CHAPITRE m. — SYMÉTRIE DES POLYÈDRES ET DES RÉSEAUX

Tout polyèdre 'qui possède q axes binaires dans un même plan possède un axe de symétrie d'ordie q perpendiculaire à ce plan.

Soient, en effet, deux axes binaires OLj et OIjj (fig. 18), faisant entre

eux un angle égal à -; S un sommet quel"

conque du polyèdre, qui par la rotation de 180® autour de L^, vient coïncider avec le sommet S^, lequel, à son tour, après la rotation de 180<» autour de L,, vient coïncider avec S,. Projetons sur le plan L^ L, les trois sommets S, S^, Sj en s, s^, s,. On a

sOL,=«,OLi, et par conséquent

«40La=«jOLa.

Si Ton mène par une perpendiculaire Oa au planLiL^t si Ton prend 00' = Ss = S,Sj, O'S est parallèle à Os, O'S, est parallèle à O^î,^ et

SO'S,=:sO«,=— ,

Donc, par une rotation de — autour de Oa, on obtient le même ré-

sultat que par deux rotations successives de ISO^* autour de OL^ cl OL^; Oa est donc un axe de symétrie d'ordre q.

Remarquons que les angles mutuels des axes binaires étant égaux à -,

une rotation de — autour de A n'amène en coïncidence les axes Ijiiiairps

que de deux en deux. Si q est impair, après q rotations successives on un tour complet de la circonférence, Taxe binaire L^ ne vietidi a en coïncidence qu'avec une des deux directions que chacun des autres axes binaires forme à partir du centre; et comme OL^ vient en coinnidence q fois avec un axe binaire, il vient successivement en coïncidem e avec les q axes binaires. Ces axes ne peuvent donc être distinguée les luis des autres que par la position accidentelle que Ton a donnée au pulyèiire dans l'espace ; nous disoiis qu'ils sont de môme espèce.

Si, au contraire, q est pair, Taxe OLi Tient en coïncidence, pendant un tour complet autour de Oa, avec chacune des deux directions d'un môme axe binaire ; et comme il ne vient que q fois en coïncidence avec un axe binaire, il y a la moitié des axes binaires avec lesquels il ne peut coïncider. On peut donc distinguer des axes binaires de deux espèces; nous distinguerons les uns par le symbole L', les autres par le symbole L'*. Les axes binaires d'une espèce bissèquent les angles formés par les axes binaires de l'autre espèce.

Lorsqu'il y a un nombre total q de plans de symétrie se coupant suivant une même droite, cette droite est un axe de symétrie dont le numéro d'ordre est q ou un de ses multiples.

En effet les angles dièdres de ces plans sont nécessairement égaux entre eux, sans cela ils se reproduiraient symétriquement l'un par rapport à l'autre, et leur nombre total serait supérieur à q. Par un point quelconque S du polyèdre (fig. 19), nous menons un plan, pris pour plan de la figure, perpendiculaire à l'intersection commune des plans de symétrie. Ceux-ci viennent le couper suivant des droites également inclinées les unes sur les autres, L'angle que forment

ces droites entre elles est égal à -. Le point

p.^ ^^ aura, par rapport à l'une des droites voisines,

son homologue en S' et, par rapport à la

suivante, son homologue en S". L'angle S"OS est évidemment égal à — .

La ligne passant en et perpendiculaire au plan de la figure est donc un axe de symétrie dont la caractéristique est au moins égale àg.

Tout polyèdre qui possède un axe d'ordre q et un axe binaire perpen-diculaire possède q cures binaires.

En effet A (fig. i8) étant un axe d'ordre g, et L^ un axe binaire, si Sj est un point du polyèdre, S en est un autre, et S^ un troisième; mais S^ et Sj viennent en coïncidence par une rotation de 180® autour de la

droite L^ qui fait avec L^ un angle égal à -, donc, etc.

On démontrerait d'une manière analogue que tout polyèdre qui possède un axe d^ ordre q et un plan de symétrie passant par cet axe possède q plans de symétrie.