Par ?w' on mène une
GflAP. ¥1. -<- LUMIÈRE CONVERGENTE. SI 7
perpendiculaire à Om' jusqu^à sa rencontre avec le rayon vecteur en H,
ona
sinO' sinO'sinO'*
et H est un point' de la courbe cherchée. Lorsque 6' = 0, on a f» = oo.
La distance Hp =p du point H à Taxe optique 01 est égale à p sin 0', et Téquation de la courbe donne
0=psin 0'=:^— Ti' '^ ^ sin 0
Lorsque O'=0» on a 6''=2A.-r-7rr ^st donc la limite vers laquelle tend ^ . sm2A ^
p lorsque V tend vers zéro etp versTinfini. En d'autres termes, la courbe
a des asymptotes parallèles aux axes optiques et séparées de ces axes par
une distance normale égale à . .^* Il est aisé de voir d'ailleurs qu'il
° sm 2A ^
va des branches de la courbe dans les angles aigus et dans les angles
obtus de ces asymptotes. La même construction s'applique au deux
branches, mais si 2Â est la valeur de l*angle des axes qui convient à Tune
des branches, 180 '^ — 2A est celle qui convient à Fautre.
La distance du centra à laquelle les asymptotes se croisent sur Taxe
d elaslicité est égale à . q. . . ou ^ . .. r ; la distance du
^ sm zA sm A 2 sm 'A cos A
Ht centre à laquelle se trouve le sommet de la courbe est ''^« Lorsque
2 cos A>4 ou co8A>^, ou encore A<60®, le sommet de la courbe
est plus éloigné du centre que le point de croisement des asymptotes, el toute la courbe est renfermée dans Tangle formé par les asymptotes; le contraire a lieu lorsque A>>60^, et la courbe a nécessairement alors des points d'inflexion.
Lorsque, pour Tune des branches de la courbe, A est compris entre. 60* et 45*, il est compris pour Tautre entre 45* et 30* ; les deux branches, pour lesquelles on a A>60*, sont inférieures aux angles des
218 DEUnËMB PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.
asymptotes. La figure 74 montre Tintersection, par le plan des de la surface d*égal retard dans un cristal pour lequel A =45^.
sS
Fie. 7^
Lorsque, pour Tune des branches de la courbe» A est compris entre 0* et 50*, il est compris entre 60* et 90* pour Tautre; la branche comprise dans Tangle aigu est intérieure, celle qui est comprise dans Tangle obivs est extérieure aux angles des asymptotes. La figure 74 repré* sente rintersection par le plan des %x de la surface d*égal retard dans UB cristal pour lequel A=20*.
Étudions la forme de la surface dans le voisinage du sommet situe sur Taxe des y. Nous su|^K>serons, pour fixer les idées, que Taxe des i& est la bissectrice aiguë; c'est le cas de la figure 75.
Si Tmi coupe la surface par le plan qf, le retard o — e correspondant
à un rayon situé dans ce plan et incliné d'un angle R sur Taxe y, est.
Fig. 75.
«Taprés une formule trouvée page 187,
' p'Mi— cosUsin'R).
cosR ^ '
et comme rr est égal à p, l'équation polaire de la courbe contenuo
dans le plan zij est
p(l — cos*Asln«R) = ?/u
Portons au carré les deux nombres, et négligeons le terme en sinMl devant celui en sin-H, on olitient
p^(l-.2cos«Asin2R) = m%
qui représente la courbe dans le voisinage du sommet y. En rapportant à des axes parallèles à ceux des y et des Zj cette équation prend la forme
/y-— ;* cos !2Ar^- m*.
Puisque cost^A est positif, cette équation est celle d'une hyperbole
dont Taxe Iransverse, qui a pour longueur m, coïncide avec Taxe des y
TU et dont Taxe imaginaire, qui a pour longueur t coïncide
V cos 2A avec Taxe des z.
