — î— 2- sin * ' ^ *;
dans le S*" membre, cos k\ k\ — cos A^ A, est le produit de deux sinus infiniment petits et est par conséquent du 2* ordre ; cos A\ — cos A'^ est du {** ordre, mais multiplié par sin A\A', il donne un terme du 2' ordre. Le second membre étant du 2' ordre, il en est de même du
premier et par conséquent de sin * * — - — î ou de a^\^ — a'iA\,
É^purtioa de la murtm^ de l'oade. — L*équation de la surface de Tonde s'obtient d*une manière tout à fait analogue à celle qui nous adonné Tcquation de la surface des vitesses normales. On cherche les cosinus u\ v\ w\ des angles que fait avec les axes la direction A'a' (fig. 22, page 107) parallèle au rayon vecteur 0A\ ~ p, de la surface de l'onde. Les coordonnées de A' sont :
et, à cause de la relation
les coordonnés de a' sont :
Pi Pi Pi
^n a donc :
=ii'xAV,
i56 DEUXIÈME PARTIE. - CRISTALLOGflAPHIE PHYSIQUE.
et, en écrivant que la direction 0A« est perpendiculaire sur OA'p on obtient :
tt'* v* w'*
équation polaire de la surface de l*onde. L'équation de la surface de Tonde n'est autre que celle de la surface
des vitesses normales dans laquelle on a changé r en -, a en -, & en t
et c en -. Toute relation trouvée entre le rayon vecteur et les paramètres de cette dernière surface deviendra une relation applicable à la surface de Tonde en y faisant les mêmes changements.
IMreetloBB des deux Tlbratloas eorrespoadaat à aae
dinetioB da rayoa. — Un plan perpendiculaire à 0X\ coupe Tellipsoîde principal D^ suivant une ellipse C^ dont 0A| est Tun des axes; le théorème se démontrerait comme le théorème analogue relatif aux vitesses normales. Cette droite 0A| marque la direction de la force élastique que développe la vibration rectiligne dirigée suivant OA'. Le second axe de Tellipse déteiminé dans Tellipsoïde principal par le plan normal à OÂ'i marque la direction de la force élastique correspondant à une autre vibration rectiligne qui se transmet aussi suivant 0A'|. Les directions des deux vibrations rectilignes qui se transmettent ainsi suivant le même rayon 0A\ ne sont pas perpendiculaires entre elles, mais elles sont contenues respectivement dans les deux plans perpendiculaires entre eux menés par le rayon vecteur et les deux axes de Tellipse C|. Gomme d*ailleurs Tangle que fait le déplacement avec la force élastique est toujours petit, les deux vibrations rectilignes seront sensiblement perpendiculaires entre elles. On peut donc dire qu'un même rayon transmet deux vibrations rectilignes sensiblement perpendiculaires entre elles. La direction do chacune de ces vibrations, telle que A'i a\f s'obtient aisément en projetant le rayon vecteur de la surface de Tonde sur le plan tangent à Textrémité de ce rayon vecteur.
Il faut ajouter que le plan tangent à la surface de Tonde n'étant pas exactement normal au rayon vecteur correspondant, les vibrations lumineuses, dans un milieu cristallin, ne sont pas rigoureusement transversales; elles approchent seulement de l'être parce que Tangle A\ 0' a\
CRkP. IV. — THËOfirE DE LjV DOUBLE RËFRâCTlON. 157
étant très petit, le plan tangent en A', n'est pas très éloigné d'être normil àOA',.
tmrmte 4e 1« ■■rf*ee de l'oade. — La discussion de la surface de lande se ferait comme celle de la surface des vitesses normales. On suppose toujours que l'axe maximum a est dirigé suivant l'axe des x, l'ate mojen b suivant l'axe des y, l'axe minimum c suivant l'aie des 2. Les plins coordonnés étant des plans de symétrie, on se borne à chercher Il forme de la surface dans l'oclanl antérieur supérieur droit.
