CHAPITRE II. — PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES RÉTICULAIRES

pouiTons toujours, au reste, supposer partir de la même origine.

Soient a:, y y 2, les anciens axes ; x\ y', 3;', les nouveaux; et supposons données les caractéristiques des plans oc!y\ yV, z'x' par rapport aux anciens axes.

En considérant Taxe des x^ comme Tintersection de afy' et de z'x\ on tirera facilement de ces caractéristiques, celles de Taxe x\ et ainsi de suite pour les axes des y' et des 2'. Les caractéristiques des nouveaux axes sont donc connues, et je désigne

celles de xf par P,Q,R

Quant à la grandeur des paramétres» elle se déduit par une formule connue, des caractéristiques de chacun des axes. Appelons a', h\ c* les paramétres respectifs de x\y' y 7^, et soit [ghk) le symbole dans le sys téme des anciens axes, d'un plan rétjculaire dont nous cherchons le symbole (g[KV) dans le nouveau.

Choisissons parmi tous les plans parallèles compris dans le symbole (ghk), celui qui est limitrophe de l'origine, dont Téquation est

et qui rencontre Taxe Ox', à une distance de Torigine égale à D^, en un point M (fig. 8), dont les coordonnées sont Ç, Ti, %, Soit OA' = a' le paramétre de Ox^ ; les coordonnées de A' sont

Pa, Qft, Rc

et il est clair qu'on peut poser les égalités :

1— ^— i—îl Pa 05 Rc"" a'

Fig. 8.

d'où l'on tire, en remarquant que le nœud M fait partie du plan (ghk),

Pî/H-<»-fRA=^, En appelant Dy», D,i, les longueurs interceptées, par le plan (ghk) sur

les axes y', z\ on trouve de même :

P'âf-hQ'A+R'A=^, "y

Les inverses des premiers membres des trois dernières équations, divisés respectivement par a', V, c\ représentent donc les longueurs interceptées sur chacun des nouveaux axes ; et les premiers membres de ces équations, débarrassés, s'il y a lieu, de leurs facteurs communs, sont les caractéristiques cherchées g\ h\ A:'.

Si uvw représentent les coordonnées numériques d*un nœud dans Tancien système d'axes, on peut se proposer de chercher les coordonnés ttVw;' de ce nœud dans le nouveau système.

Soit (;>5fr) le symbole du plan des zy dans l'ancien système, le plan parallèle qui passe par le point uvw di pour équation :

P - + ^ T 4- r - =/m + çv 4- rw a b c

et le second membre représentant le nombre de strates compris entre ce plan et 7^y' est précisément la coordonnée numérique u' cherchée. On aura donc :

tt'=pM + 5t;4-rw;

et de même

en appelant (p'qy) le symbole du plan jsV et{p"9'V') — — afy'.

Aire élémentaire d'un plan rétlenlalre. — NouS conviendrons

de désigner l'aire élémentaire d'un système de plans réticulaires {ghk) par le symbole 8(ghk). Nous allons chercher l'expression de 8(ghk), Soient trois rangées conjuguées, servant d'axes coordonnés, et ayant respectivement pour paramètres a, b, c. Nous les supposons coupées aux points 6, H, K (fig. 9), par un plan réticulaire (ghk) limitrophe de l'origine.