L'intersection de la surface par le plan aij aura de même, dans lo
voisinage du sommet //, l'équation
qui représente une ellipse dont Taxe coïncidant avec celui des r a pour loniïueur
V^cos 2A L'hyperboloïde à une nappe,
.r- ces tiA + U' — Z' cos 2 A =^ m-,
qui admet les deux sections principales précédentes, est donc osculateur de la surface d'égal retard, au sommet y, et peut être assimilé à celte surface dans le voisinage de ce sommet.
L'hyperboloïde se réduit à un plan, parallèle à .r//, pour le cas on cosl2A=-- 0, c'est-à-dire A = i.V; c'est ce que montre bien la figure 7*2.
L'intersection de Thyperboloïde par un plan parallèle à .vz et ayant pour équation y = e, est une hyperbole équilatére dont l'équation est
cos 2 A
Cetle équation peut donc représenter les courbes d'intersection de la sorface par des plans parallèles à xz, et peu distants du sommet y^ c'est-i-dire menés à une distance e du centre, peu différente de m ; à Il condition, bien entendu, que Ton restreindra ces courbes à la partie
voisine du sommet y.
— çr-, cette équation est la môme que
Sauf rintroduction du facteur
celle qui représente Tintersection de la surface d*égal retard des cristaux uniaies par un plan parallèle à Taxe, et peu éloigné du cercle de gwge. La bissectrice aiguë des cristaux biaxes joue, dans ce cas, le même rôle que celui de Taxe optique dans les cristaux uniaxes.
3* Section par un plan perpendiculaire à Cune des bisseclrices de Van^ ^ da axes optiques. — L'intersection par le plan passant par le centre s'obtient aisément eii remarquant (|ue Ton
a (fig. 76)
cos 0' = — ces 6*' =cos (0 sin A,
u étant l'angle du rayon vecteur avec l'axe des or, ce qui donne pour équation polaire de la courbe Fig. 76.
1 — cos* (0 sin* A
Celte courbe donne toujours p=m pour w = 90°, c'est-à-dire pour le point situé sur l'axe des y. Si l'on cherche toutes les valeurs de eo, pour lesquelles l'ordonnée parallèle aux y, c'est-à dire p sin &>, est égale à m, ces valeurs sont données par l'équation
m sin (0
1 — CCS» CQ siu" A
TT
OU, en posant pour simplifier w' = ^ — &>
cos (!>' = i — sin* (!>' <in- A ,
OU
2 sin* — = sin- W siii- A = -4 sin* — cos- — sin* A. Y r r
Divisant par sin- ~> ce qui supprime la solution w'=:0, il vient
cos- -77 ■=
2 ^2 sin* A
(Iclle équation donne une solution possible lorsque '2 sin *A >> 1 , ou lorsque A>45'\ La courbe aura donc, au point situé sur l'axe des /y, k» concavité tournée vers l'intérieur lorsque A^^o*^, c'est-à-dire lorsque le plan est perpendiculaire à la bisseclrice obtuse; l'inverse a lieu
lorsque A<C '*'>"> c'osl-à-dire lorsque le plan est perpendiculaire à la bissectrice aij^uë. Lorsque A= ^o»*, les deux sections perpendiculaires aux bissectrices sont égales, et aucune d elles ne présente de concavîtt' tournée en dehors.
Si l'on coupe par un plan séparé du centre par une dislance €> on se
CUAP. YI. — LUMIÈRE CONVERGENTE. 225
bornera aa cas où les rayoas vecteurs font un petit angle avec la bissectrice perpendiculaire* ce qui enlralne la petitesse de e. On appelle r' et f les dislances respectives d*un point quelconque M de la courbe cherchée aux traces t et t' des axes optiques sur le plan de coupe (fig. 77) ; on appelle encore jf et x" les angles que font les rayons / et r" avec les axes optiques, on a
sin 6' sin «*
1^ __ ^ siii 6" "" sraP'
d'où Ton tire, pour Téquation de la surface»
fV
P sin x' sin x'
Si la distance s est petite, jf et x" sont peu différents d*un angle droit et p peut être considéré comme égal à e. L*équation de la courbe
détient alors
1^1^= me.
La courbe cherchée est ainsi, dans les conditions d'approximation où Ton s'est placé, une lemniscate dont î et H sont les pôles.
