CHAPITRE X. — SYSTÈME TERBINAIRE OU ORTHORflOMBIQUE

formée par un prisme rectangulaire à faces centrées. C'est le quatrième mode ou mode octaédral rhombique.

Il ne resterait plus qu'une supposition à faire, c'est que les projections

Fig. 182.

des nœuds dU plan contigu coïncident avec les milieux des côtés du rhombe, mais il est aisé de voir que la supposition est inadmissible,

Fig. 183.

car les plans verticaux passant par les diagonales du rhombe ne seraient plus alors des plans de symétrie (fig. 185).

11 n'y a donc que quatre modes possibles pour l'arrangement des nœuds du réseau dans le système terbinaire, et ces quatre modes peuvent être regardés comme ayant pour forme primitive ou pour maille solide, soit un prisme rectangulaire droit, soit un prisme orlhorhombique.

Systèmes d'axes eoordondéfi. — Il résulte de ce qui précède qu'on peut adopter poursystème d'axes coordonnés, ouïes trois arêtes du prisme rectangulaire, c'est-à-dire les trois axes binaires, ou les trois arêtes du prisme orthorhombique .

ifift PREMIÈRE PARTIE. - CRISTAILOGRAPUIE GÉOMÉTRIQUE.

Appelons a, 6, c, les trois paramètres des axes binaires r, y^z, a étant supposé plus grand que b; et soit a' le paramètre commun des axes des x' et des]y' parallèles aux côtés de la base du prisme rhombôïdûi droit. Si nous convenons que l'axe positif des af est la diagonale du rectangle construit sur + a et + t, et Taxe positif des y' celle du rectangle construit sur — a et +6, les caractéristiques {p'q^r') relatives aux axes x^ y'z' seront reliées aux caractéristiques {pqr) relatives aux axes xyz parles équations suivantes :

f=p-hq P=P'-'q'

q' = '-p'hq q^p' + q'

On a en même temps

Toutefois il est important de remarquer que, lorsque la maille solide est un prisme rectangle, les côtés du rhombe ne sont pas des rangées conjuguées, puisque le parallélogramme construit sur ces côtés contient un nœud au centre. Réciproquement , si la maille solide est un prisme orthorhombique, les axes binaires ne sopt pas deux rangées conjuguées.

Calcul des angles, des arêtes et des faces. — Avec les trois axes binaires, pour axes coordonnés, on tire aisément des formules générales, les expressions suivantes pour Tangle RR' de deux rangées [ghk] [^'ATjet pour l'angle PP' formé par les normales à deux plans (pqr) (v'qYj :

gg'a*^hh'b^'\-kk'c''

cosRR'=:

CCS PP' = -

pp'k* + qq'h*-\-7rC^

^o. pp, Dv/m«B*C* + i;*A*C* + w^k^B^

Dans ces formules on a :

abc Quant â D, u, v, iv, ils ont la signi(îcation indiquée page 2o.

CHAPITRE X. - SYSTÈME TERBINAIBE OU ORTHORHOMBIQUE. 167 En prenant /?otir axes coordonnés les'arêles du prisme orthorhombique.

il \ient

cosRR'=

jgg' ^ hh') a^ 4- A7cV^ — jgh' + g'h) a'* cos a^y'

y/j (g'-^h^)a'*'hh'*c^^2gha'^cosafy ji (g'*'^h'^)a'^-\-h'^c'*-^2g'h'a'^cosx'i/\

ocfrf étant Tangle obtus de la base: du prisme rhomboïdal droit; a' et c' les paramètres des axes.

cosPP'=

W + çgQi^'* + >•>•'€'* + (P?' -^ P"?) A^* ces xy

formule dans laquelle iL faut faire

A'=i C' = ^sina:'«'

Formes simples. — Choisissons les trois axes binaires conune axes coordonnés, projetons gnomoniquement (fig. 184) les pôles sur un plan

iqr

Pï**

pa^

Fig. 184.

perpendiculaire à Taxe vertical des Z et cherchons les pôles d*une[même forme simple situés au-dessus du plan des XY. Nous verrons qu'un

pôle quelconque {pqr) entraîne l'existence du pôle (jo^r), à cause de la symétrie binaire de Taxe Z. Le planZX étant un plan de symétrie, l'existence de \vqr) entraine celle de (pgr) qui nécessita à son tour celle

de (pqr). On a ainsi, au-dessus du plan XY, quatre pôles qui auront leurs symétriques au-dessous, puisque le plan XY est un plan de symétrie.

En faisant appel à l'existence de l'axe binaire Z, et à celle des plans de symétrie XZ et XY, nous avons épuisé la symétrie du système, car il serait aisé de voir que tous les autres éléments de symétrie se déduisent de ceux-là. La forme simple holoédrique la plus générale du système terbinaire possède donc 8 faces et 8 faces seulement. Cette forme simple est évidemment un octaèdre dont les 6 sommets sont situés sur les axes binaires, et dont les' arêtes, contenues dans les plans de symétrie, for-

fment un rhombe dans chacun de ces plans. On donne à cette forme le nom d'octaèdre droit à base rhombe (fig. 185).

