CHAPITRE IL — PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES RÉTICITLAIRES
On a
,. ^^„ \ab . 1«(001)
Aire GOH=r- - -r sm xy=:^ ^ . '
Soit p la perpendiculaire abaissée de sur le plan, et S Taire GHK :
7 étant Fangle, avec O2, de la perpendiculaire abaissée de K sur le plan xy,
et dont la longueur est -s cqs y.
On a d'ailleurs, a étant le volume élé- ''»«• ^'
mentaire du réseau,
(2) p.«(gfM)=«(00i).ccos7=n
et en composant les équations (1) et (2), on déduit
S 1 J B(ghk)~' 2 ghk'
Un théorème connu de la géométrie analytique permet, on le sait, d'écrire ;
S«=X«-fY«4-Z«— 2XYcos;— 2XZC0STQ — 2YZcosÇ
X, représentant l'aire du triangle KOH situé dans le plan des yz; Y, l'aire GOK, et Z l'aire 60H;
g, étant l'angle des deux plans coordonnés xy et xz dont Ox est Taréte; 13, Tangle des deux plans yx et yz dont Oy est Taréte ; ç, l'angle des deux plans zx et zy dont Oz est Tarête. D'après le théorème précédent, on a :
2 hk IsjOlO) 2 gk
^""2 ghk
24 PRKMIÈRE PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUF:.
valeurs qui, substituées dans Téquation précédente, donnent:
sHghk)=
4-A«.««(OiO) — 2| + ^^.«(010). «(001 ). cos Ç , -hik« ««(004)) 1 4- ^^.«(100). 8 (001). cos yj
Angle de deux ran§;ée0. — Étant données deux rangées R et R% dont les symboles respectifs sont
[pçr], [p'çV]
on peut se proposer de chercher Tangle qu'elles forment entre elles.
Soit (uvw) le plan qui comprend ces deux rangées, qu'on peut toujours supposer menées par l'origine ; on a :
qr'-^rq'
Tr'—pf"
en appelant D le plus grand commun diviseur des trois numérateurs.
On a d'ailleurs
«(çr' — r^, rp' — pr', pq[ — çp') = D.« (wtw) =p \pqr] . p fpY'*'] • sin RR' d'où l'on tire
h.8{uMV)
sinRR'=
p[P9^].p[pY^] *
Cette formule est peu employée à cause de l'incertitude, que laisse la détermination d'un angle par son sinus.
On préfère déterminer l'angle' RR' par son cosinus ou sa tangente.
Soient les deux rangées OR et OR' (fig. 10), i, dont les paramètres respectifs sont
OT=p[pçr], OT'=p[p'çy]
Construisons sur OT et OT' un parallélogranime dont le quatrième sommet sera T" ; les coordonnées numériques de T" sont :
Fig. 10.
P'i'P'f 9-fg', r-^v
i:hapitre n. — propriétés des systèmes réticulaires. 25
et
Or=p[p-{'p% ç + 9', r + r'].
Construisons de même un parallélogramme sur OT et 01/ = — OT ; Ifes coordonnées numériques du quatrième sommet T"' seront
P—P'» 9-9'. »•—»•' et
OV=p[p — p^, q-^q' r — r'] = TT'
Or, dtns le triangle OIT", on a
Ôr'=5T* 4- W'H- 2.0T.0T'. cos RR%
et dans le triangle OIT' :
TT"=iâP + ÔP— S.OT.OT'cosRR'
On tire aisément de ces deux équations
^^^''"^ï OTxOT' ~4 . P[pqr]xpllfg'r']
«t, en remplaçant les symboles par leurs expressions connues, il vient, toutes réductions faites :
•osRR'=
pp'a* 'hqq'b*
/ {pq''\'p'q)àb cos xy
-h I -4- {pr" 4- p^r) ac cos xz
+ {qr' -h q^r) bc cos yz
I P*^'| i ^pqoh cos xy j p'*a*j i / + ç*&*>4-|-f Sproccosxzxi / -t-ç^ft*; V H-»^<^| l-hSçrkcosyz y +»^c«)
!2p'^aftcosJC3^ -h2p'r'accûs:c;3î -h2g'r'ftc cosy^
Connaissant sin RR' et cos RR', il est aisé d'obtenir tang. RR', et l'on obtient :
ung. RR'= ç ""'^^
|[p»(P+P'. 9 + 9'. y\-^-f\f~tf^ 1-<f> »— ''j]
ou, en remplaçant les symboles par leurs expressions
tang.RR'=:D
/ u^h'^c^ sin yz \ i / -f- v*a«c* sin xz ) —
