CHAPITRE VIII. — SYSTÈME TERNAIRE OU RHOMBOÉDRIQUE

a. Lorsque les pôles sont situés dans les plans de symétrie, la notation est (2H), et les axes binaires passent par les sonunets de la section droite ; c'est le prisme hexagonal de première espèce,

fc. Lorsque les pôles sont situés dans les plans verticaux qui comprennent les axes binaires ; le symbole est (104), et les axes binaires sont les apothèmes de la section droite; c'est le prisme hexagonal de seconde espèce.

Telles sont toutes les formes simples que l'on peut rencontrer dans le système ternaire ou rhomboédrique.

Toute la discussion précédente aurait pu être faite, plus aisément peut-être, en se servant de la notation à 4 caractéristiques. Les symboles des pôles supérieurs de la forme la plus générale s'obtiendraient alors en prenant dans le tableau des pôles de la forme la plus générale du système sénaire, ceux de la première colonne verticale par exemple, c'est-à-dire ceux qui sont formés par les permutations tournantes de pqr, puis ceux de la troisième colonne, c'est-à-dire ceux qui sont formés par les permutations tournantes de ;> r ^. Le tableau des pôles supérieurs, de la forme ternaire est ainsi, en négligeant la caractéristique verticale s qui est la même pour tous :

pq7 pj^j rpq qpi^ (jrp rqp.

Les pôles écrits sur la même colonne verticale viennent en coïncidence mutuelle par des rotations de — ; les pôles placés en face l'un

de l'autre sont symétriques par rapport aux plans de symétrie verticaux.

On convient de désigner la forme par le symbole de celui de ses pôles pour lequel les deux premières caractéristiques sont positives, c'est-àdire de celui qui est situé dans l'angle XY.

Il est aisé de voir que les isoscéloèdres ont pour symbole !p/?2ps|î L s

rhomboèdres, \Opps\ ou bO;)5 ; les primes dodécagonaux, j/>^rO!; le prisme hexagonal de deuxième espèce est, comme dans le système sénaire, noté Ul20| et celui de première espèce |lOiO|.

Formes directes et inverses. — Formes birliomboédriqaes.

Lorsque le pôle (ghk) d'une face supérieure d'une forme simple tombe dans un secteur direct, les 6 pôles des faces supérieures tombent tous dans des secteurs directs ; on dit alors que la forme est directe. Dans le cas contraire, la forme est inverse. Le secteur de 60® compris entre deux plans de symétrie x ei z (fig. 146) et dans lequel est situé le pôle (ghk) dont les caractéristiques satisfont aux inégalités algébriques g>h^k, est bisséqué par un axe binaire w^. Les pôles situés sur W4 appartiennent à des isoscéloèdres, pour lesquels on a ^-hfc = 2fe. Lorsqu'on passe d'un point de cet axe u^, au demi secteur direct adjacent, en suivant une parallèle à YY,^ reste le même tandis que algébriquement k augmente et h diminue ; les caractéristiques de tous les pôles contenus dans le demi secteur direct, et qui appartiennent â des formes directes, satisfont donc à l'inégalité algébrique gf+/:>2A. Les caractéristiques de tous les pôles contenus dans le demi secteur inverse adjacent à w^, satisfont au contraire à l'inégalité algébrique g-^-k <2/i. Les faces des rhomboèdres directs sont inclinées dans le même sens que celles du rhomboèdre primitif; les faces des rhomboèdres inverses sont inclinées en sens inverse. On peut dire encore que les arêtes des rhomboèdres directs sont inclinées comme celles du primitif, et les arêtes des rhomboèdres inverses, comme les diagonales des faces du primitif. Dans les scalénoèdres directs, les arêtes les moins saillantes sont inclinées comme les arêtes du primitif; c'est lé contraire pour les scalénoèdres inverses.

Si l'on donne au cristal, autour de l'axe ternaire, une rotation de

— , les pôles d'une forme directe \ghk\ viennent coïncider avec les

pôles d'une forme inverse W^TL Les deux formes ainsi obtenues,

qu'on appelle souvent formes birhomboédriques, ne sont évidemment que les deux formes conjuguées hémiédriques d'un cristal à symétrie hexagonale, dont le cristal ternaire peut toujours, comme on sait, être considéré comme dérivé.

Lorsqu'on emploie la notation à 4 caractéristiques, il est clair que si les pôles supérieurs d'une forme ternaire sont ceux des 1" et 5® colonnes du tableau des pôles de la forme sénaire, les pôles supérieurs de la forme birhomboédrique seront ceux des 2® et 4« colonnes. La forme directe a l'un de ses pôles situé dans l'angle Xw; la forme inverse a l'un

CUmTKE VlJl. - SYSTÈME TLRNAIRE OU RHOMBOÉDRIQUE, V2b de ses pôles situé dans l'angle \u. Si une forme directe a pour symbole wqrsl on a p >^; la forme birhomboédrique ou inverse de celle-là est notée jqprsL

Il faut remarquer que, suivant nos conventions, les deux premières caractéristiques du symbole d'une forme étant toujours positives, la première sera plus grande que la seconde pour les formes directes, ci plus petite pour les formes inverses.

n est maintenant facile de chercher quel est, dans le système de notation à 3 caractéristiques, le symbole U'/iT! de la forme birhomboédrique de la forme \ghkL Si, en effet, cette dernière forme est notée \pqrsL on a :

Mais la forme U'^'/cl est notée UprsJ; on a donc :

8 = g' -^ h' -\- k' = g -h h -i- k q = g'-^W=h—'k p = h' — k'=k — g — r=zk'' g'=:k^g.

d'où Ton tire aisément, en multipliant /, h' y k\ par le facteur commun 3 î

Comme application de ces formules, on peut voir que le rhomboèdre

primitif 100! a pour forme birhomboédrique p2T|. Ces deux, formes

coexistent souvent, comme il arrive pour le quartz, et donnent alors au cristal une apparence hexagonale.

Projection gnomoniqae des pôles. — Les figures 120 et 120^'^ (pi. III) montrent la projection gnpmonique des pôles d'un cristal appartenant au système rhomboôdrique. Le plan de projection est perpendiculaire à l'axe ternaire. Pour dessiner cette projection, on commence par tracer un trian-

gle équilatéral, dont les sommets représentent les projections des pôles du rhomboèdre primitif. Le réseau parallélogrammique construit sur ces trois points donne tous les nœuds du réseau polaire qui se trouvent dans le plan de projection supposé contigu du nœud pris pour point de vue. Les distances respectives de chacun des nœuds aux trois côtés du triangle (001) (010) (400) ou XYZ représentent les projections des coor-

iin X

^^ îlO

données du nœud prises par rapport aux trois arêtes du rhomboèdre; ces trois directions faisant des angles égaux sur le plan de projection, le rapport des longueurs des projections est en effet le même que celui des coordonnées de Tespace. Pour trouver les caractéristiques d'un pôle quelconque, dont la position est connue sur la projection gnomonique, il suffit donc de chercher les distances de ce pôle aux trois côtés du triangle ; les rapports de ces distances sont les cai*actéristiques du pôle.