Pour obtenir l'intersection de la surface de l'onde avec le plan des xy, il suffit de remarquer que les rayons vecteurs situés dans le plan xy sont normaux â toutes les sections de l'ellipsoïde D, menées suivant OZ ; toutes ces ellipses ont un axe commun c ; l'autre axe est l'un des rayons lecteurs de l'ellipse principale située dans le plan oif. La section de la surface de l'onde pai' te plan xy s'obtiendra donc en menant d'abord un cercle de rayon égal à c, el portant ensuite sur chaque rayon vecteur une longueur égale à celle du rayon de l'ellipse piincipale de 1), qui lui est perpendiculaire. On obtient ainsi l'ellipse principale elle-même, mais tdurnée de 90", cest-ù-dire ayant l'aie b dirigé suivant Ox el l'axe a suivant Oy. Cette ellipse est «térieure au cercle de rayon c.
On verra de même que i'inleisection par le plan ys se compose d'un cercle de rayon égal à a, et d'une ellipse dont l'aie b est dirigé sni- »ant Oî, e( l'axe c suivant Oy. Le cercle est extérieur à l'ellipse.
L'inlersection par lu plan xs se compose encore d'un cercle de rayon égal à 6 et d'une ellipse ayant un axe égal â à suivjnt l'axe des s, et un ne égal à c suivant l'axe des x. Lu cercle el l'ellipse se coupent en un point I (lig. 54). Le rayon vecteur 01 de l'ellipse étant égal à b, est normal à celui des rayons vecteurs de l'ellipse principale de 1), située dans le plan ax qui a pour longueur b cl par conséquent au plan mené par ce rayon vecteur et l'aie b de l'ellipsoide. La direction 01 est donc ' perpendiculaire à l'une des sections circulaires de l'ellipsoïde 1),.
- L'équation de l'ellipse située
dans le plan méridien des zx est
u étant l'angle du rayon vecteur avec l'axe des x; en faisant p = frdans celle équation, on trouve pour la valeur cori-espondante de w, laquelle est égale à lOX,
Il y a, symétriquement placés dans les 4 quadi'anls formés par les axes des X et des z, 4 points 1 qui sont les ombilics de la surface de l'onde. Ces 4 poinis correspondent A deux droites telles que 01 que l'on nomme axe» de réfraction extérieure. Les points I sont des points singuliers de la surface de l'onde ; et de chacun d'eux on peut mener un nombre infini de plans tangents â celte surface. En projetant le rayon 01 sur chacun de ces plans tangents, on a la direction d'une vibration qui se propage suivant la direction 01. Il est aisé de voir comment sont placées toutes ces vibrations ainsi qne les vitesses de propagation correspondantes qui sont les noi-males à chacun des plans tangents h la surface de l'onde.
Soit en effet a^y (lig. 35) une des sections circulaires de l'ellipsoïde D( et 01 la droite normale qui est l'aie de réfraction extérieure correspondant. Tous les rayons de la section circulaire sont des axes de symétrie et peuvent, par conséquent, correspondre à une vibration transmise suivant 01.
Soit Oa l'intersection de la section circulaire avec le plan des ar, le plan tangent à l'ellipsoïde en a coupe ce plan suivant une droite aVi, Les planstangentsàrellipsoide en chacun des points delà section circulaire ont pour enveloppe un cylindre dont les génératrices sont parallèles à avi et dont la section droite est une certaine ellipse ^iS. Les normales menées 4 cea plans tangents par le point 0 sont les normales à l'ellipse |5(j.
Soit 0A[ lin rayon quelconque de la section circutaii'e ; menons la généralric.' k,m du cylindre, puis, au point m, la tangente à l'ellipse
1. Un aiir.-iii pu dùdujre cette équation de celle qui àoane ig HOX (p*g« 113) en . cliuiip'.ii.l d^ris celle-ci a, b, c en -, t, -> contormément i la remarque fiita plus
de la section droite, et enfin la normale Oa^ à cette tangente. La droite Oaj étant normale au plan tangent k^ma^j et Ok^ étant normale à la tangente au cercle en A|, cette tangente est perpendiculaire au plan OAïap qui se trouve ainsi perpendiculaire sur le plan de la section circulaire et renferme 01. Le plan OA|a^ est donc bien le plan de vibra-
Pig. 35.
