CHAPITRE II. - PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES RÉTICULAIRES

Supposons que Ton rapporte le point D aux axes X, Y, Z, auxquels on attribuera respectivement les paramètres A,B, C. Une formule connue donnerait OD* en fonction de ces paramètres et des coordonnées numériques de D par rapport aux nouveaux axes. La comparaison de cette formule avec la valeur de OD' déduite des équations précédentes (1) et (2) Tait voir que ces coordonnées numériques sont précisément égales aux nombres entiers g, h, k. On en conclut que tous les points D forment un réseau construit sur les axes X, Y, Z considérés comme des rangées conjuguées possédant respectivement les paramètres A, B, G. Nous appellerons ce réseau le réseau polaire du premier, que nous appellerons le réseau primitif.

On voit qu'à tout système de plans réticulaires [ghk) du réseau primitif correspond une rangée normale du réseau polaire, dont les ca ractéristiques , dans le système d'axes du réseau polaire, sontgf, h,k^ Nous désignerons cette rangée par le symbole [jM],. Le paramètre de cette rangée désigné par le symbole F [ghk] est donné par l'expression

8 (ghk) étant l'aire de la maille plane du système de plans réticulaires du réseau primitif.

Nous continuerons de désigner les axes coordonnés auxquels on rapporte le réseau primitif par x, y, z; ceux auxquels on rapporte le réseau polaire seront désignés par les lettres X, Y, Z.

Les paramètres des axes du réseau primitif étant appelés a, fr, c, ceux du réseau polaire seront A, B,C. Les angles dièdres des plans coordonnés du réseau primitif étant appelés g, u, ^, ceux des plans coordonnés du réseau polaire seront appelés S, H, z. On aura d'ailleurs

YX=180-î; 3= 180 -«y XZ=i80 — 7j H=180 — ya; ZY=180 — Ç Z=i80--a^

Le volume de la maille parallélipipédique du réseau primitif est

{ï^abcJ

Le volume de la maille parallélipipédique du réseau polaire est

^ *n/^i abs'inxy bcsïnyz acsinxz . - . y .

0„=:ABCJ^= — pT-^.' „ ^ n — I — •ginÇsinîsina:«

ou à cause des relations

J = sin xy sin xz sin l = sin yz sin xz sin ^

Les volumes sont donc identiques, ainsi que l'intervalle moyen E des nœuds, dans les deux réseaux.

On en conclut, sans difficulté, que le réseau primitif est le polaire du réseau polaire, et par conséquent qu'à tout système de plans réticulaires (gfM), du réseau polaire correspond un système de rangées normales [jghk] du réseau primitif. Si Ton désigne par le symbole S (ghk) Taire de la maille plane du réseau polaire, on aura :

En résumé, on voit que le réseau polaire et le réseau primitif jouissent, Tun par rapport à l'autre, de propriétés réciproques analogues à celles qui existent entre un triangle sphérique et son polaire. Toute propriété démontrée pour les rangées d'un réseau se transformera en propriété relative aux plans réticulaires du second et réciproquement.

Nous avons vu que les paramètres du réseau polaire ont, en fonction de ceux du réseau primitif, les valeurs :

«(100) bcsinyz

„ g(OlO) acsinxz

p «(001) absinyz

que l'on peut encore écrire

. abc 1 .

n abc 1 .

^ abc 1 .

C=-g-.-smrcy

Anifle de deux piaui rétt«iilatre«. — De ce qui précède, nous concluons que si, dans un réseau, on a deux plans réticulaires P et P' re-