râ

Rapport {a - e)*

Svbstaneea Maxes.

Signe de la double réfraction.

Couleur

delà lumière employée

gour lervation.

Jaune.

RaieD.

Jaune.

Rouge.

Jaune.

Rouge.

Jaune.

Rouge.

Orangé.

RaieD.

Bleu. Raie D.

Jaune.

Rouge.

Jaune.

Rouge.

Noms des subslances.

Cérusite (carbonate de plomb)

Soufre.

Asparagine ^ . .

Azotate de potasse

Aragonite

Formiate de strontiane. . . .

Anhydrite (sulfate de cbaui

anhydre]

Tartrate d*antim .. et de chaux,

avec azotate de chaux. . .

^pidote de Sulzbach

• Péridot vert de Torre del Greco

Borax . i

Chlor.debaryum(BaCl*+2Aq).

• Diopside d'Ala

Calamine (silicate de zinc hydraté . . .

Euclase

Anglésite (sul&te de plomb).

Nèsotype

Gordiérite de Bodemnais. . .

Barytine (sulfate de baryte). .

Andalousite du Brésil ....

Orthoae de Wehr

Gypse

Topaze blanche du Brésil. . •

Cymophane

Azinite

Orlhose du Saint-Gothard. .

Sulfote de potasse biaxe. . .

Sel de Seignette potassique (dextrotartrate de soude et de potasse)

{a^cy

dnuidears relatives des TÏt/cmmem «vee lesqvelloi «« propaf^aA •vivant la même dlrectioa les denx ▼ibratiovs rectaoïpalairas. -* Matincttov des rayons ordinaire et extraordinaire. — Si la bis*

sectrice aiguë des axes optiques coïncide avec l*axe maximum a» c'està-dire si le cristal est négatifs les sections cycliques de TelUpsoîde principal comprennent Taxe c dans Tintérieur de leurs angles aigus^ Le plan normal à la direction de la propagation lumineuse rencontre les deux sections cycliques de part et d'autre du plan principal bc en

K et m' {ùg. 26). La vïbratioa qui, comprise dans l'angle aigu des seclions cycliques, bissëque l'angle mOm', correspond au plus petit axe

de l'ellipse ; c'est celle dont la vitesse de propagation est la plus pe- Hie- Si la bissectrice aiguë est l'aie minimum c, c'est-à-dire si le cris- Ul etl positif, l'inverse a lieu, et la bissectrice de l'angle mOm' com-

Fig. 91.

prise dans l'angle aigu des sections cycliques (fig. 27) donne la vibralion dont la vitesse de propagation est la plus grande.

Comme on l'a dit plus haut, on détermine ordinairement les directions des vibrations transmises normalement & un plan donné, en projetant sur ce plan les deux axes optiques, et menant les bissectrices des angles Tormés par ces deux droites, qui sont perpendiculaires sur les traces des plans cycliques. L'angle qui comprend la projection de la bissectrice aigué comprend aussi la vibration dont la vitesse de propa-

gation est la plus petite daas les cristaux négatifs, et la plus grande dans les cristaux positifs.

On convient d'appeler vibration ordinaire celle qui se trouve dans Tangle aigu des sections cycliques de Tellipsoîde principal ; l'autre est la vibration extraordinaire. Si l'on appelle d^ le d con^espondaut à la vibration ordinaire, et i^ celui qui correspond à la vibration extraordinaire, d^ est porài/dans les cristaux positifs et négatif dsms les cris^ taux négatifs. En d'autres tenues, la vitesse de propagation du rayon ordinaire correspond à la nappe delà surface des vitesses normales extérieure à la sphère de rayon &, dans les cristaux positifs ; à la nappe qui est enveloppée par cette sphère, dans les cristaux négatifs.