^on, et Ton obtient la direction la\ de cette vibration en menant Oa\ égal et perpendiculaire à Oa|, puis menant la\ qui se trouve ainsi parallèle à Oa^ puisque 01 est égal à OA^.
On voit que les vibrations transmises suivant la direction 01 sont toutes parallèles à un même plan normal à OP menée parallèle à octij. On obtient facilement OP en menant en I (fig. 54) la tangente à l'ellipse qui avec le cercle de rayon b représente Tintersection de la surface de londé par le plan ZX, puis menant OP normal à cette tangente.
\A0 DEUXIÈME PARTIE - CniSTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.
Pour trouver la direction de la vitesse de propagation de chacune de ces vibrations, nous remarquons que Oa\ est la vitesse correspondant à la vibration la\; que le triangle ?0a\ est semblable au triangle Aima^ et que par conséquent Pa\ est parallèle à mai; ^^ ^^ déduit que Pa\ est perpendiculaire sur \a\. Le point a\ se trouve donc dans un plan normal à OP sur une circonférence de cercle décrit avec IP comme «
diamètre. Cette circonférence est la section circulaire du cône du 2' degré formé par les directions des vitesses de propagation telles que Oa'i correspondant à toutes les vibrations transmises suivant 01.
Si, dans le plan ^.r, on menu la tangente commune MN au cercle et à Tellipse qui forment sur ce plan la trace de la surface de Tonde, le plan mené suivant MN perpendiculairement au plan zx est tangent en N à la surface de l'onde, et perpendiculaire en M au rayon OH. Le rayon OM représente donc en grandeur et en direction la vitesse de propagation de la vibration dirigée suivant M^ ; c'est donc un rayon vecteur de la surface des vitesses normales, et puisque ce rayon est égal à
6, il est perpendiculaire à Tune des sections circulaires de Tellipsoîde
inverse E, section dont le rayon est ?• C'est la direction de ce que Ton
a appelé Taxe optique.
Mais le plan MN est non seulement tangente la surface de Tonde aux points M et N; il touche encore la surface suivant une certaine courbe. Il est clair en effet que si nous considérons la section circulaire de Tcllipsoîde E dont tous les rayons sont des axes, chacun de ces rayons correspond à une vibration roctiligne, et ces vibrations, comprises dans le plan de la section circulaire, se propagent avec une vitesse normale qui est la même pour toutes, et qui est représentée en grandeur et en direction par OM. Toutes ces vibrations seront représentées par des droites menées par M perpendiculairement à OM, et allant toucher la surface de Tonde en un autre point. Le lieu de tous ces points est la courbe de contact de la surface de Tonde et du plan normal à OM mené en H.
Il est aisé de trouver la nature de cette courbe. Supposons en eflet que, dans la fig. 55, afùy représente la section circulaire de E; nous verrons, comme précédemment, que, pour avoir la direction du rayon correspondant à une vibration quelconque OA^ dirigée dans*le plan de
la section, il faut prendre sur la normale à cette section une longueur
0.\l = T7-r-; puis mener dans le plan MOAj une droite perpendiculaire
sur OAi, et prendre sur cette droite une longueur Or = -r— . La droite Or
est la direction du rayon, et le point r Tundes points de tangonce, avec la surface de Fonde, du plan mené en H perpendiculairement à OM. Or Mr, étant perpendiculaire à OM, est parallèle à OA^^. Le plan MNr étant parallèle au plan a^/, et le plan RON étant parallèle au plan mk^a^, la droite Nr est parallèle à la tangente au cercle menée en Â^. Les droites Mr et Nr sont donc perpendiculaires Tune sur l'autre et le point r se trouve sur un cercle dont MN est le diamètre.
