CHAPITRE IV. — CLASSIFICATION DES ÉDIFICES MOLÉCULAIRES

points d'intersection avec cette sphère, que nous appellerons les pôles des axes.

Parmi les axes d'ordre supérieur au second, il y en a toujours plusieurs de même ordre : car supposons qu'il y en ait deux d'ordre différent, Tuii

d'ordre p, l'autre d'ordre q, la rotation de — autour du second vninè-

nera le polyèdre en coïncidence avec sa première position ; l'axe d'ordre p aura pris une direction qui ne coïncide pas avec la première^ )niisque q est plus grand que 2, et qui doit être celle d'un second axe d'ordre /?.

Parmi tous les axes d'ordre égal à p, nous en choisissons deux, dont les pôles Pi et Pj (fig. 25) font enti*e eux le plus petit angle possiblti.

Nous faisons tourner le polyèdre de — autour de Pj; P^ vient en 1'-, cl

Pj est le pôle d'un axe d'ordre p. Nous faisons tourner de — autoui de

P5 ; Pj vient en P^ qui est encore le pôle d'un axe d'ordre p, et Biim titi suite. Les pôles Pp Pj, P5... sonV tous sur un petit cercle dont je désigne le pôle par la lettre Q.

Après p rotations successives autour de chacun des sommets Pj, P5, etc. , nous reviendrons au point de départ P^, car autrement, la dernière rotation amèn-^rait un pôle d'axe d'ordre />, à une distance angulaire de P^, moindre que celle qui sépare Pj et Pj, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Les pôles d'axes d'ordre p ainsi obtenus formeront donc les sommets d'un polygone régulier sphêrifjue

Fig. 25.

ayant Q pour pôle, et — pour angle au centre', q étant le nombrt* fli^s sommets.

Sigestpair, le pôle Q est celui d'un axe de symétrie d'ordre^. En effet, en

faisant tourner le polyèdre dans le sens rétrograde, de — autour de I*,, {\ vient en P3, et un point quelconque du polyèdre, a^, que nous pouvoub

toujours supposer sur la sphère dont le rayon est arbitraire, viendra en «2-

Une nouvelle rotation de — autour de P3, amène P, en P4, de sorte

que, après ces deux rotations, P^Pg est venu coïncider avec P3P4 ; le point a^ se trouve en a-, placé, par rapport à P3P4, comme a^Test par rapport

à PiPj. Les deux rotations successives de — autour de P^ et de P- èquivalent donc à une rotation de — autour de Q, qui est ainsi le pôle d'un

axe d'ordre |.

Si q est impair, p restant supérieur à 2, nous pouvons répéter le même raisonnement ; mais après q rotations successives autour des sommets du polygone sphérique régulier, P^, P,, P5,.. P^, le côté P^Pj est venu en coïncidence avec P^P^, le point «^ étant par rapport à P^P^ dans la même position que «^ par rapport à P^P,. Après q rotations successives, lorsque q est impair, on arrive donc au même résultat que par une

rotation de — autour de Q qui est ainsi le pôle d'un axe d'ordre q.

2ir

Lorsque q est impair, si l'on fait tourner le polyèdre de — autour de Q, PjPg vient en PjPj, mais on peut obtenir le même résultat en faisant

tourner le polyèdre de — autour de P,, ce qui amène P^ en P5, puis en

faisant tourner de 180® autour du milieu r du côté P,Pg. Le point r est donc le pôle d'un axe binaire. Lorsque q est impair^ les bissectrices des angles formés par detix axes contigus d'ordre p sont donc des axes binaires.

En faisant tourner le polygone régulier sphérique autour de ses sommets P^, lorsque P^P^ coïncide avecP^Pj, le polygone régulier vient prendre une nouvelle position P^P^P'^P'aFg et chacun des sommets est encore le pôle d'un axe d'ordre p. En faisant tourner le nouveau polygone autour d'un de ses sommets, il viendra former un nouveau polygone égal au premier et ayant atec lui un côté commun, et ainsi de suite. Or en effectuant ainsi toutes les rotations possibles autour des sommets des polygones successivement formés, on doit nécessairement arriver^à couvrir la surface de la sphère de polygones réguliers, égaux et contigus. Autrement, en effet, en continuant les rotations successives, on arriverait A trouver le pôle d'un axe d'ordre p, qui serait plus