PasMiKe d'an rayon lamtnevx d'an mlllen qaeleoimae dans an

mllteii cristallisé. — Les lois de la propagation lumineuse dans les cristaux permettent de se rendre compte des phénomènes de réfraction qui se produisent dans ces corps. On considère un rayon passant d'un premier milieu dans un second qui est cristallisé. La surface de séparation des deux milieux est supposée plane, ce qui n'est pas une restinction à la généralité du raisonnement, puisque l'on n'a jamais à considérer qu'un élément très petit de cette surface. On suppose un

faisceau lumineux de dimensions transversales assez petites pour que la surface de l'onde puisse être considérée comme plane. Soit vml (fig. 28) la direction de ce faisceau. Le plan de la figure est supposé mené par ma et la normale mN à la surface de séparation; c'e^ le plan d*incidence.

L'onde plane mn est le lieu des Fig- 28 points du premier milieu atteints

par une vibration en un même instant qu'on regardera comme l'origine des temps. On aura l'onde réfractée dans le second milieu en cherchant le lieu des points atteints par cette même vibration au bout de l'unité de temps. Choisissons a'p parallèle à mn, de telle sorte que pn reprè* sente la vitesse de propagation dans le premier milieu, c'est-à-dire le chemin parcouru dans ce milieu par la vibration dans l'unité de temps. Le point />, commun aux deux milieux, appartient à l'onde réfractée; d'ailleurs tous les points de la droite pq perpendiculaire au plan d'in-

cidence sont atteints en même teihps par la vibration,. la droite pq est donc contenue dans Tonde réfractée ; onde nécessairement plane, puisque le faisceau lumineux réfracté a, comme le faisceau incident, des dimensions transversales très petites. On suppose menée la surface des vitesses normales aux extrémités des rayons vecteurs de laquelle sont normaux, au bout de Tunitë de temps, toutes les ondes planes qui, partant de m, peuvent se propager dans le second milieu; Tonde cherchée est comprise parmi celles-là. Soit donc r et s deux points de cette surface situés sur chacune des deux nappes, contenus dans le plan d uicidence et tels que pr et ps soient respectivement perpendiculaires sur mr et ms; les plans normaux aux plans d'incidence, c'est-àdire qui passent par pq^ et ont pour traces pr et psj sont les ondes planes réfractées. Les longueurs mr et ms représentent en grandeur et en direction les vitesses de propagation correspondant aux deux rayons réfractés; ces directions sont peu différentes Tune de Tautre, à cause de la faible biréfringence des milieux cristallisés.

Si ces deux directions étaient rigoureusement identiques, les vibrations de chacun des rayons seraient mutuellement perpendiculaires ; ces vibrations seront donc effectivement très près d*ètre rectangulaires entre elles. On peut donc dire qu'un faisceau lumineux passant dans an milieu cristallisé s'y décompose en deux autres ti*ès voisins Tun de l'autre, et dont les vibrations sont à angle droit.

Lorsqu'un faisceau lumineux, après avoir traversé le milieu cristallisé, en ressort et rentre dans le premier milieu, on ferait, pour trouver le faisceau émergent, une construction inverse de celle qui nous a permis de déduire la direction du rayon réfracté de celle du rayon incident. Si la surface de séparation des deux milieux à l'émergence est parallèle à la surface de séparation à Tincidence, chacun des deux rajons réfractés issus d'un môme rayon incident donne, pour le môme rayon émergent, une môme direction, et le faisceau émergent est parallèle au rayon incident.

La longueur n p représente la vitesse de propagation / de la lumière dans le premier milieu; les longueurs mr et ms sont les vitesses de propagation respectives des deux rayons réfractés dans le second milieu; nous les appellerons r et s. Nous appellerons en outre I Tangle d'incidence, c'est-à-dire celui que fait avec la normale mJi la direction de propagation ma dans le premier milieu ; R' et R'' sont les angles que font respectivement les directions des vitesses de propagation r' et r^ avec le prolongement de la normale mN. Dans le triangle

rectangle mpn^ on a

/ '^ sm I

dans les triangles prm, et p«m, on a :

l f '^ ~ sin I sin R'

'^ sin I sin R"'

Le rapport. du sinus de Tangle d'incidence à celui de Tangle de réfraction est le môme que celui de la vitesse de propagation dans le premier milieu à la vitesse de propagation dans le deuxième milieu. Les vitesses de propagation sont donc les inverses des quantités que l'on désigne sous le nom d'indices de réfraction. Dans un milieu cristallisé, il y a en général deux indices de réfraction correspondant à la même direction de propagation, et ces indices. changent avec la direction.