3* Intersection par un plan perpendiculaire à un axe opftfue.— Soit 0'
Fig. 78.
(fig. 78) le point où Taxe optique rencontre le plan de coupe, p un rayon vecteur queiconquei dont la projection sur ce plan a une longueur r et
fait avec la trace du plan des axes un angle égal à w; on appeller Li distance 00' qui sépare du centre le plan de coupe. On a
r=rPi>inO'= -
sinO
En nous bornant au cas où 0' est petit, c'est-à-dire où e esl grand, on a sensiblement 0"3z-t>A, el la courbe est un cercle dont le rayon
est-r — rr» r.ela montre que les cvlindres circulaires, dont les asvmp-
lotes et rintersection par le plan des a\es optiques sont des généraliices. sont des cylindres asymptotiques à la surface.
La discussion qui précède donne une idée très précise de la forme d»'
Fi-. VJ.
la surface d'é-^^al relard. Celle surface est formée, comme le monlro In ligure 71), par deux esj)éces de tuy;)nx dont Ips axes sont parallèles aux ;ixes optiques et qui viennent se raccorder vers le centre.
I^nmcs talllc-e** poriic*nc1ioiilnir4*nieiit si une» hiwwcrtrire, <• cst-Afllre 8^ l'on dos sixcf* d'rlastifitr a on r. — (.e qui vicut d'être d:l
sur la surface d'égal rclaril datis les cristaux à deux axes rend tivs aisée l'explication des courbes ol^srures ou lumineuses que des lames taillées dans ces cristaux présentant en lumière convergente.
Nous supposerons d'abord la lani»' taillée [)erpendiculairement à l'iii^t» des bissectrices de l'angle formé [k\v les axes ()[)liques et nous examinerons d'abord le cas où les niçois sont croisés à angle droit.
CHAI'. VI. — LUMIÈRE a^NVERGENTU. 225
L^inleiisité de la lumière en un point quelconque est alors donnée par la formule
0 — e I = sin*2a sin*i: ~^^ —
a étant l'angle que fait avec la vibration du polariseur celle des des deux sections principales du point considéré qui correspond à la durée o de propagation.
Les franges forment une série de lemniscates noires correspondant
aux valeurs entières de — r — = k. Les pôles ou traces des axes opti-
ques sont noirs, car ils correspondent à A: =0 ou à un retard nul ; la courbe la plus rapprochée de cette trace correspond à A: = 1 ou à un retard égal à >; celle qui suit à &= 2, etc. Pour le centre delà figure, le retard est celui qui se produirait, en lumière parallèle, pour un faisceau de propagation normale ; il est donc égal à r = e (n^ — n^] si
la bissectrice est positive ; èir = s (n^ — n^), si la bissectrice est négative. Le nombre entier de fois X qui est compris dans r, donne le nombre des franges obscures comprises entre le centre et le pôle de Tun des axes. Ces franges sont, dans ce cas, des courbes ovoïdes for* mées de deux parties symétriquement placées autour des pôles de chacun des axes optiques.
Lorsque - est entier, une frange noire correspondant à ce retard r
passe au centre de Timage, et forme une espèce de 8 dont le point de croisement est au centre. C'est le cas que représente la figure 80.
Lei franges qui correspondent à des retards plus élevés ne sont plus disloqués en deux parties distinctes et entourent à la fois les deux
pôles.
Les franges ne varient pas Irrsqu on fait tourner la lame entre les niçois croisés. Mais les courbes incolores qui sont noires changent de forme et de position. Lorsque la ligne des pôles des axes bissèque lun des angles droits forirés par les vibrations du polariseur et de Tanalyseur, ces courbes sont des hyperboles équilatéres ayant pour asymptotes ces \ibralions: pour axe transvei*se, la ligne de pôles; et pour sommets ces pôles eux-mêmes (fig. 80). C'est dans cette position que
OUSTAlXOGIlArniE, T. II. 15
226 liKUXlfiïlK l'ARTIK. - ClUSTALLOGliAI'llIE PllYSl'jL^-
l'imagc esl la plus régulière et lu plus nellu et ^u'oii Tobserve habi-
iLii'Ileiiienl.
