CHAPITRE m. — SYMÉTRIE DES POLYÈDRES ET DES RÉSEAUX

En résumé, des deux conditions de la symétrie géométrique, à savoir les directions des faces du polyèdre et les distances de ces faces à un point fixe, on sera conduit, dans la pratique des observations cristallographiques, à négliger la seconde pour ne tenir compte que de la première. En restant strictement dans les considérations morphologiques et laissant provisoirement de côté les autres propriétés physiques ihi cristal, la symétrie d'un polyèdre cristallin ne dépend donc que ûes inclinaisons mutuelles des faces qui le composent. Il est d'ailleurs commode, pour l'étude, de ramener dans tous les cas, par la pensée, les plans de ce polyèdre dans une position telle que les deux conditions géométriques de la symétrie soient satisfaites. Cette hypothèse, quî revient à donner au cristal la forme qu'il prendrait si des circonstmiccs accidentelles et variables n'agissaient sur lui au moment de sa formation. est celle que nous ferons constamment dans tout ce qui suivra.

Quoi qu'i' en soit, nous sommes, d'après ce qui précède, amenùs ù rechercher quels sont tous les modes de symétrie que l'on peut ren* contrer dans un milieu cristallin; ce seront les seuls que l'on pourra observer dans les polyèdres cristallins. Mais nous sommes obli^^os, avant d'aborder cette question, de démontrer, sur la symétrie des polyèdres en général et des polyèdres réticulaires en particulier, un certain nombre de théorèmes que nous utiliserons dans la suite.

Définition des axe« de symétrie . et de leurs ordres. — De la symétrie des polyèdres. — Une figure quelconque étant donnéis si,

après une rotation de — autour d'une certaine droite L, la H^ure

revient en coïncidence avec elle-même, nous dirons que L est un axe de symétrie d'ordre q ou q^"®. Nous désignerons cet axe par le symbole L«. Un axe binaire, ternaire, quaternaire, quinaire, sénaire, sera un axe d'ordre 2, 3, 4, 5, 6.

Il est clair que q ne peut être qu'un nombre entier, car si c'élail un

nombre fractionnaire -, l'angle dont tournerait Taxe de symétrie pour' n

restituer les sommets du polyèdre serait — , et, après un nombre m

de rotations semblables, la figure reviendrait dans sa position première. Un point quelconque du polyèdre aurait alors occupé successivement, dans un plan perpendiculaire à l'axe, tous les sommets d'un polygnnc étoile, dont les sommets contigus seraient séparés par un angle au

Ai

Al

L) Fig. 16.

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centre égal à — . En faisant tourner la figure de — autour de Taxe, on m m

arriverait donc à restituer tous les sommets, et n serait le véritable indice de Taxe.

llest d'ailleurs évident que q ne saurait être irrationnel, car dans ce cas le polygone étoile décrit par chaque sommet aurait un nombre infini de côtés, ce qui ne peut convenir qu'au cas très-particulier de la sphère. Tout polyèdre quipossède un axe d'ordre pair pdssant par uncentrede symétrie, possède un plan de symétrie passant par le centre et normal à cet axe. En effet. Taxe étant d'ordre pair, les sommets du polyèdre sont restitués par une rotation de 180*» autour de Taxe L (fig. 16). Un sommet A du polyèdre aura donc son symétrique A' par rapport à L. Mais A et A' ont chacun leurs symétriques A/ et A^ par rapport à C, lesquels sont respectivement les symétriques de A et de A' par rapport au plan P mené par C perpendiculairement à L.

Lorsqu'un polyèdre possède un plan et un centre de symétrie, il possède un axe d'ordre pair. La démonstration de ce théorème se ferait d'une manière tout à fait analogue à celle du précédent.

S'il eociste deux ou plusieurs axes de symétrie, ces axes et les plans de symétrie, s'il y en a, doivent tous se couper en un même point qui coîncide avec le centre de symétrie, s'il y en a un. Car le centre de gravité des sommets du polyèdre, supposés également pesants, devra se trouver sur chacun des axes de symétrie, sur tous les plans de symétrie, et coïncider avec le centre de symétrie du polyèdre. Lorsqu'un polyèdre possède q axes binaires, et q seulement, dans un même plan, chaque axe fait avec le plus proche

un angle égal à -.

S'il en était autrement, en effet, il y aurait un axe de symétrie L^ (fig. 17), qui ne serait pas la bissectrice de l'angle LsOL, foimé par les 2 axes contigus ; en faisant tourner le polyèdre de 180<» autour de OLi,Lj ne viendrait pas coïncider avec Ls, et déterminerait la position d'un

nouvel axe de symétrie du polyèdre qui en posséderait plus de q dans

le même plan, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Fig. 17.