Calcal des dlreetlons do propagea tlom d«« deax rayons réfractés.

— Pour trouver les directions des vitesses de propagation des deux rayons réfractés r' et s", il suffit, on le voit, de chercher l'intersection, par le plan d'incidence, de la surface des vitesses normales ayant m pour centre et de calculer les points d'intersection r et « de cette

courbe avec le cercle ayant pm = -r-, comme diamètre. Les rayons

^ sinl

vecteurs mr et nu sont les deux directions cherchées.

Soit

l'équation de la surface des vitesses normales; si u' v'w' représentent les cosinus que fait avec les axes la normale au plan d'incidence, l'équation

(2) utt' + ri/ + ww' = 0,

qui expFime que toutes, les directions (u v w) qui y satisfont sont contenues dans le plan d'incidence, est l'équation du plan. Si Ton appelle jf, A, ifc les cosinus que fait avec les axes la direction mj9, l'angle 6> que fait le rayon vecteur (ti v w) avec m p est donné par la relation

stnl

CBAP. lY. - THÉORIE DE U DOUBLE RÉFRACTION. 125

L*équationdu cercle ayant m p pour diamètre est

(3) r=mpcosa)=-: — j (Sf« -f fc» 4- Aw),

Qd a ainsi trois équations qui, par élimination, en donnent deux autres ne contenant plus r; ces deux équations, combinées avec

doiment les valeurs de u, v, w qui résolvent le problème.

Le calcul se simplifierait dans le cas des cristaux uniaxes. Il se simplifie davantage encore, même dans le cas général, si Ton emploie le procédé d'approximation qui a été défini plus haut.

Soit PR| (fig. 29) la direction de la vitesse du rayon réfracté qui se produirait si le milieu était isotrope, ^ et si la vitesse de propagation y était ** ^>.\> , la vitesse moyenne de propagation dans ^^^ •

le cristal, c'est-à-dire b. Les vitesses des deux rayons réfractés réels PR' et PR'' ne font avec PRi qu'un petit aogle; les vitesses de propagation r' p. ^

et r^ qui leur correspondent sont

donc très peu différentes des deux rayons vecteui*s de l'une et l'autre nappe de la surface des vitesses normales qui ont la direction commune PRi. Les longueurs de ces deux rayons vecteurs sont fr + ^ et & + d', si d' et d^ sont les deux racines de l'équation en j (page 117), dans laquelle on donne à u, v, u; les valeurs qui coniiennent à la direction PR,.

Prenons PM = . et menons par H des perpendiculaires ft et Vf

nn I

sur les directions respectives PRi et PR'; soit c le point où VLif rencontre PR. Le triangle iltc est presque rectangle en c à pause de la petitesse de l'angle RTR^; P£'=:r'=:& + ^' peut être considéré comme égal à Pc, et par conséquent on a sensiblement ci= — 3'. Soit e' le petit angle RTR^, considéré comme positif lorsqu'il est parcouru, à partir de PR^, en s'éloignant de la normale PN, et comme négatif dans le cag contraire, convention qui revient à dire que le signe de e' est celui

12G DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOf.RAPIlIE PHYSIQUE

de ù'; dans le triangle <Mc où t^W = e\ on a :

c'sin

M<"~/cosR

On aurait de môme, en appelant e" l'angle que forme avec PU la direction de pi'opagation PU" de l'autre rayon réfracté ;

l eus iV

D'après ce qui a été dit page i!2:2 sur le signe de o, l'angle e correspondant au rayon ordinaire est positif dans les cristaux positifs et négatif dans les cristaux négatifs. La direction de propagation du rayon extraordinaire est donc plus rapprochée de la normale que celle du rayon ordinaire dans les cristaux positifs et plus éloignée dans les cristaux négatifs.

f>i 0) est l'angle que forment entre elles les deux directions de propagation PR' et VVi\ on aura :

0) == £ — £" = ic — 0 ) , - „ = 7 ïT \a — c) sm 0 sm 0 .