I.orsiprà partir di; culk' |iosilioii. on l'ail loiiriH-'r la laine, les bypei-bolfs se ili'Condcnt ; olli's yardciil toujours pour asymptotes les vîljraliunb du |iolarisciir el ilc l'analyseur: elles passent toujours par )•■> poks lies axes oplûjueâ, uù elles semblent s'auiJiicir en quelque sorte.
eoiiiiin^ il a éli'' f\iilii|ué l'iiis liant, ninis i:l>s pôles no sont pins des sommets de la cmirbi'.
l.iii'sipLe la Iti-'iie de? pi'ilcs e.'-l paiallèle h l'une des viliriilions du pularisenr ou, di' r.inaljsinir, les livpei'bules se sont transformées en nue crois noii'e dont hs liras, parallèles à Wb vibralious, sont en quelque sorte amiiic-is m\\ |nMe-^ (li^'. lii, p. MW).
l.ois(|ue les LLÎeiils sont palMlll'■le^ enlie eu\, les hyperboles incolores ^'iirileiil la luèiiie l'orme (|Ue. dans le cas des uicols croisés à angle droit, mais an lieu d'avoir une îtileii^ilé nulle, elles ont une intensilê maxiiiia; en Imuièie blanche, elles sont blanches.
L'iiitensilè étant al<i>s doriuèi' p:n' la foimule
les franges noires correspondent aux valeurs de — - — égales à
2» 2 et en général — ^ — .
Ces franges noires, que nous appellerons complémentaires, occupent la même place que celles qui, avec les niçois croisés à angle droit, ont une intensité maxima.
Lorsque les niçois sont croisés d'une façon quelconque, il y a, conmie on Ta vu, deux hyperboles incolores, mais non pas noires, qui passent toutes les deux par les pôles des axes optiques, et ont respectivement pour asymptotes: Tune, la vibration du polariseur et la droite perpendiculaire ; Tautre, la vibration de Tanalyseur et la droite perpendiculaire.
Lorsque la ligne des pôles tombe dans un des angles formés par les vibrations du polariseur et de l'analyseur, ou par les perpendiculaires à ces vibrations, la teinte du point central de Timage est directe (page 196). Dans ce cas, en dehors de l'espace compris entre les deux branches d'hyperbole qui passent par un même pôle, c'est-à-dire dans la partie non hachée de la figure 62, les franges noires sont des portions de lemniscates directes. Entre les branches d'hyperboles, c'està dire dans la partie hachée de la figure 62, les franges noires sont des portions de lemniscates complémentaires.
L'inverse a naturellement lieu lorsque la teinte du centre de l'image est complémentaire, c'est-à-dire lorsque l'axe des pôles tombe dans un des angles qui ont pour un côté une des vibrations du polariseur ou de l'analyseur, et, pour autre côté, une droite perpendiculaire à l'une de ces vibrations.
On peut chercher quelle est, dans le plan des axes optiques, la loi de l'écartement des franges. Si l'on se reporte à la figure 75 et si l'on mèHe le p correspondant au point d'une frange noire situé dans le
plan des axes optiques et compris entre le centre et le pôle de l'un de ces axes, on aura
AX === p(ii, - «J sinô'sin (2A- 0') == 1 iiîj:^^^
Celle équation donne l'angle (A — 6') que fait, avec la normale à la lame, le faisceau qui, dans le plan des axes optiques» contracte un re^ tard égal à kh On en tire
co&«(A— 0') cos(A — e') — cos«A = U
ns DiaXIKME VWmE. — CIUSTALLdUKAIMIll!: l'IlVSlOUE.
el
eus
■V - 0') --- — . -f i / — T. -f cu^^A,
d'uîi l'un déduit
^in' A— 0):^siii-A : \/ —, ■ +
^ '2l'(n,-n„)-' ,{n,-nj\ 4r(„,.;,j^^
cob-A.
L'exprcsbion : est louiours potilts car /• ifesl jamais 1res
U'ès grand, cl >l est très |»clit. Sujjpusons en L'ikl, pour fixer les idées, X z: ()-'■', 0C05, E^O»",:), // — "„ -0,01. A = l;
on aura
— 0,0ij.
