UNE LAME CRISTALLINE TRÈS MINCE

Dans un hôs ^^'and noml)re do roclierchcs cristallographiqiies il est fort important de pouvoir calculer les i)lîênonirnei> de double rrlraclion qui prennent naissance loi'sqn'on superpose des hunes cristallines oxlrcinenienl nniices. Ces phénoniènes sonf, comme nous le verrons, léalisrs 1res IVéquemment dans la nalure; ils peuvent l'être artificiellement par la snperposilion de lamelles minces de mica blanc. Nous consacreions ce chapitre à les étudier.

Les équations foiulameirtaîes. des<pielles nous déduirons toute la théorie que nous avons en vue, seront obleimes en cherchant les modifications que la traveisée (Tune lame cristalline extrêmement juince fait snl)ir à une vihi'afion elliptique.

Soi«mt nX (fii;. 9i), OY, les directi(>ns des axes de cette ellijjse incident(S dont les i;rand<Hirs sont respecdvement y> et q. ()o c( 0<? sont les directions des sections principales de la lame, dont l'épaisseur très petite est £. Nous appelItM'ons cî le retard, qu'ajjrés la traversée d'une lame de même matière et d'une épaisseur égale à l'unité, la vibration dirigée suivant Oo épn>uverait par rappoil à la vibration dirigée suivant Oe. Nous api)ellcrons, comme d'ordinaire, o et e les temps que les vibrations, dirigées respectivement suivant Oo et Oc, mettent à traverser la lame.

Après la traversée de la lame, les projections de la vibration, suivant

GHÀP. Vni. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. S65

les sections principales Oo et 0^, sont :

aj^^pcosYsinâ^s — çsin^cosSiCm'

y* =/> sm Y sm 2tc — = h g cosy cos 2ic — =; — $

si l'on a préalablement changé Torigine des temps, et pris cette origine en relard de o sur l'origine première.

Lorsqu'on néglige les quantités du 2* ordre de grandeur ene, y'peut s'écrire :

^ y'=p smY sm2i:,^ -}- { -— »p smY + gcosY Icosâxa- Projetons les vibrations x^ ei}f sur les axes X^ et T^ de la nouvelle

Fig. 94.

ellipse, dont Taxe \ fait avec X un angle très petit dtù^ nous aurons :

X| = x'cos (y — rfo)) 4- y' sin (y — rfw), y, == y' cos (y — diù) — x'sin(Y — dci))>

qui reviennent, en supprimant toujours les termes du 2* ordre, à celles-ci :

ar, = sin2xji(p r-gsin2Y 1 + cos2iÇ|( -r— P ""'ï""9** )*

V l 2to8 . \ « «' / ice8 . ^ \

y, = sin2z^( — gco5«Y +pdw j+cos2ic ^U + ^psinÎY I-

11 est aisé de voir qu'on peut encore mettre ces équations sous la forme

.Vt = ( 7 -r -r-y^sin2-; lcosM2-,p4- .^cos^Y — -''^'^ j»

car on n'introduit ainsi que des termes du 2" ordre de^randem*.

Pour que ces deux équations représentent une ellipse vibratoire, il faut et il suffit que l'anomalie soit la même, et qu'on ait

f/c^'= - mo : — siirv =: - aw cos-Y.

On tire de là

;;«— fl-^ 2z ^

(ko ' 2- = — £ocos 2v.

Si nous posons, suivant un mode de transformation que nous avons déjà plusieurs fois employé,

nous aurons,

ckù = T, tg 2i(. — eS cos 2y, ^ A

, sin-u 2z ^ 2z ^

^ 2 cos 2// /^ ^ /^ *

Mais, si nous supposons que l'origine des temps est la même que celle de la vibration incid<'nle, il faudra augmenter d(f^ d'une quantité

égale à ^0, et l'on aura, en remarquant que eo = o — c,

sin*// -" ^ . 2?: ; . .

(h = 3 T- • . iz cos 2'/ + -^ {(>cos-Y -+ csui-v,.

^ 2 cos 2// X * /. * *

Quant aux variations de grandeur des axes de Tellipse, elles sont

d cos z^ = — - £§ sin 2y sin m,

d'où l'on tire

ds'iuu=^ -f ;^£Bsin2YC0S«,

du=: r iS sin2v.

CHAP. Vni. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 265

Les quantités don, du, dcf^ ne sont exactes qu'au premier ordi^e de

grandeur près. Lorsque u est très petit, et est lui-même du premier

ordre de grandeur, drù est du 2® ordre, et il devient nécessaire d*en

obtenir l'expression au 2« ordre près.

Nous allons donc nous proposer de trouver du, dcù, d<f, au second ordre de grandeur près , lorsqu'on suppose que u est du premier ordre.

Pour résoudre ce problème d'une manière simple, nous remarquerons que Tune quelconque de ces quantités, Ju par exemple, étant considérée comme fonction de u, peut être mise sous la forme

dto)=A-f Btt-f Ctt«-|-....

Les expressions que nous avons obtenues représentent cette fonction au 1" ordre de grandeur prés, lorsque u est fini; on a donc A,B,C avec cette approximation. Si nous voulons avoir dtù au 2" ordre prés, u ét-ant du !«' ordre, on peut négliger les termes contenant une puissance deu supérieure à la 2"^ ; il est inutile de connaître B ou C avec une approximation supérieure au 1" ordre, car les termes du 2« ordre dans B, multipliés par u, donnent des termes du 3' ordre. Il ne nous reste donc plus qu'à connaître A au 2" ordre prés. Pour trouver l'expression de A, nous pouvons faire u=:0, ce qui revient à supposer que la vibration est rectiligne. Le problème est donc ramené à chercher, au 2<^ ordre de grandeur prés, l'expression des paramètres de Tellipse vibratoire émergeant d'une lame cristalline très mince sur laquelle tombe une vibration rectiligne.

Ce problème a été résolu dans le chapitre précédent, et nous avons trouvé, dans ce cas :

do=o cos'y + « sin*Y, rftt= -eBsinSy,

Les expressions trouvées plus haut pour duy <^&)»^f , dans l'hypothèse de u fini» lorsqu'on y suppose^u petit, et qu'on y néglige les termes du

si II ^u 5* ordre, co. qui permet de supprimer le terme 7— p6(îcos2j/ et

d'assimiler ig2u à 2w, deviennent

(h = 0 cos'Y + ^ sin-Yi du = ~ zo sin Sv,

(lui = -r- WcO cos 2y,

En comparant entre eux ces deux gioupes d'expressions, nous trouverons enlin les valeurs suivajites de (h, du, J&), exactes au 2' ordre près :

d^ = 0 cos- Y -f c sin-^Y»

f/o) — — / u -f ^- 1 £C cos 2y.

On peut mettre sous une autre forme l'expression de r/(p. Si l'on ap- [)elle n l'indice de réfraction corres[)ondant à la vil)ration Oo, n' celui cpii corres[)ond à la vibration Or, â est alors l'excès n — n' du premier indice sur le second, cl Ton a :

11) ,/ç>3=r____l- .3cos2y.

(2) ^^/«=r^.^sin2Y,

/-v , -~ / da\ ^ ^

(•>) ^/to z= - I ?^ -I -^ 1 £0 cos 2y.

Les équations (I), (2) et ;.") résolvent complètement le problème (jue nous nous étions i)()sé.