CHAPITRE n. — PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES RÉTICULAIRES

la formule qui donne le cosinus de l'angle PP' formé par les normales menées à deux plans {pqs) et (/g's') est

v/p*A«4-g*B*4-««C*+2p9ABcosXY vV^A'+g'^Bs+g'^C^-l-âp'ç'AU cosXV

La rangée qui, dans le réseau polaire^ va de Forigine au nœud T i U, est perpendiculaire au plan (ÎIO) du réseau primitif, c'est-i-dire nu plauZOzr, elle est donc perpendiculaire à Om. Appelons F' le paramèln^ de cette rangée, on a

F'* = A«-f B2 — 2ABcosXY.

Portons dans cos PP' la valeur de AB cos XY déduite de cette équation, et introduisons les nombres r et r' qui satisfont aux relations p-\-ff^t\ f>' + g' = — r', il vient

cosPP' 2 2 2

V^s«C* — prk* — grC« — pçF'" v/«'*C* —pYk^ — q'r'C* — p'qT^ La formule qui donne tg PP' est :

p, ED v^M*a* -h V^b* 4- tv^c* -h 2tt» ab cos xy

iQ PP'

^ pp'k*'hqq''h^ 4- ««'C* -h(pç'4-p'9)ABcosXY

ou encore

p, D y/w'A'B* sin* XY -t- C (tf*B* 4- t?*A« — 2ttt; AB cos XV) ^ pp'A* 4- 9^B« 4- ««'C* 4- (pg' + p'q) AB cos XY '

Appelons F le paramètre de la rangée qui, dans le réseau polaire^ \a de l'origine au nœud 110, nous aurons

F«=:A«4-B«4-2ABcosXY.

Si nous portons au numérateur la valeur de 2AB cos XY déduite de celle équation, et au dénominateur [la valeur de kb cos XY déduite de ceUe qui donne F'*, en appelant t la quatrième caractéristique de Iti zone [uviv] satisfaisant à la relation w 4- v 4- f = 0, il vient :

j |,p,__ D y WA'B^ sin» XY — C*(vtk* 4- ?<<B« 4- uv¥^) *2 Â ^

11 serait aisé, en suivant une marche analogue à celle qu'on a suivie pour trouver cos FF', de voir qu'on a :

i s^(pqri)=: ^prk* - grB» - pgF'* + «*C*.

Si l'angle xy = 120% les trois axes x, y, u font entre eux des angles égaux à 120«.

Si l'on suppose en outre a = fc, et si Ton appelle h le paramètre de l'axe des z, on a

F«= 2A« (1 + cos 60») = 3A* F'« = 2A« (1 - cos 60») = k\

Les formules précédentes deviendront donc :

cos PP =

V/s h'^-P^-^^'-P^^l ?!^-pV-^r'-|?Y

OU, en remarquant que p* H- g* + r* -H ipr -H 2qr H- 2pq = 0,

3 a* tgPP' =

On aurait de même :

et enfin :