BcflMirqtiea d*Haiiiiitoii. Expérlenceai de I«loyd. — Lors<JU*un
rayon lumineux tombe sur la surface de séparation d'un milieu cristallisé sous une incidence telle que Tonde plane résultante se propage dans ce milieu suivant un axe optique, cette onde plane est unique. Elle transmet des vibrations orientées d'une manière quelconque dans son plan, et par conséquent propage de la lumière non polarisée.
Supposons que le milieu cristallisé soit une lame à faces parallèles. Si IS (Gg. 36) est le rayon incident, à Tonde plane se propageant dans le cristal correspondra un nombre infini de rayons réfractés foimant
JJ.Al>JLlLlM«~. f-.-n
Piir. ùj.
KiK. 37.
les gènérati*ices d*un cône du second degré min. Après l'émergence, chacun de ces rayons donnera un rayon émergent parallèle à IS, et il est évident que tous ces rayons formeront un cylindre (tcux du second degré.
On peut tirer de là une vérification très curieuse de la théorie de la double réfraction. Supposons que la lame cristalline soit taillée de telle sorte que les deux faces parallèles soient perpendiculaires au plan des ues a et c d'élasticité optique. On recouvre la surface de la lame d'un écran EF (Gg. 57) percé en 1 d'une très petite ouverture, et Ton fait tomber eu 1 un faisceau ti*ès mince limité par un écrtin CD placé à une
i42 DEUXIÈME PARTIE. -- CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.
certaine distance du cristal. En faisant glisser dans son plan la lame et son écran, on fait varier à volonté Tangle d'incidence du faiscrau SI. On mesure cet angle en recevant sûr un écran IK, l'image L du point I et mesurant l'angle SIL qui est le double de Tangle d*incidence.
Les rayons émergeant de la lame sont reçus sur un écran 6H parallèle à la surface de la lame. En général, on voit se dessiner sur cet écran deux points lumineux. Mais en faisant varier lentement Tangle d'incidence, on voit, pour une valeur particulière de cet angle, les deux points se réunir et former une ellipse brillante continue.
On voit pour quelle raison les axes optiques sont appelés quelqpiefois axes de réfraction cpnique intérieure.
Si le plan de Tonde transmise par le milieu cristallisé est tangent à la surface de Fonde en un point I, le rayon transmis dans le milieu est unique et coïncide avec Taxe de réfraction extérieure. Mais il y a une inflnité de plans qui sont tangents à la surface de Tonde au point I, il y a donc une infinité d'ondes planes transmises, bien qu'il n'y ait qu'un seul rayon. A chacune de ces ondes planes correspond un rayon incident. Il y a donc un nombre infini de rayons incidents correspondant tous à un seul et même rayon réfracté dirigé suivant une ligne CI. Tous ces rayons forment les génératrices d'un cône du deuxième degré. On verrait de môme qu'un rayon unique dirigé suivant 01. donne à Témei^genco un cône de rayons lumineux.
De là une expérience remarquable. La lame qui a servi dans l'expérience
précédente reçoit en un point A (fig. 58) un cône de rayons rendus divergents par une lentille convenable. Les rayons ressortent de la lame en traversant une très petite ouverture pratiquée en B dans un écran CD fixé sur la face d'émergence.
En faisant glisser In lame parallèlement à elle-même, on trouve une position pour Fig. 58. laquelle«le rayon AB transmis dans Tinté*
rieur du cristal est dirigé suivant un axe de réfraction conique extérieure, et alors le rayon émergent s'épanouit en formant un faisceau creux qui dessine un anneau lumineux sur un écran EF. Cet anneau augmente de diamètre lorsqu'on éloigne de la lame l'écran EF, et le diamètre est à chaque instant proportionnel à la distance qui sépare la lame de l'écran* Tous ces phénomènes indiqués» d'après la tliéorie, par HamiltoUi ont
CHAP. IV. — THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. iiô
été observés par Lloyd, et sont venus confirmer d*une façon éclatante la théorie de Fresnel.
Dans les cristaux à axe principal, les deux axes optiques, de même que les axes de réfraction conique extérieure, se réduisent à une seule direction qui est celle de Taxe principal. Un faisceau lumineux traversant le cristal suivant cette direction, ne se dédouble ni à l'entrée ni à la sortie, et peut traniî^iettre de la lumière polarisée dai:s toutes les directions.
