CHAPITRE m. — SYMÉTRIE DES POLYÈDRES ET DES RÉSEAUX

■De la symétrie propre anx réseanx. — Les théorèmes que nous avons démontrés, dans le paragraphe précédent, s'appliquent à tous les polyèdres quels qu'ils soient. Nous allons maintenant en faire connaître quelques autres qui ne s*appliquent qu'aux systèmes réticulaires.

Il est clair que, par la manière même dont est formé un semblable système supposé indéfini, tous les nœuds sont des centres de symétrie, c'est-à-dire que si Ton joint un nœud N, à un autre N, en prnîonf^^eaut NNi de l'autre côté de N d'une quantité égale à elle-même, on trouve un autre nœud Nj.

Une droite sera un axe de symétrie d'ordre q du réseau, lor.^que par

une rotation de — putour de celte droite, tous les nœuds du reseau

sont restitués. Tous les nœuds d un même réseau étant iJeiitiques, l'existence d*un axe de symétrie d'ordre q passant par un nœnd, entraîne celle d'un système d'axes du même ordre passant par chacun des autres nœuds.

Tous les axes de symétrie d'un réseau ne passent pas nécessairement par un nœud, mais si nous menons par un nœud une parallèle à un axe de symétrie^ cette parallèle est aussi un axe de symétrie de même ordre.

Soit en effet (fig. 20) la trace de l'axe de symétrie d'ordn' fj sur le plan de la figure supposée perpendiculaire à cet axe, et N un nœud situé dans ce plan. Faisons tour- ^;'

ner le réseau de — autour de l'axe ; N vient, dans \

le plan de la figure, en N'. Donnons ensuite au réseau ^^-^^^ - — -^^ une translation égale et contraire à NN' ; les nœuds \ ^ i de la rangée NN', ainsi que ceux de toutes les ran- -^ •

Si

gées parallèles, c'est-à-dire tous ceux du réseau se- ^'

ront restitués. Or on sait, par un théorème bien n^, ao,

connu de la cinématique, que la combinaison de cette translation et de cette rotation équivaut à une rotation de même amplitude autour d'un axe parallèle au premier et passant par N, qui est ains un axe de symétrie d'ordre q.

11 suffit donc, pour trouver tous les axes de symétrie d'un n'^seaii, de chercher ceux qui passent par les nœuds.

Tout axe de symétrie passant par un nœud est une rangée.

En effet, il est aisé de voir que si l'on prend deux rangées issues d'un môme nœud pour les directions de forces composantes, dont les grandeurs seront les paramètres des rangées, la direction de la lésul-

tante sera celle d'une rangée dont le paramètre sera la grandeur de la

résultante ou Tun de ses sous-multiples. Les rangées se composent donc

entre elles comme des forces.

Or si nous appelons N (fig. 21) le nœud situé sur Taxe de symétrie

L d'ordre q^ et si nous imaginons une rangée dont NN^ est le paramètre, cette rangée en nécessite q autres ayant même paramètre, issues de N, et disposées symétriquement autour de Taxe L. La résultante de toutes ces rangées sera dirigée suivant l'axe qui est par conséquent une

Fig. 21.

Lorsqu'un réseau possède un axe de symétrie, tout plan mené par un nœud perpendictdairement à cet axe est un plan réticulaire.

Ce théorème estévident lorsque l'axe de symétrie a un indice supérieur au second, car alors la présence d'un nœud dont le plan est normal à l'axe, entraîne celle de deux autres nœuds au moins.

Quant aux axes binaires, la démonstration est aisée. Iiln effet» tout nœud ayant son symétrique par rapport à l'axe, il y a tout un système de rangées normales à cet axe ; et si par un nœud quelconque, on mène des parallèles à toutes ces rangées, on détermine un plan réticulaire normal.

Dans un réseau à axe de symétrie binaire, si Von considère les deux plans réticulaires limitrophes d'un plan réticulaire normal à Taxe, le réseau de Vun de ces plans coïncide avec la projection orthogonale du réseau de Vautre. Le théorème est évident, puisque, en vertu d'un des théorèmes précédents, le plan compris entre les deux limitrophes est un plan de symétrie du système réticulaire.

Quant au réseau de ce plan intermédiaire^ si ses nœuds ne coïncident

pas avec les projections orthogonales de

L ceux des deux autres. Us coïncident avec la

projection des centres, ou celle des mi--

lieux des côtés des parallélogrammes gé^

^ nérateurs.

En effet représentons une coupe du p' système réticulaire faite par un plan passant par un nœud n (fig. 22) du plan intermédiaire;), par Taxe binaire LL passant en n, et par un nœud N d'un desplans limitrophes P. Soient N, le

Ni -tr-

Fig. 22.