On peut donc nê«,'^lic:er le cube de celle expression et écrire
-Siii-A - -SIM- (A — 0 ) ^-- ■ (^o-^A -f
(ionimc nous l'avons vu plus haut, pa.i;e 20Ô, si A^ est Tangle que
fait, avec la normale à la lame, et après sa sortie do la lentille objective , le faisceau qui dans la lame cristalline est parallèle à luxe optique, on a
sinA — ^ — ijinA,
n, étant l'indice moven de la lame cristalline, el n l'indice du verre.
Si A^^^ — 9,'„ ^"^t l'angle qu«î fait, avec la normale à la lame, à la sortie de la lentille objective, le faisceau qui dans la lame l'ait avec cette normale l'angle A — 0\ on aura de même
Kn renq)la(;anl sin A et sin (A — 0) par leurs expressions en sin A et siniA.,, — O',). il vient ainsi :
lit ' m
"' ^ "' "' -11-11 - Il »)r-ii/ii ti »'
Dans le microscope, Timage d*un faisceau parallèle se fait, suivant toutes les directions, à la même distance du centre de la lentille objective ; sin A et sin (A^ — ^'J sont donc respectivement proportionnels aux distances qui, dans le plan des axes optiques, séparent, du centre de Timage, le pôle de Taxe et la frange qui correspond au
retard kl.
Dans le second membre de l'équation qui précède, on peut négliger je second terme par rapport au premier, et Ton voit ainsi que, si Ton prend le centre de Tiroage pour origine des distances, l'excès du carré de la distance polaire du^ pôle de Taxe optique sur le carré de celle d'une frange est sensiblement proportionnel à k\ et en raison inverse de Tèpaisseur e de la lame.
LaaiM taillée pcrpendleaialrenient * an axe optl^ifae. -^ Les
courbes noires, au moins celles qui entourent immédiatement le pôle de Taxe, sont alors sensiblement des cercles.
Si Ton se reporte à la figure 76 et si Ton prend le p corresponde un angle 6', dans le plan des optiques, on a
h\ = p (w^ — n Jsîn 0' sin (2A — 6') .
Si l'on se borne au cas oii 6' est très petit, on peut faire sensiblement p = « et sin (2A — fi') = sin 6' sin 2A. On peut alors écrire
sinô'=
e|n^ — n^)sin2\
d OÙ Ton déduirait aisément que, dans l'image vue au microscope» les rayons des franges sont sensiblement proportionnels à k\. Les rayons des cercles noirs successifs varient comme la suite des nombres entiers 1, 2, 3, etc.; ces courbes sont donc également espacées, au lieu d*&ller en se rapprochant de plus en plus comme les cercles des cristaux uniaxes.
On sait d'ailleurs que les franges circulaires ne sont pas ici traver* secs par une croix noire comme dans le cas des lames uniaxes, mais bien par une branche d'hyperbole passant au centre. Cette courbe, dont la convexité est toujours tournée du côté du pôle de l'autre axe optique, se transforme en une ligne droite située dans le plan des aies opti-
250 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUli;.
ques lorsque ce plan est parallèle à Tune des vibrations da polariseur ou de Tanalyseur croisés à angle droit.
I««Bies taUlées perpendlealalrement * l'*x« moyeB. — Dans ce
cas il n'y a pas de courbes incolores. Les franges, identiques à celles qu*onvoit dans les lames taillées parallèlement à Taxe d'un cristal uniaxe, ne sont en général visibles que dans la lumière monochromatique. Ce sont des hyperboles équilatères, au nombre desquelles ne se trouvent pas en général les asymptotes» inclinées de 45^ sur les sections principales de la lame.
Deux lames de la même épaisseur, taillées dans la même substance perpendiculairement à Taxe moyen, et croisées à angle droit, donnent les mêmes franges que celles que l'on observe dans' les mêmes conditions avec deux lames taillées parallèlement à l'axe d'un cristal uniaxe. On se rappelle que ces franges, visibles dans la lumière blanche, sont des hyperboles équilatères au nombre desquelles sont les asymptotes.