Wcos K /ces R '

Lorsque le rayon PR est dirigé suivant un axe optique, on a 0' = 0 cl &> =(». L'onde plane qui se propage dans le milieu cristallisé est aloi's unique; c'est ce qu'il triait facile de voir directement.

11 ne s'agit donc plus, pour résoudre le problème dans le cas général, "SI TVW que de connaître les cosinus [u v vj

que fait, avec les axes de la surface des vitesses normales, la direction de propagation PR,el dont il faut introduire les valeurs dans ré(|uati(»n en ^ pour obtenir o^ et â^ .

Soit l , V, W. les cosiiuis que fait avec les axes la direction de propagation PI (ih^. 3(1) du rayon incident;

Kl-, ôi).

g, hy ky ceux «juc fait avec les axes la direction PN de la normale à la surface de séparation des deux milieux;

i, p,v, ceux (pie fait avec les axes la direction ts de la normale à PN, menée du point t j)ris sur la direction PI à une distance de P telle que [H =^ i.

CHiP. IV. •— THÉORffi DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 127

En projetant le triangle Pis sur Taxe des x, on obtient

U+0eosI + X8inI=O,

> U+flfcosI sinl

On aurait des valeurs analogues pour /xet v, en remplaçant U et j^ successWement par V, h, puis par W, k.

,Sur la direction PR, on prend Pt's 1, on mène ifs' perpendiculaire sur le prolongement de la normale PN ; la projection, sur Taxe des x, du triangle ?($' donne

ti + XsinR + ^oosR=0,

d'où, en introduisant la valeur de A trouvée précédemment, on déduit :

ti=:(U + acosI)-: — t — y cos R.

^ ^ ' sm I '

On aurait les valeurs de v et ti; en remplaçant U et 9 successivement par V et A, puis par W et k.

Oa calculerait d'ailleurs I par la formule :

cosI = jfD+fcVH-KW,

et R par la relation :

sin I /

sinR V

V&Hém kirélîpaetiom dans le cas particaller des erietanx vmiaxea.

— Dans les cristaux uniaxes, les lois du phénomène de la réfraction se simplifient. La surface des vitesses normales se réduit alors, comme on l'a vu, à une sphère et à une surface à une nappe. Des deux directions de propagation du rayon biftirqué après la réfraction, Tune a toujours pour vitesse le rayon de la sphère, le faisceau lumineux qui lui corre^nd et qui est le rayon ordinaire se comporte conune si le milieu était un milieu ordinaire ou isotrope ; la vitesse de l'autre direction de propagation, qui est celle du rayon extraordinaire, est marquée par un rayon vecteur de la surface à une nappe. Dans les cristaux positifs^ Taxe principal coïncide avec le plus petit

axe d'élasticité, c'est-à-dire Taxe des s; on a a=fr, et la sphère de la surface des vitesses normales enveloppe la surface à une nappe ; la vitesse du rayon extraordinaire est inférieure ou au plus égale à celle du rayon ordinaire. L'angle co que font entre elles ces deux directions est donné par la formule :

ci)=e'= — (a — c)sin*0 îr= ^^sin*6tgIL

^ ' cos R a °

Dans les cristaux négatifs^ Taxe principal coïncide avec le plus grand axe d'élasticité, c'est-à-dire l'axe des ar ; on a & = c, et la sphère eSt enveloppée par la surface à une nappe ; la vitesse du rayon extraordinaire est toujours supérieure ou au moins égale à celle du rayon ordinaire. On a :

ci) = g'= (a— c) 8in*0 -— -n = -^ 8in* 6 tgR.