Mterailaatioii des dlrecUonai des deux rayona réfraeCéa corres-
poadaat * «a rayon Incident. — Une onde plane se dédouble généralement, lorsqu'elle pénètre dans un milieu cristallisé, en deux ondes dont chacune correspond à un rayon réfracté. Pour trouver les directions de ces deux rayons réfractés provenant d'un rayon incident unique, il suffit, en répétant la construction employée précédemment pour trouver les deux ondes planes, de mener en P (fig. 27, page 125) la surface de Tonde; les deux ondes planes perpendiculaires au plan d'incidence et menées par le point M à une dislance de HP égale à -: — r»
viennent toucher la surface de l'onde en deux points ; les rayons vecteurs menés par ces deux points sont les directions des rayons réfractés. Ils ne sont pas, en général, contenus dans le plan d*incider.ce. Cette particularité se présente cependant quand le plan d'incidence est l'un des plans de symétrie de la surface de Tonde.
On peut encore résoudre le problème en déduisant les deux directions des rayons lumineux réfractés de la connaissance des deux directions de propagation des ondes planes. On sait en effet que le rayon lumineux et la direction de propagation sont dans un même plan avec la direction de vibration, et la direction de vibration est connue lorsqu'on donne celle de la propagation. Il ne reste plus qu'à conoaitre Tangle D que fait la direction de propagation avec celle du rayon, et dont nous allons chercher la valeur.
Pommieii de Hne-Cnllagh donnant l'angle V romprl» entre la 'tfcetion de propagation normale et celle du rayon Inmlnenx* -^
Reprenons l'équation de la page 109,
y(a« — r«)= — ttXA,a, . ou ^Wî'=ji3^-Aja, .r,
que Ton peut encore écrire :
Mr* ,,,
144 DEUXIKME PAUTIi:, - ClUST\LUl(;UANIIK PllVSlntE.
Si nous formons les équations analogues en u' cl //, si ensuite nous élevons au carré les membres de chacune des trois équations ainsi obtenues, et si enfin nous les ajoutons membre à membre, nous obtiendrons :
Or, si nous appelous /' et r" U-s deux valeurs de r corres])ondanl à u, /', //', on trouve
ia' — r-
u- lien désisrnanl par S 7-. -^,7:. bi sounne des trois termes y-, —.
77^. — TT", '. Si l'on appelle 0' et 0" lesang les que fait ladirec-
tion(H V //•) ave(' les axes optiques, il est aisé de voir que Ton a :
r'' — rt^ — — -^,— [1 -f ces (0' — 0 ij,
r'' - c-^ m 'l-:p- [ I - cos (0' - 0")) .
r'* - b^' = a-' — h'- ^ [ I + cos (0' — e^)J .
On connaît d'ailleurs la relation :
r - — r"- — (rt-' — c'-) sin Q' -•=111 0'.
On peut donc écrire :
[ir — (■-)■' sin (0' — 0")
— eus'
S siii 0' sin 0"
Kn appelant r l'angle de l'axe optirjiie avec l'axe des .r; :; 7
=zco< V
et la parenthèse du numéiateui" devient :
(OS- V — ces-
- [cos t!i'— cos (0' — 0")j;
' V. Lamé. — Tfivoîir nif/lhânnliqur de i\lfif>(/ri/(\ p;ige- '2" 7 cl 'JÔS.
CHAP. IV. THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 445 d'où Ton déduit :
^ (g» — c»)« sin> (Q^— 6^ [cos (6^— é*^) — cos 2g] ^^* ^'"" îeTin 6' sin 6^
Or, si nous représentons sur la surface d'une sphère (fig. 39) les traces P, A|, A,, dts la direction OP (u, v, u;), et des ^
directions des axes optiques 0A| et OA,, nous aurons dans le triangle sphérique PÂ,A„ en
appelant ^ Tangle At PÂ^ :
cos vrzcos 0' cos O'' — 2 sin 6' sin 0" sin* ^ «j;t
ou !
cos (0' — 0") — cos 2» == 2 sin 0' sin ^' sin» ^ 6* Portant dans la valeur de r'Hg'U', il vient :
Fig. Si).
ou .