A chaque sommet d'une semblable figure, viennent se réunir i faces. Les faces opposées deux à deux, si elles étaient suffisamment prolongées, formeraient deux biseaux dont les arêtes seraient parallèles aux deux axes binaires qui coupent à angle droit celui sur lequel se trouve placé le sommet. Les angles dièdres de ces deux biseaux, qui viennent en coïncidence p. ^^ mutuelle par une rotation autour de ce dernier axe

binaire, sont égaux entre eux. Nous désignerons par 2a, 2p, 27les angles dièdres des biseaux correspondant respectivement aux sommets tracés sur les axes a, t, c. Dans la projection gnomonique, la longueur de la droite, qui joint le centre Z de la projection au pôle {pqr)t est égale à ctang.y

Les i plans de l'octaèdre, placés au-dessus du plan horizontal XY forment une pyramide quadrangulaire à base rhombe. Naumann appelle brachypyramides les formes octaèdriques pour lesquelles, p étant plus grand que ç, la base de la pyramide est plus allongée, dans le sens de l'axe minimum Y, que le rhombe dn prisme primitif. Les formes octaèdriques pour lesquelles p<iq sont les macropyramides. Lorsque p=:^, la base de la pyramide est le rhombe du prisme primitif, Naumann

désigne ces formes, notées \ ppr \ sous le nom de protopyramides. L'octaèdre j iii j est la protopyramide fondamentale; elle a pour axes les

5 paramètres a, &, c.

Si q=^0, les deux pôles (pqr) et (pqr) se confondent et les 8 faces de Toctaèdre se réduisent à 4; ces 4 faces forment un prisme droit,

CHAPITRE X. - SYSTÈME TERBINAIRE OU ORTUÛRHOMBIQUE. 169 JpOr |, dont la section droite est un rhombe et dont les arêtes sont parallèles à l'axe des Y. Les formes simples Oqr j sont des prismes analogues dont les arêtes sont parallèles à Taxe des X. Enfin, les formes

simples | pqO \ sont des prismes dont les arêtes sont parallèles à Taxe des Z.

Les deux plans des formes j pOr j qui sont^' situés au dessus de XY,

forment une sorle de toit ou de dôme dont l'arête est parallèle à l'axe minimum; Naumanii appelle ces formes des brachydomes. Les fprmes

I Oqr I sont des macrodomes. Les formes 1 pqO j sont pour Naumann des

brachyprismes lorsque p > q, et dès macroprismes lorsque p K^q^

Si en môme temps que p =:0, on a g = r, la forme jOli | est un

prisme dont les faces sont parallèles à celles de l'un des trois prismes orthorhombiques que l'on peut considérer comme primitifs. Les formes

jlOl I et I HO I sont respectivement parallèles à celles des deux autres prismes. La forme | 110 | est pour Naumann le protoprisme.

Si enfin ji; = et ç = 0, la forme 1 001 j se réduit à deux plans perpendiculaires à l'axe desZ; la forme JOIOI se réduit à deux plans

perpendiculaires à Taxe des Y, et la forme 1 100 à deux plans perpendiculaires à l'axe des X. Ces trois systèmes de plans parallèles sont les faces du prisme rectangulaire droit primitif.

Naumann appelle bases les plans 001 j ; les plans 010 j et 100 |

sont des pinacoïdes. Les plans j 100 ! parallèles à Taxe le plus court

sont des brachy pinacoïdes, et les plans | 010 > parallèles à l'axe le plus long sont des macropinacoides.

Formes composées. — Plaçons d'abord les formes simples sur le prisme rhomboïdal droit, qui est très-fréquemment la forme' dominante des cristaux de ce système, et que Ton prend ordinairement pour la forme primitive du réseau. On convient de placer ce prisme de façon que les arêtes latérales soient verticales, et que l'angle obtus du rhombe soit tourné vers l'observateur (fig. 186). Les angles solides correspondant aux angles obtus du rhombe de la base sont notés a; ils sont an nombre de 4, identiques entre eux. Les angles solides

correspondant aux angles aigus du rhombe sont notés e; ils sont aussi au nombre de 4, identiques entre eux. Les arêtes horizontales du rhombe, toutes identiques entre elles, soit comme opposées par le centre, soit comme symétriques, sont appelées b; parmi les arêtes verticales , il y a à distinguer les arêtes latérales qui aboutissent aux angles e, et qu'on appelle jr, et e les arêtes verticales aboutissant aux angles a, que Ton appelle h.

Pour suivre la discussion, il est bon d'avoir sous les yeux la projection gnomonique

du réseau polaire sur le plan des XY (fig. 187 etfig. 187 fris, pi. U).

L'axe X ayant un paramètre Ac=-et Taxe Y un paramètre B = -t»

\ It

Liiîi

oà

/ Tf\ et

^\— vï

QlOV Fig. 187.

on a A<B puisque, par convention, on suppose a> 6 en prenant pour axe des x la grande diagonale de la base du rhombe. Ces paramètres étant donnés, il est aisé de construire la projection.