CHAPITRE m. — SYMÉTRIE DES POLYEDRES ET DES RÉSEAUX

symétrique de N par rapport à L L^, N' et N'^ les symétriques de N et Ni par rapport à p. 11 est clair que n est le centre du i'ectangle NN'N'N'i et est à égale distance des points v, v^, qui sont les projections sur /? de N et N^. Le point n se trouvera donc au milieu de la projection des côtés, ou au milieu de celle des diagonales du parallélogramme générateur.

Un théorème capital 'dans la question que nous avons à résoudre est le suivant :

Un réseau ne peut posséder que des axes de symétrie d'ordre 2, 3, 4 ou 6. '

Par un nœud N (fîg. 25), menons un plan normal à Taxe de symétrie passant en ce point, el dans ce plan qui sera ce- j, lui de la figure, prenons un nœud n, tel qu'aucun """7^"" "^^ autre nœud ne soit plus voisin de N. v"< /

Si Tordre de Taxe est g, en faisant tourner le / ^j

réseau de — autour de N, nous obtiendrons dans le /^- "

plan normal qui contient n, un autre nœud vl ; f^g- 25.

puis, par une seconde rotation de — autour de Taxe, un troisième

nœud n", etc. Nous construisons un parallélogramme sur les deux côtés nvl et n'r^\ Tautre sommet v du parallélogramme est encore un nœud du réseau, et il faut chercher tous les cas qui sont compatibles avec la supposition que n est à la distance minimum de N, c'està-dire pour lesquels Nv est supérieur ou au plus égal à Nn que nous pouvons prendre comme unité. Or on a

Nv = l — 4 sin'-

d*où l'on déduit :

pour ç=5 Nv=^2

q=k Nv=— 1

g=5 Nv = -l-^=:- 0,382.

q=h Nv=:0

q-^h Nv^i

La fonnule ne s'applique pas au cas de ^ = 2, qui est évidemment possible. Le théorème est donc démontré. ^

Nil

Nous terminerons en démontrant pour un réseau la réciproque d'un des théorèmes que lious avons démontrés pour les polyèdres quelques.

Si un réseau possède un axe de symétrie d'un ordre q supérieur à %

il possède q axes binaires dans un plan perpendiculaire à celui-ci.

Soient en effet LL^ (flg. 24) Taxe de symétrie et N^ un nœud sur cet

1,1 axe; nous prenons le plan réticulaire normal

limitrophe de celui qui passe par N^, et dans ce

plan, un nœud Nj, le plus rapproché de Taxe

^^Jr-^V^^ qu'il se peut. En vertu de la symétrie, il y a un

. I \ / certain nombre d'autres nœuds N'j, N",, etc. , avec

n5^ -^^ f'i' ' '^^' lesquels Nj vient se superposer par ces rota-

^ ,' tions successives de — autour de LL^.

I \ ; LLj ne peut être que ternaire, sénaire ou qua-

j^^i ^A, ternaire. Dans ces 3 cas, le côté NjN'j est un axe p. 24 binaire du réseau plan NaN'^N^j. De plus, en

faisant tourner autour de NjN'j tout le système réticulaire, N^ vient coïncider avec le point N- qui se trouve dans le plan réticulaire limitrophe de NgN^jN^j et est obtenu en construisant un parallélogramme, sur NiNjN'j. Donc NjN', est un axe binaire du système réticulaire, puisque, par une rotation de 180<» autour de cette ligne, trois rangées conjuguées du réseau reviennent en coïncidence.

Si l'axe est ternaire, les points NjN'jN", forment un triangle équilatéral, et il y a trois axes binaires ; si l'axe est sénaire, ils forment un hexagone, et il est aisé de voir que non-seulement les côtés de cet hexagone sont des axes binaires, mais qu'il en est de même des lignes qui joignent les sommets de cet hexagone de deux en deux; il y a donc six axes binaires. Enfin, si l'axe est quaternaire, les points NjN', foraient un carré dont les côtés et les diagonales sont des axes binaires. Le théorème se trouve donc démontré.