Ar^ tg" U' = (a* — à*)* sin» (0'— O*) sin* ^ <{;,
tg U' =:î: ^-^ sin (0' - O') sin J t};.
On trouverait de même :
lgO' = dr~^*sin(0'H-Û')cos^Ç;.
Ces deux équations remarquables ont été établies par Mac GuUagh. Elles déterminent complètement les deux rayons réfractés lorsqu'on connaît les deux vitesses de propagation, les plans de vibration, et le sens dans lequel il faut compter l'angle U à partir de la direction de la vitesse. Pour préciser cette dernière donnée, il suffit de remarquer que si Ton considère Tellipse suivant laquelle l'ellipsoïde principal est coupé par le plan de vibration, l'angle aigu du rayon vecteur avec la tangente est dirigé du côté du petit axe de l'ellipse. Le pied de la per* pendiculaire abaissée du centre sur la tangente est dune placé du côté du petit axe ; Tangle D doit ainsi être compté à partir do*la direction de la vitesse de propagation et en se dirigeant sur le grand axe de l'ellipse.
PonMiles «pproefaées. — Lorsqu'on fait usage du genre d'approximation déjà eoiployé et qui consiste à négliger le carré de la différence de
CIISTALL06IUPHIS, T. H. |0
deux rayons vecteurs quelconques de Tellipsoîde principal, on peut confondre sin U et U, 1 et cos D. On aura donc Oa^ = p^ (fig. 23) à cause de la relation Oa^ == p^ cos U, et la surface de Tonde se confondra avec celle des vitesses normales, les axes optiques se confondant -avec les axes de réfraction intérieure. Toutefois Tangle U que fait le rayon avec la direction de propagation normale ne s*annule pas ; il est seulement très petit, et la longueur du rayon vecteur de la surface de l'onde qui va du centre de propagation à un point de Tonde plane ne diffère que d'un infiniment petit du second ordre de la longueur du rayon vecteur de la surface des vitesses normales qui est la normale à Tonde plane.
En appliquant notre méthode d'approximation à la formule qui donne tg L^, il vient :
tgU'=-^siii (6' -6'') sin l^]/.
Si on Tapplique aux cristaux uniaxes, on trouvera que Tun des angles U estnuU et que pour l'autre on a :
tgU'=-~^sin!iO.
Si le plan d'incidence contient Taxe principal, le rayon extraordinaire et le rayon ordinaire sont dans le plan d'incidence; la direction de la vitesse de propagation du rayon extraordinaire fait avec celle
du rayon ordinaire un angle e égal à ±: — r— sin' S tgR; Tangle A que le rayon extraordinaire fait avec le rayon ordinaire est donc :
X = 6±:U = ^^(d:sin«etgRd:sin2e).
Soit (ù Tangle aigu que fait Taxe principal avec la normale à la surface de séparation ; si le cristal est positif. Taxe principal est Taxe minimum d'élasticité, et il faut porter Tangle U soit du côté de la normale, soit en
sens opposé, suivant que R+6> est plus petit ou plus grand que 90*>. On a :
X=î^(— sin«0tgRd:sin2ô);
on prendra le signe -+- lorsque R -h û> < 90% et le signe — dans le cas coDfraîre.
GHAP. IV. — THÉORIE DE LA DOUBLE RËFRAGTEON. Si le cristal est négatif» on aura :
A = ^^ (8in« 0 tg R ±: siii 2 0) ;
Ul
on prendra le signe — si R +&) est plus petit que 90* {fig. 40), le
signe + dans Le cas contraire.
On voit que le rayon extraordinaire est tantôt plus, tantôt moins éloigné de la normale que le rayon ordinaire. La direction du rayon n*est pas soumise à des lois aussi simples que celle de la vitesse de propagation.
